d_Alembert公式的推导

2024年4月1日发(作者：数学试卷壁纸推荐)

第

21

卷第

3

期

2007

年

5

月

甘肃联合大学学报

(

自然科学版

)

J o ur nal of Ga nsu L ianhe U niver sit y

(

Nat ural Science s

)

Vol . 21 No . 3

May 2007

文章编号

: 1672

2

691 X

(

2007

)

03

2

0032

2

04

d

′

Ale m be r t

公式的推导

陈秀武

(

甘肃联合大学 理工学院

,

甘肃 兰州

730000

)

摘 要

:

纠正了文献

[ 1 ]

推导

d

′

Alembert

公式的不足

,

采用两种方法推导出

d

′

Alembert

公式

,

并把

d

′

Alembert

公式推广到三维空间

.

关键词

: d

′

Alembert

公式

;

通解法

;

积分变换法

;

三维空间

中图分类号

:O411 . 1

文献标识码

: A

文献

[ 1 ]

在运用通解法推导

d

′

Ale mber t

公式

时

,

先作了尝试性变量代换

,

然后将无界弦振动的

2

5

泛定方程化为标准形式

ξη

u

=

0 .

笔者认为对自

55

变量变换的修改缺乏依据

.

因为有多种变量代换

都能把方程化为标准形式

,

随意修改难以让人理

解

.

下面给出与一般文献不同的 证明 方 法

,

对

d

′

Ale mber t

公式进行比较规范的证明

. d

′

Ale mbe r t

1

)

为双曲

由于 △

=

a

2

1

2

-

a

11

a

22

=

a

> 0

,

故

(

型方程

.

根据特征方程的标准形式

a

11

2

d x

d t

2

-

2

a

12

d x

+ a

22

=

0

d t

得

d

x

2

2

- a= 0 ,

d

t

x

d

=

±

a.

d

t

公式是一维空间无界弦振动方程的解

,

三维无界

空间振动方程的解还未见文献涉及

,

本文力图用

比较 简 便 的 方 法 作 尝 试 性 推 导

,

从 而 把

d

′

Ale

2

mber t

公式推广到三维空间

.

故其特征线族

d

x

= ad t ,

∫

∫

d x = - ad t ,

∫∫

x - at = C

1

,

x + at = C

2

.

1

通解法

无界弦振动的定解问题

u

tt

-

au

x x

= 0

(

-

∞

<

x

<

∞

)

,

u |

t = 0

=

φ

(

x

)

,

u

t

|

t = 0

=

ψ

(

x

)

.

2

即

(

1

)

(

2

)

(

3

)

自变量为

t

和

x

的二阶线形偏微分方程的一般形

式为

[ 1 ]

a

11

u

tt

+ 2 a

12

u

tx

+ a

22

u

x x

+

b

1

u

t

+ b

2

u

x

+ cu + f

= 0 .

(

4

)

根据所求的特征线

,

故可作变换

ξ

= x - a

t

,

η

= x + at .

双曲型方程的标准形式为

u

η

= -

ξ

(

6

)

式

(

1

)

与式

(

4

)

比较系数可得

a

11

=

1

,

1

ξ

+ B

2

u

η

+ Cu + F ] .

2 A

12

[ B

1

u

(

7

)

a

12

= 0 ,

a

22

= - a

2

,

b

1

= 0 ,

b

2

= 0 ,

c =

0

,

(

5

)

将式

(

5

)

代入下列公式求出标准方程的系数

[ 1 ]

ηηξη

t

)

η

x

= -

2

a

2

A

12

= a

11t

ξ

t

+ a

12

(

t x

+

ξ

x

+ a

22

ξ

x

ξ

tt

+ 2 a

ξ

tx

+ a

ξ

x x

+ b

1

ξ

t

+ b

ξ

2

x

= 0 ,

B

1

= a

11 12 22

ηη

x x

+ b

1

ηη

x

= 0 ,

tt

+ 2 a

12tx

+ a

22t

+ b

2

B

2

=

a

11

η

C = c = 0 ,

F = f =

0

.

f = 0 .

收稿日期

:2006

2

11

2

30 .

基金项目

:

甘肃联合大学

2004

年科研基金项目

.

作者简介

:

陈秀武

(

1966

2

)

,

男

,

甘肃文县人

,

甘肃联合大学副教授

,

从事理论物理及数学物理方法的教学与研究

.

(

8

)

式

( 8)

代入式

( 7)

得

2

u

5

- 4 a

= 0 ,

ξη

55

2

2

5

u

即

5ξ5η

在式

( 9)

两边对其中一个自变量η求积分

=

0

.

(

9

)

5

u

=

)

. f

(

ξ

5ξ

再对自变量ξ求积分

ξ

)

d

ξ

+ f

2

(

η

)

u = f

(

故

( 1)

的通解为

u =

f

1

( x -

at

)

+ f

2

( x + at ) .

(

10

)

2

φ

(

x + at

)

+

Ψ

(

x + at

)

+ C

=

2

1

φ

(

at

)

+

φ

(

x + at

)

] +

2

[x -

x + at

1

Ψ

(

ξ

)

d

ξ

.

2 a

x - at

φ

(

x - at

)

-

Ψ

(

x +

a

t

)

- C

+

∫

(

17

)

2

η

)

.

+ f

2

(

Fou ri e r

积分变换法

对定解问 题 式

(

1

)

、式

(

2

)

、式

(

3

)

关 于

x

作

∫

ξ

)

=

f

1

(

Fo urier

变换

[ 2 ]

将初始条件式

( 2)

、式

( 3)

代入式

( 10)

得

f

1

(

x

)

+ f

2

(

x

)

=

φ

(

x

)

,

)

5

f

2

(

x + at

)

f

1

(

x

- at

5

-

=

ψ

(

x

)

.

2

dU

(

k , t

)

2 2

+ k a U

(

k , t

)

= 0 ,

2

d

t

U

(

k ,

0

)

=

Φ

(

k

)

,

(

18

)

U

(

k ,

0

)

=

Ψ

(

k

)

.

U

(

k , t

)

= F[ u

(

x , t

)

] ,

(

19

)

(

20

)

5

t

5

t

t = 0

Φ

(

k

)

= F[

φ

(

x

)

] ,

Ψ

(

k

)

= F[

Ψ

(

x

)

] .

式

(

18

)

的第

(

1

)

式的通解为

U

(

k , t

)

= C

1

co s

kat + C

2

si n

kat .

(

11

)

(

21

)

(

22

)

复合函数

f [

ξ

( x , t) ]

的偏导数

f

5

ξ

5

f

5

=

,

5

x

5ξ 5

x

(

12

)

(

13

)

5

f

5

f

5

ξ

.

=

5

t

5ξ 5

t

式

(

12

)

和式

(

13

)

比较得

5

f

5

f

5

t

=

5

x

.

ξ

55ξ

5

t

5

x

式

( 14)

代入式

( 11)

的第

( 2)

式得

f

2

(

x

)

f

1

(

x

)

ψ

( )

d d

- =

x

.

d x d x

a

(

3

)

式初始条件代入得

将式

(

18

)

的第

(

2

)

、

C

1

=

Φ

(

k

)

,

1

(

k

) .

C

2

=

ka

Ψ

式

( 18)

的解为

(

14

)

U

(

k , t

)

=

Φ

(

k

)

co s

kat +

Ψ

(

k

)

si n

kat .

(

23

)

1

ka

对式

(

23

)

的两边求关于

k

的

Fo urier

的逆变换

- 1

(

24

)

F[ U

(

k , t

)

] = u

(

x , t

)

,

1

∞

- 1 - ik x

F[

Φ

(

k

)

co s ka

t

] =

π

-

∞

[

Φ

(

k

)

co s

k

at ]e d k

2

(

25

)

=

1

[

φ

(

x + at

)

+

φ

(

x - at

)

] ,

2

1

Ψ

(

k

) si n

kat

- 1

si n

kat

F

-

1

= F

Ψ

(

k

)

k a

ka

积分得

f

2

(

x

)

- f

1

(

x

)

=

∫

a

x

0

ψ

(

x

)

d

x + C.

∫

令

Ψ

(

x

)

=

则

f

2

(

x

)

-

f

1

(

x

)

=

Ψ

(

x

)

+ C.

∫

0

x

ψ

(

x

)

a

d x ,

1

=

2

a

(

15

)

故

∫

ψ

(

ξ

)

d

ξ

.

x - at

x + at

(

26

)

式

(

15

)

与式

(

11

)

的第

(

1

)

式联立方程组求解得

φ

(

x

)

-

Ψ

(

x

)

-

C

f

1

(

x

)

=

f

2

(

x

)

=

2

,

φ

(

x

)

+

Ψ

(

x

)

+ C

.

2

(

16

)

1

u

(

x , t

)

= [

φ

(

x + at

)

+

φ

(

x -

2

1

x + at

ψ

(

ξ

)

d

ξ

.

2

a

x - at

at

)

] +

(

27

)

∫

将式

( 16)

代入通解式

( 10)

得

u ( x , t) = f

1

( x - at ) + f

2

( x + at )

=

3

三维空间的

d A l e m be rt

公式

三维无界空间振动的定解问题

[ 3 ]

34

u

tt

- a

△

u =

0 ,

(

r

,

θ

,

φ

)

,

u |

t = 0

=

φ

2

甘肃联合大学学报

(

自然科学版

)

第

21

卷

(

28

)

(

29

)

(

30

)

则

2

)

.

u

t

|

t = 0

=

ψ

(

r ,

θ

,

φ

)

φ

(

r + at

)

+

Ψ

(

r + at

)

+ C

. f

2

(

r + at

)

=

(

r + at

为了简化推导

,

假设是球对称性振动问题

,

定

解问题的解与角坐标

θ

,

φ

无关

,

在球坐标系下

,

定 解

问题可以简化为

u

2

5

r

5

r

=

r

5

r

2

u 2

5

u

2

5

=

0

,

u

tt

-

a

2

+

5

r

r

5

r

u

tt

- a

2

2

(

46

)

1

5

Ψ

(

x +

C

at

)

+

a

t

(

r

-

)

φ

(

r - at

)

+

= .

f

1

( r -

at

)

2

(

47

)

当

r

-

at

≥

0

时有

(

31

)

(

32

)

(

33

)

当

r

-

at

< 0

时利用

f

1

(

-

r)

= -

f

2

( r

)

得

f

1

(

r - at

)

= - f

2

(

at - r

)

=

u |

t = 0

=

φ

(

r

)

,

u

t

|

t = 0

=

ψ

(

r

)

.

作函数变换

u =

v

,

r

(

34

)

)

φ

(

at - r

)

-

(

at - r

)

+

Ψ

C

(

at - r

.

(

48

)

-

2

将式

(

46

)

和式

(

47

)

,

式

(

46

)

和式

(

48

)

分别代入式

(

42

)

得

(

r + at

)

φ

(

r + at

)

+

(

r - at

)

φ

(

r - at

)

2

1

r+ at

ψ

(

ξξ

)

d

ξ

, +

(

r - at

≥

0)

;

2 a

r- at

v =

(

at - r

)

φ

(

at - r

)

(

r +

at

)

φ

(

r + at

)

-

2

r+ at

1

ψ

(

ξξ

)

d

ξ

, (

r - at < 0

)

.

+

at - r

2 a

(

49

)

5

u

= -

1

v +

1

5

v

,

5

r r

5

r

r

2

2

u 2 v 2

5

v 1

5

2

v

5

=

3

-

2

+ ,

5

r

2

rr

5

r r

5

r

2

2

5

u

=

v

+

2

5

v

2

3

,

2

r

5

r

rr

5

r

5

u

1

5

v

= ,

5

t r

5

t

2

2

v

1

5

5

2

=

2

.

5

t

r

5

t

式

( 35)

、式

( 36)

、式

( 37)

代入式

( 31)

得

(

35

)

∫

∫

(

36

)

(

37

)

故原定解问题的解为

(

r -

)

(

r + at

)

φ

(

r + at

)

+ at

)

φ

(

r - at

r+ at

ψ

(

ξξ

)

d

ξ

, +

1

( r

-

a

t

≥

0

)

;

2

ar

r- at

v =

at - r

)

φ

(

at -

r

)

( (

r + at

)

φ

(

r + at

)

-

2 r

1

r+ at

ψ

(

ξξ

)

d

ξ

, + (

r

-

a

t < 0

)

.

2

ar

at - r

2

r

(

38

)

v

tt

-

a

2

v

rr

=

0 ,

(

r

>

0 , t > 0

)

.

通过函数变换

,

转变为关于

v

的定解问题

,

定解条

∫

∫

件转变为

v |

r = 0

= 0 , t

≥

0 ,

v |

t = 0

= r

φ

(

r

)

,

v

t

|

t = 0

= r

ψ

(

r) .

(

39

)

(

40

)

(

41

)

(

42

)

式

(

38

)

的通解为

v = f

1

( r - at ) + f

2

( r + at ) .

(

40

)

、

(

41

)

代入

(

42

)

将定解条件

(

39

)

、

(

50

)

参考文献

:

出版社

,2002 :170

2

177 .

f

1

( - at ) + f

2

( at ) = 0 ,

[ 1 ]

梁昆淼

.

数学物理方法

(

第

3

版

)

[ M ] .

北京

:

高等教育

φ

(

r

)

,

f

1

(

r

)

+ f

2

(

r

)

= r

ψ

(

r

)

.

a[ f

2

(

r

)

-

f

1

(

r

)

]

= r

由式

( 43)

的第三式解得

(

43

)

[ 2 ]

王载舆

.

数学物理方程及特殊函数

[ M ] .

北京

:

清华大

学出版社

,1991 :268

2

282 .

[ 3 ]

陆振球

.

经典和现代数学物理方程

[ M ] .

上海

:

上海科

r

1

ψ

( )

rr

d

r =

ψ

(

r

)

.

(

44

)

f

2

( r) - f

1

( r)

=

0

a

∫

学技术出版社

,1991 :38

2

43 .

解得

f

1

(

-

r

)

= -

f

2

(

r

)

,

(

r

)

-

Ψ

(

r

)

- C

φ

r

,

f

1

(

r

)

=

2

f

2

( r)

=

(

45

)

(

r

)

+

Ψ

(

r

)

+ C

φ

r

.

2

The Derivat ion of d

′

Alembert Formula

C H E N X i u

2

w u

(

School of Science a nd Engineeri ng , Gansu L ia nhe U niver sit y ,L anzho u 730000 ,China

)

Abstract : Thro ugh t wo wa ys of de rivatio n , t hi s e ssa y i nt e nd s to co r rect t he i nefficie ncy of t he deriva

2

tio n of t he fo r mula i n Ref e re nce 1 i n my bi blio grap hy , a nd e xt e nds t he fo r mula r y de rivatio n to t hree

2

di me n sio nal sp ace .

Key words :fo r mula ; met ho d of t ho ro ugh u nde r st a ndi ng ; met ho d of i nt egral alt e r natio n ; t h ree

2

di me n

2

sio nal sp ace

(

上接第

17

页

)

n

≠

b

中

,

我们可得

,

另一方面

,

从

(

f

n

)

2

-

a f

2

重数大于

3

矛盾

.

故假设不正确

,

F

正规

.

参考文献

:

[ 1 ]

杨乐

.

值 分 布 理 论 及 其 新 研 究

[ M ] .

北 京

:

科 学 出 版

对任意ξ∈

C ,

存在一自然数

N ,

使得对任何

n

≥

N

有

1

) )

[

(

g

n

(

ξ

4

)

g

n

(

ξ

2

-

a

ρ

g

(

ξ

)

] - b

ρ

n

2 2

n n

4

≠

0

.

通过

H urwitz

定理

,

我们可得出

1

( g (

ξ

) )

2

4

g

n

(

ξ

)

社

,1982 .

≠

0 ,

[ 2 ] FA N G Ming

2

lia ng , YU A N Wen

2

j un. O n t he mo r mali

2

J o ur nal of Mat hematic s ,2001

(

3

)

:341

2

351 .

t y fo r f a milies of mero mo rp hic f unctio ns [ J ] . Indian

[ 3 ] B ER GW EIL ER W , ER EM EN KO A . O n t he singula ri

2

或

1

(

g

(

ξ

) )

2

≡

0

4

g

n

(

ξ

)

ties of t he inver se to a mero mo rp hic f unctio n of finite

(

11

)

:355

2

373 .

[ 4 ] ZAL CMAN L . A heuri stic p rinciple in co mplex f unc

2

tio n t heo r y[J ] . The A merican Mat hematical Mo nt hly ,

1975 ,82 :813

2

817 .

对任何ξ∈

C

成立

.

ξ

)

≠

ξ

)

≡于是要么

g

(

0 ,

要么

g

(

0 .

ξ

≠如果

g

()

0

根据引理

3

可得

ξ

)

≡

co n s t

g

(

)

≡

)

=

a

ξ

+

b.

这与

g

(

ξ

)

的零点

如果

g

(

ξ

0

,

则

g

(

ξ

o r der [ J ] . Revi sta Mat hematica . Iberoa merica na , 1995

The Improvement Normal Theorem

F E N G B i n

(

Dep a rt ment of Mat hmetics , Ya ngtze No r mal U niver sit y , Fuling 408003 ,China

)

Abstract : Thi s t he si s st udie s t he no r mal f a mil y of me ro mo rp hic f unctio n s. Wit h t he t heo r y of Neva nli n

2

na

’

s val ue di st ri butio n ,t he a ut ho r a nal yze s a nd st udie s t he no r mal f a mil y p ro ble m s a nd a no r mal t heo

2

re m i s p ro ve d ,w hic h ge ne ralize s a nd i mp ro ve s t he re sult s of Fa ng Mi ng

2

L ia ng.

Key words :mero mo rp hic f unctio n s ; no r mal f a mil y ; val ue di st ri butio n ; H ur witz t heo re m