2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)(解析版)

2023年12月2日发(作者：安徽省初三二模数学试卷)

2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝（　　）A．{2，3，5}【答案】A【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，所以∁UM＝{2，3，5}，则N∪∁UM＝{2，3，5}．故选：A．2．（5分）A．﹣1【答案】C【解答】解：故选：C．3．（5分）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cos〈+，﹣〉＝（　　）A．【答案】B【解答】解：根据题意，向量＝（3，1），＝（2，2），则+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），则有|+|＝＝，|﹣|＝＝＝，（+）（﹣）＝2，•．B．C．D．＝＝1﹣i．＝（　　）B．1C．1﹣iD．1+iB．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}故cos〈+，﹣〉＝故选：B．4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（　　）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m＝＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P＝＝＝．故选：D．5．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2+a6＝10，a4a8＝45，则S5＝（　　）A．25B．22C．20D．15【答案】C【解答】解：等差数列{an}中，a2+a6＝2a4＝10，所以a4＝5，a4a8＝5a8＝45，故a8＝9，则d＝＝1，a1＝a4﹣3d＝5﹣3＝2，则S5＝5a1+＝10+10＝20．故选：C．6．（5分）执行下边的程序框图，则输出的B＝（　　）A．21【答案】BB．34C．55D．89【解答】解：模拟执行程序框图，如下：n＝3，A＝1，B＝2，k＝1，k≤3，A＝1+2＝3，B＝3+2＝5，k＝2，k≤3，A＝3+5＝8，B＝8+5＝13，k＝3，k≤3，A＝8+13＝21，B＝21+13＝34，k＝4，k＞3，输出B＝34．故选：B．7．（5分）设F1，F2为椭圆C：则|PF1|•|PF2|＝（　　）A．1【答案】B【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足又由椭圆C：+y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4，，|PF1|2+|PF2|2＝（2c）2＝16，•＝0，可得∠F1PF2＝，B．2C．4D．5+y2＝1的两个焦点，点P在C上，若•＝0，则有|PF1|+|PF2|＝2a＝2可得|PF1|•|PF2|＝2，故选：B．8．（5分）曲线y＝A．y＝x【答案】C【解答】解：因为y＝，在点（1，）处的切线方程为（　　）B．y＝xC．y＝x+D．y＝x+y′＝＝，故函数在点（1，）处的切线斜率k＝，切线方程为y﹣＝（x﹣1），即y＝故选：C．9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与．圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（　　）A．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，B．C．D．可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：所以|AB|＝2故选：D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（　　）A．1【答案】AB．C．2D．3＝．＝，【解答】解：如图，PA＝PB＝2，AB＝BC＝2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD＝CD＝在△PCD中，由PD＝CD＝∴∴故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝（　　）A．b＞c＞a【答案】A【解答】解：令g（x）＝﹣（x﹣1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x＝1，∵而∴∴，）＜g（，，），，＝，，B．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b．记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则×AB＝．，PC＝，，得PD2+CD2＝PC2，则PD⊥CD，，∴由一元二次函数的性质可知g（∵而∴综合可得，∴，，又y＝ex为增函数，∴a＜c＜b，即b＞c＞a．故选：A．12．（5分）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为（　　）A．1【答案】C【解答】解：y＝cos（2x+（2x+）＝﹣sin2x，）的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cosB．2C．3D．4在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为：3．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为 　﹣　．【答案】﹣．【解答】解：等比数列{an}中，8S6＝7S3，则q≠1，所以解得q＝﹣．＝7×，故答案为：﹣．14．（5分）若f（x）＝（x﹣1）2+ax+sin（x+【答案】2．【解答】解：根据题意，设f（x）＝（x﹣1）2+ax+sin（x+）＝x2﹣2x+ax+1+cosx，）为偶函数，则a＝　2　．若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝x2+2x﹣ax+1+cosx＝x2﹣2x+ax+1+cosx＝f（x），变形可得（a﹣2）x＝0在R上恒成立，必有a＝2．故答案为：2．15．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为 　15　．【答案】15．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由z＝3x+2y得y＝﹣x+，则表示直线在y轴截距，截距越大，z越大，结合图形可知，当直线y＝﹣x+经过点A时，z最大，联立可得A（3，3），此时z取得最大值15．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 　[2【答案】[2，2]．，2]　．【解答】解：设球的半径为R，当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R′为体对角线长AC1＝即2R′＝4，R′＝2，故Rmax＝2，＝4，分别取侧枝AA1，BB1，CC1，DD1的中点M，H，G，N，则四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG＝4，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径最小，即R的最小值为2，，2]．综上，球O的半径的取值范围是[2故答案为：[2，2]．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求bc；（2）若【答案】（1）bc＝1；（2）．＝＝2bc＝2，﹣＝1，求△ABC面积．＝2．【解答】解：（1）因为所以bc＝1；（2）所以﹣﹣＝＝﹣＝1，＝1，所以sin（A﹣B）﹣sinB＝sinC＝sin（A+B），所以sinAcosB﹣sinBcosA﹣sinB＝sinAcosB+sinBcosA，即cosA＝﹣，由A为三角形内角得A＝△ABC面积S＝bcsinA＝，＝．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；（2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1﹣BB1C1C的高．【答案】（1）证明见解答；（2）四棱锥A1﹣BB1C1C的高为1．【解答】解：（1）∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1，又BC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面 BCC1B1；（2）∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C⊂平面ACC1，∴BC⊥AC，BC⊥A1C，∵AB＝A1B，BC＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，∴A1C＝AC，∵A1C⊥底面ABC，AC⊂面ABC，∴A1C⊥AC，∴A1C2+AC2＝A1A2，∵AA1＝2，∴A1C＝AC＝∴A1C1＝，，过A1作A1O⊥C1C于O，∵A1C＝A1C1，∴O为CC1的中点，∴A1O＝C1C＝A1A＝1，由（1）可知A1O⊥平面 BCC1B1，∴四棱锥A1﹣BB1C1C的高为1．19．（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表；＜m对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K2＝P（K2≥k）0.100，0.0500.010≥mk【答案】（1）19.8．2.7063.8416.635（2）（i）中位数是23.4；列联表是＜m对照组试验组合计61420≥m14620合计202040（ii）有95%的把握认为有差异．【解答】解：（1）根据题意，计算试验组样本平均数为＝×（7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5）＝19.8．（2）（i）由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，…，所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以这组数据的中位数是m＝×（23.2+23.6）＝23.4；填写列联表如下：＜m对照组试验组合计61420≥m14620合计202040＝6.4＞3.841，（ii）根据列联表中数据，计算K2＝所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣，x∈（0，）．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）+sinx＜0，求a的取值范围．【答案】（1）f（x）在（0，）上单调递减；（2）（﹣∞，0]．，，【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝∴f′（x）＝＝＝，令t＝cosx，∵∴cos3x+cos2x﹣2＝t3+t2﹣2，∴t∈（0，1），＝（t﹣1）（t2+2t+2）＝（t﹣1）[（t+1）2+1]＜0，又cos3x＝t3＞0，∴f′（x）＝＝，∴f（x）在（0，）上单调递减；，x∈（0，），（2）设g（x）＝f（x）+sinx＝则，x∈（0，），＜0，∴g′（x）在（0，）上单调递减，若g（x）＝f（x）+sinx＜0，又g（0）＝0，则g′（0）＝a﹣1+1≤0，∴a≤0，当a＝0时，∵又x∈（0，∴当a＜0时，∵x∈（0，），∴0＜sinx＜1，0＜cosx＜1，∴，满足题意；），∴ax＜0，，，∴f（x）+sinx＝＜sinx＜＜0，满足题意；综合可得：若f（x）+sinx＜0，则a≤0，所以a的取值范围为（﹣∞，0]．21．（12分）已知直线x﹣2y+1＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，|AB|＝4．（1）求p；（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且【答案】（1）p＝2；（2）12﹣8．，•＝0，求△MFN面积的最小值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去x得：y2﹣4py+2p＝0，∴y1+y2＝4p，y1y2＝2p，Δ＝16p2﹣8p＞0，∴p（2p﹣1）＞0，∴p＞，|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4，∴16p2﹣8p＝48，∴2p2﹣p﹣6＝0，∴（2p+3）（p﹣2）＝0，∴p＝2，（2）由（1）知y2＝4x，所以F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2）由，可得y2﹣4my﹣4n＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，Δ＝16m2+16n＞0→m2+n＞0，因为即（，所以（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝0，my1+n﹣1）（my2+n﹣，将y1+y2＝4m，y2＝﹣4n，代入得4m2＝n2﹣6n+1，∴4（m2+n）＝（n﹣1）2＞0，所以n≠1，且n2﹣6n+1≥0，解得n≥3+22．或n≤3﹣1）+y1y2＝0，即 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝，|MN|＝＝|y1﹣y2|＝＝2|n﹣1|，×2＝所以△MNF的面积S＝|MN|×d＝×|n﹣1|，又2＝12﹣8或．，所以当n＝3﹣2时，△MNF的面积Smin＝（2﹣2）（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知点P（2，1），直线l：（t为参数），α为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，且|PA|•|PB|＝4．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．【答案】（1）α＝（2）ρ＝；．【解答】解：（1）直线l：+1，（t为参数）化为普通方程为y＝tanα（x﹣2）令x＝0，得y＝1﹣2tanα，令y＝0，得x＝2﹣，所以|PA|＝，|PB|＝，所以|PA||PB|＝整理得tan2α＝1，＝4，因为l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，所以tanα＜0，所以tanα＝﹣1，故α＝；（2）由（1）得y＝﹣（x﹣2）+1，即x+y﹣3＝0，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣3＝0，即ρ＝[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，函数f（x）＝2|x﹣a|﹣a．（1）求不等式f（x）＜x的解集；（2）若曲线y＝f（x）与x轴所围成的图形的面积为2，求a．【答案】（1）（，3a）．（2）a＝2．【解答】解：（1）∵a＞0，∴当x≥a时，f（x）＝2（x﹣a）﹣a＝2x﹣3a，当x＜a时，f（x）＝﹣2（x﹣a）﹣a＝﹣2x+a，则当x≥a时，由f（x）＜x得2x﹣3a＜x，x＜3a，此时a≤x＜3a，当x＜a时，由f（x）＜x得﹣2x+a＜x，x＞，此时＜x＜a，．综上＜x＜3a，即不等式的解集为（，3a）．（2）作出f（x）的图象如图：则A（，0），B（则△ABC的高h＝a，则S△ABC＝•a•a＝2，得a2＝4，即a＝2．，0），C（a，﹣a），则|AB|＝﹣＝a，