2023年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2024年3月18日发(作者：2年级青岛数学试卷上册)

2023

年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷

1.

若集合

A.

2.

已知

A.

5

3.

等比数列

A.

B.

，且

，，则

( )

C. D.

等于

( )

，其中

i

是虚数单位，则

B.

的前

n

项和为

C.

，若，

或

1

D.

1

，则公比

q

的值为

( )

B.

1

C. D.

或

1

4.

如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥．如图是根据如图作的简易侧视图为便于计

算，侧视图与实物有区别在侧视图中，斜拉杆

PA

，

PB

，

PC

，

PD

的一端

P

在垂直于水平

面的塔柱上，另一端

A

，

B

，

C

，

D

与塔柱上的点

O

都在桥面同一侧的水平直线上．已知

，，，

，则

( )

根据物理学知识得

A.

28m

5.

已知实数

A.

6.

已知函数

，则

B.

20m

，，则

C.

31m

的取值范围是

( )

D.

22m

B.

的定义域为

R

，且

( )

C.

为偶函数，

D.

，若

A.

1

7.

已知

交点，则

( )

B.

2

，

C.

的一条切线

D.

与有且仅有一个

A.

C.

，

，

B.

D.

，

，

其中半正多面体是

8.

有很多立体图形都体现了数学的对称美，

由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其

最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体

.

如图，这是

第1页，共19页

一个棱数为

24

，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可

以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得

.

若点

E

为线段

BC

上的动点，则直线

DE

与直

线

AF

所成角的余弦值的取值范围为

( )

A. B.

，

C.

，则

( )

D.

9.

已知事件

A

，

B

满足

A.

若，则

B.

若

A

与

B

互斥，则

D.

若，则

A

与

B

相互独立

，且

，则

( )

的极大

C.

若

A

与

B

相互独立，则

10.

已知随机变量

X

的概率密度函数为

值点为，记，

A.

C.

11.

下列说法中，其中正确的是

( )

A.

命题：“

B.

化简

C.

D.

在三棱锥

的中点，且

中，

，则三棱锥

，

的结果为

2

…

B.

D.

”的否定是“，”

，

的外接球

O

的体积为

，点

D

是侧棱

PB

12.

同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链

;

空旷的田野上，两根电线杆之间的电线

;

峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索

.

这些现象中都有相似的曲线形态

.

事实上，这些曲

线在数学上常常被称为悬链线

.

悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用

.

在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为

理数，对于函数

是函数

是函数

，那么

，那么函数

且与圆

C

：

以下结论正确的是

( )

其中

a

，

b

是非零常数，无

A.

B.

C.

如果

D.

如果

为偶函数的充分不必要条件

;

为奇函数的充要条件

;

为单调函数

;

存在极值点

.

相切的直线方程为

______ .

13.

过点

第2页，共19页

14.

数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明

.

四平方和定理

的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数

设

自然数，则满足条件的有序数组的个数是

______ .

的焦点为

F

，过点

F

的直线交抛物线

C

于

若过点

A

，

B

的圆与直线

l

相切，且与直线

PB

交

，其中

a

，

b

，

c

，

d

均为

15.

已知直线

l

：，抛物线

C

：

A

，

B

两点，点

B

关于

y

轴对称的点为

于点

Q

，则当时，直线

AB

的斜率为

______ .

，，，

16.

三个元件

a

，

b

，

c

独立正常工作的概率分别是

把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒

法中，此电路正常工作的最大概率是

______ .

，，中一盒接一个元件，各种连接方

17.

已知函数

象如图所示

.

求函数

把

的表达式；

的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

个单位，得到函数

在一个周期内的图

纵坐标不变，再把得到的图象向

的图象，若，求函数下平移一个单位，再向左平移

的值域

.

18.

已知数列

求

求

，

，满足，且是公差为

1

的等差数列，

是公比为

2

的等比数列．

的通项公式；

的前

n

项和

第3页，共19页

19.

某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行

PK

，胜者晋级决赛，败者终止比

赛

.

比赛最多有三局，第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答

.

比赛双方首先各自进

行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，

则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局

.

已

知甲、乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率

分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，，抢答局获胜的概率为，且各局

比赛相互独立

.

求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；

已知乙最后晋级决赛，但不知甲、乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决

赛的概率

.

20.

如图，在四棱锥

中点

E

，作

证明：

若

；

中，侧棱矩形

ABCD

，且，过棱

PC

的

交

PB

于点

F

，连接

DE

，

DF

，

BD

，

，平面

DEF

与平面

ABCD

所成二面角的大小为，求的值

.

21.

已知

求

C

的方程；

，为双曲线

C

的焦点，点在

C

上

.

点

A

，

B

在

C

上，直线

PA

，

PB

与

y

轴分别相交于

M

，

N

两点，点

Q

在直线

AB

上，若

，

点及定值；若没有，请说明理由

.

，是否存在定点

T

，使得为定值？若有，请求出该定

22.

已知函数

设函数

①

②记

若

l

的方程

.

，其中

，证明：

有且仅有一个极小值点；

是的唯一极小值点，则

，直线

l

与曲线

；

相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线

第4页，共19页

答案和解析

1.

【答案】

D

【解析】解：

则

故选：

直接解出集合

M

，

N

，再求交集即可．

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．

，，

2.

【答案】

B

【解析】解：由

，

故

故选：

利用复数乘法法则进行计算，得到，再使用模长公式求解．

得，即，解得

本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．

3.

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的通项公式及其前

n

项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用等比数列的通项公式及其前

n

项和公式即可得出．

【解答】

解：设等比数列

，

当时，

的公比为

q

，

，

，符合题意，

当时，有

解得

故选：

第5页，共19页

4.

【答案】

D

【解析】解：由

则

即

又已知

则

即

则

故选：

由

即

，则

，然后结合已知求解即可．

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了运算能力，属基础题．

5.

【答案】

A

【解析】解：根据题意，设直线

l

：恒过原点，点，

那么点到直线

l

的距离为：，

，且直线

l

的斜率因为，，所以，

当直线

l

的斜率不存在时，

所以

当

所以

，

时，

，即，

，

，

第6页，共19页

因为，

所以

故选：

根据题意设直线

l

：

离为

，点，利用点到直线的距离公式得点

A

到直线

l

的距

，由得，化简即可求解．，由直线

l

的斜率不存在得

本题主要考查点到直线的距离公式，属于中档题．

6.

【答案】

A

【解析】解：因为

所以

设，

为偶函数，所以

，则关于对称，

，关于对称，

，

，所以

即

所以

故选：

设，满足题意，即可求解．

符合条件，

，

本题主要考查函数奇偶性的性质，函数值的计算，考查运算求解能力，属于中档题．

7.

【答案】

A

【解析】解：由

设切点

过切点的切线方程为

把

的一条切线

，即

即，

代入并整理，可得

与有且仅有一个交点，

，

，则

，得

，

，①

，

，代入①，可得切线方程为

第7页，共19页

故选：

求出原函数的导函数，得到函数在切点处的切线方程，与已知切线方程联立，可得关于

x

的一元

方程，由方程有唯一解求得

t

，得到切线方程，则

k

与

b

可求．

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，设切点是关键，是中档

题．

8.

【答案】

C

【解析】解：如图，

建立如图所示空间直角坐标系，则

，

则

，

，设

，，，

，

，

，

当

当

时，

时，，

，可得直线

DE

与直线

AF

所成角的余弦值的取值范围为

故选：

把多面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，再由空间向量求解．

本题考查空间中异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是

第8页，共19页

中档题．

9.

【答案】

BD

【解析】解：对于

A

，因为

所以

，，，

，故

A

错误；

对于

B

，因为

A

与

B

互斥，

所以

对于

C

，因为

所以

所以

对于

D

，因为

所以

又因为

所以，

，

，

，故

C

错误；

，即

，

，

，

，故

B

正确；

所以

A

与

B

相互独立，故

D

正确．

故选：

对于

A

，由题意可得，从而即可判断；

对于

B

，由互斥事件的概率计算公式计算即可；

对于

C

，先求得

对于

D

，判断

，再根据独立事件的计算公式计算即可；

是否成立即可．

本题主要考查条件概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．

10.

【答案】

BCD

【解析】

【分析】

本题考查了概率密度函数，以及正态分布的概率计算，属中档题

.

利用随机变量

X

的概率密度函数可得到

在上递增，在上递减，即

对称，可判断

，可判断

A

；利用复合函数单调性可得

的极大值点为，故可判断

B

；根据密

度曲线关于

【解答】

解：对于

A

，由随机变量

X

的概率密度函数为可得，

第9页，共19页

因为，所以，所以随机变量

X

服从正态分布

在上递增，在

，故

A

错误；

上递减，对于

B

，因为二次函数

由函数在上单调递增，

根据复合函数的单调性可得

减，

所以

B

正确；

对于

C

，因为

又

对于

D

，因为

所以

故选：

，所以

，

，故

D

正确；

，，

，即

的极大值点为，所以

在上递增，在上递

，所以随机变量

X

服从正态分布，故

，故

C

正确；

，

11.

【答案】

BCD

【解析】解：

A

：命题：“

故

A

错；

B

：

C

：

D

：如图所示，

…

，故

B

正确；

，故

C

正确；

，”的否定是“，”，

由，，则

，易知：

，得

平面

PAB

，所以

，

，得，

，由

D

是

PB

的中点，

又

又

，所以

，

AP

，

为等边三角形且

平面

设球心为

O

且在过

，

中心垂直于面

PAB

的垂线上，点

O

到底面

PAB

的距离为

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