考研管综复习全面公式手册(电子版)

2023年12月29日发(作者：长春师大附中初二数学试卷)

管理类联考初等数学必备公式祝各位学子一研为定目 录一、整除的特征 ............................................... 1

二、绝对值 ................................................... 1

三、比和比例 ................................................. 2

四、整式和分式 ............................................... 2

五、指数函数与对数函数 ....................................... 3

六、方程 ..................................................... 4

七、均值不等式 ............................................... 7

八、数列 ..................................................... 7

九、数据分析 ................................................. 9

十、平面几何 ................................................ 11

十一、空间几何体 ............................................ 15

十二、平面解析几何 .......................................... 16

................................................ 10

十三、应用题

1

一、整除的特征

能被2整除的数：个位为0，2，4，6或8；

能被3（或9）整除的数：各数位的数字之和能被3（或9）整除；

能被4（或25）整除的数：末两位数字能被4（或25）整除；

能被8（或125）整除的数：末三位数能被8（或125）整除；

能被11整除的数：从右向左，奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被11整除；

二、绝对值

1.性质设a，b为实数，则（1）非负性：|a|0

（2）对称性：|a||a|

（3）等价性：|a|2a2（或|a|a2）

（4）|ab||a||b|

（5）a|a|（b0）b|b|（6）基本不等式：|a|a|a|

（7）三角不等式：|a||b||ab||a||b|

2.绝对值函数图像函数 图像 最值特征

abab形状似凹槽，最小值在凹槽底部一段区间取得：y|xa||xb|ymin=|ab|无最大值

2

形状似如

y|xa||xb|abab“”或“”

ymaxymin|ab||ab|三、比和比例

以下各式中均设分母不为0，

（1）比的基本性质：aka（k0）bkbacadbcbdana1a2anaia1a2（3）等比定理：b1b2bnb1b2bnbi（2）比例的基本性质：（i1,2,,n且b1b2bn0）

四、整式和分式

1.乘法公式（1）平方差公式：(ab)(ab)a2b2（2）完全平方公式：(ab)2a22abb2（3）三个数和的平方：(abc)2a2b2c22ab2bc2ca222（4）完全平方公式变式：abcabbcca1222(ab)(bc)(ca)2（5）立方和公式：a3b3(ab)(a2abb2)（6）立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2)（7）完全立方公式：(ab)3a33a2b3ab2b32.余式定理3

r(x)的幂次应低于除式xa的幂次，用xa去除f(x)可得f(x)(xa)h(x)r(x)，故r(x)应为常数C，当xa时，常数Cf(a)。

3.因式定理)0时，用xa去除f(x)可得f(x)(xa)h(x)r(x)；当r(x可得f(a)0，故xa是方程f(x)0的一个根。

五、指数函数与对数函数

1.指数运算的意义对ab，①b为正整数时，表示b个a相乘

②b为负整数时，若a0，即为③b0时，若a0，a01④b11b，表示个相乘

aban，若m，n为整数，当m0，abman（a的取值应使此式有意m义）

2.指数运算法则（1）axayaxy（2）axayaxy（3）(ax)yaxy（4）axbx(ab)x3.对数运算法则（1）loga10，logaa1n（2）logam(x)nlogaxm（3）logaxlogayloga(xy)4

x（4）logaxlogaylogay（5）换底公式：logaxlogbxlgxlnxlogxx1=logbalgalnalogxalogxa4.指数函数与对数函数类型

形式

指数函数

对数函数

yax（a0且a1）

ylogax（a0且a1）

图像

定义域

值域

定点

R(0,)(0,)R(0,1)当a1时，在区间(,)上单调递增(1,0)当a1时，在区间(0,)上单调递增当0a1时，在区间(0,)上单调递减单调性

当0a1时，在区间(,)上单调递减

x(,0)时，底数越大越靠下，底数越小越靠上；

性质

x(0,1)时，底数越大越靠上，底数越小越靠下；

x[0,)时，底数越大越靠上，底数越小越靠下。

x[1,+)时，底数越大越靠下，底数越小越靠上。

六、方程

1.方程axb0解的情况（1）当a0时，方程有唯一解xba5

（2）当ab0时，方程有无穷多解

（3）当a0，b0时，方程无解

a1xb1yc12.二元一次方程组解的情况

axbyc222（1）当a1:a2b1:b2时，方程组有唯一解

（2）当a1:a2b1:b2c1:c2时，方程组有无穷多解

（3）当a1:a2b1:b2c1:c2时，方程组无解

3.一元二次方程（1）求根公式

x1,2bb24ac（b24ac0）

2a（2）根的判定

b24ac称为一元二次方程根的判别式，①当0时，方程无实根②当0时，方程有两个相等的实根③当0时，方程有两个不相等的实根④当0时，方程有实根（3）韦达定理及其应用

bxx12axxc12a11x1x2①x1x2x1x2②x12x22(x1x2)22x1x2(x1x2)22x1x211③22x1x2x12x226

2④|x1x2|(x1x2)4x1x2|a|⑤x13x23(x1x2)(x12x1x2x22)(x1x2)[(x1x2)23x1x2]（4）根的分布问题

①零点定理若f()f()0，存在x0(,)，使得f(x0)0.

②根的分布设f(x)ax2bxc（a0），b24ac，方程有两实根x1，x2（x1x2），其根的分布情况如下，

分布情况

两根在x0的两侧

（x1x0x2）

图像（a0）成立条件

af(x0)0两根在x0的同侧

（x1x2x0）

0

bx02aaf(x0)0两根在区间(,)内

（x1x2）

0

b2aaf()0af()0两根在区间(,)两侧

且x1x2af(

)0af()07

一根在区间(,)内，另一根在区间(,)内，且

)0af(af()0af()0af()0七、均值不等式

1.当x1，x2，，xn为n个正实数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，

x1x2xnnx1x2xn（xi0,i1,,n）

n当且仅当x1x2xn时，等号成立。

(ab)22.ab2ab，ab（a，b0）43.

a12（a0）

a八、数列

1.已知递推公式，求anCn1C（1）待定系数法

ana1AA1A1（2）累加法

anf(k)a1i1n1i1n1（3）累乘法

ana1f(k)2.已知an，求Sn（1）倒序相加法

（2）错位相减法

（3）裂项相加法

（4）分组求和法

8

3.已知Sn，求anSnSn1 ，n2an ，n1a1S14.等差数列与等比数列的常用公式等差数列

定义

等比数列

an1and（d常数）基本公式

an1q（q0）

anana1(n1)d通项公式

anam(nm)da1若ann，则dana1qn1anamqnm求和公式

n(a1an)n(n1)Snna1d22aABddSn=n2a1An2Bn，122d2Ana1Sna1anqa1(1qn)1q1q(q1) (q1)nSnq若，则a1q0中项公式

位项定

差（比）

ananmanm2anamnm基本性质

an2anmanmqnmanamd设{an}、{bn}、均为等差数列，公差分设{an}、{bn}均为等比数列，公比分别别为d、，、为常数，n、m、k、为q、p，（0）为常数，n、m、l为正整数性质一

性质二

k、l为正整数

nmklanamakalan、ank、an2k

是公差为kd的等差数列

nmklanamakalan、ank、an2k

是公比为qk的等比数列

9

性质三

Sn、S2nSn、S3nS2n

是公差为n2d的等差数列

Sn、S2nSn、S3nS2n

是公比为qn的等比数列

若qp，则anbn是公比为q的

等比数列（anbn0）

性质四

anbn是公差为d的等差数列

An，Bn分别为数列{an}，

性质五

an是公比为q的等比数列

11是公比为的等比数列

qanaA{bn}的前n项和，则n2n1bnB2n1当项数是2n：

S偶S奇=ndanbn是公比为qp的等比数列

S偶性质六

S奇当项数是2n1：

=an1，

anS奇S偶=anS偶S奇=n1，

n九、数据分析

1.排列组合公式组合公式

mAnn(n1)(n2)(nm1)CmAmm!mn排列公式

mAnn(n1)(n2)(nm1)n!(nm)!0nCnCn11n1CnCnn0nn!An1；Ann1n1Ann!Ann；AnmnmCnCnmnm一般An（mAn1n时，等号成立）

22.典型计数问题的常用方法常见问题

对象较少

规律性较强

方法

穷举法

归纳法

10

限定位置

相邻

不相邻

分组（相同元素）

分组（不同元素）

错排

涂色

数字

几何

优先法

捆绑法

插空法

隔板法

逐组挑选法

熟记错排数

计数原理

计数原理

画图+计数原理

错排数：

元素个数

方法数

243

概率

（1）P(A)1P(A)（2）对任意事件A，B，则P(AB)P(A)P(AB)

（3）对任意事件A，B，则P(AB)P(A)P(B)P(AB)对任意事件A，B，C，则

P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)（4）独立事件

若事件A和事件B的发生互不影响，则称事件A和事件B相互独立，有P(AB)P(A)P(B).

独立事件A和事件B至少有一个发生的概率为P(A（5）古典概型

若样本空间中基本事件（样本点）总数为m，事件A包含的基本事件数为n，则B)1P(A)P(B).

P(A)n.

m（6）伯努利概型kkPnkCnp(1p)nk，k0,1,2,,n.11

4.方差与标准差（1）平均值

xx1x2xnn（2）方差

1S2D(x)[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]n1S2D(x)[x12x22xn2nx2]n（3）标准差

SD(x)1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]n十、平面几何

1.三角形的性质（1）三角形的内角之和为180

（2）三角形的外角等于与之不相邻两个内角之和

（3）三角形中大边对大角、小边对小角、等边对等角

（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

2.三角形的五线四心（1）五线

①垂线（高）从三角形的顶点向其对边或对边的延长线作垂线段。②中线三角形的顶点与其对边中点的连线。③角平分线④中垂线（垂直平分线）⑤中位线三角形两条边中点的连线段称为第三边对应的中位线。三角形的中位线平行于第三12

∥1BC。

边，且其长度等于第三边的一半，即图中DE—2（2）四心

名称

定义

图示

性质

垂心

三边上高或它们的延长线的交点

重心将中线为长度2:1的重心

三边上中线的交点

线段。

内心（内切三个内角平分线的圆的圆心）

交点

1.内心到三边距离相等。12.SABCr(abc)2外心（外接圆的圆心）

三条边的中垂线（垂直平分线）相交于一点

1.外心到三个顶点距离相等。2.外接圆半径为R=abc4S3.三角形的面积公式11（1）S=ahabsinC22p(pa)(pb)(pc)，式中h是边a上的高，C是边a和b的夹角，pabc，p为半周长。

2（2）若两个三角形相应底边上的高相等，则它们的面积之比等于相应底边长之比；若两个三角形相应底边相等，则它们的面积之比等于相应底边上高之比。

13

应用：

①公用顶点，则S1:S2:S3a:b:c。②若l1//l2，则SABC1SABC2，且SAOC1SBOC2。

4.特殊三角形（1）直角三角形

常用勾股数：(3,4,5)；(5,12,13)；(7,24,25)；(8,15,17)；(9,12,15)；(9,40,41).

等腰直角三角形三边之比：1:1:2.

内角为30，60，90的三角形的三边之比为：1:3:2.

（2）等边三角形（设边长为a）

面积S3233a；高ha；外接圆半径Ra.423（3）几个特殊的倾角和斜率值

ktan006432不存在

33135.三角形相似（1）判定

三边长对应成比例两三角形相似一角对应相等，其邻边对应成比例。

两角对应相等14

（2）性质

两个相似三角形内对应线段（边、高、中线等）的长度成比例，其值等于相似比；

两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方；

两个相似三角形的三个角对应相等。

（3）常见形式

（4）射影定理

若ABC为直角三角形，ABAC，AD是BC边上的高，则ABC~DBA~DAC，ABACADBC2ADBDCD.

故2ABBDBCAC2CDBC6.平面几何的公式图形 图例 公式 性质

梯形一组对边平行，另一组对边不平行

等腰梯形两条腰长、对角线、底角相等

梯形

直角梯形一条腰垂直于底

1S(ab)h21梯形中位线(ab)2平行四边形

Sah两组对边分别平行一组对边平行且相等平行两组对边分别相等四边形两组对角分别相等两条对角线相互平分C2(ab)矩形

Sab内角均为90的四边形矩形一个内角为90的平行四边形两条对角线等长的平行四边形15

菱形

1Sab2四边等长的四边形菱形一组邻边相等的平行四边形两条对角线相互垂直的平行四边形正方形

C4aSa2正方形具有矩形和菱形的一切性质及其面积计算公式。

C2rd圆形

（1）同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角。

（2）垂直于弦的直径平分弦和弦所对的弧。

1Srd242扇形

11Srlr222nr2360lr2rno360o十一、空间几何体

图形 图例

（1）体积：Vabc

（2）全面积：S2(abbcac)长方体

（3）所有棱长和：l4(abc)（4）体对角线：da2b2c2（5）外接球半径：2Ra2b2c2注意：当abc时，为正方体

（1）体积：Va3（2）全面积：S6a2（3）所有棱长和：l12a正方体 （4）体对角线：d3a（5）外接球半径：2R3a（6）内切球半径：2Ra公式

16

球体

43（1）体积：VR3（2）面积：S4R2（3）内接长方体：2Ra2b2c2（1）体积：Vr2h（2）侧面积：S侧2rh（3）全面积：S2rh2r2圆柱体

（4）体对角线：l(2r)2h2（5）外接球半径：2R(2r)2h2（6）内切球半径：2Rh2r十二、平面解析几何

1.两点间距离公式两点A(x1,y1)与B(x2,y2)的距离：|AB|(x1x2)2(y1y2)2.

2.直线方程一般式：AxByC0；（A2B20）

斜截式：ykxb

点斜式：yy0k(xx0)xy1（a0且b0）

abyy2xx2两点式：y1y2x1x2截距式：3.点关于点（直线）的对称点（1）P(x0,y0)关于原点的对称点为(x0,y0)，关于x轴的对称点为(x0,y0)，关于y轴的对称点为(x0,y0)（2）P(x0,y0)关于直线yx的对称点为(y0,x0)，

关于直线yx的对称点为(y0,x0)，

关于直线yxm的对称点为(y0m,x0m)，

17

关于直线yxm的对称点为(my0,mx0)关于直线xa的对称点为(2ax0,y0)关于直线yb的对称点为(x0,2by0)4.两条线的位置关系（设不重合的两条直线）直线形式

位置关系

截距式 一般式

l1:yk1xb1l2:yk2xb2l1:a1xb1yc10l2:a2xb2yc20a1b1c1a2b2c2平行l1//l2相交

垂直l1l2（相交的特殊情况）

k1k2,b1b2k1k2a1b1a2b2a1a21a1a2b1b20b1b2k1k215.点(x0,y0)到直线AxByC0的距离

d|Ax0By0C|A2B26.两直线关于直线对称直线axbyc0关于直线AxByC0对称的直线方程为

axbyc2aA2bB2AxByCAB27.直线与圆的位置关系直线与圆位置关系 图形

成立条件

（几何表示）

相离

dr相切

dr18

相交

dr8.两圆的位置关系圆O1:(xx1)2(yy1)2r12；圆O2:(xx2)2(yy2)2r22；d为圆心(x1,y1)与(x2,y2)的圆心距.

两圆的位置关系

图形

成立条件

（几何表示）

公切线条数 交点

外离

dr1r24 0

外切

dr1r23 1

相交

|r1r2|dr1r22 2

内切

d|r1r2|1 1

内含

d|r1r2|0 0

十三、应用题

1.行程问题（1）基本公式：路程速度时间

19

（2）相遇问题

速度分别为v1，v2的两个物体相向运动时，其相对速度为v1v2。（3）追及问题

追及路程追及时间速度差。

（4）行船问题

顺水船速静水船速水流速度，逆水船速静水船速水流速度。

2.工程问题（1）基本公式：工程量工效时间。

※工程总量通常设为1，此时工效和时间互为倒数。（2）重要结论

若甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，则

①甲的效率为11，乙的效率为；

ab②甲、乙合作的效率为11ab1③甲、乙合作完成需要的时间为11ababab3.浓度问题（1）基本公式（以液体为例）

溶液量溶质量溶剂量；溶质量浓度溶液量。※溶质是浓度问题的计算标准（2）溶液配制问题（平均量混合问题）

十字交叉法是解决平均量混合问题的常用方法，溶液配制是一类典型的平均量混合问题，模型如下：

部分平均量

整体平均量

a交叉作差

最简比值

rbrbAr=

ararbB注：①比值由平均量的分母决定；②化为最简整数比

实际量

a的分母

=

b的分母

4.利润问题基本公式：利润收入成本，利润利率成本。20

5.增长率问题（1）基本公式

某变量从a值增长到b值，则其增长率为bab1，可变形为ba(1)。若aaab，则为负值称为下降率或负增长率。（2）某变量在a值基础上连续增长了n次，其各次增长率分别为1，2，，n，则其终值ba(11)(12)(1n)（3）某变量在a值基础上连续增长了n次，其各次增长率不变为，其终值ba(1)n，则称为平均增长率

※平均增长率(11)(12)(1n)1（1是(11)(12)(1n)的几何n平均值）或nb1.a6.容斥问题（1）NABNANBNAB。

（2）NABCNANBNCNABNBCNACNABC。

（3）NABCNANBNCNaNbNc2NABC21

※计算过程要做到不重不漏，每个数只计一次。22