高等数学练习题(附答案)

2023年12月2日发(作者：甘肃省一模数学试卷分析)

《高等数学》

专业年级学号姓名

一、判断题.

将√或×填入相应的括号内.〔每题2分,共20分

〔 1. 收敛的数列必有界.

〔 2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量.

〔 3. 闭区间上的间断函数必无界.

〔 4. 单调函数的导函数也是单调函数.

〔 5. 若f(x)在x0点可导,则f(x)也在x0点可导.

〔 6. 若连续函数yf(x)在x0点不可导,则曲线yf(x)在(x0,f(x0))点没有切线.

〔 7. 若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上连续.

〔 8. 若zf(x,y)在〔x0,y0处的两个一阶偏导数存在,则函数zf(x,y)在〔x0,y0处可微.

〔 9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.

〔 10. 设偶函数f(x)在区间(1,1)内具有二阶导数,且

f(0)f(0)1, 则f(0)为f(x)的一个极小值.

二、填空题.〔每题2分,共20分

1. 设f(x1)x,则f(x1).

21 / 25 2. 若f(x)21211x1x,则lim.

x03. 设单调可微函数f(x)的反函数为g(x),

f(1)3,f(1)2,f(3)6则g(3).

4. 设uxy2x, 则du.

y35. 曲线x6yy在(2,2)点切线的斜率为.

26. 设f(x)为可导函数,f(1)1,F(x)f()f(x),则F(1).

1x7. 若f(x)0t2dtx2(1x),则f(2).

8.

f(x)x2x在[0,4]上的最大值为.

9. 广义积分0e2xdx.

225y1xdxdy.

D10. 设D为圆形区域xy1,三、计算题〔每题5分,共40分

1. 计算lim(n111).

222n(n1)(2n)23102. 求y(x1)(x2)(x3)(x10)在〔0,+内的导数.

3. 求不定积分1x(1x)dx.

4. 计算定积分0sin3xsin5xdx.

3225. 求函数f(x,y)x4x2xyy的极值.

6. 设平面区域D是由yx,yx围成,计算Dsinydxdy.

y2 / 25 7. 计算由曲线xy1,xy2,yx,y8. 求微分方程yy3x围成的平面图形在第一象限的面积.

2x的通解.

y四、证明题〔每题10分,共20分

1. 证明：arctanxarcsinx1x2(x).

2. 设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)0,

证明：方程F(x)0在区间(a,b)内有且仅有一个实根.

《高等数学》参考答案

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内〔每题2分,共20分

1.√ ；2.× ；3.×； 4.× ；5.×； 6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ；10.√.

二、 填空题.〔每题2分,共20分

21.x4x4； 2. 1； 3. 1/2； 4.(y1/y)dx(xx/y)dy；

25. 2/3 ； 6. 1 ； 7.

336 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.

三、计算题〔每题5分,共40分

1.解：因为

11n1(2n)2n2(n1)21n1

(2n)2n2且

lim由迫敛性定理知：

lim(nn1n10lim,=0

n(2n)2nn2111)=0

222n(n1)(2n)2.解：先求对数lnyln(x1)2ln(x2)10ln(x10)

3 / 25 3.解：原式=211xdx

=211(x)2dx

=2arcsin4.解：原式=xc

0sin3xcos2xdx

32 =2020cosxsinxdx2cosxsinxdx

32 =sinxdsinx322sinxdsinx

32222 =[sin2x]0[sin2x]

552 =4/5

25.解：fx3x8x2y0fy2x2y0

55 故

x0x2 或

y0y2当

x0(0,0)2,fxy(0,0)2

(0,0)8,fyy时fxxy0(8)(2)220 且A=80

〔0,0为极大值点 且f(0,0)0

当

x2(2,2)2,fxy(2,2)2

(2,2)4,

fyy时fxxy24 / 25 4(2)220无法判断

6.解：D=(x,y)0y1,y2xy

1ysiny1sinysinydxdydy2dx=[x]ydy

y20y0yyyD =(sinyysiny)dy

011 =[cosy]010ydcosy

10 =1cos1[ycosy] =1sin1

7.解：令uxy,v2cosydy

01y；则1u2,1v3

x8.解：令

yu,知(u)2u4x

2 由微分公式知：uye2dx(4xe2dxdxc)

四.证明题〔每题10分,共20分

1.解：设

f(x)arctanxarcsinx1x22

1f(x)21x11x1x221x1x2x21x2=0

令x0f(0)0002.解：F(x)在[a,b]上连续

且

F(a)c0 即：原式成立。

abb1dt<0,F(b)f(t)dt>0

af(t)5 / 25 故方程F(x)0在(a,b)上至少有一个实根.

又

F(x)f(x)1f(x)0

f(x)即

F(x)在区间[a,b]上单调递增

F(x)在区间(a,b)上有且仅有一个实根.

《高等数学》

专业学号姓名

一、判断题〔对的打√,错的打×；每题2分,共10分

1.f(x)在点x0处有定义是f(x)在点x0处连续的必要条件.

2. 若yf(x)在点x0不可导,则曲线yf(x)在(x0,f(x0))处一定没有切线.

3. 若f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上不可积,则f(x)g(x)在[a,b]上必不可积.

4. 方程xyz0和xyz0在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.

2225. 设y是一阶线性非齐次微分方程的一个特解,y是其所对应的齐次方程的通解,则

*yyy*为一阶线性微分方程的通解.

二、填空题〔每题2分,共20分

1. 设f(3x)2. 设f(x)2x1,f(a)5,则a.

ln(12x),当f(0)时,f(x)在点x0连续.

arcsin3xt3. 设f(x)limx(1)1t2xt,则f(x).

6 / 25 4. 已知f(x)在xa处可导,且f(a)A,则lim5. 若2f(x)cosx6. 若f(x),h0f(a2h)f(a3h).

hd[f(x)]2,并且f(0)1,则f(x).

dxf(x)g(x)(axb),

g(x)在点b左连续,且f(b)g(b),则f(x)与g(x)大小比较为f(x)g(x).

7. 若ysinx,则2dydy；.

2d(x)dx8. 设f(x)9. 设zex2y1,则f().

lntdtx22x,则dz(1,1).

f(x2y2)dy化为极坐标下的累次积分为.

10. 累次积分R0dxR2x20三、计算题〔前6题每题5分,后两题每题6分,共42分

1.

limx0sinx0x(1t)dt1tt0sintdt2sinxcosxe2xy; 2. 设yln ,求; 3.

1sin2xdx;

e2x14.

20x24xdx; 5. 设zz2z, 求 .

,22yxyxyx6. 求由方程2yx(xy)ln(xy)所确定的函数yy(x)的微分dy.

7. 设平面区域D是由yx,yx围成,计算Dsinydxdy.

yx18. 求方程ylnydx(xlny)dy0在初始条件ye下的特解.

四、〔7分

已知f(x)xaxbx在x1处有极值2,试确定系数a、b,并求出所有的极大327 / 25 值与极小值.

五、应用题〔每题7分,共14分

1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为10(km/h)时,燃料费为每小时6元,而其它与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时, 每航行1km所消耗的费用最小？

2. 过点(1,0)向曲线y绕y

轴旋转所得旋转体的体积.

x2作切线,求：〔1切线与曲线所围成图形的面积；〔2图形六、证明题〔7分

设函数f(x)在0xa上的二阶导数存在,且f(0)0,f(x)0. 证明g(x)f(x)在0xa上单调增加.

x高等数学参考答案

一、判断题1.√； 2.×； 3.√ ； 4.× ； 5.√.

二、填空题

1. 36 ； 2.

7.

cosx,222x； 3.

4(1x)e； 4.

5A； 5.

1sinx； 6.；

322xcosx； 8.

ln2； 9.

2dxdy； 10.df(rcos2)rdr.

200R三、计算题

8 / 25 1. 原式lim(1sinx)cosx

x0xsinx1sinx2.y1ee2x2xe2x22x1e112e2x(e2x1)e2x2e2x

2x2(e1)3．原式=sinxcosx(sinxcosx)2dx

4．设

x2sint 则dx2costdt

 原式=204sin2t2cost2costdt

xz5．y2y2x2y2x2y2xy(x2y2)32

6．两边同时微分得：

即

2dydxln(xy)dxln(xy)dy(dxdy)

故

dy2ln(xy)dx

3ln(xy)〔本题求出导数后,用dyydx解出结果也可

7．1ysinysinydxdydydx

0y2yyD8．原方程可化为

dx11x

dyylnyy1 通解为

xeylnydyylnydy1[edyC]

y1yx1e代入通解得

C1

9 / 25 故所求特解为：

(lny)2xlny10

2四、解：f(x)3x22axb

因为f(x)在x1处有极值2,所以x1必为驻点

故

f(1)32ab0

又

f(1)1ab2

解得：

a0,3b3

2于是

f(x)x3xf(x)3(x1)

由f(x)0 得

x1,从而

f(1)60 , 在x1处有极小值f(1)2

f(1)60 ,在x1处有极大值f(1)2

五、1.解：设船速为x(km/h),依题意每航行1km的耗费为

又x10 时,k106 故得k0.006, 所以有

3y令

y1(0.006x396),x(0,)

x0.0123(x8000)0, 得驻点x20

x2 由极值第一充分条件检验得x20是极小值点.由于在(0,)上该函数处处可导,且只有唯一的极值点,当它为极小值点时必为最小值点,所以求得船速为20(km/h)时,每航行1km的耗费最少,其值为ymin0.006202967.2〔元

2010 / 25 2.解：〔1设切线与抛物线交点为(x0,y0),则切线的斜率为2y0,

x01又因为yx2上的切线斜率满足2yy1,在(x0,y0)上即有2y0y1

所以2y0y0x01

1,即2y0x012又因为(x0,y0)满足y0x02,解方程组

2x032y0x01 得

2y01y0x02所以切线方程为

y1(x1)

2则所围成图形的面积为：

〔2图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为：

六、证：

[f(x)xf(x)f(x)xf(x)[f(x)f(0)]

]22xxx在[0,x]上,对f(x)应用拉格朗日中值定理,则存在一点(0,x),使得

代入上式得

[f(x)xf(x)f()

]2xx由假设f(x)0知f(x)为增函数,又x,则f(x)f(),

于是f(x)f()0,从而[f(x)f(x)]0,故在(0,a)内单调增加.

xx《高等数学》试卷

专业学号姓名

一、填空题〔每小题1分,共10分

1．函数yarcsin1x211x2的定义域为_______________。

11 / 25 2．函数yxe 上点〔 ０,１ 处的切线方程是______________。

x3．设f(x)在x0可导且f(x0)A,则limh0f(x02h)f(x03h)＝ _______。

h4．设曲线过(0,1),且其上任意点(x,y)的切线斜率为2x,则该曲线的方程是_________。

5．x1x4dx＝_____________。

x６．limxsin1＝___________。

x 7．设f(x,y)sinxy,则fx(x,y)＝____________。

8．累次积分R0dxR2x20f(x2y2)dy化为极坐标下的累次积分为________。

d3y3d2y29．微分方程3(2)0的阶数为____________。

dxxdx 10．设级数

an1n发散,则级数

n1000an _______________。

二、单项选择题〔在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的〔 内,〔1～10每小题1分,11～17每小题2分,共24分

1．设函数f(x) ①11,g(x)1x,则f(g(x))＝ 〔

x111 ②1 ③ ④ｘ

xx1x11 是 〔

x2．x0 时,xsin ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量

3．下列说法正确的是 〔

①若f(x)在

xx0连续, 则f(x)在xx0可导

12 / 25 ②若f(x)在xx0不可导,则f(x)在xx0不连续

③若f(x)在

xx0不可微,则f(x)在xx0极限不存在

④若f(x)在

xx0不连续,则f(x)在xx0不可导

4．若在(a,b)内恒有f(x)0,f(x)0,则在(a,b)内曲线弧yf(x)为 〔 .

①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧

5．设F(x)G(x),则 〔

①F(x)G(x) 为常数②F(x)G(x)为常数

③F(x)G(x)0④6．ddF(x)dxG(x)dxｘ

dxdx11xdx ＝ 〔

① ０ ② １ ③ ２ ④ ３

7．方程2x3y1在空间表示的图形是 〔

①平行于xOy面的平面②平行于Oz轴的平面

③过Oz轴的平面④直线

8．设f(x,y)xyxy,则f(tx,ty)〔

332①tf(x,y)②tf(x,y)③tf(x,y) ④23an11a0limf(x,y)9．设,且 ＝ｐ,则级数

n2nantan1n 〔

①在p1时收敛,p1时发散②在P1时收敛,p1时发散

13 / 25 ③在p1时收敛,p1时发散④在p1时收敛,p1时发散

10．方程y3xy6xy是 〔

2①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程

③可分离变量的微分方程④二阶微分方程

11．下列函数中为偶函数的是 〔

①ye ②yx1 ③yxcosx ④ylnx

x3312．设f(x)在(a,b)可导,ax1x2b,则至少有一点(a,b)使〔

①f(b)f(a)f()(ba)②f(b)f(a)f()(x2x1)

③f(x2)f(x1)f()(ba) ④f(x2)f(x1)f()(x2x1)

13．设f(x)在

xx0 的左右导数存在且相等是f(x)在xx0 可导的 〔

①充分必要的条件②必要非充分的条件

③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件

14．设2f(x)cosxd[f(x)]2 ,则f(0)1,则f(x) 〔

dx ①cosx ②2cosx ③1sinx ④1sinx

15．过点〔１,２且切线斜率为

4x 的曲线方程为ｙ＝ 〔

3①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１ ④4x

316．设幂级数

axnn0n在x0〔x00收敛, 则

axnn0n 在xx0〔

14 / 25 ①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与an有关

17．设Ｄ域由yx,yx所围成,则

2sinxd〔

xD ①③1010dxx1ysinxsinxdy； ②dydx；

x0yxx1x1xsinxsinxdy；④dydx.

0xxxdx 三、计算题〔1～3每小题5分,4～9每小题6分,共51分

１．设yx1 求

y.

x(x3)sin(9x216) ２．求

lim .

4x3x43dx ３．计算

.

x2(1e) ４．设xt0(cosu)arctanudu,y1t(sinu)arctanudu,求

dy.

dx５．求过点 Ａ〔２,１,－１,Ｂ〔１,１,２的直线方程.

６．设

ue ７．计算xysinz,求 ｄｕ .

0xasin0rsindrd.

８．求微分方程

dy(９．将

f(x)y12)dx的 通解 .

x13 展成的幂级数.

(1x)(2x) 四、应用和证明题〔共15分

１．〔８分设一质量为ｍ的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度

〔 比例常数为k0 求速度与时间的关系。

15 / 25 ２．〔７分借助于函数的单调性证明：当x>1时,2x31 。

x高等数学参考答案

一、填空题〔每小题1分,共10分

１．〔－１,１２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ ４．ｙ＝ｘ2＋１

５． ８．1arctanx2c ６．１７．ｙｃｏｓ〔ｘｙ

220df(r2)rdr ９．三阶 １０．发散

0二、单项选择题〔在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的〔 内,1～10每小题1分,11～17每小题2分,共24分

1．③ 2．③ 3．④ 4．④ 5．② 6．② 7．② 8．⑤ 9．④ 10．③

11．④ 12．④ 13．⑤ 14．③ 15．③ 16．① 17．②

三、计算题〔1～3每小题5分,4～9每小题6分,共51分

１．解：lny1[ln(x1)lnxln(x3)]

218xcos(9x216)２．解：原式＝

lim

x4334418()cos(9()216)33 ＝＝８

3(1exex)dx３．解：原式＝

(1ex)2dxd(1ex)＝-

(1ex)(1ex)2(1exex)dx1 ＝

1ex1ex16 / 25 ＝xln(1e)x1c

x1e４．解：因为dx(cost)arctgtdt,dy(sint)arctgtdt

５．解：所求直线的方向数为｛１,０,－３｝

所求直线方程为

x1y1z2

103xysinz６．解：dued(xysinz)

asin７．解：原积分＝02sind2001rdra2sin3d02

22a

3dydx2８．解：两边同除以(y1) 得

(1y)2(1x)2 ＝asin3d 两边积分得

dydx(1y)2(1x)2

亦即所求通解为

11c

x1y1９．解：分解,得f(x)＝11

1x2xnnx1nx1

＝x(1)n 〔

x1且222n0n0n1n ＝[1(1)n1]x 〔

x1

2n0四、应用和证明题〔共１５分

１．解：设速度为ｕ,则ｕ满足mdumgku

dt1(mgcekt)

kmg(1ekt)

k17 / 25

解方程得u 由ｕ│t=0＝０定出ｃ,得u２．证：令f(x)2x13 则f(x)在区间［１,＋∞］连续

x1120(x1)

而且当x1时,f(x)xx 因此f(x)在［１,＋∞］单调增加

从而当x1时,f(x)f(1)＝０

即当x1时,

2x31

x《高等数学》

专业学号姓名

一、判断正误〔每题2分,共20分

1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量.

2. 初等函数在其定义域内必定为连续函数.

3.

yfx在点x0连续,则yfx在点x0必定可导.

4. 若x点为yfx的极值点,则必有fx00.

5. 初等函数在其定义域区间内必定存在原函数.

6. 方程xy1表示一个圆.

227. 若zfx,y在点M0x0,y0可微,则zfx,y在点M0x0,y0连续.

x8.

y2xe是二阶微分方程.

2dxsintdtsinxsin1.

9.

dx118 / 25 10. 若yfx为连续函数,则ftdt必定可导.

xa二、填空题〔每题4分,共20分

1.

dx___________.

1sinx2.

limsin2x_______.

xx3. 设fx1,且f01,则fxdx___________.

4.

zxy2,则dz___________.

db5.sinx2____________.

dxa三、计算题与证明题〔共计60分

n21.1lim,〔5分；

nn112limx0x1,〔5分。

xe1cosxn2. 求函数ysinxcosxsinx的导数。〔10分

3. 若在,上fx0,f00.证明：Fx上单调增加.〔10分

fx在区间,0和0,x4. 对物体长度进行了n次测量,得到n个数x1,x2,,xn。现在要确定一个量x,使之与测得的数值之差的平方和最小.x应该是多少？〔10分

5. 计算xsinx2dx.〔5分

6. 由曲线ylnx与两直线ye1x,y0所围成的平面图形的面积是多少.〔5分

19 / 25 7. 求微分方程xdyxy满足条件yxdxD20的特解。〔5分

8. 计算二重积分x2dxdy,D是由圆x2y21及x2y24围成的区域.〔5分

高等数学参考答案

一、判断正误〔每题2分,共20分

1-5．╳ , ╳ , ╳ , ╳ , √. 6-10.╳ , √ , ╳, ╳ , √ .

二、填空题〔每题4分,共20分

11c；2.0；3.x2c；4.y2dx2xydy；5.0.

2cosx三、计算题与证明题。〔共计60分

3n2lim1=1.1limnnn1n1 =e3nnn1limnn13n•3n1

ex1xex1x112lim=lim

x=limx2x0xx0x0e1xxe1ex1exlim =limx02xx02 2. 令y1sinxcosx12

cosxlnsinxy2cosxsinx 则y1e

同理

y2cosxsinx1lncosxtan2x

3.

Fxfx

xfxxfxfx=

2xx20 / 25

Fx令

gxxfxfx 则gxxfx0

则 当x0时g(x)g00Fx0当x0时，Fx为单调递增

当x0时g(x)g00Fx0当x0时，Fx为单调递增

故命题成立。

4.令fxxx2221xx2xxn

则 令fx0xx1xn0n为驻点

5.

xsinx2dx=x1cos2x2dx=12xxcos2xdx

=14x214xsin2x18cos2xc

6.

S1e1yeydye1101y0y2120ey1032

7. 方程变形为

y1xy1

而

ye11xdx1•exdxdxc =cx12x

初始条件：

yx20c1

8、D*r,1r2,02

《高等数学》

专业学号姓名

一、判断〔每小题 2 分,共 20 分

1. f在点x0处有定义是f在点x0处连续的必要条件. <

21 / 25

> 2. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. < >

3. y=f在x0处可导,则y=|f|在x0处也可导. < >

4. 初等函数在其定义域内必连续.< >

5. 可导函数f的极值点一定是f 的驻点. < >

6. 对任意常数k,有kf(x)dx=kf(x)dx. < >

7. 若f在[a,b]上可积,则f在[a,b]上有界. < >

8. 若f在区域D上连续且区域D关于y轴对称,则当f 为关于x的奇函数时,f(x,y)dxdy=0. < >

D2x9.

(y)=-2x-e的通解中含有两个独立任意常数. < >

10. 若z=f在Po的两个偏导数都存在,则z=f在P0连续. < >

二、填空〔每空 2 分,共20 分

[xsinx112xx+sinx+<>]=.

xxx2. 函数f=x3x在[0,3]上满足罗尔定理的条件,定理中的数值=.

exx03. 设f=当a=时,f在x=0处连续.

axx04. 设z=ex22y,则dz| <0,0>=.

x5. 函数f=e-x-1在内单调增加;在 内单调减少.

6. 函数yaxbxcxd满足条件时, 这函数没有极值.

3222 / 25 basinx2dx =其中a,b为常数.

8.

f=1且f(0)0,则9.若I=f(x)dx=.

10dx2f(x,y)dxdy交换积分次序后得.

xx三、计算〔每小题 5 分,共 40 分

yexlnt111. 求lim<2-> ； 2.dt+(cost3)dt=2,求dy；

11x0txxtgx3. 求111dx； 4. 求3dx ； 5. 求xe2xdx；

0x(1x)41x1z2z6. 设z=ln 求,；

xxy227. 计算 I=22.其中D是由圆x+y=4围成的区域；

xdxdyD8. 求微分方程-ydx+dy=0的通解.

3四、应用题<每题7分,共14分>

1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.

2. 求由y=1,x=1,x=2与x轴所围成的图形的面积及该图绕x轴旋转一周的旋转体的体积.

x五、证明<本题6分>

证明:当x0时,不等式1+1x1x成立.

2高等数学参考答案

一、判断正误〔每题2分,共20分

23 / 25 1 √ ； 2 √ ； 3 ╳ ； 4 ╳ ； 5 √ ； 6╳ ； 7 √ ； 8 √ ； 9 ╳ ； 10

╳.

二、填空题〔每题4分,共20分

1.

1e； 2. 2 ； 3. 1 ； 4.

2dx； 5.[0，+)（,-,0] ； 6.b3ac0；

227.0； 8.

1y12xc ； 9.

dyf(x,y)dx .

0y2三、计算题与证明题〔共计60分

11tanxxtanxxlimlim1.

lim2x02x0

3x0xxtanxxtanxx 2. 方程两边同时对x求导得：

lnexx 则

xe(cosy3)y0

e12dx 3.

dx

1xx(1x)4、 令

1xt当

xx1t2dx2tdt

31时t；当x1时t0

42111t12tdt221dt

dt22原式100t1t12t15.0xe2xdx0111x(e2x)dxx(e2x)(e2x)dx

022206.

z12x222(xy)

xxy2x2y27.令

xrcos ,

yrsin24 / 25 8.解：

dx1xy2

dyy1 原方程的通解为：xy(y2c)

2四、〔每题7分,共14分

1.解：设长方形的长和宽分别为x和y,面积为s,则x2y20即

x202y

s204y0,得y5

当长x10M；宽y5M时,面积最大。

五、〔本题6分

令f(x)1 即11110

x1xf(x)221x21x1x

225 / 25