2024年1月10日发(作者：山东省统考数学试卷)
2021北京高中数学同步讲义：集合的概念
知识点一 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
思考 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？
答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合中就确定了．
知识点二 元素与集合的关系
知识点 关系
属于
元素与集合的关系
不属于
思考 设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？
答案 3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A.
知识点三 常用数集及表示符号
名称
记法
1．接近于0的数可以组成集合．( × )
2．分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( √ )
3．一个集合中可以找到两个相同的元素．( × )
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概念
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
记法
a∈A
读法
“a属于A”
a∉A “a不属于A”
自然数集
N
正整数集
N*或N＋
整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
4．由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．( × )
一、对集合概念的理解
例1 (1)下列对象能组成集合的是( )
A.2的所有近似值
B．某个班级中学习好的所有同学
C．2020年全国高考数学试卷中所有难题
D．屠呦呦实验室的全体工作人员
答案 D
解析 D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．
(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
答案 ②
解析 ①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．
③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．
反思感悟 判断一组对象是否能构成集合的三个依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否能构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
跟踪训练1 (多选)下列说法正确的有( )
A．花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合
B．正方体的全体构成一个集合
C．未来世界的高科技产品构成一个集合
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D．不大于3的所有自然数构成一个集合
答案 BD
解析 在A中，花坛上色彩艳丽的花朵不能构成一个集合，故A错误；在B中，正方体的全体能构成一个集合，故B正确；在C中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故C错误；在D中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故D正确．
二、元素与集合的关系
例2 (1)设集合M是由不小于25的数组成的集合，a＝15，则下列关系中正确的是( )
A．a∈M
C．a＝M
答案 B
解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵15<25，∴a∉M.
6(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
3－x答案 0,1,2
6解析 ∵∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.
3－x又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.
(学生)
反思感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
跟踪训练2 用符号“∈”或“∉”填空：
(1)设集合B是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B；
(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C；
(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，
(－1,1)________D.
答案 (1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈
解析 (1)∵23＝12>11，∴23∉B；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，
∴1＋2<11，∴1＋2∈B.
(2)∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3∉C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C.
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B．a∉M
D．a≠M
(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，且－1是数，∴－1∉D；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D.
三、元素特性的应用
例3 已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
3∴a＝－1或a＝－.
2当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
373当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝－.
222延伸探究
在本例中，若集合A中的三个元素换为a－3,2a－1，a2－4，其余不变，求实数a的值．
解 ①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中的元素为－3，－1，－4，满足题意．
②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中的元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性．
③若a2－4＝－3，则a＝±1.
当a＝1时，A中的元素为－2,1，－3，满足题意；
当a＝－1时，由②知不合题意．
综上可知a＝0或a＝1.
(学生)
反思感悟 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
解 (1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，
且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解得x≠－1且x≠0，x≠3.
(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.
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1．下列各组对象能构成集合的有( )
①接近于1的所有正整数；②小于0的实数；③(2 020,1)与(1,2 020)．
A．1组 B．2组 C．3组 D．0组
答案 B
解析 ①中接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2 020,1)与(1,2 020)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合．
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
3A．3.14 B．－5 C. D.7
7答案 D
解析 由题意知a应为无理数，故a可以为7.
3．已知集合A中的元素x满足x－1<3，则下列各式正确的是( )
A．3∈A且－3∉A
C．3∉A且－3∉A
答案 D
解析 ∵3－1＝2>3，∴3∉A.
又－3－1＝－4<3，∴－3∈A.
4．由方程x2－2x－3＝0和x2－1＝0的根组成的集合中的元素的个数为________．
答案 3
解析 解方程x2－2x－3＝0可得x＝－1或3，解方程x2－1＝0可得x＝－1或1，由于集合中的元素具有互异性，所以由两个方程的根组成集合中的元素的个数为3.
5．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．
答案 k≠±1
解析 ∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.
1．知识清单：
(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．
(2)常用数集的表示．
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B．3∈A且－3∈A
D．3∉A且－3∈A
(3)集合中元素的特性及应用．
2．方法归纳：分类讨论．
3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．
1．(多选)下列选项中能构成集合的是( )
A．高一年级跑得快的同学
C．3的倍数
答案 CD
解析 根据集合的定义，选项A，B都不具备确定性．
12．给出下列关系：①∈R；②5∈Q；③－3∉Z；④－3∉N，其中正确的个数为( )
3A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
1解析 是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.
33．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( )
A.5∈M
C．1∈M
答案 D
解析
π5>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－<1，故D正确．
2B．0∉M
πD．－∈M
2B．中国的大河
D．大于6的有理数
4．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形
C．菱形
答案 A
解析 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
5．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x∉B，则x等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
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B．平行四边形
D．矩形
答案 B
解析 集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．
6．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2 答案 6 解析 ∵x∈N,2 ∴结合数轴(图略)知a＝6. 7．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________. 答案 2或4 解析 代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4. b8．若由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合相等，则a2 020＋b2 020的值为________． a答案 1 bba＝0，a＝0，解析 由已知可得a≠0，因为两集合相等，所以有或 a2＝1a＋b＝1，b＝0，b＝0，所以(舍)或经检验，a＝－1，b＝0满足条件， a＝1a＝－1， 所以a2 020＋b2 020＝1. 9．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值． 解 ∵a∈A且3a∈A， a<6，∴解得a<2.又a∈N，∴a＝0或1. 3a<6， 10．已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． 解 由题意可知，a＝1或a2＝a. (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1. (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0. 11．(多选)由a2，2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是( ) A．1 B．－2 C．－1 D．2 7 / 9 答案 ABD 解析 由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知a不可能是ABD. |a||b||ab|12．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( ) ababA．0∈M C．3∉M 答案 B 解析 当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1. 13．已知集合M中的元素x满足x＝a＋2b，其中a，b∈Z，则下列实数中不属于集合M中元素的个数是( ) 21①0；②－1；③32－1；④；⑤8；⑥. 3－221－2A．0 B．1 C．2 D．3 答案 A 解析 当a＝b＝0时，x＝0；当a＝－1，b＝0时，x＝－1；当a＝－1，b＝3时，x＝－1＋32；2＝3－22B．－1∈M D．1∈M 23＋221＋21＝6＋42，即a＝6，b＝4；当a＝0，b＝2时，x＝22＝8；＝3－223＋221－21－21＋2＝－1－2，即a＝－1，b＝－1. 21综上所述：0，－1,32－1，，8，都是集合M中的元素． 3－221－214．已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝________；b＝________. 答案 －3 2 解析 因为集合A与集合B相等，且1∈A,2∈A， 所以1∈B,2∈B，即1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根． 1＋2＝－a，a＝－3，所以所以 1×2＝b，b＝2. 15．已知集合M有2个元素x,2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是________．(填序号) ①2∈M；②1∈M；③x≠3. 答案 ② 8 / 9 x≠－1，解析 依题意2－x≠－1，x≠2－x. 解得x≠－1，x≠1且x≠3， 当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0,2，故①可能正确； 当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确；③显然正确． 116．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 证明 (1)若a∈A，则11－a∈A. 又因为2∈A，所以11－2＝－1∈A. 因为－1∈A，所以11－－1＝12∈A. 因为12∈A，所以11－1＝2∈A. 2所以A中另外两个元素为－1，12. (2)若A为单元素集，则a＝11－a， 即a2－a＋1＝0，方程无实数解． 所以a≠11－a，所以集合A不可能是单元素集． 1－a9 / 9
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