同济大学高数上册知识点

高等数学上册知识点

一、 函数与极限

（一） 函数

1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；

2、 反函数、复合函数、函数的运算；

3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；

4、 函数的连续性与间断点；

f(x)f(x0)函数f(x)在x0连续

xlimx0

第一类：左右极限均存在.

间断点 可去间断点、跳跃间断点

第二类：左右极限、至少有一个不存在.

无穷间断点、振荡间断点

5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.

（二） 极限

1、 定义

1） 数列极限

limxna0, N, nN, xna

n2） 函数极限

xx0limf(x)A0, 0, x, 当 0xx0 时， f(x)A1 / 21

f(x左极限：0)limf(x) 右极限：xx0f(x0)limf(x)

xx0xx0limf(x)A 存在 f(x0)f(x0)

2、 极限存在准则

1） 夹逼准则：

1）2）ynxnzn(nn0)

limynlimzna

limxna

nnn2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限.

3、 无穷小（大）量

1） 定义：若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.

2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小

Th1

~o();

存在，则 limlimTh2

~,~,lim（无穷小代换）

4、 求极限的方法

1） 单调有界准则；

2） 夹逼准则；

3） 极限运算准则及函数连续性；

4） 两个重要极限：

sinx1 b) a)

limx0x1xlim(1x)lim(1)e

x0xx5） 无穷小代换：（x0）

a)

1xx~sinx~tanx~arcsinx~arctanx

12b)

1cosx~x

2c)

ex1~x （ax1~xlna）

xd)

ln(1x)~x （loga(1x)~）

lnae)

(1x)1~x

二、 导数与微分

（一） 导数

1、 定义：f(x0)xlimx0f(x)f(x0)

xx00左导数：f(x0)xlimxf(x)f(x0)

xx0f(x)f(x0)右导数：f(x0)xlim

x0xx0函数f(x)在x0点可导f(x0)f(x0)

2、 几何意义：f(x0)为曲线y的斜率.

3、 可导与连续的关系：

4、 求导的方法

1） 导数定义；

2） 基本公式；

3） 四则运算；

4） 复合函数求导（链式法则）；

5） 隐函数求导数；

f(x)在点x0,f(x0)处的切线

6） 参数方程求导；

7） 对数求导法.

5、 高阶导数

d2yddy

21） 定义：dxdxdx2） Leibniz公式：uv(n)k(k)(nk)Cnuv

k0n（二） 微分

1） 定义：yf(x0x)f(x0)Axo(x)，其中A与x无关.

2） 可微与可导的关系：可微可导，且dyf(x0)xf(x0)dx

三、 微分中值定理与导数的应用

（一） 中值定理

1、 Rolle罗尔定理：若函数1）f(x)满足：

f(x)C[a,b]； 2）f(x)D(a,b)； 3）f(a)f(b)；

则(a,b),使f()0.

2、 Lagrange拉格朗日中值定理：若函数1）f(x)满足：

f(x)C[a,b]； 2）f(x)D(a,b)；

则(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).

3、 Cauchy柯西 中值定理：若函数

f(x),F(x)满足：

1）f(x),F(x)C[a,b]； 2）f(x),F(x)D(a,b)；3）F(x)0,x(a,b)

f(b)f(a)f()则(a,b),使F(b)F(a)F()

（二） 洛必达法则

（三） Taylor公式

（四） 单调性及极值

1、 单调性判别法：f(x)C[a,b]，f(x)D(a,b)，则若f(x)0，则f(x)单调增加；则若f(x)0，则f(x)单调减少.

2、 极值及其判定定理：

a) 必要条件：f(x)在x0可导，若x0为f(x)的极值点，则f(x0)0.

b) 第一充分条件：f(x)在x0的邻域内可导，且f(x0)0，则①若当xx0时，f(x)0，当xx0时，f(x)0，则x0为极大值点；②若当xx0时，f(x)0，当xx0时，f(x)0，则x0为极小值点；③若在x0的两侧不变号，则x0不是极值点.

c) 第二充分条件：f(x)在x0处二阶可导，且f(x0)0，f(x)f(x0)0，则

①若f(x0)0，则x0为极大值点；②若f(x0)0，则x0为极小值点.

3、 凹凸性及其判断，拐点

1）f(x)在区间

I上连续，若

x1,x2I, f(x1x2f(x1)f(x2))，则称f(x)在区间I 上22x1x2f(x1)f(x2))的图形是凹的；若x1,x2I, f(，则称22f(x)在区间I 上的图形是凸的.

2）判定定理：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则

a) 若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

b) 若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.

3）拐点：设yf(x)在区间I上连续，x0是f(x)的内点，如果曲线yf(x)经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x0,f(x0))为曲线的拐点.

（五） 不等式证明

1、 利用微分中值定理；

2、 利用函数单调性；

3、 利用极值（最值）.

（六） 方程根的讨论

1、 连续函数的介值定理；

2、 Rolle定理；

3、 函数的单调性；

4、 极值、最值；

5、 凹凸性.

（七） 渐近线

f(x)，则xa为一条铅直渐近线； 1、 铅直渐近线：limxaf(x)b，则yb为一条水平渐近线； 2、 水平渐近线：limxf(x)klim[f(x)kx]b存在，则3、 斜渐近线：limxxxykxb为一条斜

渐近线.

（八） 图形描绘

四、 不定积分

（一） 概念和性质

1、 原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F(x)f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数.

2、 不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.

3、 基本积分表（P188，13个公式）；

4、 性质（线性性）.

（二） 换元积分法

1、 第一类换元法（凑微分）：f[(x)](x)dxf(u)duu(x)

2、 第二类换元法（变量代换）：f(x)dxf[(t)](t)dtt1(x)

（三） 分部积分法：udvuvvdu

（四） 有理函数积分

1、“拆”；

2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.

五、 定积分

（一） 概念与性质：

1、 定义：baf(x)dxlimf(i)xi0i1n

2、 性质：（7条）

性质7 （积分中值定理） 函数f(x)在区间[a,b]上连续，则[a,b]，使baf(x)dxf()(ba) （平均值：f()

baf(x)dxba）

（二） 微积分基本公式（N—L公式）

1、 变上限积分：设(x)xaf(t)dt，则(x)f(x)

d(x)f(t)dtf[(x)](x)f[(x)](x) 推广：dx(x)2、 N—L公式：若F(x)为f(x)的一个原函数，则baf(x)dxF(b)F(a)

（三） 换元法和分部积分

1、 换元法：baf(x)dxf[(t)](t)dt

2、 分部积分法：（四） 反常积分

1、 无穷积分：

baudvuvvdu

abababf(x)dxlimf(x)dxlimtatf(x)dx

f(x)dx

ttb

f(x)dx0f(x)dx0f(x)dx

2、 瑕积分：

bbaf(x)dxtlimatf(x)dx（a为瑕点）

btaf(x)dxtlimbaf(x)dx（b为瑕点）

两个重要的反常积分：

, p1dx1)

axpa1pp1, p1

(ba)1qbdx,2)

a(xa)qbdxa(bx)q1q

,

六、 定积分的应用

（一） 平面图形的面积

b1、 直角坐标：Aa[f2(x)f1(x)]dx

2、 极坐标：A12[222()1()]d

q1q1

（二） 体积

1、 旋转体体积：

a)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴，绕x轴旋转而成的2Vf(x)dx 旋转体的体积：xab b)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴，绕y轴旋转而成Vy的旋转体的体积：2xf(x)dx （柱壳法）

ab2、 平行截面面积已知的立体：V（三） 弧长

1、 直角坐标：s2、 参数方程：s3、 极坐标：s

七、 微分方程

（一） 概念

baA(x)dx

ba1f(x)dx

222(t)(t)dt

()2()2d

1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.

阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.

2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.

通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.

特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.

（二） 变量可分离的方程

g(y)dyf(x)dx，两边积分g(y)dyf(x)dx

（三） 齐次型方程

dyyydydu()，设u，则ux；

dxxxdxdxdxxxdxdv()，设v，则vy 或dyyydydy（四） 一阶线性微分方程

dyP(x)yQ(x)

dx用常数变易法或用公式：yeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC

（五） 可降阶的高阶微分方程

(n)1、yf(x)，两边积分n次；

2、yf(x,y)（不显含有y），令yp，则yp；

dp3、yf(y,y)（不显含有x），令yp，则ypdy

（六） 线性微分方程解的结构

1、y1,y2是齐次线性方程的解，则C1y1C2y2也是；

2、y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1C2y2是方程的通解；

3、yC1y1C2y2y为非齐次方程的通解，其中y1,y2为对*y应齐次方程的线性无关的解，非齐次方程的特解.

*（七） 常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性方程：2ypyqy0

特征方程：rprq0，特征根：

r1,特征根

1r2

通 解

2rxrrryCeCe2

12实根

1x

r1r2

p21

y(C1C2x)erxr1,2ixye(C1cosxC2sinx)

（八） 常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)

1、f(x)ePm(x)

x0, λ不是特征根*kxk1, λ是一个单根设特解yxeQm(x)，其中

2, λ是重根2、f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinx

设

特解

(1)(2)y*xkexRm(x)cosxRm(x)sinx，

，其中

mmax{l, n}0,

i不是特征根k

1,

i是特征根

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