2024年3月31日发(作者：重庆对口高职考试数学试卷)

A.极限的求法

《高等数学复习》教程

第一讲

函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）

几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）

2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系

夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

3.连续 函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

二、题型与解法

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）

（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求

（6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.

lim

arctanxxarctanxx1

lim

（

等价小量与洛必达

）

3

x0

ln(12x

3

)

x0

6

2x

2.已知

lim

sin6xxf(x)6f(x)

0，求lim

32

x0x0

xx

sin6xxf(x)6cos6xf(x)xy\'

lim

x0

解：

x0

x

3

3x

2

lim

36sin6x2y\'xy\'\'216cos6x3y\'\'xy\'\'\'

lim

x0x0

6x6

2163y\'\'(0)

0y\'\'(0)72

6

lim

lim

6f(x)y\'y\'\'72

limlim36

（

洛必达

）

x0x0

2x

x0

2x

2

2

2x

2x

x1

)

（

重要极限

） 3.

lim(

x1

x1

a

x

b

x

x

)

4.已知a、b为正常数，

求lim(

x0

2

3

a

x

b

x

x

3

),lnt[ln(a

x

b

x

)ln2]

解：令

t(

2x

3

33

xx

(alnablnb)ln(ab)

x0x0

a

x

b

x

2

（

变量替换

）

t(ab)

3/2

limlntlim

1

ln(1x)

5.

lim(cosx)

x0

2

1

ln(1x)

,lnt

解：令

t(cosx)

2

1

ln(cosx)

2

ln(1x)

limlntlim

x0

tanx1

te

1/2

（

变量替换

）

x0

2x2

6.设

f\'(x)

连续，

f(0)0,f\'(0)0

，求

lim

x

x

2

0

f(t)dt

x

x0

2

1

0

f(t)dt

（

洛必达与微积分性质

）

ln(cosx)x

2

,x0

7.已知

f(x)

在x=0连续，求a

a,x0

解：令

alimln(cosx)/x1/2

（

连续性的概念

）

x0

2


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