高等数学公式大全

2023年12月9日发(作者：随州市中考数学试卷及答案)

高等数学公式

·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

·三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

第 1 页 共 20 页 ·倍角公式： ·三倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

·其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

第 2 页 共 20 页 三角函数的角度换算

[编辑本段]

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

第 3 页 共 20 页 cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

部分高等内容

[编辑本段]

·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

·三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组 y=-y\'\';y=y\'\'\'\'，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

特殊三角函数值

a 0` 30` 45` 60` 90`

sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1

cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0

tana 0 √3/3 1 √3 None

cota None √3 1 √3/3 0

导数公式：

(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna1(logax)xlna(arcsinx)11x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2

第 4 页 共 20 页 基本积分表：

三角函数的有理式积分：

2u1u2x2dusinx，　cosx，　utg，　dx

22221u1u1u一些初等函数： 两个重要极限：

exex双曲正弦:shx2xxCtgxdxlnexecos双曲余弦:chx2sinxClnctgxdxshxexex双曲正切:thxsecxdxlnxetgxCxsecchxexlim

sinx1x0xdx1x2secxdxtgxC59045lim(1)e2cosxxxdx2cscsin2xxdxctgxC1lncscxctgxCarshxln(xdxx2）xcsc211)xarchxln(xdxxarctgC22aa1a1xxarthxlndx21x1lnxaCx2a22axadx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2asecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2n2Insinxdxcosnxdx00n1In2n

x2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22

第 5 页 共 20 页

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

-α

90°-α

90°+α

180°-α

180°+α

270°-α

270°+α

360°-α

360°+α

sin cos tan cot

-sinα cosα

cosα

cosα

sinα

sinα

-tanα -cotα

cotα tanα

-sinα -cotα -tanα

-cosα -tanα -cotα

cotα

tanα

-sinα -cosα tanα

-cosα -sinα cotα

-cosα sinα

-sinα cosα

sinα cosα

-cotα -tanα

-tanα -cotα

tanα cotα

·和差角公式： ·和差化积公式：

·倍角公式：

sin22sincos2sincoscos2sin22sinsin()sin2sincossin33sin4sin3cos22cos112sincossin223cos(2)coscossinsincos343ctg1coscosctg2sinsin2cossin3tgtg2ctg3tg2tg2tg()tg313tg22tg1tgtgcoscos2coscostg22ctgctg1221ctg(tg)ctgctgcoscos2sinsin22

·半角公式：

sin2tg1cos1cos　　　　　　　　　　　　cos2221cos1cossin1cos1cossin　　ctg1cossin1cos21cossin1cos2

·正弦定理：abc2R

sinAsinBsinC

第 6 页 共 20 页 ·余弦定理：cab2abcosC

·反三角函数性质：arcsinx2222arccosx　　　arctgx2arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)

(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)v中值定理与导数应用：

n(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!

拉格朗日中值定理f(b：)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()

柯西中值定理：F(b)F(a)F()

曲率：

当F(x)x时，柯西中值定理拉就格是朗日中值定理。弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。syd.

M点的曲率：Klim

23s0sds(1y)平均曲率：K直线：K0;1半径为a的圆：K.a定积分的近似计算：

b矩形法：f(x)abba(y0y1yn1)nba1[(y0yn)y1yn1]n2ba[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]3n

梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：

第 7 页 共 20 页 功：WFs水压力：FpAmm

引力：Fk122,k为引力系数

rb1函数的平均值：yf(x)dxbaa12均方根：f(t)dtbaa空间解析几何和向量代数：

b空间2点的距离：dM1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1a2)Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosicabaxbxjaybyaxbxaybyazbzaxayazbxbybz222222kaz,cabsin.例：线速度：vwcyazbzabccos,为锐角时，

czax向量的混合积：[abc](ab)cbx

cx代表平行六面体的。体积

第 8 页 共 20 页 平面的方程：1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD0xyz3、截距世方程：1abc平面外任意一点到该平面的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2xx0mtxxyy0zz0空间直线的方程：0t,其中s{m,n,p};参数方程：y0ntymnpzzpt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：1a2b2c2x2y22、抛物面：z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：222xyz

单叶双曲面：1a2b2c2x2y2z2双叶双曲面2：22（1马鞍面）abc

多元函数微分法及应用

全微分：dzzzuuudxdy　　　dudxdydzxyxyz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzzuzvzf[u(t),v(t)]　　　　dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]　　　　xuxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，duuuvvdxdy　　　dvdxdy　xyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0，　　，　　2(x)＋(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz，　　

隐函数F(x,y,z)0，　xFzyFz

第 9 页 共 20 页 FF(x,y,u,v)0(F,G)u隐函数方程组：　　　JGG(x,y,u,v)0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)

　　　　xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)　　　　yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：

FvFuGGuvFvGv

x(t)xxyy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t)(t)(t0)00z(t)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T{,,GGGxGGG(x,y,z)0yzzx

曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

Fy}Gy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0fff函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ffijxy

f它与方向导数的关系是：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)多元函数的极值及其求法：

第 10 页 共 20 页 设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时，A0,(x0,y0)为极小值

2则：值ACB0时，　　　　　　无极ACB20时,　　　　　　　不确定重积分及其应用：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf(x,y)的面积ADzz1ydxdyx22M平面薄片的重心：xxM

x(x,y)dD(x,y)dDD,　　yMyMy(x,y)dD(x,y)dDD

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,　　对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：FxfD(x,y)xd(xya)2222，　　Fyf3D(x,y)yd(xya)2222，　　Fzfa3D(x,y)xd(xya)22322柱面坐标和球面坐标：

xrcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,yrsin,　　　zz其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐标：yrsinsin，　　dvrdrsinddrrsindrddzrcos

2

r(,)f(x,y,z)dxdydzF(r,,)r2sindrdddd00F(r,,)r02sindr重心：x1Mxdv,　　y1Mydv,　　z1Mzdv，　　其中Mxdv转动惯量：Ix(y2z2)dv，　　Iy(x2z2)dv，　　Iz(x2y2)dv曲线积分：

第 11 页 共 20 页 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(t),则：y(t)Lxt22f(x,y)dsf[(t),(t)](t)(t)dt　　()　　特殊情况：y(t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x(t)设L的参数方程为，则：y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式：()dxdyPdxQdy格林公式：()dxdyPdxQdyxyxyDLDLQP1当Py,Qx，即：2时，得到D的面积：Adxdyxdyydxxy2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：QP在＝时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP＝。注意奇点，如(0,0)，应xy

u(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0y00。曲面积分：

第 12 页 共 20 页 22对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1z(x,y)z(x,y)dxdyxyDxy对坐标的曲面积分：，其中：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy号；R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正

Dxy号；P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正Dyz

号。Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式：

第 13 页 共 20 页 (PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dsxyz高斯公式的物理意义——通量与散度：PQR散度：div,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失...xyz通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

(RQPRQP)dydz()dzdx()dxdyPdxQdyRdzyzzxxycosyQcoszR

dydzdzdxdxdycos上式左端又可写成：xyzxPQRP

空间曲线积分与路径无关的条件：RyQPRQP，　，　zzxxyijk旋度：rotAxyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzAtds常数项级数：

1qn等比数列1：qqq1q(n1)n1：23n

等差数列

2111调和级数1：是发散的23n2n1级数审敛法：

第 14 页 共 20 页 1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定

2、比值审敛法：1时，级数收敛U设：limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n

交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理：



unun1如果交错级数满足，那么级数收敛且s其和u1,其余项rn的绝对值rnun1。limu0nn(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；绝对收敛与条件收敛：

如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。

1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1　　级数：n2收敛；ｐ１时发散1　　p级数：　　npp1时收敛幂级数：

第 15 页 共 20 页 1x1时，收敛于1x1xx2x3xn　　x1时，发散对于级数(3)a0a1x　a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定1

0时，R求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则0时，Rnan时，R0函数展开成幂级数：

f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n!f(n1)()

余项：Rn

(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxx2!n!一些函数展开成幂级数：

m(m1)2m(m1)(mn1)nxx　　　(1x1)2!n!

2n1x3x5xsinxx(1)n1　　　(x)3!5!(2n1)!(1x)m1mx欧拉公式：

eixeixcosx2ix

ecos

xisinx　　　或ixixeesinx2三角级数：

a0f(t)A0Ansin(ntn)(ancosnxbnsinnx)2n1n1

其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的在乘[积,]上的积分0＝。傅立叶级数：



第 16 页 共 20 页 a0f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期22n11(n0,1,2)anf(x)cosnxdx　　　其中1b(n1,2,3)nf(x)sinnxdx　　　112122835

　111224224262正弦级数：an0，bn余弦级数：bn0，an11121222（相加）623411121222（相减）12234f(x)sinnxdx　　n1,2,3　f(x)b0

2nsinnx是奇函数20f(x)cosnxdx　　n0,1,2　f(x)a0ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

a0nxnxf(x)(ancosbnsin)，周期2l2n1lll1nxaf(x)cosdx　　　(n0,1,2)

nlll其中lb1f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)nlll

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。

dyyf(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：

dxxydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

第 17 页 共 20 页 dy1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)dx

P(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，yCeP(x)dxP(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edxC)e

dy2、贝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)dx全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的分全方微程，即：uu

du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方通程解的。二阶微分方程：

f(x)0时为齐次d2ydyP(x)Q(x)yf(x)，

dxdx2f(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；

求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r2

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

(*)式的通解

r1，r2的形式

两个不相等实根(p24q0)

两个相等实根(p4q0)

一对共轭复根(p4q0)

22yc1er1xc2er2x

y(c1c2x)er1x

yex(c1cosxc2sinx)

r1i，r2i4qp2

p，22

二阶常系数非齐次线性微分方程

第 18 页 共 20 页 ypyqyf(x)，p,q为常数

f(x)ePm(x)型，为常数；x

f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

第 19 页 共 20 页