1980年全国统一高考数学试卷(文科)

2023年11月14日发(作者：小学数学试卷答题事项模板)

1980年全国统一高考数学试卷（文科）

一、解答题（共8小题，满分100分）

1．（8分）化简．

2．（10分）解方程组：．

3．（10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角．

4．（12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年

增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长

百分之几？

5．（12分）设，化简．

6．（16分）（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC

必平分对角线BD．

（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？

7．（16分）如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE与

底面的对角线B′D′垂直于E．

（1）证明A′E⊥B′D′；

（2）求AE的长．

8．（16分）（1）把参数方程（t为参数）化为直角坐标方程；

（2）当0≤t＜及π≤t＜时，各得到曲线的哪一部分？

1980年全国统一高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、解答题（共8小题，满分100分）

1．（8分）化简．

考点： 复数代数形式的乘除运算．

分析： 复数的分母实数化，即分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．

解答：

点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题，也是常考题．

解：原式==．

2．（10分）解方程组：．

考点： 二元一次不定方程；二元一次不等式组．

分析： 采用加减消元法或代入消元法，消z，然后解出x，y再解z．

解答：

解：方程组：，①×3+②可得，

∴解得x=1，y=﹣2，z=3方程组的解为．

点评： 本题是初中知识，解三元一次方程．

3．（10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角．

考点： 两条直线垂直的判定．

专题： 证明题．

分析： 要证PA与PB垂直，即要求出PA的斜率和PB的斜率，把两个斜率相乘得到乘积为﹣1，所

以以AB所在的直线为x轴，圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，则得到A、B的坐标，设

P（x，y），表示出PA与PB的斜率相乘，把P坐标代入圆的方程化简可得乘积为﹣1即可得

解答： 证明：将圆的直径AB所在的直线取为X轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆

证．

的方程是x+y=1．

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A、B的坐标是A（﹣1，0）、B（1，0）．

设P（x，y）是圆上任一点，则有y=1﹣x．

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∵PA的斜率为，PB的斜率为，

∴

点评： 此题为一道证明题，要求学生掌握两直线垂直的条件为斜率乘积为﹣1，会利用解析的方法证

∴PA⊥PB，∠APB为直角．

明数学问题．

4．（12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年

增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长

百分之几？

考点： 数列的应用．

专题： 应用题．

分析： 设1980的轻工业产值比上一年增长x%，由题意

，解此方程可得答案．

解答： 解：设1979年的工业总产值为a，又设1980的轻工业产值比上一年增长x%，

则按题意，1980年的轻工业产值为；

点评： 本题考查数列的性质及其应用，解题时要认真审题，寻找数量间的相互关系，建立合理的方程．

解得：x=32．

答：1980年轻工业产值应比上一年增长32%．

5．（12分）设，化简．

考点： 诱导公式一；同角三角函数基本关系的运用．

专题： 计算题．

分析： 利用诱导公式化简分式的分子，注意θ的范围然后求解即可．

解答：

解：原式=

=．

∵，

∴π＜θ+，

∴sin（θ+）＜0，

点评： 本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系的应用，考查学生的运算能力，是基础题．

6．（16分）（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC

必平分对角线BD．

（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？

∴原式=﹣1．

考点： 相似三角形的性质；四种命题．

专题： 综合题．

分析： （1）证明BD被AC平分，即证明OB=OD，结合同底等高的三角形面积相等这一性质，不难

解答： 解：（1）证：S=S

想到要证明线段相等，可以证明线段所在的三角形全等．

（2）将（1）的思路进行倒推，不难解决本小题．

△ABC△ADC′

且△ABC与△ADC有同底AC，

∴两高线相等：BE=DF

设AC与BD交于点O，

则Rt△BOE≌Rt△DOF，∴OB=OD，即AC平分BD．

（2）逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，

则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形这个逆命题是正确的．

证明如下：在图中，由于OB=OD，∠BOE=∠DOF

，∠BEO=∠DFO=Rt∠，∴△BOE≌△DOF．

∴BE=DF，即两高线相等．∴S=AC•BE=AC•DF=S\'．

△ABC△ADC

点评： 证明线段相等是平面几何常见题型，常用的方法有：利用平行线等分线段定理、等腰三角形的

性质、全等三角形对边相等、平行四边形对角线互相平分等，同学们要注意平时多进行总结．

7．（16分）如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE与

底面的对角线B′D′垂直于E．

（1）证明A′E⊥B′D′；

（2）求AE的长．

考点： 棱锥的结构特征．

专题： 计算题；证明题．

分析： （1）先由AA\'⊥平面A\'B\'C\'D\'，可转化为AA\'⊥B\'D\'，又AE⊥B\'D\'，由线面垂直的判断定理可

解答： （1）证明：AA\'⊥平面A\'B\'C\'D\'，∴AA\'⊥B\'D\'．

得B\'D\'⊥平面AA\'E，得证．

（2）先由等面积法A\'B\'•A\'D\'=A\'E•B\'D\'求得A\'E，再由勾股定理求得AE．

又AE⊥B\'D\'，∴B\'D\'⊥平面AA\'E，

因此B\'D\'⊥A\'E

（2）解：A\'B\'•A\'D\'=A\'E•B\'D\'（都是△A\'B\'D\'面积的2倍）

∴6×8=A\'E×，

∴A\'E=4.8

∴AE=．

点评： 本题主要考查长方体的结构特征，主要涉及了线线，线面，面面垂直的关系，以及基本量的关

系．属中档题．

化为直角坐标方程； 8．（16分）（1）把参数方程（t为参数）

（2）当0≤t＜及π≤t＜时，各得到曲线的哪一部分？

考点： 参数方程化成普通方程．

专题： 计算题．

分析： （1）先利用公式sect=1+tgt，将参数t消去，即可得到曲线的直角坐标普通方程；

解答：

解：（1）利用公式sect=1+tgt，得．

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（2）根据t的范围求出x与y的取值范围，结合图象可得到的是曲线的哪一部分．

∴曲线的直角坐标普通方程为．

（2）当时，x≥1，y≥0，得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）；

当时，x≤﹣1，y≥0，得到的是曲线在第二象限的部分，（包括（﹣1，0）点）．

点评： 本题主要考查了双曲线的参数方程化成直角坐标方程，以及数形集合的数学思想，属于基础题．