2023年12月2日发(作者：小学数学试卷是多大的纸)

高等数学(下册)期末考试试卷

考试日期：2018年

院（系）别 班级 学号姓名

大题

小题

得分

一

成绩

二

3

三

四

五

六

七

1 2 4 5

一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）

1、已知向量a、b满足ab0，a2，b2，则ab-4．

3z2、设zxln(xy)，则-(1/y2)．

xy23、曲面x2y2z9在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0．

4、设f(x)是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为f(x)x，则f(x)的傅里叶级数

在x3处收敛于，在x处收敛于．

5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则(xy)ds√2．

L※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．

二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

2222x3yz91、求曲线2在点M0(1,1,2)处的切线及法平面方程．

22z3xy2、求由曲面z2x2y及z6xy所围成的立体体积．

故所求的体积为Vdvd22222020d6222dz220(632)d6……..【7】

3、判定级数(1)n1nlnn1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

nxz2z4、设zf(xy,)siny，其中f具有二阶连续偏导数，求．

,yxxy1 / 6 5、计算曲面积分dS2222其中是球面被平面zh(0ha)截出的顶部．

,xyzaz三、（本题满分9分）

抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．

四、（本题满分10分）

计算曲线积分L(exsinym)dx(excosymx)dy，

22其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周xyax(a0)．

五、（本题满分10分）

xn求幂级数n的收敛域及和函数．

3nn1

六、（本题满分10分）

计算曲面积分I3322xdydz2ydzdx3(z1)dxdy，

22其中为曲面z1xy(z0)的上侧．

七、（本题满分6分）

a，F(t)设f(x)为连续函数，f(0)222[zf(xyz)]dv，其中t是由曲面tzx2y2与zt2x2y2所围成的闭区域，求

limt0F(t)．

t3

2 / 6

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备注：①考试时间为2小时；

②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；

不得带走试卷。

高等数学A(下册)期末考试试卷【A卷】

参考解答与评分标准

2009年6月

一、填空题【每小题4分，共20分】1、4； 2、二、试解下列各题【每小题7分，共35分】

1；3、2x4yz14； 4、3，0； 5、2.

y2dzdy3yz2xdy5xdz7xdxdx1、解：方程两边对x求导，得，从而，…………..【4】

dx4zdydzdx4yyz3xdxdx该曲线在571处的切向量为T(1,,)(8,10,7).…………..【5】

1,1,2488故所求的切线方程为x1y1z2………………..【6】

8107法平面方程为8x110y17z20即8x10y7z12……..【7】

z2x22y22222２、解：，该立体在面上的投影区域为xOyxy2D:xy2．…..xy22z6xy【2】

故所求的体积为Vdvd0220d6222dz220(632)d6……..【7】

11n３、解：由limnunlimnln(1)limln(1)10，知级数un发散…………………【3】

nnnnnn1又111|un|ln(1)ln(1)|un1|,lim|un|limln(1)0.故所给级数收敛且条件收nnnn1n敛．【7】

3 / 6 ４、解：z11(f1yf2)0yf1f2，…………………………………【3】

xyyf1xyf111xff.22322yy2zx11xxf12(2)]2f2[f21xf22(2)]f1y[f11xyyyyy【7】

５、解：的方程为za2x2y2，在xOy面上的投影区域为Dxy{(x,y)|x2y2a2h2}．

又221zxzyaa2x2y2，…..………【３】

22adSadxdy2ad故2200zDxyaxyh2d1222aln(a)22a20a2h2a2aln..【7】

hx2y2z2……三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d【1】

令L(x,y,z)x2y2z2(zx2y2)(xyz1)，

Lx2x2x0L2y2y0y13Lz2z0，解得xy则由，z22zx2y2xyz13．于是得到两个可能极值点

13131313M1(,,23),M2(,,23).…………………【7】

2222又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．

故dmax|OM2|953,dmin|OM1|953. ……【9】

四、【10分】解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得

I2而I1xx2．………………【5】

(esinym)dx(ecosymx)dymdma8DLOA(exsinym)dx(excosymx)dymdxma…………【8】

OA0aL(exsinym)dx(excosymx)dyI2I1ma8ma2. ………………………【10】

4 / 6 an1n3n1limR3，收敛区间为(3,3)…………【2】

五、【10分】解：limnann13n13n11又当x3时，级数成为，发散；当x3时，级数成为，收敛．……【4】

nn1n1nn故该幂级数的收敛域为3,3………【5】

xn令sxn（3x3），则

n1n3xn11xn1111, (|x|3) ……【8】

s(x)n()3n1331x/33xn13于是s(x)x0s(x)dxxdxln3x0ln3ln3x，（3x3）………………….03xx【10】

六、【10分】解：取1为z0(x2y21)的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有I212x3dydz2y3dzdx3z21dxdy6x2y2zdv………….… 【5】

6dd00211202zdz2…………………….…【7】

而I12x3dydz2y3dzdx3z21dxdy3z21dxdy311x2y21dxdy3….… 【9】

II2I123.…………………….… 【10】

七、【6分】解：Ft202r2dr….… 【2】

dsindrcosfr040ttt322442sincosdrdrsindfrrdr

0000t422822rfrdr….… 【4】

0t5 / 6 t322t2f(t2)Ft222limf(t2)22a.【6】 故lim3limt0tt0t03t233

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