2024年1月24日发(作者：2017高考数学试卷湖北)

《微积分》(第3版)，赵树嫄主编，中国人民大学出版社，2007

习题参考答案ch4 中值定理与导数应用 习题四(A) P194 参考答案P427

5. 用Lagrange定理证明：若limf(x)=f(0)=0, 且当x>0时f\'(x)>0, 则当x>0时f(x)>0.

x0证明：当x>0时, 由Lagrange定理得 f(x)−f(0)=f\'(c)(x−0), (00.

6. 证明不等式

sinxsinyxy.

证明：根据Lagrange中值定理, 有c介于x,y之间, 使得

sinxsinycosc(xy)

故

sinxsinycoscxy

8. 证明2x>3−3xy, 故命题成立.

1x, (x>0, x≠1).

32x证明：令y=2x2−3x+1, 则y\'=3(x−1), y\"=>0. y在(0,1)上严格单调下降, 在(1,+∞) 上y严格单调1x上升, 而在x=1处y达到最小值0. 如图所示, 故y>0, (x>0, x≠1).此即 2x>3−9. 利用al\'s Rule求极限.

y

(1)

limeexeex32xxxxx0, (x>0, x≠1).

1

=limee1xxy=y(x)

x

图t8

解：limx0x0=2.

32O

1

(3)

limx3x2xxx1axx433432x1. 解：limx3x2xxx132x1=lim2x6x3x2x122x1=∞.

(5)

limxaa2ax2axxaxx4334334, (a≠0).

解：lim

xaa2ax2axx4=lim3ax324x233xa2a6ax4x=a03=∞.

16.证明y=x−ln(1+x2)单调增加.

证明：y\'=1−2x1x2=(1x)1x22≥0.故y单调增加.

17.证明y=sinx−x单调递减.

证明：y\'=cosx−1≤0.故y单调递减.

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18.求极值.

(1) y=x3−3 x2+7.

解：从y\'= 3x2−6x=0解得驻点x=0,2. 根据y\'的符号变化可知y(0)=7是极大值, y(2)=3是极小值.

(3) y=2xx2.

解：从y\'=12x22xx2=0解得驻点x=1/2. 根据y\'的符号变化可知y(1/2)=3/2是极大值.

(5) y=(x+1)2/3(x−5)2.

解：从y\'=4(x5)(2x1)3(x1)1/3=0解得驻点 1/2,5,奇点−1. 根据y\'的符号变化可知y(0.5)=

818318是极大值,

y(5)=0是极小值 . 奇点x=−1处y有极小值0.

2(7) y=(x−1)x.

3解：从y\'=−5x2331x得驻点x=2/5, 奇点x=0. 根据y\'的符号变化可知y(2/5)= −325320是极小值. 在奇点x=0处y有极大值0.

19. 利用2阶导数判断极值.

(1) y=x−3x−9x−5. 解：从y\'= 3x−6x−9=0解得驻点x=−1,3. y\"=6(x−1), y\"(−1)<0,y\"(3)>0,故y(−1)=0是极大值, y(3)=−32是极小值.

(3) y=2x−ln(4x)2.

解：y=2x−2ln(4x), 从y\'=2(1−1x322)=0解得驻点x=1. y\"=2x2, y\"(1)>0, 故y(1)=2−4ln2是极小值.

20.求指定区间上的最大最小值.

(1) y=x4−2x2+5, [−2,2].

解：从y\'= 4x3−4x=0解得驻点x=0,±1. 比较端点处的函数值y(±2)=13与驻点处的函数值y(0)=5 ,y(±1)=4得y的最大值y(±2)=13, 最小值y(±1)=4.

(3) y=x21x, [−1/2,1].

解：从y\'=x(x2)(1x)2=0解得驻点x=0,−2, 比较函数值y(0)=0,y(−2)=−4与端点处的函数值y(−1/2)=1/2,

y(1)=1/2得y在[−1/2,1]上的最大值y(−1/2)=y(1)=1/2, 最小值y(0)=0.

21. 设f(x)=ax3−6ax2+b, (a>0), 区间[−1,2]上的最大3, 最小值−29 ,求a,b.

解：从y\'= 3ax−12ax =0解得驻点x=0,4, 比较函数值y(0)=b, y(4)=0, 与端点处的函数值y(−1)=−5a+b, y(2)=

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2

−16a+b,可以得到y的最大值3与最小值−29. 显然最大值f(0)=b=3, 最小值y(2)=−16a+b=−29. 故a=2,b=3.

24. … 怎样做总造价最低?

解：设池底半径xm,高ym. 依题得 πx2y=300, 材料总造价P=2πxy+2πx2, (这里假设侧面单位造价为1).

从而P=2πx+600/x . 从P\'=4πx−600/x =0解得驻点x=322150, 根据y\'的符号变化可知P(3150)是极大值,

显然也是最大值. 答：当底半径长3150m, 高23150m时总造价最低.

25. 某工厂A距铁路的垂直距离AB=a km, 如图, C是火车站, BC=b km,已知铁路运费为n元/(吨·公里), 公路运费为m元/(吨·公里), m>n, 问怎样确定转运站M的位置, 才能使运费最省?

解：设CM=x, 则总运费

y=n·CM+ m·MA= nx+m(bx)a

从y\'=n+m(x−b)/(bx)2a2=0, 解得唯一临界点

C

x0=b−na/mn.从实际情况可以判断该点也是最小值点.

答：转运站M距离火车站C点b−na/mn时运费最省.

26. …问怎样确定货场M的位置, 才能道路总长度最短?

解：设CM=x, 则道路总长度

y=AM+ MB=x222A

22M

图t25

B

221+(3x)1.5,

22B

A

2从y\'=x/x1−(3−x)/(3x)21.52=0, 解得唯一正

临界点x0=6/5.从实际情况可以判断该点也是最小值点.

答：货场M距离C点1.2km时道路总长度最短.

C

M

图t26

D

30. …问分几批生产,能使生产准备费以及库存费之和最小?

解：设分x批生产, 则生产准备费以及库存费之和P(x)=1000x+0.05·100·104/2x.

从P\'= 1000−0.05·50·104/x2

=0解得唯一的非负驻点x0=5, x0显然是最小值点.

答：分5批生产,能使生产准备费以及库存费之和最小.

31. …问分几批进货,能使手续费以及库存费之和最小?

解：设分x批进货, 则手续费以及库存费之和P(x)=bx+c·a/2x.

从P\'=b−c·a/2x=0解得唯一的非负驻点x0=2

ca2b, x0显然是最小值点.

答：分ca2b批进货,能使手续费以及库存费之和最小. (注意:也可以设批量为x…)

32. 确定下列曲线的凹向与拐点.

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(1) y=x−x.

解：y\'=2x−3x2, y\"=2−6x, 拐点x=1/3, 故 y在(−∞,+∞)上的凹凸性如下

区间端点

y\"的符号

凹凸性

(3) y=ln(1+x).

解：y\'=2x/(1+x), y\"=2(1−x)/(1+x), 拐点x=±1, 故 y在(−∞,+∞)上的凹凸性如下

区间端点

y\"的符号

凹凸性

35. 求下列曲线的渐近线.

(1) y=e. 解：y无铅直渐近线. 设y=ax+b是渐近线, 则 a=lim1223−∞ 1/3 +∞

+

下凹

−

上凹

22222−∞ −1 +1 +∞

−

上凹

+

下凹

−

上凹

xexxxx=0, b=lim(e−ax)=0, 渐近线y=0.

x1212(7) y=xex. 解：x=0是铅直渐近线.设y=ax+b是渐近线, 则 a=limex=1, b=lim( xex−x)=0, 渐近线y=x.

xx39. 生产x单位某产品的总收益函数为R(x)=200x−0.01x2, 求生产50单位时的总收益,平均收益和边际收益.

解：总收益R(50)= 200·50−0.01·502=9975元. 平均收益= R(50)/50=199.5.

边际收益=R\'(50) =200−0.02·50=199.

40. 生产x单位某产品的利润函数为L(x)=500+x−0.00001x2, 问生产多少单位时的利润最大?

解：L\'(x)=1−0.00002x=0得到驻点x=0.5×105=50000. 答：生产50000单位时的利润最大.

241. 每批生产x单位某产品的费用为C(x)=5x+200, 得到的收益为R(x)=10x−0.01x, 问每批生产多少单位时的利润最大?

解：L(x)=R(x)−C(x), L\'(x)=R\'(x)−C\'(x)= 10−0.02x −5=0得到驻点x=250.

答：每批生产250单位时的利润最大.

42. 某产品的价格P与需求量Q的关系为P=10−Q/5, (1) 求需求量为20及30时的总收益,平均收益和边际收益. (2) Q为多少时总收益最大?

解：(1) R=PQ=(10−Q/5)Q, 总收益R(20)= (10−20/5)·20=120, R(30)= (10−30/5)·30=120.

平均收益R(20)/20=6, R(30)/30=4. R\'=10−2Q/5, 边际收益R\'(20)=2, R\'(30)=−2.

(2) 从R\'=10−2Q/5=0,得到驻点Q=25, 是最大值点,最大值R(25)=125.

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