最新历届(1-24)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案

2023年12月11日发(作者：沈阳初一上数学试卷)

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“希望杯”全国数学竞赛

（第

1-24

届）

初一年级/七年级

第一

/二试题

1•希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题 ............................ 003-005

2•希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题 ............................ 010-012

3•希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题 ............................ 015-020

4•希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题 ............................ 021-026

5•希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题 ............................ 028-032

6•希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题 ............................ 033-040

7•希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题 ............................ 042-050

8•希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题 ............................ 049-058

9•希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题 ............................ 056-066

10•希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 .......................... 062-073

11希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 ........................... 069-080

12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题 ........................... 076-087

13•希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题 ........................... 085-098

14•希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题 ............................. 90-105

15•希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题 ............................. 98-113

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16•希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题 ........................... 105-120

17•希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题 ........................... 113-129

18•希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题 ........................... 122-138

19•希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题 ........................... 129-147

20•希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题 ........................... 148-151

21. 希望杯第^一届（2000年）初中一年级第一试试题 ......................... 142-161

22. 希望杯第^一届（2000年）初中一年级第二试试题 ......................... 149-169

23•希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题 ......................... 153-174

24•希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题 ......................... 157-178

25•希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题 ......................... 163-184

26•希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题 ......................... 167-189

27•希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题 ......................... 174-196

28•希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题 ......................... 178-200

29•希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 ............................. 182

30•希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 ............................. 183

31. 希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题 ........................ 213-218

32. 希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题 ............................ 183

33•希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题 ......................... 228-233

34•希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题 ......................... 234-238

35•希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题 ......................... 242-246

26•希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题 ......................... 248-251

37•希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题 ......................... 252-256

38•希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题 ......................... 257-262

39•希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题 ......................... 263-266

20•希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题 ......................... 267-271

21. 希望杯第二^一届（2010年）初中一年级第一试试题 ....................... 274-276

22. 希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题 ...................... 270-273

23•希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题 ....................... 270-273

23•希望杯第二十四届（2013年）初中一年级第二试试题 ....................... 274-281

希望杯第一届（1990年）初中一年级第

一、选择题（每题1分，共10分）

1试试题

如果a, b都代表有理数，并且 a+

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b=0,那么

（

）

A . a, b都是 0 . B . a, b之一是 0 . C . a, b互为相反数.D . a, b互为倒数

2下面的说法中正确的是

（

）

B单项式与单项式的和是单项式. 单项式与单项式的和是多项式.

CD多项式与多项式的和是多项式. 整式与整式的和是整式.

3下面说法中不正确的是

（

）

A.有最小的自然数. B .没有最小的正有理数.

C.没有最大的负整数.

并且a+ b的值大于a- b的值，那么

D .没有最大的非负数.

如果a, b代表有理数，（

）

A . a, b同号. B . a, b异号.C. a>0. D. b> 0.

A . 2个.

大于一n并且不是自然数的整数有

（

B . 3个.C . 4个. D .无数个.

）

6. 有四种说法：

甲.正数的平方不一定大于它本身；乙.正数的立方不一定大于它本身；

丙.负数的平方不一定大于它本身；丁.负数的立方不一定大于它本身.

这四种说法中，不正确的说法的个数是

A . 0 个.

（

）

B . 1 个.C . 2 个. D . 3 个.

7 . a代表有理数，那么，a和一a的大小关系是（

）

A . a大于—a . B . a小于—a . C . a大于—a或 a小于—a . D . a不一疋大于—a .

&在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边

A .乘以同一个数.B.乘以同一个整式. C .加上同一个代数式.

（

）

D .都加上1.

杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了 10%,

那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是

A . 一样多.B.多了. C .少了. D .多少都可能.

（

）

10 .轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将

A.增多. B.减少.C .不变.

二、填空题（每题1分，共10分）

（

）

D .增多、减少都有可能.

11 15 16

0.0125

汇

3——一汇（―87.5）斗―江―+（—22） —4 =

5 7 16 15

2 2

2 . 19891990 — 19891989 = _____ .精品文档

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-1

(2 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1)

+ x x _ 2

4•关于x的方程

4 8

1的解是

5. 1 -2 + 3- 4+5— 6+7 — 8+ …+4999 — 5000=

x=-——时,代数式(3x3

—

5X+6X — 1) — (x3— 2x2+x — 2)+( — 2x3+3x2+1)的值是

2当.

125

71 1

7•当 a=— 0.2, b=0.04时，代数式

(a2 - b) (b a 0.16) (a b)的值是

73 72 4

&含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐

是 _____ 克.

40%时，秤得盐水的重

9. 制造一批零件，按计划18天可以完成它的-•如果工作4天后,工作效率提高了 -，那么完

成这批零件的一半，一共需要 _______ 天.

10. ______________________ 现在4点5分，再过分钟，分针和时针第一次重合.精品文档

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答案与提示

一、选择题

1. C 2. D 3. C 4. D 5. C 6. B 7 . D 8 . D 9 . C 10 . A

提示：

.令 a=2, b= — 2,满足 2+( — 2)=0，由此

可排除扎D,因此应选C.事J?±a+b = 0^

a=-b,表明魚b互为相反数.

. x2, 2x2, x3都是单项式.两个单项式 x3, x2之和为x3+x2是多项式，排除A.两个单项式x2, 2x2之和为3x2是单项式，排除B.两个多项式x3+x2与x3 — x2之和为2x3是个单项式，排除 C,因此选D.

. 1是最小的自然数，A正确.可以找到正

有理数的urn\'ll,,丄，役有最

-八\'.丄：_：y |

弄

工二:；所以C “没有最大的负整数”的说法不

D正确.所以不正正确.写出扩大自然数列， 0, 1, 2, 3,…，n,…，易知无最大非负数，

确的说法应选C.

由于a+b>a-b,贝ljb> -b =^2b>0=^b>0t

选D.

在数轴上容易看出：在一

n右边0的左边(包括0在内)的整数只有一3,— 2,— 1 , 0共 4个.选C.

由12=1, 13=1可知甲、乙两种说法是正确的.由(一1)

3=— 1，可知丁也是正确的说法. 而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”

的说法不正确.即丙不正确.在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙

选B .

7. 令a=0,马上可以排除A、B、C,应选D.

&对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数.所以排除A.

1个说法不正确.所以

我们考察方程x— 2=0,易知其根为x=2 .若该方程两边同乘以一个整式 x— 1,得(x — 1)(x —2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除 B .若在方程x— 2=0两边加上同一个代数亠得方程厶+伉-6 =亠，此方程无解，失

式

实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，

9. 设杯中原有水量为a,依题意可得，

去了原方程x=2的根.所以应排除C.事

对D,这里所加常数为1 ,因此选D.

第二天杯中水量为 ax

(1 — 10%)=0.9a ;

第三天杯中水量为(0.9a)

(1+10%)=0.9

1.1

a;精品文档

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第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为

= O.?X1,1 = O.99<1.

所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选

10. 设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为V0,则往返一次所用时间为

S S

t() -

a 4-

a-v0

设河水速度增大后为v ,(V > Vo)则往返一次所用时间为

L(a+v0)(a+v) (a-?0)(a-v)

1 _ I

_(a + v0)(a + v) (a-v0)(a-v

由于 v— vo> 0, a+vo> a— vo, a+v> a — v 所以(a+v

o)(a+v) > (a — v°)(a — v)

因此 ------ ! ---- < ------- ! ----

(a + wc)(a

+v) (a -

v0)(a -v)

即 ------ ------------ ---- <0.

(a + v0)(a + v) (a-v0)(a^v)

••• to

— t

vo，即tov

t •因此河水速增大所用时间将增多，选 A.

、填空题

1 2 3 4 5

59百 3JT73397S 1 4答案

-2500

225

7 8

答案

1丄

0.04

45000

题6

—

1提示：

1-讪莎斗討砂咔X护少—精品文档

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.丄 x^

+ lx^x^xl^-4-4

=—+ ---------------------

25X16X8

5 7

门2

+ 3200-^00 1409

.59

225

_ 225 ~ 225 \'

2. 198919902— 198919892 =(19891990+19891989) X (19891990 — 19891989)

=(19891990+19891989)

仁39783979.

3. 由于(2+1)(2

2+1)(2

4+1)(2

8+1)(2

16+1)

=(2 —1)(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)2 4 8

=(2 —2

1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)2 4 O

=(2 —4

1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)4 8 16

=(2 —8

1)(2 +1)(2 +1)O 16

16 16 32 .

=(2 — 1)(2 +1)=2 — 1.

.(2 + 1)(22

十

1)(，+1)(2® +1)(216 +1) _ [

—=

4 8

方程两边同乘呂得

2(1+x) — (x — 2)=8,2+2x — x+2=8解得；x=4

5. 1 — 2+3 — 4+5— 6+7 — 8+…+4999 — 5000

=(1 — 2)+(3 — 4)+(5 — 6)+(7 — 8)+ …+(4999 — 5000)

= M) + M)+Gl) + f-l) + -+Gl)

初伽/1414?1/14?41414114149

33D0f

=—2500.

3 2 3 2 3 2

6. (3x — 5x +6x — 1) — (x — 2x +x— 2)+( — 2x +3x +1)=5x+2 阪=-黑代入亀

X— -----

125

5s+2

（■訴7.注意到:

2 2

当 a= — 0.2，b=0.04 时，a — b=( — 0.2) — 0.04=0，b+a+0.16=0.04

0.2+0.16=0

-?(a + b)

Wfl4

4 4

= 0 05-0 01 = 004.

&食盐30%勺盐水60千克中含盐60

30% （千克）设蒸发变成含盐为 40%的水重x克，即精品文档

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千克，此时，60X

30%=（0.001x）

40% 解得：x=45000 （克）.

9.制造零件苗天完成总量的》则每天完成总量的丄.先按这个效率工作4天完成总量的上,

54 54

而从第5天起作效率提高了*变为每天完成总量的

距完咸总量的-半还号一&甞勰工作

因此，完成这批零件前一半，一井需要

】/丁、

4 ^19--23-（天）.

10. 在4时整，时针与分针针夹角为 120 °即钟面周角的/现在是4点盼.分苛前逬了圆周 ------- 2盼时.分廿与吋针夹甬

的越而时针前逬为分针的言.所以时针前逬了

由于每小吋分針追吋针加-护存所以要追及訴需要磊一护苦咔唱（小时）

希望杯第一届（1990年）初中一年级第 2试试题

督再一、选择题（每题1分，共5分）

liiel分以下每个题目里给出的 A, B, C, D四个结论中有且仅有一个是正确的•请你在括号填上你认为是精品文档

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正确的那个结论的英文字母代号.

1 .某工厂去年的生产总值比前年增长

A. a%

a%则前年比去年少的百分数是

（）

B. （1+a）%. C. -------- D. ----------------------

a +1 a

100a 100+a

甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有 m毫升蓝墨水，从甲杯倒出 a毫升到乙杯里，

0< av m,搅匀后，又从乙杯倒出 a毫升到甲杯里，则这时

A. 甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少.

B. 甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多.

C. 甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同.

D. 甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定.

3. 已知数x=100,则（）

（）

A. x是完全平方数.B. （x — 50）是完全平方数.

C. （x — 25）是完全平方数.D. （x+50）是完全平方数.

1 1

4. 观察图1中的数轴：用字母a, b, c依次表示点A, B, C对应的数，则——, ------ ，—的

ab b — a c

大小关系是（）

I $ I I & I

1 0

~ 2

I g.

⑴

1 1 1

; B.

111

<一

； C. <

1f11

< ; D. <

ab b-a c b-aabc cb-aab cabb-a

5. x=9 , y= — 4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有

（）

A. 2组. B. 6组.C. 12组. D. 16组.

二、填空题（每题1分，共5分）

1. 方程 |1990x — 1990|=1990 的根是 _____ .

2. 对于任意有理数x, y,定义一种运算*，规定x*y=ax+by — cxy，其中的a, b, c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道

的数值是 ______ .

3. 新上任的宿舍管理员拿到 20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中

1*2=3 , 2*3=4 , x*m=x （m^ 0），则m

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的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，

最多要试开 _______ 次.

4. _________ 当m=

现在要打开所有关闭着的 20个房间，他

时二元二次六项式 6x2+mxy— 4y2 — x+17y — 15可以分解为两个关于 x, y 的二元一次三项式的乘积.

平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）

的平方.

三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果.每题

车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带

5分，共15分）

两辆汽24桶汽

三个连续自然数的 _____ 某个自然数

油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进 60公里，两车都必须返回出发地点，但是可

以不同时返回，两车相互可借用对方的油. 为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一

辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？

圆心分别是

如图2,纸上画了四个大小一样的圆，A, B, C, D,直线mi过A, B,直

5（S — 1），直线线n通过C, D,用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是

n之间被圆盖住的面积是 8，阴影部分的面积 S, S2, S3满足关系式S3= S1= S2,求S.

1115

x y z 6求方程的正整数解.

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答案与提示

一、选择题

1. D 2. C 3. C 4. C 5. D

提示：

1•设前年的生产总值是 m则去年的生产总值是 mfl+ —

I 100>

前年比去年少

-■:匚

m * ------

1理-

UL 1十——

这个产值差占去年的

•从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后:

乙杯中含红墨术的比例是亠. m -I- a

乙杯中含蓝墨水的比例是』一・

m + a

5 C

.•「应选D

乙杯中

m -l-a

m + a

毫升

再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后:

乙杯中减少的蓝墨水的数量是 •••①=>••选 C.

1眇国0卩朝彌0

irb 0

=］矜话0卯打刃｛他0 + 2炳卯剪+50

=］戦沪+

1理瑯+刃

=102n^ +10n+3 + 50

=(10n+2)2+2 * 10* * 5 + 50.

n+2 2

C2n+4yro (n^3)4-0

••• x— 25=(10 +5)

可知应当选C.

4•由所给出的数轴表示（如图 3）

可以看出

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/. 0<1<1,……c

①

—……②b-a

1 i 1

•••①v②v③，.••选C.

5. 方程 2x1 2 3+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1 • 2 • 3 - 5

Tx, y是整数，

• 2x+3y, x+y也是整数.

由下面的表

2x+3y 1 30 15

3 6 5

x+y 30

3 10

2x+3y -1 -30 -15 -2 -10 -3

-rj

-5

x+y -30 -1 -2 -15 -3 -10 -5 -6

可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有 16组整数组，应选D.

二、填空题号

答案

0, 2

210 5

禾是

提示：

1 原方程可以变形为|x — 1|=1，即x-1=1或-1 , • x=2或0.

2 由题设的等式 x*y=ax+by-cxy

及 x*m=x(mz

得 a • 0+bm-c • 0 • m=0,

• bm=Q

■/ 0,「. b=0.

•••等式改为 x*y=ax-cxy .

•/ 1*2=3 , 2*3=4 , .fa - 2c = 3, & /口

解得 a=5,

c=1

•题设的等式即x*y=5x-xy .

在这个等式中，令 x=1 , y=m 得5-m=1 , • m=4.

v打开所有关闭着的20个房间，

•最多要试开

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20 + 19 + 18 + \"* +3+2 + 1 = ^*^ • 20 = 21

炊.

4 •利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式

6x2+mxy-4y2-x+17y-15

中划波浪线的三项应当这样分解：

3x -5

2x +3

现在要考虑y，只须先改写作

然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：

由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x

2+5xy-4y

2-x+17y-15 就是原六项式，所以 m=5.

5•设三个连续自然数是 a-1 , a, a+1，则它们的平方和是(a-1)

2+a2+(a+1)

2=3a2+2,

显然，这个和被3除时必得余数2.

另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成

3b, 3b+1, 3b+2 (b是自然数)中的一个，但是它们的平方

(3b)

2=9b2

(3b+1) =9b +6b+1,

2 2

(3b+2) =9b+12b+4

=(9b2+12b+3)+1

被3除时，余数要么是0,要么是1 ,不能是2,所以三个连续自然数平方和

数的平方.

三、解答题

1 •设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了 x升汽油时即回返，留下返程需的 x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙.让乙继续前行，这时，乙有 (24-2x)+(24-x)=48-3x 桶汽油，依题意，应当有 48-3X

< 24 ,••• x> &

甲、乙分手后，乙继续前行的路程是

不是某个自然

(24

七) +

(24-2对.60 = 3008_42)(仝里)

这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，

以当x=8时，得最大值30(48-4 • 8)=480 (公里)，

因此，乙车行驶的路程一共是 2(60 • 8+480)=1920 (公里).

2. 由题设可得

因为x> 8,所

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f5(S-l) = 4S-SI

^S1 = S2 = 3S3.

/. s3 =

J 7

...... ①

又昭-扫-岂-気=乳

即2S-5S3=8……②

由①、②消去得得S二里.

y z 6

\'.\'Ef yd工是正整数*并且丄斗丄亠

••• x, y, z都〉1,

K y

” 1 1 I\" 1 1 3

——+— + — -— + — + — = — »

囂

z y z z x x z

即丄<2<丄二2<3<$,可确定\"2或3. x 6 z 5 5

当z = 2时，得丄C丄+2=--丄=丄

即-C -

1 i

卞

3 y y y

丁确定y = 4

站或&

当

x = 3

时，由— + — + —

=： — — 1 = —

x y z 6 3 2

y y

E 2 y y y

即

y 2 y

=^2

可知汁

3或

一

于是扑“了得\"⑵防中得\"*冶)；

y = ^> I y = is

因此，当1 < x < yw

z时，解

(x , y, z)共(2 , 4,12) , (2 , 6, 6),

(3 , 3, 6) , (3 , 4, 4)四组.

由于x, y, z在方程中地位平等•所以可得如下表所列的

15组解.

4 4

112

斗

2 4 n

百

斗

124

12 4

6 2

& 3 3 4 3 4

2 2

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希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题

一、选择题（每题1分，共15分）

以下每个题目的A, B, C, D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的

那个结论的英文字母代号.

A.最小整数.

B.最小正数.C.最小自然数.

D.最小有理数.

irni

1 1A.

1.1a b

; B

.-a

-b

C. |a|

|b|

3. a为有理数，则一定成立的关系式是

A. 7a> a . B. 7+a> a . C. 7+a> 7 .

D|a|

2. 若a>b,则4. 图中表示阴影部分面积的代数式是A.

ad+bc

c(b-d)+d(a-c)

. C.

ad+c(b-d)

. D.

ab-cd

5. 以下的运算的结果中，最大的一个数是

()

2468

C.(-13579) D.(-13579)

2468

A. (-13579)+0.2468; B.(-13579)+6 . 3.1416

7.5944+3.1416

(-5.5944)的值是

()

A. 6.1632 . B . 6.2832 . C. 6.5132 . D. 5.3692 .

7. 如果四个数的和的丄是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是（）

A. 16 . B . 15 . C . 14 . D . 13 .

1 1

8. 下列分数中，大于-—且小于-—的是（）

1A.-

—1

;B.-

C.- — ; D.-

3 4

9. 方程甲：一（x-4）=3x与方程乙：x-4=4x同解，其根据是（）

A.甲方程的两边都加上了同一个整式 x . B.甲方程的两边都乘以一x;

4 3

C.甲方程的两边都乘以一

；D.甲方程的两边都乘以

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（欢迎来主页下载---精品文档

10 .如图： \' \'

r；4

，数轴上标出了有理数 a, b, c的位置,其中O精品文档

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1 1 1

是原点，则，丄，的大小关系是（）

a b c

(mp+ nq)%,D.

(mp + nq)%

p qA. ■p_q

； B.

(mp nq)%

； C.

m n

1 1 1

b a c

—1 1 1

a b c

-> —B.

1 1 1

b c a

> > ;

C> > ;D.

1 1 1

> >—

cab

1.方1

程

的根是（）

22.2

3.7

A27.

13 .在-1 , -2.5 , -0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积

-4 ,

是（）

A. 225.

14.不等式

A. x

B. 0.15 . C. 0.0001 . D. 1 .

4-2y

12.

当:,y=-时，代数x

的值是（）

A-6

B .

-.C.

.2 .6

3B . 28. C. .29. D.

.x x x x

2 4 8 16

x的解集是()

D.x>- B. x

C . x

15 .浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是

、填空题（每题1分，共15分）

计算：(-1)+(-1)-(-1)

(-1)十(-1)= ___________

（）

. 计算：-3 十 6X —=

计算：皿空= .

162

求值：(-1991)-|3-卜31||= ____ .

6 12 20 30

n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的

四位数是8009.则n的最小值等于 ________

7.计算:

(191919 \'

V 919191f 1919 \'

V 9191丿

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8. 计算：一 [(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)1=

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9.在(-2)

中,最大的那个数是

2x -1 10x 1 2x 1 ,

11.解方程

1, x =

10 .不超过(-1.7)

2的最大整数是 ________

f 35^1 |_ 35511

12.求值

113 \"

113\"

ab cd ef

和都相等

a b cd e f

355 ]

13. 一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是

14. 一个数的相反数的负倒数是

—,则这个数是

15.如图11, a, b, c, d, e, f均为有理数.图中各行，各列、两条对角线上三个数之精品文档

7,则这个质数是

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答案与提示

一、选择题

1. C 2 . B 3 . B 4 .C 5 .C 6.B 7 . B 8 . B 9 . C 10 . B 11. D 12 . A 13 . B

1 4 . A 15 . D

提示：

1 .整数无最小数，排除 A正数无最小数，排除 B;有理数无最小数，排除 D. 1是最小自然数.选C .

1. -!■亘!〉一「三’丄：圭二-二有 |2|

v|-3|，排除 C;若 2> -3 有 2*

(-3)

2,排除D;事实上，a> b必有-a

-b .选B .

4. 把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于

ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)

5. 运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

屍见-13^7? X不打的绝对值尉卜所以其值最大..

选

3.1416

7.5944+3.1416

(-5.5944)

=3.1416(7.5944-5.5944)=2

=6.2832 .选 B .

7. 由四个数之和的;是茂知四个数之和

若a=0,7x

0=0排除A; 7+0=7排除C|0|

7排除D,事实上因为7> 0,必有7+a>0+a=a.选

.选 C .

3.1416

为 32 .第四个数数=32-(-6+11 + 12)=15

.选B.

^.3

16’

_1< -2.^(7- —<

J16 16^ 17

18 A

排除刼而一卜遗<_善—

<_|

选E

—.匸=口厂4「• 7 .口厂「厂新方程x-4=4x与原方程同解.选C.

io.

图中易见制〉尔丄A丄排除但右*所以必有!>1〉丄.选号. © ◎ 卜

b c a

12.

_ 2 +4

--1

疔T爲三乍st.竝.

13 . -4 , -1 , -2.5 , -0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是 -15 , (-0.01)

扌 ―X

(-15)=0.15

.选 B.刃

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X K X K

』“

X-—-—

16x- 3x-4x - 2x -z

<^1 x

2 4 8 16

15.设混合溶液浓度为 x,则 mx p%+rK

q%=(m+n) + n

二一 —:.

二、填空题

提示：

1. (-1)+(-1)-(-1)

(-1)

(-1)=(-2)-(-1)=-1

2. -32 -6X 1=6

lx 2 = -1,

6 & 4

,5.

(-63) x 36

162

= —

7X9X4X92X9X9

= —1

斗.

4. (-1991)-|3-卜31||=-1991-28=-2019

3 2二-丄_丄一丄-丄

“ 2~6~12 \' 20~ 30~?2

=—1

、

—■

fl I

—I

+ + +

42/

1 1

1 133445566

2 2 7 7,

6. 1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字.即为 0000，即个

0，所以n的最小值为4.

& - [(-1989)

7 (_ 191919^ _ <1919^ \'+ (-1990) 4-

1991) +(-1992) +

l~919191J ~9A9V

(-1993)]=-1991

9. 绝对值最小者为(冷凡所以最大的数为

〔4丄

\' T 243\'

10. (-1.7) =2.89，不超过2.89的最大整数为2.

「

2x-1 10x +1 2z + 1 .

1 ] ■ ---------

— ----------- = ----------

12 4

— 1

去分母得

4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12 .

8x-4-10x-仁 6x+3-12

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1990n末位至少要4

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8x-10x-6x=3-12+4+1 .精品文档

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-甌=4 x =-.

355 355

T13T13

帀

113

―355\"

113

13.十位数比个位数大

7的两位数有70, 81, 92,个位数比十位数大 7的两位数有18, 29,

其中只有

29是质数.

14.设这个数为也其相反数为-盂・它的负倒

数是-丄=丄，即- = ^7.所以\"19.

-x x x is?

15.由

6 + d + f = f+7 + 2^>d = 3；

由d + 2 + a = 6 + b + a, d - 3 =>b = -1；

b+d+7=-1+3+7=9 ,所以各行各列两条对角线上三个数之和等于 9.

f=0

ab + cd + ef

a+b+c+d+e+f

4X(-1) + 5X(3) + 1XQ

14 + (-1) + 5+3 + 1 + 0

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a=4, e=1, c=5, 易求得欢迎来主页下载---精品文档

希望杯第二届（1991年）初中一年级第

一、

选择题（每题1分，共10分）

2试试题

设a, b为正整数（a>b）. p是a, b的最大公约数，q是a, b的最小公倍数.则p, q, a, b的大小关系是

（）

A. p>q>a> b. B . q>a>b> p. C . q>p>a>b.

数，且分子比分母小

数为小于

6的正数，则满足上述条件的分数共有

（）

D. p>a> b>q.

一个分数的分子与分母都是正整1,若分子和分母都减去1,则所得分7

A. 5个. B. 6个. C. 7个. D. 8个.

3. 下列四个等式：a=0,ab=0,a

2=0,a

2+b2= 0中，可以断定a必等于0的式子共有

（）

A. 3个.

B. 2个. C. 1 个. D. 0个.

a为有理数.下列说法中正确的是

（）

A. （a+1）

2的值是正数.B. a2+1的值是正数.C. -（a+1）

2的值是负数.D. -a

2+1的值小于1.

5. 如果1

x-2 x-1

A. -1 . B . 1 . C. 2. D. 3.

6. a, b, c均为有理数.在下列

甲：若a>b,则ac2>bc2.乙：若ac2>be2,则a>b.两个结论中，

（）

A.甲、乙都真.B .甲真，乙不真.C.甲不真，乙真.

（）

A. 2a+3b-c

. B.

& ①若a=0,

3b-c

. C.

b+c

. D.

c-b .

D.甲、乙都不真.

有理数a, b, c在数轴上的位置如图所示,式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简结果为

片

0，方程ax=b无解.②若a=0, b丰0,不等式ax> b无解.③若a* 0,则

方程ax=b有唯一解x=—;④若a* 0,则不等式ax>b的解为x>—.则（）

A.①、②、③、④都正确. B.①、③正确，②、④不正确.

9.若

的值是（

ab a 1

abc=1,bc b 1 ca c 1

C. ①、③不正确，②、④正确. D.①、②、③、④都不正确.

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A. 1

. C.

-1

-2

10 .有一份选择题试卷共六道小题.其得分标准是：一道小题答对得 8分，答错得0分,精品文档

化简:

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不答得2分•某同学共得了 20分，则他（）

A.至多答对一道小题. B.至少答对三道小题.

C.至少有三道小题没答. D.答错两道小题.

、填空题（每题1分，共10分）

1 .绝对值大于13并且小于15.9的所有整数的乘积等于 __________ .

„

m _21 m_900

2.单项式寸xy\'z11与3xy2zF

是同类项，则m= ___________________

__________ 190091

199019912 -19901989 19901991

4. 现在弟弟的年龄是哥哥年龄的

1,而1 ,则哥哥现在

9年前弟弟的年龄只是哥哥的

的年趟龄是 ______

5. 某同学上学时步行，放学回家乘车往返全程共用了 1.5小时，若他上学、下学都乘

车•则只需0.5小时.若他上学、下学都步行，则往返全程要用 ____________ 小时.

6. 四个连续正整数的倒数之和是 __________________

19 ,则这四个正整数两两乘积之和等于

1.2345 +0.7655 +2.469

2 2

0.7655= ______

8. 在计算一个正整数乘以3.57的运算时，某同学误将3.57错写为3.57,结果与正确答

案相差14,则正确的乘积是 ________ .

9. 某班学生人数不超过 50人.元旦上午全班学生的

-去参加歌咏比赛，全班学生的-

9 4

去玩乒乓球，而其余学生都去看电影，则看电影的学生有 _________ 人.

10 .游泳者在河中逆流而上.于桥 A下面将水壶遗失被水冲走.继续前游 20分钟后他发

现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶.在桥 A下游距桥A 2公里的桥BT面追到了水壶.那么

该河水流的速度是每小时 _______ 公里.

三、解答题（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）

1. 有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从 1到100这一百个自然数，问从这 100名运

动员中至少要选出多少人，才能使在被选出的人中必有两人，他们运动服的号码数相差 9?

请说明你的理由.

2. 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值

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的运算，其运算过程是：输入第一个整数X!，只显示不运算，接着再输入整数X2后则显示|X!-X2| 的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从

1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为p.试求出p的最大值，并说明理由.精品文档

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答案与提示

一、选择题

1. B 2 . A 3 . A 4. B 5. B 6. C 7 . C 8. B 9 . A 10 . D

提示：

1 .两个自然数的最小公倍数一定不小于两数中较大者.两个自然数的最大公约数一定不大于两数中较小者.所以 q》a> b> p.选B .

2. 设a为正整数，该分数表为二.依题意

a + 1

—解得0

a 7

M &六个值”因吐也衙足上述条件的分教共有五

3. 7 = 0,由^母h萨0 =>◎ = 0. ab = 0 h

二■ a = 0或 b=0,即必为 0. a2 = 0 a = 0. aa + ca =0,则直三0且b = O,也有心为0.所以

，也有a必为0 .所以a必为0的式子共有3个.

选A.

4 . a=-1 时(a+1)

2=0, A不真；a=-1 时-(a+1)

2=0, C也不真；a=0时-a2+ 仁1, D不真；只有对任意有理数a, a2+1 >0成立.选B .

5. 当 1v

2时，x> 0, x-1 > 0, x-2

0 .

, |x_2|=2_x ••• |x|=x , |x-1|=x-1

----- - — ------ + —

x-2 1 -x x

=-1-(-1)+1=1

7. 由圈4可见.a0=>|b|=b

© ~i■右=1+

◎ + (色一 1)〉CL /. a + i|= a

+b・ =>

.选 C .

.选 B.

若c=0,甲不正确.对于乙，若 ac2> be2，可推出CM 0,二c2>0,进而推出a>b,乙正确.选e-b>0 , |b-e|=e-b . • |a|+|b|+|a+b|+|b-c|=-a+b+a+b+c-b=b+c

&若a=0, b=-1 , 0x > -1，可见②无解不

真+ 若a^OttiOa = -1. -x>b -bt ④不真.

只有①，③是正确.选R

9 . abe=1，则 a, b, e均不为 0 .精品文档

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a b c

------------ 1 1 ---- ab + a +1

b +1 +bc be + b +1

be + b+ 1 ca + c +1 ac - b be

i + b +bc

— -------------- -I ---------------- +

--------------

1 + ac + c be + b + l 1 + bc + b

b + l+bc

abc b be

= ---------------- + ---------------- 4 - --------------

选A.

1 + be + b

10. 设选对x题，不选的有z题，选错的有y题.依题意有x+y+z=6 , 8x+2z=20(x >0, y

> 0，z > 0,且都为整数).解之得 x=2, y=2 , z=2，选D.

二、填空题

提示：

1. 绝对值大于13而小于15.9的所有整数是-15 , -14 , 14, 15,其乘积为

(-14)(-15)(14)(15)=44100

2. 单项式討V与珈备〒是同类

4-17, 4^-7964, 项* 应有^--21-

幽-1991,

3. 令 n=19901990, n-仁19901989 , 19901991=n+1 .

.则分母 199019912-19901989

19901991=(n+1)

2-(n-1)(n+1)=2(n+1)

4*设哥哥现年为炒弟弟规年为詳,九年

前弟弟年龄为哥哥年龄为匕-9)” 由题意号-日=j(x~9), = 24.

所臥答案为

190091

39S03982

设步行速度为x，乘车速度为y，学校到家路程为s,则

s s

- + -= 1.5,

兀尹

— = 0.:5=>- = 0.25.

= 1 25=> — = 2.5

1 3

设所求的四个连续整数分别为 a, a+1,

+ -------- + --------- = ---

20 b + 2 a + 3

20X4

7+3

1—a-2,

4 4

或a - 3*

20\'

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••• a=2不合题设条件.

当盘-m时.

1111 20 + 15+ 124-10

3 4 5 6 60

沒•兰所以这四个数为彰”其两两乘积之

和为 3X

4+3X

5+3X

6+4X

5+4X

6+5X

6=119.

2 2

7. 令 x=1.2345 , y=0.7655，则 2xy=2.469

0.7655 , 1.2345 +0.7655 +2.469

22 2 2

0.7655=(x+y) =(1.2345+0.7655)

2=22=4

8, 3.5 7 =3—.设一个正数加.依题童

3.5 7

皿-14

x- 180.

* 322

所叽正确的乘积^杲加X180 = —X130

=644,

9•显然全班人数被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小公倍36整除，但全班人数小于50,可见全班总计36人，看电影的同学为36-8-9=19 .

10. 设该河水速每小时x公里.游泳者每小时

游曲里.那末游泳游於里那末游泳者自桥卫逆菰

游了弟佃-戒公里.

+ 齐 @ R

在返回追寻的时间用了 ---------- 小时.它比水

a + x

壶在遗失后飘流时间三小时少害外时.由此得方

X 60

程

恥丽SF

a + x

x 60

解得x=3 .即该河水速每小时3公里.

三、解答题

1. 若选出54个人，他们的号码是 1 , 2，…，8, 9, 19, 20,…，26, 27, 37, 38…，

44, 45, 55, 56,…，62, 63, 73, 74，…，80, 81, 91 , 92…，98, 99.的时候，任两个人号码数之差均不等于 9.

可见，所选的人数必》55才有可能.

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我们证明，至少要选出 55人时一定存在两个运动员号码之差恰是 9.

被选出的55人有55个不同号码数，由于55=6X

9+1,所以其中必有7个号码数被9除余数是相同的.但由1 —100这一百个自然数中，被9除余数相同的数最多为 12个数.因此7个数中一定有两个是“大小相邻”的，它们的差等于 9.

所以至少要选出55名小运动员，才能使其中必有两人运动服的号码数相差

xi, X2中最大的数.对

由于输入的数都是非负数.当 xi> 0, X2> 0时，|xi-X2|不超过1991个数设 xi

>0, X2> 0, X3> 0,则||x

i-X2|-x

3|不超过xi, X2, X3中最大的数.小明输入这

次序是 Xi ,

X2,…，X1991

,相当于计算：II …||x

1-X

2|-X

3I ........... -X

199O|-X 199l| = P .因此 P的值W

1991.

另外从运算奇偶性分析，X1, X2为整数.

1-X

2I与X1+X2奇偶性相同.因此P与 X1+X2

+…+X1991的奇偶性相同.

但X1+X2+…+X1991=1+2+…199仁偶数.于是断定 PW

1990 .我们证明P可以取到1990.

对 1, 2, 3, 4，按如下次序 |||1-3|-4|-2|=0

|||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0

上述办法依次输入最后显示结果为

所以P的最大值为1990 ..

，对k=0, 1 , 2，…均成立.因此， 1-1988可按

. 0.而后||1989-1990|-1991|=1990

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希望杯第三届（1992年）初中一年级第1试试题

、选择题（每题1分，共10分）

1. 有理数-_ 一定不是（）

A.正整数.B .负整数.C.负分数.

对是

D. 0.

下面给出的四对单项式中，是同类项的一（）

3 1992 11

—

x2y与-3x

2z; B.3.22m

2n3与一1—n3m； C.0.2a

2b与0.2ab

2; D.11abc 与—ab.

3. (x-1)-(1-x)+(x+1) 等于

()

A. 3x-3 . B. x-1 . C. 3x-1 . D. x-3 .

4. 两个10次多项式的和是()

A. 20次多项式.B. 10次多项式.C. 100次多项式.D.不高于10次的多项式.

在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是

A. a,

-1

-a

6. a=-123.4-(-123.5)

A. c>b>a.

< |b|，那么下列式子中结果是正数的是

A. (a-b)(ab+a)

-a

-1

a. C.

-1

-a

1. D.

-1

若a+1v

0，则()

-a

, b=123.4-123.5 , c=123.4-(-123.5) ，贝U ()

D. b>c>a.

若av

0, b>0,且|a|

B. c>a>b. C. a>b>c.

()

. C.

(a+b)(ab+a)

(ab-b)(a+b). . B.

(a+b)(a-b)

&从2a+5b减去4a-4b的一半，应当得到()

A. 4a-b . B. b-a . C. a-9b . D . 7b .

9 . a, b, c, m都是有理数，并且 a+2b+3c=m, a+b+2c=m 那么 b与c ()

A.互为相反数.B .互为倒数.C .互为负倒数. D.相等.

10,

10.张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为 15 ,后两个有理数的平均值是

那么张梅写出的五个有理数的平均值是

A.5; B.8

（）

; C.12

; D.13.

二、填空题(每题1分，共10分)

1. 2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15= ______

(-2) 5

(呵(-12)

(_3)汉4汉(—15)

= .

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1[(勺)19 +(—1 )92 +(+1 )3 +(—1 )22 1

4. 若P=si+3ab+b2, Q=ef-3ab+b

2,则代入到代数式 P-[Q-2P-(-P-Q)] 中，化简后，是

5.1992-{1991-1992[1991-1990(1991-1992)

1990

]}= _______________ .精品文档

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2 3 3

3a2b

6. 六个单项式 15a,xy, a b ,0.11m，-abc,-

的数字系数之和等于

别为

有理数的乘积等于 _______ .

& 一种小麦磨成面粉后，重量要减少

公斤的小麦.

小华写出四个有理数，其中每三数之和分2，17, -1，-3，那么小华写出的四个

15%为了得到4250公斤面粉，至少需要 _________

2 + x 2x

9. --------------- 满足 ----- > 的x值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于

10.在下图所示的每个小方格中都填入一个整数:

工

2 V

并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于

5,则

…x + y + z

xyz

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答案与提示

一、选择题

1. D 2. B 3 . C 4 . D 5. A 6 . B 7 . A 8 . D 9 . A 10 . D

提示：

1. 因-丄为有理数，所以声0.

若1, —^ = K排除直.

若包=1, —— = ^1,排除E.

若“臨则是负分敛推除G

a 2

故选D.

3 . (x-1)-(1-x)+(x+1)

=x-1-1+x+x+ 仁3x-1，选 C.

x10+x与-x

10+x2之和为x2+x是个次数低于10次的多项式，因此排除了

选D.

所以-a > 1.于是由小到大的排列次序应是

6. 易见 a=-123.4+123.5=0.1 , b=123.4-123.5

0, c=123.4-(-123.5)

以 b

c,选 B .

7. 因为 av

0, b> 0.所以 |a|=-a , |b|=b .由于 |a|

|b| 得-a

b,因此 a+b> 0, a-b

0 . ab+av

0, ab-b

0.所以应有(a-b)(ab+a) > 0成立，选 A.

一. I J. * I =2a+5b-2a+2b=7b，选 D.

9. 因为a+2b+3c=m=a+b+2c所以b+c=0，即b, c互为相反数，选 A.

由a+1v

0,知av

-1，av

-1

-a ,选A.

> 123.4 >a, 所

多项式A、B、C,

依同类项的定义，选 B.

10 .前三个数之和=15

后两个数之和=10X

2 .

所以五个有理数的平均数为

、填空题

题号

答囂

题号

6 7

12a1993

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答案

-1728

5000

-30 1

提示:精品文档

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1•前12个数，每四个一组，每组之和都是 0•所以总和为14+15=29.

(-2)心\"-8)X(-⑵

\'(-3)X(4)X(H5)

2X5X3X 12 16

=— _________ = — = —S =

3X4X15 3 3\'

3. 丄[(+1)旳+(-1产斗(+1)3+卜1严

=-[1 + 1 + 1 + 1] = 2.

2 2

4. 因为 P-[Q-2P-(-P-Q)]

=P-Q+2P+(-P-Q)

=P-Q+2P-P-Q

=2P-2Q=2(P-Q)

以 P=『+3ab+b2, Q=£-3ab+b2代入，

原式=2(P-Q)=2[(a

2+3ab+b2)-(a

2-3ab+b2)]

=2(6ab)=12ab •

5. 原式=1992-{1591-1992(1991-1990])

=1992-(1991-1992} = 1992 - (-1)

= 1993.

6. 六个单项式的系数依次为：

15, +b OIL -1P -

它们的和=15 + l + ? + Q」l + (—1)+(—弓

7 •小华写四个有理数之和为

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2+17 + (-1)+(-3)匕

------------------ =九

分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为

乘积=3X

(-12)

8=-1728 •

&设需要x公斤小麦，根据题意，得

3, -12 , 6, &所以，这四个有理数的

解方程，得x=5000 •

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答：需要5000公斤小麦.

去分母，得 3(2+x) > 2(2x-1)

去括号，得6+3x > 4x-2

移项，得 3x-4x > -2-6

合并同类项-x >-8

于是x< &

其中绝对值不超过11的整数之和为(-9)+(-10)+(-11)=-30

10•容易断定与x相邻的两个数分别为9与2,即卩

因为9+x+2=5,则x=-6 ,依任意三个相邻格子中所填数之和都等于

子中所填之数如下：

-2

■

2 9

-2 9

9 2

断定y=-6 , z=9 .所以

x + y + z

(-6) + (-6) +

9 -3 1

xyz -

(-6)(-6) * 9

_ 324 - \"108精品文档

5,分别确定出每个格欢迎来主页下载---精品文档

希望杯第三届（1992年）初中一年级第

一、选择题（每题1分，共10分）

1. 若 8.047

3=521.077119823，则 0.8047

3等于（）

2试试题

A. 0.521077119823 . B. 52.1077119823 . C. 571077.119823 . D. 0.23 .

的相反数，那么这个数是

A.正数.

式中正确的是

A. -b > a>-a >b .

B.负数.C.奇数. D.偶数.

若a>0, bv0且av

|b|，则下列关系若一个数的立方小于这个数（）

（）

B. b> a>-b > -a . C. -b >a> b>-a . D. a>b>-a >-b .

在1992个自然数：1, 2, 3，…，1991 , 1992的每一个数前面任意添上“ +”号或“-” 号，则其代数和一定是

（）

A.奇数.

1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的

混在一起，成为1992个有理数，而忘掉哪个是平均数了.

1992 .则原来的1991个有理数的平均数是

A. 1991.5 . B . 1991 . C. 1992 .

B.偶数.C.负整数. D.非负整数.

某同学求出1991个有理数

如果这1992个有理数的平均数恰为

（）

D. 1992.5 .

6. 四个互不相等的正数 a,b, c,d中，a最大,d最小，且，则a+d与b+c的大小关系是（）

A. a+dv

b+c . B . a+d> b+c . C. a+d=b+c . D.不确定的.

Jx -1992y = p

7. 已知p为偶数,q为奇数，方程组

[1993x + 3y = q

的解是整数，那么（）

A.x是奇数，y是偶数.B. x是偶数，y是奇数.

C. x是偶数，y是偶数.D. x是奇数，y是奇数.

& 若 x-y=2 , x2+y2=4，则 x1992+y1992的值是（）

19922

. C.

1992

. D.

41992

9.如果x, y只能取0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中的数，并且3x-2y=1，那么代数式 10x+y可以取到（）不同的值.

A. 1个. B. 2个.C. 3个. D.多于3个的.

10 .某中学科技楼窗户设计如图 15所示.如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数

码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数.这四层组成四个三位数，它们是

206, 439 .则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的（）

837, 571,

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B-

D-

S15精品文档

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是六个有理数,关且a

1.a,b,c,d,e,f

、填空题(每题1分，共10分)

3‘d

2•若三个连续偶数的和等于

等于 ______ .

、，，

2^2 2 3、

3 .右 x +y =1000，且 x y-xy =-496，贝U (x -y )+(4xy -2x y)-2(xy -y )= ________ .

3 3 2 2 3 31992.则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差

4•三个互不相等的有理数，既可表示为

1992 , 1993

1, a+b,a的形式，又可表示为0,

b,b,的形式,

则 a +b = __________ .

5.海滩上有一堆核桃.

第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的 -,又扔掉4个到大海中去，

个

第二天吃掉的核桃数再加上

3个就是第一天所剩核桃数的-,那么这堆核桃至少剩下

6. _______________________________________________________________ 已知不等式3x-a < 0的正整数解恰是1, 2, 3.那么a的取值范围是 _________________________ .

b,c是三个不同的自然数，两两互质.已知它们任意两个之和都能被第三个整除.

3.3 3

则

a+b+c= .

2 2 2

8. 若 a=1990, b=1991, c=1992，则 a +b +c -ab-bc-ca= _____

9. 将2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11这个10个自然数填到

17中10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的

所填数字之和都等于p.则p的最大值是 ________ .

10. 购买五种教学用具 A1, A2, As, A4,乓的件数和用钱总数列下表：

、^品名

图

4个格子

S17

AA3

第一枚购件

数

第二袂陶件

数

1992 元

2984 元

那么，购买每种教具各一件共需 _________ 元.

三、解答题(每题5分，共10分)

1. 将分别写有数码1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是

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一个能被11整除的最大的九位数.请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程.

排列可得一个新的自然数

称a是一个“希望数”.

(1) 请你举例说明：“希望数”一定存在.

(2) 请你证明：如果a, b都是“希望数”，贝U ab一定是729的倍数.一个自然数a，若将其数字重新b •如果a恰是b的3倍，我们

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答案与提示

、选择题

1. A 2 . B 3 . A 4. B 5. C 6. B 7 . B 8 . C 9 . C 10 . D

提示:

而5丿=iooo3

所以将8.047

3=512.077119823的小数点向前移三位得 0.5，即为0.8047

3的值，选A.

2. 设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a3v-a,

••• a +av0,

a(a +1)

因为a2+1> 0，所以av

0,即该数一定是负数，选 B .

上直观表示出来，

离，如图18所示.所以-b >a>-a >b，选A .

4. 由于两个整数a, b前面任意添加“ +”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变.这个性质对已知a> 0, bv

0, av

|b| .在数轴b到原点的距离大于a到原点的距3 2

n个整数也是正确的.因此，

1, 2, 3…，1991, 1992,的每一个数前面任意添上“

偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-

+”号或“-”号，其代数和的奇

B. …-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，所以选

原来1991个数的平均数为 m则这个1991个数总和为mK

1991 .当m昆入以后，那1992

. - 个数之和为mx 1991+m,其平均数是1992,

• m=1992 选 C.

6. 在四个互不相等的正数 a, b, c, d中，a最大，d最小，因此有a> b, a>c, a>d, b

因为所以 —=

->L c - d d

即日a-b-

b〉u-d.

所以a+b> b+c,成立，选B .

7. 由方程组

c - d d

蛊-I992y 二

l993x +

①

= q

②

以及p为偶数，q为奇数，其解x, y又是整数. 由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B.

&由x-y=2 ①

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平方得x2-2xy+y

2=4 ②精品文档

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2 2

又已知x +y =4 ③

③-②得2scy = 0 =野=Ch

所以x, y中至少有一个为0,但x2+y2=4.因此，x, y中只能有一个为0,另一个为2或-2 .无论哪种情况，都有

xi992+yi992=o1992+（ ± 2）1992 =21992,选 C.

9 .设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得

23x — 1

小、

a = 一宀

由于x, y取0—9的整数，10x+y=a的a值取非负整数.由（*）式知，要a为非负整数，23x 必为奇数，从而x必取奇数1, 3, 5, 7, 9.

另一方面*強乡=1得卄专，但y最大取值是9,所切■ 专 V

19,因此，弄只能取1, 3,「这

三个奇数值，y相应地取1, 4, 7这三个值.这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11, 34和 57,选C.

、填空题

题答

1 2 3

4 5

720

5312

答案

10D0

1-由耳

720

提示:

= 720.

1992

偶数应

为2 3 4 5 6

学

= 664,其余另两个偶数分别为碗

2. 三个超秦偶数之和为1992,则中间一个

与666,所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于

6662-662

2=(666+662)(666-662)=1328

4=5312.

3. 由于 x3+y3=1000,且 x2y-xy

2=-496，因此要把(x

3-y

3)+(4xy

2-2x

2y)-2(xy

2-y

3)分组、凑项表示为含x3+y3及x2y-xy

2的形式，以便代入求值，为此有

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3-y

3)+(4xy

2-2x

2y)-2(xy

2-y

3)=x

3+y3+2xy2-2x

2y=(x

3+y3)-2(x

2y-xy )=1000-2(-496)=199

4. 由于三个互不相等的有理数，既可表示为 1 ,精品文档

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a + b,日的形式，又可表示为山色的形式.也 a

就是说这两个三数组分别对应相等，于是可以断

定,日+ b与目中有一个为0,岂与&中有一个为1,

但若a ■山会使乞役勤L所1^/0,只能是

= 0斗由=-i,又&尹On包■ T,由于0, a

b为两两不相零的有理数在---1的情况 a a

下，只能是b=1 .于是a=-1 .

所以，a1992+b1993=(-1 )

1992+(1 )

1993=1 +1 =2.

5. 设这堆核桃共x个.依题意

第一天吃掉笫二天吃掉||gx-4盜+

)-3,4,剩余討剌余黑”4”4.

9x + 60

我们以m表示这堆核桃所剩的数目(正整数)，即由燃■喘^要耕対正整数，炮是正整

数，40w = + 60.

目标是求m勺最小正整数

可知，必须值.

20|x 即x=20, 40, 60, 80,

9X20+60

240

以x = 2Q代入得蔽=

To\"

m为正整数，可见这堆核桃至少剩下 6个.

由

3x - 0 =>

由于x取整数解1、2、3,表明x不小于3, r：：7.

不妨设总+ g -— 丈2,

由己知.出应为正整数,所以只能土 \", a a

于是占+f.由于遠三个藪中任两个之和

可被第三个整除，应有 b|a+c .

/. b|[(b + c) + c]BPb|(b + 2c) n b|2c

又

由于b、u互质，Ab|2n又b>ct精品文档

^—=T£3< 即 9< av 12.

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••• b> 2,但 b|2，只能是 b=2.

于是 c=1, a=3.因此 a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36. &因为 a=1990, b=1991, c=1992，所以

a +b +c -ab-bc-ca

=-(2a2 + 2b2 ■+ 2? - 2ab - 2bc -

2ca)

=i[(19&0-1991)2 + (1991- 1992)2 +(1992 -1590)2]

2 2 2

= l[(a2 -2ab+b2) + (b2 -2bc4-c2) + (c2-2ca = |[(a-b)2 + (b-c)2-F(c-a)3]

=jK-l)3+(-l)2+(+2)2H3.

9.将2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于

P,其总和为3p,其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这 3个田字形所填数的总和为 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y

于是得 3p=65+x+y.

要p最大，必须x, y最大，由于x+y< 10+1仁21. 所以 3p=65+x+yw

65+2仁86.

解得PC竽二逛.

所以p取最大整数值应为28.

事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立. 所以p的最大值是28.

10. 设A1, A, As, A4, A5的单价分别为 X1, X2, x3, X4, X5元. 则依题意列得关系式如下：

Xj +3X2

+4X3

5K4

6X5 = 1992

5X2+7X3

+9X4

1X5 = 2984

①

②

(绚十+x3 + x4

+ 蛊5)

即*

(2Z2

3X3

+4Z5 + 5x5) = 1992

(X] +x2

+K3 +x4 +

苫

2(2K3 + Ssj

+4X4 + 女

5) = 29S4

③X

2-④式得

X1+X2+X3+X4+X5=2X

1992-2984=1000

所以购买每种教具各一件共需 1000元.

三、解答题

1.解①（逻辑推理解）

我们知道，用1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9排成的最大九位数是 987654321 .但这个数不

是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被 11整除的最大的由这九个数码组成的九位数.

设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y.

则 x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

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