高中数学试卷一

2023年12月2日发(作者：五月理科数学试卷)

高中数学试卷（一）

注意事项：

1、本试卷分第卷和第卷两部分，请将第卷答案的序号填涂在括号内，第卷答案填写在试卷相应位置上；

2、本试卷共4页，21小题， 满分150分，考试用时120分钟.

第Ⅰ卷 （选择题， 共40分）

一、选择题(本大题共8题,每小题5分,共40分. 在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)

1. 已知复数zi(1+i)(i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D. 第四象限

2. 等差数列an中，若a2a815a5，则a5等于( )

A．3 B．4 C．5 D．6

3. 已知向量a(cos,2),b(sin,1),且a//b，则tan(A．3 B.

3 C.

4)等于（ ）

11 D.



334. 直线l:axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )

A．1 B．1 C．2 或1 D．2或1

xy205. 设变量x,y满足约束条件xy70，则x1y的最大值为（ ）

xA．9 B．3 C．4 D．6

5a6. “22b”是 “log2alog2b”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 若一个底面边长为6，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的2体积为（ ）

A．722π B．323π C．92π D.

43π

8. 设S是至少含有两个元素的集合. 在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）. 若对于任意的a,b∈S,有a*( b * a)=b，则对任意的a,b∈S,下列等式中不能成立的是( )

．．A． ( a * b) * a =a B . [ a*( b * a)] * ( a*b)=a

C. b*( b * b)=b D. ( a*b) * [ b*( a * b)] =b

第Ⅱ卷 (非选择题， 共110分) 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．考生作答6小题，每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9.

(x)的展开式中的常数项为 ．

10. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S_________

11.若直线l:axby10 (a0,b0)始终平分圆M：22x314x2y28x2y10的周长，则的最小值为 .

ab12. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线yx和曲线y2x围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是___________

13. 某班有50名学生，一次考试的成绩(N)服从正态分布N(100,102). 已知P(90100)0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为______________.

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分.

14.（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD23，AC6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为 ．

15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos于A、B两点，则|AB|______ _．

三、解答题(本大题共6小题, 共80分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．（本小题满分12分）已知向量m(sinA,cosA),n(3,1),且

mn1，A为锐角.

（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）求函数f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域.

7．（本小题满分12分）在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的. 假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的.

（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；

（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；

（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望.

18．（本小题满分14分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90,AD//BC,ABBCa，AD2a,PA底面ABCD,PD与底面成30角.

（1）若AEPD,E为垂足，求证：BEPD；

（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；

（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.

x2y219．（本小题满分14分）已知直线xy10与椭圆221(ab0)相交于A、Bab两点，M是线段AB上的一点，AMBM，且点M在直线l:y（1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆xy1上，求椭圆的方程.

20．（本小题满分14分）已知函数f(x)(2a)(x1)2lnx.

221x上，

2（1）当a1时,求f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在(0,)上无零点,求a的最小值；

（3）若0nm,求证：

21．（本小题满分14分）设单调递增函数f(x)的定义域为0,，且对任意的正实数x,y有：f(xy)f(x)f(y)且f()1．

⑴、一个各项均为正数的数列an满足:f(sn)f(an)f(an1)1其中Sn为数列an的前n项和,求数列an的通项公式；

⑵、在⑴的条件下，是否存在正数M使下列不等式：

12mn2m.

lnmlnn122na1a2anM2n1(2a11)(2a21)*(2an1)

对一切nN成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．