关于高等数学知识点归纳

2024年1月11日发(作者：221中考数学试卷)

关于高等数学知识点归纳

集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

第一讲: 极限与连续

一. 数列函数:

1. 类型:

(1)数列: *anf(n); *an1f(an)

(2)初等函数:

f(x)xx0f(x)xx0 (3)分段函数: *F(x)1,; *F(x);*

,f2(x)xx0axx0 (4)复合(含f)函数:

yf(u),u(x)

(5)隐式(方程):

F(x,y)0

xx(t) (6)参式(数一,二):



yy(t) (7)变限积分函数:

F(x)f(x,t)dt

ax (8)级数和函数(数一,三):

S(x)anxn,x

n0 2. 特征(几何):

(1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调x0,(xx0)(f(x)f(x0))定号)

(2)奇偶性与周期性(应用).

3. 反函数与直接函数:

yf(x)xf1(y)yf1(x)

二. 极限性质:

1. 类型: *liman; *limf(x)(含x); *limf(x)(含xx0)

nxxx0 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):

0 3. 未定型:

,,1,,0,00,0

0 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性

三. 常用结论:

an

n1,

a(a0)1,

(abc)max(a,b,c),

a00

n!nn1n1n1nnxnlnnx1x0,

x1,

limx0,

lim

(x0),

limxxx0exx0xnxxlnx0

lim,

e,x0x四. 必备公式:

1. 等价无穷小: 当u(x)0时,

sinu(x)u(x);

tanu(x)u(x);

1cosu(x)12u(x);

2

eu(x)1u(x);

ln(1u(x))u(x);

(1u(x))1u(x);

arcsinu(x)u(x);

arctanu(x)u(x)

2. 泰勒公式:

12xo(x2);

2!1 (2)ln(1x)xx2o(x2);

21 (3)sinxxx3o(x4);

3!11 (4)cosx1x2x4o(x5);

2!4!(1)2 (5)(1x)1xxo(x2).

2!五. 常规方法:

01 前提: (1)准确判断,,1,M(其它如:,0,00,0); (2)变量代换(如:t)

0x 1. 抓大弃小(),

 (1)ex1x 2. 无穷小与有界量乘积 (M) (注:sin 3.

1处理(其它如:00,0)

4. 左右极限(包括x):

11,x)

x1 (1)(x0); (2)ex(x);

ex(x0); (3)分段函数:

x,

[x],

maxf(x)

x1 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)

6. 洛必达法则

0xlnxxlnx (1)先”处理”,后法则(最后方法); (注意对比:

lim与lim)

x11xx01x0 (2)幂指型处理:

u(x)v(x)ev(x)lnu(x)(如:

e1x1ee(e1x1x11x1x1))

(3)含变限积分;

(4)不能用与不便用

7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小

8. 极限函数:

f(x)limF(x,n)(分段函数)

n六. 非常手段

1. 收敛准则:

(1)anf(n)limf(x)

x (2)双边夹: *bnancn?, *bn,cna?

(3)单边挤:

an1f(an) *a2a1? *anM? *f\'(x)0?

ff\'(x0)

x0x1112n 3. 积分和:

lim[f()f()f()]f(x)dx,

0nnnnn 2. 导数定义(洛必达):

lim 4. 中值定理:

lim[f(xa)f(x)]alimf\'()

xx 5. 级数和(数一三):

2nn! (1)an收敛liman0, (如limn) (2)lim(a1a2nnnnn1an)an,

n1 (3){an}与(anan1)同敛散

n1七. 常见应用:

1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x) (1)f(0)f\'(0) (2)f(t)dt0xkxn,(x0)?

f(n1)(0)0,f(n)(0)af(x)anx(xn)n!anx

n!x0ktndt

2. 渐近线(含斜):

f(x) (1)alim,blim[f(x)ax]f(x)xxx1 (2)f(x)axb,(0)

xaxb

3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数,

f\'(x)连续性)

八.

[a,b]上连续函数性质

1. 连通性:

f([a,b])[m,M] (注:01, “平均”值:f(a)(1)f(b)f(x0))

2. 介值定理: (附: 达布定理)

(1)零点存在定理:

f(a)f(b)0f(x0)0(根的个数);

(2)f(x)0(f(x)dx)\'0.

ax 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)

一. 基本概念:

1. 差商与导数:

f\'(x)lim (1)f\'(0)limx0x0f(x)f(x0)f(xx)f(x);

f\'(x0)lim

xx0xx0xf(x)f(0)f(x)A(f连续)f(0)0,f\'(0)A) (注:limx0xx (2)左右导:

f\'(x0),f\'(x0);

(3)可导与连续; (在x0处,

x连续不可导;

xx可导)

2. 微分与导数:

ff(xx)f(x)f\'(x)xo(x)dff\'(x)dx

(1)可微可导; (2)比较f,df与\"0\"的大小比较(图示);

二. 求导准备:

1. 基本初等函数求导公式; (注:

(f(x))\')

2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数三. 各类求导(方法步骤):

1. 定义导: (1)f\'(a)与f\'(x)xa; (2)分段函数左右导; (3)limh0dx1

dyy\'f(xh)f(xh)

hF(x)xx0 (注:

f(x), 求:f\'(x0),f\'(x)及f\'(x)的连续性)

,xx0a 2. 初等导(公式加法则):

(1)uf[g(x)], 求:u\'(x0)(图形题);

(2)F(x)f(t)dt, 求:F\'(x) (注:

(f(x,t)dt)\',(f(x,t)dt)\',(f(t)dt)\')

aaaaxxbbf(x)xx0 (3)y1,,求f\'(x0),f\'(x0)及f\'(x0) (待定系数)

f2(x)xx0dyd2y 3. 隐式(f(x,y)0)导:

,2

dxdx (1)存在定理;

(2)微分法(一阶微分的形式不变性).

(3)对数求导法.

xx(t)dyd2y 4. 参式导(数一,二):

, 求:,2

dxdxyy(t) 5. 高阶导f(n)(x)公式:

(e)ax(n)1(n)bnn!)ae;

(;

abx(abx)n1nax

(sinax)(n)ansin(ax 注:

f(n)2n);

(cosax)(n)ancos(ax2n)

(0)与泰勒展式:

f(x)a0a1xa2x2anxnf(n)(0)an

n!四. 各类应用:

1. 斜率与切线(法线); (区别:

yf(x)上点M0和过点M0的切线)

2. 物理: (相对)变化率速度;

3. 曲率(数一二):

f\"(x)(1f\'(x))23(曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)

4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润)

五. 单调性与极值(必求导)

1. 判别(驻点f\'(x0)0):

(1)

f\'(x)0f(x) (2)分段函数的单调性

(3)f\'(x)0零点唯一;

f\"(x)0驻点唯一(必为极值,最值).

2. 极值点:

(1)表格(f\'(x)变号); (由lim (2)二阶导(f\'(x0)0)

注(1)f与f\',f\"的匹配(f\'图形中包含的信息);

(2)实例: 由f\'(x)(x)f(x)g(x)确定点“xx0”的特点.

(3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)

3. 不等式证明(f(x)0)

(1)区别: *单变量与双变量 *x[a,b]与x[a,),x(,)

(2)类型: *f\'0,f(a)0; *f\'0,f(b)0

*f\"0,f(a),f(b)0; *f\"(x)0,f\'(x0)0,f(x0)0

(3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如:

f(x)Mfmax(x)M)

4. 函数的零点个数: 单调介值

六. 凹凸与拐点(必求导!):

1.

y\"表格; (f\"(x0)0)

2. 应用: (1)泰勒估计; (2)f\'单调; (3)凹凸.

七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)

1. 结论:

F(b)F(a)F\'()f()0

2. 辅助函数构造实例:

(1)f()F(x)f(t)dt

axxx0;

f\'(x)0f(x);

f\'(x)f\'(x)f\'\'(x)0,lim0,lim0x0的特点)

xx0xx0xxx2 (2)f\'()g()f()g\'()0F(x)f(x)g(x)

(3)f\'()g()f()g\'()0F(x) (4)f\'()()f()0F(x)ef(x)

g(x)(x)dxf(x);

3.

f(n)()0f(x)有n1个零点f(n1)(x)有2个零点

4. 特例: 证明f(n)()a的常规方法:令F(x)f(x)Pn(x)有n1个零点(Pn(x)待定)

5. 注: 含1,2时,分家!(柯西定理)

6. 附(达布定理):

f(x)在[a,b]可导,c[f\'(a),f\'(b)],[a,b],使:f\'()c

八. 拉格朗日中值定理

1. 结论:

f(b)f(a)f\'()(ba); ((a)(b),\'()0)

2. 估计:

ff\'()x

九. 泰勒公式(连接f,f\',f\"之间的桥梁)

1. 结论:

f(x)f(x0)f\'(x0)(xx0)11f\"(x0)(xx0)2f\"\'()(xx0)3;

2!3! 2. 应用: 在已知f(a)或f(b)值时进行积分估计

十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用]

第三讲: 一元积分学

一. 基本概念:

1. 原函数F(x):

(1)F\'(x)f(x); (2)f(x)dxdF(x); (3)f(x)dxF(x)c

注(1)F(x)f(t)dt(连续不一定可导);

ax (2)(xt)f(t)dtf(t)dtf(x) (f(x)连续)

aaxx 2. 不定积分性质:

(1)(f(x)dx)\'f(x);

d(f(x)dx)f(x)dx

(2)f\'(x)dxf(x)c;

df(x)f(x)c

二. 不定积分常规方法

1. 熟悉基本积分公式

2. 基本方法: 拆(线性性)

3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(1sin2xcos2x)

如:

dx11dxd(axb),xdxdx2,dlnx,a2xdx2dx

x 4. 变量代换:

(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):

xsint, (2)作用与引伸(化简):

x21xt

5. 分部积分(巧用):

(1)含需求导的被积函数(如lnx,arctanx,f(t)dt);

axaxbt,1t,xex1t

(2)“反对幂三指”:

xneaxdx, (3)特别:

xnlnxdx,

xf(x)dx (*已知f(x)的原函数为F(x); *已知f\'(x)F(x))

v(x)a1sinxb1cosxdx; (2)p(x)ekxdx,p(x)sinaxdx快速法; (3)ndx

u(x)asinxbcosx 6. 特例: (1)三. 定积分:

1. 概念性质:

(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续)

(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)

* (3)附:

a0axx2dx(a0)8a2; *(xabab)dx0

2baf(x)dxM(ba),

xbaf(x)g(x)dxMg(x)dx)

ab (4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重

2: 变限积分(x)f(t)dt的处理(重点)

a (1)f可积连续,

f连续可导

(2)(f(t)dt)\'f(x);

((xt)f(t)dt)\'f(t)dt;

f(x)dt(xa)f(x)

aaaaxxxx (3)由函数F(x)f(t)dt参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题

ax 3.

NL公式:

f(x)dxF(b)F(a)(F(x)在[a,b]上必须连续!)

ab 注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性

(2)有理式, 三角式, 根式

(3)含f(t)dt的方程.

ab 4. 变量代换:

f(x)dxf(u(t))u\'(t)dt

ab (1)f(x)dxf(ax)dx(xat),

00aa (2)f(x)dxf(x)dx(xt)[f(x)f(x)]dx (如:4aa0aaa1dx)

1sinx4

 (3)In2sinnxdx0n1In2,

n0000 (4)2f(sinx)dx2f(cosx)dx;

f(sinx)dx22f(sinx)dx,

(5)xf(sinx)dx020f(sinx)dx,

5. 分部积分

(1)准备时“凑常数”

(2)已知f\'(x)或f(x)xa时, 求f(x)dx

ab 6. 附: 三角函数系的正交性:

四. 反常积分:

1. 类型: (1)baaf(x)dx,af(x)dx,f(x)dx (f(x)连续)

(2)f(x)dx: (f(x)在xa,xb,xc(acb)处为无穷间断)

2. 敛散;

3. 计算: 积分法NL公式极限(可换元与分部)

111 4. 特例: (1)dx; (2)pdx

10xxp五. 应用: (柱体侧面积除外)

1. 面积,

(1)S[f(x)g(x)]dx; (2)Sf1(y)dy;

acb12 (3)Sr()d; (4)侧面积:S2f(x)1f\'2(x)dx

a2 2. 体积:

bd (1)Vx[f(x)g(x)]dx; (2)Vy[f(y)]dy2xf(x)dx

acab22d12b (3)Vxx0与Vyy0

3. 弧长:

ds(dx)2(dy)2

(1)yf(x),x[a,b]

sba1f\'2(x)dx

t2xx(t) (2),t[t1,t2]

sx\'2(t)y\'2(t)dt

t1yy(t) (3)rr(),[,]:

sr2()r\'2()d

4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,

5. 平均值(中值定理):

1bf(x)dx; (1)f[a,b]aba (2)f[0)limxx0f(t)dtx, (f以T为周期:fT0f(t)dtT)

第四讲: 微分方程

一. 基本概念

1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)

2. 变换方程:

(1)令xx(t)y\'\"Dy\"(如欧拉方程)

(2)令uu(x,y)yy(x,u)y\'(如伯努利方程)

3. 建立方程(应用题)的能力

二. 一阶方程:

1. 形式: (1)y\'f(x,y); (2)M(x,y)dxN(x,y)dy0; (3)y(a)b

2. 变量分离型:

y\'f(x)g(y)

(1)解法:

dyf(x)dxG(y)F(x)C

g(y) (2)“偏”微分方程:

zf(x,y);

x 3. 一阶线性(重点):

y\'p(x)yq(x)

(1)解法(积分因子法):

M(x)e (2)变化:

x\'p(y)xq(y);

(3)推广: 伯努利(数一)

y\'p(x)yq(x)y

y 4. 齐次方程:

y\'()

xx0p(x)dxxx1y[M(x)q(x)dxy0]

M(x)x0 (1)解法:

uyuxu\'(u),xdudx(u)ux

(2)特例:

dya1xb1yc1

dxa2xb2yc2 5. 全微分方程(数一):

M(x,y)dxN(x,y)dy0且NM

xyyxcax0 6. 一阶差分方程(数三):

yx1ayxx

*nxbp(x)yxxQ(x)b三. 二阶降阶方程

1.

y\"f(x):

yF(x)c1xc2

2.

y\"f(x,y\'): 令y\'p(x)y\"dpf(x,p)

dx

3.

y\"f(y,y\'): 令y\'p(y)y\"pdpf(y,p)

dy四. 高阶线性方程:

a(x)y\"b(x)y\'c(x)yf(x)

1. 通解结构:

(1)齐次解:

y0(x)c1y1(x)c2y2(x)

(2)非齐次特解:

y(x)c1y1(x)c2y2(x)y*(x)

2. 常系数方程:

ay\"by\'cyf(x)

(1)特征方程与特征根:

a2bc0

(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附:

f(x)keax的算子法)

(3)由已知解反求方程.

3. 欧拉方程(数一):

ax2y\"bxy\'cyf(x), 令xetx2y\"D(D1)y,xy\'Dy

五. 应用(注意初始条件):

1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积);

注: 切线和法线的截距

2. 积分等式变方程(含变限积分);

可设

f(x)dxF(x),F(a)0

ax 3. 导数定义立方程:

含双变量条件f(xy) 4. 变化率(速度)

dvd2x 5.

Fma

dtdt2的方程

6. 路径无关得方程(数一):

7. 级数与方程:

QP

xy (1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:ya0a1xa2x2 8. 弹性问题(数三)

,a0y(0),a1y\'(0)

第五讲: 多元微分与二重积分

一. 二元微分学概念

1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件),

(1)ff(x0x,y0y),xff(x0x,y0),yff(x0,y0y)

yfxf,fylim (2)limf,fxlim

xy

(3)fxxfyydf,limfdf(x)(y)22 (判别可微性)

注:

(0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义:

2. 特例:

xy(0,0) (1)f(x,y)x2y2:

(0,0)点处可导不连续;

0,(0,0)xy(0,0)22 (2)f(x,y)xy:

(0,0)点处连续可导不可微;

0,(0,0)二. 偏导数与全微分的计算:

1. 显函数一,二阶偏导:

zf(x,y)

注: (1)xy型; (2)zx(x,y); (3)含变限积分

00 2. 复合函数的一,二阶偏导(重点):

zf[u(x,y),v(x,y)]

\"\"\",f12,f22 熟练掌握记号f1\',f2\',f11的准确使用

3. 隐函数(由方程或方程组确定):

F(x,y,z)0 (1)形式: *F(x,y,z)0; * (存在定理)

G(x,y,z)0 (2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):

FxdxFydyFzdz0 (要求: 二阶导)

(3)注:

(x0,y0)与z0的及时代入

(4)会变换方程.

三. 二元极值(定义);

1. 二元极值(显式或隐式):

(1)必要条件(驻点);

(2)充分条件(判别)

2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)

(1)目标函数与约束条件:

zf(x,y)(x,y)0, (或: 多条件)

(2)求解步骤:

L(x,y,)f(x,y)(x,y), 求驻点即可.

3. 有界闭域上最值(重点).

(1)zf(x,y)MD{(x,y)(x,y)0}

(2)实例: 距离问题

四. 二重积分计算:

1. 概念与性质(“积”前工作):

(1)d,

D (2)对称性(熟练掌握): *D域轴对称; *f奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标;

(3)“分块”积分: *DD1D2; *f(x,y)分片定义; *f(x,y)奇偶

2. 计算(化二次积分):

(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D”为主;

(2)交换积分次序(熟练掌握).

3. 极坐标使用(转换):

f(x2y2)

x2y2 附:

D:(xa)(yb)R;

D:221;

ab222 双纽线(x2y2)2a2(x2y2)

D:xy1

4. 特例:

(1)单变量:

f(x)或f(y)

(2)利用重心求积分: 要求: 题型(k1xk2y)dxdy, 且已知D的面积SD与重心(x,y)

D 5. 无界域上的反常二重积分(数三)

五: 一类积分的应用(f(M)d:D;;L;;):

 1. “尺寸”: (1)dSD; (2)曲面面积(除柱体侧面);

D 2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;

3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.

第六讲: 无穷级数(数一,三)

一. 级数概念

1. 定义: (1){an}, (2)Sna1a2 注: (1)liman; (2)qn(或nan; (3)limSn (如nn)

(n1)!n11); (3)“伸缩”级数:(an1an)收敛{an}收敛.

na 2. 性质: (1)收敛的必要条件:

liman0;

n (2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论);

(3)s2ns,an0s2n1ssns;

二. 正项级数

1. 正项级数: (1)定义:

an0; (2)特征:

Sn; (3)收敛SnM(有界)

lnkn11 2. 标准级数: (1)p, (2), (3)

knnnlnn

3. 审敛方法: (注:2aba2b2,alnbblna)

(1)比较法(原理):an1P(n)kn(估计), 如;

f(x)dxp0Q(n)n (2)比值与根值: *limun1 *limnun (应用: 幂级数收敛半径计算)

nunn三. 交错级数(含一般项):

(1)n1an(an0)

1. “审”前考察: (1)an0? (2)an0?; (3)绝对(条件)收敛

注: 若liman11,则un发散

nan 2. 标准级数: (1)(1)n1 3. 莱布尼兹审敛法(收敛)

111; (2)(1)n1p; (3)(1)n1p

nnlnn,an0; (3)结论:

(1)n1an条件收敛. (1)前提:

an发散; (2)条件:

an 4. 补充方法:

(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)s2ns,an0s2n1ssns.

2 5. 注意事项: 对比

an;

(1)nan;

an;

an之间的敛散关系

四. 幂级数:

1. 常见形式:

(1)anxn, (2)an(xx0)n, (3)an(xx0)2n

2. 阿贝尔定理:

(1)结论:

xx*敛Rx*x0;

xx*散Rx*x0

(2)注: 当xx*条件收敛时Rxx*

3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)

a 注(1)nanxn,nxn与anxn同收敛半径

n (2)anxn与an(xx0)2n之间的转换

4. 幂级数展开法:

(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)

1111

sinxxx3x5,R

cosx1x2x4,R;

3!5!2!4!111xx2,x(1,1);

1xx2,x(1,1)

1x1x1,xx0) (2)分解:

f(x)g(x)h(x)(注:中心移动) (特别:

2axbxc

(3)考察导函数:

g(x) (4)考察原函数:

g(x)f\'(x)f(x)g(x)dxf(0)

0xx0f(x)dxf(x)g\'(x)

5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换):

(1)S(x),

(2)S\'(x),(注意首项变化)

(3)S(x)()\',

(4)S(x)\"S(x)\"的微分方程

(5)应用:ananxnS(x)anS(1).

6. 方程的幂级数解法

7. 经济应用(数三):

(1)复利:

A(1p)n; (2)现值:

A(1p)n

五. 傅里叶级数(数一): (T2)

a0 1. 傅氏级数(三角级数):

S(x)ancosnxbnsinnx

2n1 2.

Dirichlet充分条件(收敛定理):

(1)由f(x)S(x)(和函数)

1 (2)S(x)[f(x)f(x)]

21 3. 系数公式:

a01af(x)cosnxdxnf(x)dx,,n1,2,3,1bf(x)sinnxdxn

4. 题型: (注:

f(x)S(x),x?)

(1)T2且f(x),x(,](分段表示)

(2)x(,]或x[0,2]

(3)x[0,]正弦或余弦

*(4)x[0,](T)

*5.

T2l

a0 6. 附产品:

f(x)S(x)ancosnxbnsinnx

2n1

第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)

一. 向量基本运算

1.

k1ak2b; (平行ba)

2.

a; (单位向量(方向余弦)

a0aba1aa(cos,cos,cos))

abab 3.

ab; (投影:(b)a; 垂直:abab0; 夹角:(a,b))

4.

ab; (法向:naba,b; 面积:Sab)

二. 平面与直线

1.平面

(1)特征(基本量):

M0(x0,y0,z0)n(A,B,C)

(2)方程(点法式):

:A(xx0)B(yy0)C(zz0)0AxByCzD0

xyz (3)其它: *截距式1; *三点式

abc 2.直线L

(1)特征(基本量):

M0(x0,y0,z0)s(m,n,p)

(2)方程(点向式):

L:xx0yy0zz0

mnpAxB1yC1zD10 (3)一般方程(交面式):

1

A2xB2yC2zD20xa1(a2a1)t (4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB的参数表示:yb1(b2b1)t,t[0,1])

zc(cc)t121 3. 实用方法:

(1)平面束方程:

:A1xB1yC1zD1(A2xB2yC2zD2)0

(2)距离公式: 如点M0(x0,y0)到平面的距离d (3)对称问题;

(4)投影问题.

三. 曲面与空间曲线(准备)

1. 曲面

(1)形式:

F(x,y,z)0 或zf(x,y); (注: 柱面f(x,y)0)

(2)法向n(Fx,Fy,Fz)(cos,cos,cos) (或n(zx,zy1))

Ax0By0Cz0DABC222

2. 曲线

xx(t)F(x,y,z)0 (1)形式:yy(t), 或;

G(x,y,z)0zz(t) (2)切向:

s{x\'(t),y\'(t),z\'(t)} (或sn1n2)

3. 应用

(1)交线, 投影柱面与投影曲线;

(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;

(3)锥面计算.

四. 常用二次曲面

1. 圆柱面:

x2y2R2

2. 球面:

x2y2z2R2

变形:

x2y2R2z2,

zR2(x2y2),

x2y2z22az,

(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2

3. 锥面:

zx2y2

变形:

x2y2z2,

zax2y2

4. 抛物面:

zx2y2,

变形:

x2y2z,

za(x2y2)

5. 双曲面:

x2y2z21

6. 马鞍面:

zx2y2, 或zxy

五. 偏导几何应用

1. 曲面

(1)法向:

F(x,y,z)0n(Fx,Fy,Fz), 注:

zf(x,y)n(fx,fy1)

(2)切平面与法线:

2. 曲线

(1)切向:

xx(t),yy(t),zz(t)s(x\',y\',z\')

(2)切线与法平面

F0 3. 综合:

: ,

sn1n2

G0六. 方向导与梯度(重点)

1. 方向导(l方向斜率):

(1)定义(条件):

l(m,n,p)(cos,cos,cos)

(2)计算(充分条件:可微):

uuxcosuycosuzcos

lzfxcosfysin

l 附:

zf(x,y),l0{cos,sin}2f (3)附:

2fxxcos22fxysincosfyysin2

l 2. 梯度(取得最大斜率值的方向)

G:

(1)计算:

(a)zf(x,y)Ggradz(fx,fy);

(2)结论

uGl0;

(a)l

(b)取lG为最大变化率方向;

(c)G(M0)为最大方向导数值.

第八讲: 三重积分与线面积分(数一)

一. 三重积分(fdV)

 1.

域的特征(不涉及复杂空间域):

(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心

(2)投影法:

Dxy{(x,y)x2y2R2}z1(x,y)zz2(x,y)

(3)截面法:

D(z){(x,y)x2y2R2(z)}azb

(4)其它: 长方体, 四面体, 椭球

2.

f的特征:

(1)单变量f(z), (2)f(x2y2), (3)f(x2y2z2), (4)faxbyczd

3. 选择最适合方法:

(1)“积”前: *dv; *利用对称性(重点)

 (2)截面法(旋转体):

Idzfdxdy(细腰或中空,

f(z),

f(x2y2))

aD(z)b (3)投影法(直柱体):

IdxdyDxyz2(x,y)z1(x,y)fdz

R (4)球坐标(球或锥体):

Idsindf()2d,

0002

(5)重心法(faxbyczd):

I(axbyczd)V

4. 应用问题:

(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力

(2)Gauss公式

二. 第一类线积分(fds)

L 1. “积”前准备:

(1)dsL; (2)对称性; (3)代入“L”表达式

Lbxx(t) 2. 计算公式:

t[a,b]fdsf(x(t),y(t))x\'2(t)y\'2(t)dt

ayy(t)L 3. 补充说明:

(1)重心法:

(axbyc)ds(axbyc)L;

L (2)与第二类互换:

AdsAdr

LL 4. 应用范围

(1)第一类积分

(2)柱体侧面积

zx,yds

L三. 第一类面积分(fdS)

 1. “积”前工作(重点):

(1)dS; (代入:F(x,y,z)0)

 (2)对称性(如: 字母轮换, 重心)

(3)分片

2. 计算公式:

22zydxdy (1)zz(x,y),(x,y)DxyIf(x,y,z(x,y))1zxDxy (2)与第二类互换:

AndSAdS

四: 第二类曲线积分(1):

P(x,y)dxQ(x,y)dy (其中L有向)

Lt2xx(t) 1. 直接计算:

,t:t1t2I[Px\'(t)Qy\'(t)]dt

t1yy(t) 常见(1)水平线与垂直线; (2)x2y21

2. Green公式:

(1)PdxQdy(LDQP)dxdy;

xy

(2)L(AB): *PQPQ换路径; *围路径

yyyy (3)(QxPy但D内有奇点)

LLL*(变形)

3. 推广(路径无关性):PQ

yy (1)PdxQdydu(微分方程)L(AB)uA(道路变形原理)

B (2)P(x,y)dxQ(x,y)dy与路径无关(f待定): 微分方程.

L 4. 应用

功(环流量):IFdr (有向,F(P,Q,R),drds(dx,dy,dz))

五. 第二类曲面积分:

1. 定义:

PdydzQdzdxRdxdy, 或R(x,y,z)dxdy (其中含侧)

 2. 计算:

(1)定向投影(单项):

R(x,y,z)dxdy, 其中:zz(x,y)(特别:水平面);

 注: 垂直侧面, 双层分隔

(2)合一投影(多项,单层):

n(zx,zy,1)

(3)化第一类(不投影):

n(cos,cos,cos)

3.

Gauss公式及其应用:

(1)散度计算:

divAPQR

xyz (2)Gauss公式:

封闭外侧,

内无奇点

(3)注: *补充“盖”平面:; *封闭曲面变形(含奇点)

0 4. 通量与积分:

AdS (有向n,AP,Q,R,dSndS(dydz,dzdx,dxdy))

六: 第二类曲线积分(2):

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

 1. 参数式曲线: 直接计算(代入)

注(1)当rotA0时, 可任选路径; (2)功(环流量):IFdr

 2. Stokes公式: (要求:

为交面式(有向), 所张曲面含侧)

(1)旋度计算:

RA(,,)(P,Q,R)

xyz

F0 (2)交面式(一般含平面)封闭曲线:

同侧法向n{Fx,Fy,Fz}或{Gx,Gy,Gz};

G0 (3)Stokes公式(选择):

Adr(A)ndS

 (a)化为PdydzQdzdxRdxdy; (b)化为R(x,y,z)dxdy; (c)化为fdS

