2024年4月16日发(作者：做数学试卷怎样做的快)
高二数学集体备课学案与教学设计
章节标题 选修2-3 排列组合专题 计划学时 1
学案作者 杨得生 学案审核 张爱敏
高考目标
掌握排列、组合问题的解题策略
一、知识与技能
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
三维目标
二、过程与方法
通过问题的探究，体会知识的类比迁移。以已知探求未知，从特殊到一般的数
学思想方法
三、情感态度与价值观
通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜
悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。
教学重点
重点：排列、组合综合题的解法．
教学难点
难点：正确的分类、分步．
及
解决措施
教学要点
经
一、邮信问题：把4封信投入3个邮箱有多少种方法。
解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。（即
典
指数形式，
例
有条件的为指数在上边无条件的在下边）如本题中的信有条件，即一封信只
能投入一个信箱，所以，3种，3种，3种，3种。共
3
4
种。
题
练习：若A=｛a,b,c｝,B={1、2、3、4、5 }，则从集合A到集合B一共可以
有多少个不同的映射；从集合B到集合A一共可以有多少个不同的映射？
125、243
二．排序问题：
1. 优限(先)法：特殊元素优先或特殊位置优先。。
例：4名男生和4名女生排成一排，女生不排首末两端，则不同的排法数为：
先排男生
A
26
或 先排女生
A
44
4
A
66
A
4
2. 捆绑法：用于在一起相邻，整体性的问题。
例：6人站成一排，其中甲，乙、丙3人站在一起的所有排列的种数为：
A
34
3
A
4
3. 插空法：用于元素不相邻的问题，先排无条件的，再插空。
（1）不同元素与不同元素间的间的不相邻。
例：7人站成一排，其中甲，乙、丙3人不在一起的所有排列的种数为：（有
序）先排其余4人，产生5个空，再排3人：
A
43
4
A
5
（2）不同元素与相同元素间的不相邻。
例：3个人坐在8个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法有多
少种？
解析：可以看作先将5个座位放好，三个人带着各自的座位坐在中间的4
个空隙中的三个位置上有
A
3
4
＝24种 （座位无序不排）（半有序）
（3）相同元素与相同元素间的不相邻。
例:一排路灯有10盏，为了节约用电，灭掉3盏，要求不能灭两边的且灭灯
不相连，有多少种方法？（无序）
C
3
6
4．留位法：用于个别顺序固定的，先在所有位置上排无条件的，有条件还进
入即可。
例：五名学生站成一排,其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为
1
A
5
3
2
5
或
A
5
解:方法1.留位法：在5个位置上先排3人，其余两人站入即可。
A
3
5
方法2：因两人可交换顺序,则有2种排法,顺序固定时,则排法少了一半.故选
1
2
A
5
5
。
变式：若把英语单词“look ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有
___11___种。
4
解析：同本例即oo无序不排，在四个位置上排l,k即可
A
2
4
，或去序
A
4
A
2
都
2
－1＝11
练习：四名男生和三名女生排成一排，
（1）甲乙二人必须站在两端的排法有多少种？
A
25
2
A
5
=240
（2）甲乙二人不能站在两端的排法有多少种？
A
25
5
A
5
=2400
（3）甲不站在排头，乙不站在排尾的排法有多少种？
方法1：直接。①甲排尾，
A
6
1
15
6
②甲不排尾，
A
5
A
5
A
5
共有：
A
6
1
15
6
+
A
5
A
5
A
5
=3720
方法2：间接。
A
76
5
7
-2
A
6
+
A
5
=3720
（4）女生不相邻的排法有多少种？（插空法）
男生先排
A
4
4
共产生5个空位，插入3个女生
A
3
。共有：
A
4
3
5
4
A
5
=1440
种
（5）甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种？
先从5人（除甲乙）中，选二人排到甲乙中间有
A
2
2
5
种排法，再排甲乙
A
2
，
此4人视为一体与另3 人排列有
A
4
2
2
4
种。所以共有
A
5
A
2
A
4
4
=960种
（6）甲排在乙的右边有多少种不同的排法？（留位法）
A
5
1
7
7
或
2
A
7
=2520
种
三、排数字：
例：用0、1、2、3、4、5 这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数。 末位
A
1
1
2
3
，首位
A
4
，中间
A
4
。
故共在：
A
1
1
2
3
A
4
A
4
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数。
① 0在末位
A
3
11
2
5
。② 0不在末位：先排末位
A
2
，再首位
A
4
，中间
A
4
。即
A
11
2
2
A
4
A
4
共有：
A
3
11
2
5
+
A
2
A
4
A
4
＝156
（3）能组成多少个无重复数字的四位数字，且个位小于十位数字。
① 没0 ：先排后两位且不排列
C
22
故
C
22
5
，再排前两位
A
3
5
A
3
=60
② 有0：在末位时，
A
3
=120。不在末位时，0只能在第二位，
C
21
5
5
A
3
=30
共有
C
22
3
21
5
A
3
+
A
5
+
C
5
A
3
＝150
（4）能组成多少个无重复且大于345012的数字。（排大小：从高位到低位逐
位排）269
练习：用数字1,2,3,4,5可以组成_________个没有重复数字且比13000大的
正整数. 114
解:分两类: 第一类,万位比1大,有4种不同的选法,其余任意排列,有
4A
4
4
96
个,
第二类，万位为1,则千位有3,4,5三种选法,其余任意排列,有
3A
3
3
18
个;
共有18+96=114个.
四、 隔（档）板法：处理无序分组问题．要点：元素相同。有两类，空与不
空
把n个小球放入不同编号的m个盒子中,
（1）每个盒子至少放一个有多少种放法。（2）盒子容量不限有多少种放法。
解析：（1）每个盒子至少放一个直接用档板法：把n个小球排成一排，中
间产生n－1个空，插入m-1个档板，(分成m份)放入盒中即可。故
C
m1
n1
种
例1：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，每盒中至少有1
个，有多少种放法。
解：把10个小球排成一排，中间产生9个空，插入两个档板，(分成3份) 即
可，故有
C
2
9
＝36
（2）盒子容量不限，即盒子可以有空的，直接插空不会有空的，若讨论很麻
烦，故此题的处理方法是：将n个球和m－1个档板（分成 m份用m－1
个档板）全放在一起。共需要n+m－1个位置，在这些位置上任意放n个
球（或m－1个档板）有
C
n
m1
nm1
种（或
C
nm1
）。这样可以保证隔板在一
起，即可空盒。
例2：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，有多少种放法。
（可空）
解：10个球和2个板共用12个位置，看板
C
2
12
变式1：把10个苹果分给3个人，每人至少两个苹果有多少种分法。
解析：1
0
转化成例1：先每人分1个，把余下的7个苹果再分给3人，隔
板法，产生6个空插入2个板，
C
2
6
＝15种。2
0
转化成例2：先每人分
两个再用例2方法
C
2
6
变式2：把10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个
盒子放球的个数不小于基编号，有多少种放法。
解析：1
0
转化成例1：先放球，1号不放，2号放1个，3号放2个，变成
例1，即变成每盒至少1个.
C
2
6
＝15。
2
0
转化成例2：1号盒放1个，2号盒放2个，3号盒入3个，利用例2的
方法，再
C
2
6
变式3：A=｛a
1
，
a
2
，
……a
60
｝，B=｛b
1
，b
2
…… b
25
｝，每个象都有原象，
且f(
a
1
)≤f(a
2
)≤……≤f(a
60
),这样的映射有多少个？
解：此题相当于把60个小球放入25个盒子中（不空）则有
C
24
59
种。
五．能人问题：
方法：此类问题以哪类人分类都可，但主要是分类的标准一定要明确，可以
按其中一类人的参与情况分类，也可以以能人参加其中一项为标准分类；也
可按能人的参与情况分类，能人不参加；能人一人参加；能人两人参加，一
般哪个情况少以哪个分类。
例. 车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名老师傅即能当车工,
又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工、4名车工修理一台机床,
问有多少种选派方法?
解析: 按钳工的参与情况分类。5名钳工有4名被选上的方法有
C
5
4
C
6
4
75
种; 5名钳工有3名被选上的方法有
C
5
3
C
1
2
C
5
4
100
种; 5名钳工有2名被选
上的方法有
C
5
2
C
2
2
C
4
4
10
种.共有75+100+10=185种.
练习：有11名划船运动员,其中有5人会左浆,4人会右浆,还有甲、乙两人即
会左浆,又会右
浆,现要派出4名左浆手,4名右浆手,组成划船队,有多少种选派方案?
解:5名左浆手有4名被选上的方法有
C
5
4
C
6
4
75
种;
5名左浆手有3名被选上的方法有
C
5
3
C
1
2
C
5
4
100
种;
5名左浆手有2名被选上的方法有
C
5
2
C
2
2
C
4
4
10
种. 共有75+100+10=185种.
六、分组问题、分配问题：
它们的主体区别：分组问题没有序，分配问题有序
1、平均分组/配问题：对于km个不同的元素分成k 组，每组m个，则
不同的分配种数是
C
mm
m
km
C
(k1)m
…
C
m
（有序）平均分组的种数是
C
mmm
km
C
(k1)m
C
m
A
k
（无序）
k
2、混合分配问题：是指在分配中既含有平均分配的情况，又含有不平均分配
的成分，注意平均分成k组的部分要除以
A
k
k
，只后再排列。
如：10个人分成三组，人数分别为2、4、4，参加3种不同劳动，分法种数
为
C
244
10
C
8
C
4
3
A
2
A
3
2
例：有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法。
（1）分成1本，2本，3本三组。
（2）分给甲，乙，丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本。
（3）分成每组都是2本的三个组。
（4）分给甲，乙，丙三人，每人2本。
解析：（1）分三步，先选一本有
C
12
6
种选法，再从余下的5本书中选两本
C
5
种
选法，最后余下的三本全选有
C
3
种选法。故共有：
C
123
36
C
5
C
3
＝60种（分堆）
（2）由于甲，乙，丙是不同的三个人，在（1）的基础上再分配。所以共有
C
12
C
33
6
C
53
A
3
＝360种
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