2024年1月15日发(作者：湘潭市初中数学试卷题型)
高等数学课后习题及解答1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v.
解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.
2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.
证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM
=
MC
，DM故MB
.AB
即AM MB MC DM DC
..AB // DC
且|AB
|=|
DC
| ，因此四边形ABCD是平行四边形3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为分点与点A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知D1，D2，D3，D4，再把各D1
A,
D2
A,
D3
A,
D A.
4
1
BD1D3
D4故a,
1
D1D2
a,
1
D2D3
a,
5 5 5
1
a,
5
ABBD1）=-
1
a- c
D1
A=- （5
D2
A=- （AB BD2）=-
D A=- （AB
3
2
a- c
5
3
a- c
5
4a- c.
5
BD
）=-
3
D A
=- （AB4
BD4）=-
4. 已知两点M1（0，1，2）和M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量M1M
2
及-2
M
1M
2
.
解M
1M
2=（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.-2
M
1M
2
=-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.
5.求平行于向量解a=（6，7，-6）的单位向量.
a
向量a 的单位向量为a
，故平行向量a 的单位向量为a
a
其中6.=
1
（6，7，-6）=
11
6 7 6
, ,
11 11 11
2，a
62
72
( 6)11.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4），D（-2，-3，1）.
解A 点在第四卦限，在第三卦限.
7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点点的位置：A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D （0，
-1，0）.
解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如上的点的坐标为（xOy 面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz 面0，y0，z0）.x0，0，z0），yOz 面上的点的坐标为（在坐标轴上的点的坐标，有两个为零，比如其特征是表示坐标的三个有序数中至少x0，0，0），y 轴上的点的坐0，0，z0）.
x 轴上的点的坐标为（标为（0，y0，0），z 轴上的点的坐标为（A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.
8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标解.
a，b，-c），为a，-b，（1）点（a，b，c）关于xOy 面的对称点（关于yOz面的对称点为（c）.
-a，b，c），关于zOx面的对称点为（（2）点（a，b，c）关于x 轴的对称点为（轴的对称点为（a，-b，-c），关于y
-a，-b，c）.
-a，-b，-c）.
-a，b，-c），关于z 轴的对称点为（（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（0
x0，y0，z0）9.自点P分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各（垂足的坐标.
解设空间直角坐标系如图F 坐标为8-3，根据题意，P0F 为点P0
关于xOzP0关于xOy 面的垂面的垂线，垂足线，垂足；P0D 为点(x0，0，z0）D 坐标为(
x0，y0，0）；P0E 为点P0
关于yOz 面的垂线，垂
足E坐标为(0，y0，zo
)
.A 坐标为；P0B 为点0,0）( xo，P0关于z 轴的P0A 为点P0
关于x 轴的垂线，垂足P0关于y 轴的垂线，垂足B 坐标为垂线，垂足C 坐标为(0, y0
,0)
；P0C为点(0,0,
z0
)
.
0
x0，y0，z0）分别作平行于10.过点P（z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P0
且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特.
上的点的坐标，其特点是，点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同而过点P0
且平行于xOy 面的平面它们的竖坐标均相同.
11. 一边长为a 的正方体放置在底面的顶点在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，. x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标
解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB=
2
2
a
，于是各顶点的坐2 2
2
0，0)
，B（(0, a，，D
标分别为A(），C（-
a，0）a，0，0）2 2
2
2 2 2
2
a
，0）a
，0，a
）a
，a
），E（，F（0，，G（-
（0，-
a
，2
2 2 2
2
，a
）.
a
0，a
），H（0，-
2
12. 求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离解点M 到x 轴的距离为d1=.
2( 3)
41
，5234
，点M 到y
轴的距离为d2=
d3=
42
52点M 到z 轴的距离为42( 3)
225 5.A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，13.在yOz 面上，求与三点1）等距离的点.
解所求点在yOz 面上，不妨设为P（0，y，z），点P 与三点A，2B，C等距离，2PA( y 2)2322
(
y1)2
(z
2),
2
PB
PC
4(z 2),
2
( y 5)( z 1).
由PA
32
PB
( y 1)2222PC
知，( z 2)( z 1)
2242
( y 2)
2( z 2)2( y 5)
即，229 ( y 1)
9 ( y 1)
( z 2)
( z 2)
16 ( y 2)
( y 5)
22( z 2),
22( z 1).
0，1，-2）. 解上述方程组，得14.试证明以三点y=1，z=-2.故所求点坐标为（A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶. 点的三角形是等腰直角三角形证由AB
AC
BC
知(10
4)(2 4)22( 1 1)(4 1)
22(6 9)(3 9)2
2
7,
7,
98 7 2 (2 10)2
2(4 1)2
2(3 6)2
2
AB
AC 及BC
AB AC
.故△ ABC为等腰直角三角形.
15. 设已知两点为M1（4，.
，M
2（3，0，2），计算向量M
1M
22
，1）的模、方向余弦和方向角解向量M
1M
2其模=（3-4，0-
2
，2
，2-1）=（-1，-
2
，-1）2
M
1M
2（-1）（-
2）12
4 2
.其方向余弦分
别为cos =-
，cos =-
1
2
2
2
，cos =
.1
2
方向角分别为2
3
,
3
4
,
.3
=0；（2）cos =1；（3）16. 设向量的方向余弦分别满足（cos =cos
解yOz面.
（2）由cos
1）cos
=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？=0 得知，故向量与x 轴垂直，平行于（1）由cos
2
=1 得知=0，故向量与y 轴同向，垂直于，故向量垂直于xOz面.
（3）由cos =cos =0 知x 轴和y 轴，2
即与z 轴平行，垂直于xOy 面.
，求r 在u 轴上的投影.17. 设向量r 的模是4，它与u 轴的夹角为3
解已知|r |=4 ，则Prj
ur=| r |cos =4?cos
1
=4×=2.
3
18. 一向量的终点在点依次为4，-4 和7，求这向量的起点解A 的坐标.
2
B（2，-1，7），它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影设A 点坐标为（x，y，z），则，AB
=（2-x，-1-y，7-z）由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故x=-2，y=3，z=0，因此A 点坐标为（-2，-3，0）.
19. 设m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k 和p=5i+j-4k. 求向量a=4m+3n-p 在x 轴
上的投影及在解y 轴上的分向量.
a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j.
1. 设a
（1）余弦.
解3ij 2k,b i 2 j k
，求（3）a,b
的夹角的（2）ab及a b；（-2a）3b及a 2b；（1）ab （3，- 1，- 2）（1,2，- 1）3
1 （- 1）2 （- 2）（- 1）3，i j
1
2
k
2
=（5,1,7）.1
a b
3
1
（2）( 2a) 3b 6(a b) 6 3 18
a 2b 2(a b)
（3
cos(a,b)
2(5,1,7) (10,2,14)
3
32 2 2 22 2a b
a b
3
14 6
( 1)3
( 2)12( 1)2 21
2. 设a, b,c
为单位向量，满足解已知a b c0,求a b b c
c a.
0, a b c 1, a b c
c）0
.故（a
2
b c）（a b2
即2a b
2b c
2c a
0.因此2 2
1
2
3（a b c ）-
a b b c c a
2 2
a b
cM1M
2
, M2
M
3.
2
3.已知M1（1，-1，2），M2（3,3,1）M
3（3,1,3）.求与同时垂直的单位向量解M
1M
2
=（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）
M
2
M
3=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）由于M
1M
2M
2
M
3与M
1M
2, M
2M
3
同时垂直，故所求向量可取为a
（M
1M
2M
2M
3），M
1M
2M
2M
3i j k
由M
1M
2M
2M
3=
2 4 1
=（6，-4，-4），0
2 2
M2
1M
2M
2
M
3
6
2
( 4)( 4)268 2 17
知a1
(6, 4, 4)
(
3
,
2
17
,2
).
2 17 17 17
4.设质量为100kg 的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2）计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为z 轴负方向）解M
1M
2
=（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）W=F?M
1M
2
=（0,0，-980）?（-2,3 ，-6 ）=588（0 J）.
5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1
的点P1
处，有一与OP1成角1
的力F1
作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2
的点P2
处，有一与OP2成角2
的力F2
作用着（图8-6 ），问1
，2
，x1，x2，F1
, F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6 ，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为，.
F1x1sin
1F2 x2sin
2
0
，即F1x1sin
1F2 x2sin
2
.
6.求向量a（4，- 3,4）在向量b （2,2,1）上的投影.a b ( 4, 3,4) (2,2,1) 6
解Pr
jba
2
.b
22
22
12
37.设a(3,5, 2),b (2,1,4)
，问与有怎样的关系，能使a b与z 轴垂直？解a b
= （3,5 ，-2 ）+ （2,1,4 ）=（3 2 ,5 , 2 4
）.要a b与z 轴垂直，即要（a b
）（0,0,1 ），即（a
b）?（0，0,1 ）=0，亦即（3 2 ,5 , 2 4
）?（0,0,1 ）=0，故（2 4
）=0，因此2
时能使a b与z 轴垂直.8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图8-7 ，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB=
2
只要证明AC BC 0
即可. 由AC BC
=( AO OC) ( BO OC)
，
2
=
AO BO
2
AO OC
AO OC
.OC BO
AO OC
OC
2
=
故AO OC
0
.AC BC
, ∠ACB为直角9.已知向量a2i 3 j k, b（2）(ai
j 3k和c
i 2 j
，计算：b) (b c)
（3）(a（1）(ab)c (a c)b
（1）b) c
解a b (2, 3,1) (1, 1,3)
8，a c (2, 3,1) (1, 2,0)
8，(a b)c (a c)b 8(1, 2,0) 8(1, 1,3) (0, 8, 24)
8i 24k
.（2）a b=（2，-3,1
）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），b
c=（1，-1,3
i
）+（1，-2,0 ）=（2，-3,3 ），j k
(a b) (b c)
3
2
4 4
3 3
(0, 1, 1) j k
.
2 3 1
（3）(ab) c
1 1 3
2.
1 2 0
10. 已知OA i 3k,OB j 3k
，求△OAB的面积.解由向量积的几何意义知S△OAB=1
2
OA OB
，i j k
OA OB 1 0 3 ( 3, 3,1)
，0 1 3
OA OB
( 3)
2( 3)21 19
S
19
△OAB
2
11. 已知a(
ax
,
ay
,
az
),
b(bx
,by
,
bz
),
c(cx
,
cy
,cz
)
，试利用行列式的性质证明：(a b) c (b c) a (c a) b
axayazbxby证因为(ab)
c
bx
by
bz
,
(b c) a cx
cycxcyczaxaycxcycz(c a) b
ax
ay
az
，bxbybz而由行列式的性质知bzcz
az
ax
ay
azbx
bybz
cx
cy
czbx
by
bzcx
cycz
=
ax
ay
az
，故cx
cy
czax
ayaz
bxby
bz(a b) c (b c) a (c a) b.12. 试用向量证明不等式：a
2 2
1
a
2
2
a
3
b2
2 2
1
b
2
b
3
a1b1
a2ba3b32其中a1, a2
,a3
, b1, b2
,b3
为任意实数. 并指出等号成立的条件.
证设向量a
（a1
, a2
, a3
），b
（b1, b2
,b3
）.由a b a b cos(a,b) a b
，从而2 2 2 2 2 2
a1b1a2b2a3b3a1a2a
3
b1b2b3
，当aa2
a31, a2
, a3与b1, b2
,b3
成比例，即a1时，上述等式成立b1b2b3.，
1. 求过点（3,0，-1）且与平面程.
解所求平面与已知平面3x 7 y5z 12 0
平行的平面方3x 7 y
5z 12
0
平行.因此所求平面的法向量可取为n=（3，-7，5），设所求平面为3x 7 y 5z D
将点（3，0，-1）代入上式得0.D=-4.故所求平面方程为3x 7 y 5z 4 0
.2. 求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点直的平面方程.
解M0
的线段OM0
垂OM
0(2,9,
6）.所求平面与OM
0垂直，可取n=
OM
0
，设所求平面方程为2x 9 y
6z D
将点M0（2，9，-6）代入上式得0.D=-121.故所求平面方程为2x 9 y 6z 121 0.3. 求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程.
x 1
解由y 1 z 1
2 1
1 1
2 1 2 1
0
，得x 3 y 2z
1 1 2 1
0
，即为所求平面方程注.
设M（x,y,z）为平面上任意一点，M
i( xi
, yi
, zi)(i
0,
即1,2,3)
为平面上已知点.由M1M(M
1M
2M
1M
3)
x x1y y1z z1x2x1y2y1z2z10,
x3x1y3y1z3z1它就表示过已知三点Mi（i=1,2,3）的平面方程.
4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0; （2）3y-1=0;
（3）2x-3y-6=0; （4）x-
3y=0;
（5）y+z=1; （6）x-2z=0;
（7）6x+5y-z=0.
解（1）—（7）的平面分别如图8—8（a）—（g）（1）x=0 表示yOz 坐标面.
（2）3y-1=0 表示过点（0,
1,0）且与y 轴垂直的平面3
（3）2x-3y-6=0 表示与z 轴平行的平面.
（4）x-
3y=0 表示过z 轴的平面.
（5）y+z=1表示平行于x 轴的平面.
（6）x-2z=0 表示过y 轴的平面.
（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面.
.
.
5. 求平面解2x 2y z 5 0与各坐标面的夹角的余弦.
xOy，平面的法向量为1n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面yOz，zOx的夹角分别为,
2
,
3
.则根据平面的方向余弦知cos
1
cos
n k
n k
(2, 2,1) (0,0,1)
22( 2)212
1
,1
32
,3
2
3
.
cos
2cos
n i
n i
n j
n j
( 2, 2,1)
(1,0,0)
3
1
( 2, 2,1)
( 0,1,0)
3 1
cos
3cos
6. 一平面过点（1，0，-1）且平行于向量试求这个平面方程解.
a和b (1, 1,0)
，(2,1,1)
所求平面平行于向量a
和b，可取平面的法向量k
1 (1,1, 3)
.i
n a b 2
1
j
1
1 0
故所求平面为1 ( x 1)1 ( y 0) 3( z 1) 0，即x y 3z 4 0
.7. 求三平面x 3yz 1,2x y z 0, x 2 y 2z 3的交点.
解联立三平面方程x 3y
z 1,
2x y
z 0,
x 2y
2z 3.
解此方程组得x 1, y 1, z 3.故所求交点为（1，-1，3）8. 分别按下列条件求平面方程：（1）平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；（2）通过z 轴和点（-3，1，-2）；（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.解（1 ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为By D 0.将点（2，-5，3）代入，得5B D 0，即D 5B.
因此所求平面方程为By 5B
0，即y 5 0.（2）所求平面过z 轴，故设所求平面为Ax By 0
.将点（-3，-2）代入，得3A B
0，即B 3A.
因此所求平面方程为Ax 3Ay
0
，即x 3y 0.1，.
（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By Cz
将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得2C D 0
及B 7C D 0.C
D
2
, B
9
2
D
.因此，所求平面方程为9
Dy
D
2
2
z D 0
，即9 y z 2 0.
9. 求点（1,2,1）到平面x2 y 2z 10 0
的距离.
解利用点M
0
(
x0
,
yo
,
zo
)
到平面AxBy Cz
的距离公式d
Ax0By0Cz0D
A2
B
2
C
2
1 2 2
2 1 10 3
12
22
22
1.
3D
D
0.
0
1. 求过点（4，-1，3）且平行于直线解x 3
2
y
1
z 1
的直线方程5
.
所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s (2,1,5)，直线方程即为x 4 y 1 z 3
.
2 1 5
2. 求过两点M
1(3, 2,1)
和M
2
( 1,0,2)
的直线方程.
解取所求直线的方向向量s M
1M
2( 1 3,0 ( 2),2 1) ( 4,2,1)
，因此所求直线方程为x 3 y 2 z 1
.
4 2 1
3. 用对称式方程及参数方程表示直线x y z 1,
2 xy z 4.
解根据题意可知已知直线的方向向量i j k
s 1 1 1
( 2,1,3).
2 1 1
取x=0，代入直线方程得y z 1,
3
z
5
y z 4.
解得y,
2
2
0,
3
,
5
样就得到直线经过的一点（）.因此直线的对称式方程为2 2
这.
3
x 0
2
参数方程为5
z
2.
3
y
1
2
x
y2
z5
3t.
2t ,3
t ,2
注由于所取的直线上的点可以不同，.
因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的4. 求过点（2，0，-3）且与直线x 2 y 4z 7 0,
3x 5 y垂直的平面方程.
解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即2z 1 0
i
n s 1
3
故所求平面方程为j
2
5
k
4
2
( 16,14,11),
16( x
2) 14( y 0) 11(z 3)
0.即16x 14y 11z 65 0.
5. 求直线5 x3y 3z 9
0,
z 1
0
2 x3x
2 y
与直线2 y
z 23 0,
3x 8 yz 18 0
的夹角的余弦.
解两已知直线的方向向量分别为i
s15
3
j k
(3,4, 1), s2i j k
1 (10, 5,10),
1
3 3
2 1
2 2
3 8
因此，两直线的夹角的余弦cos (cos s1, s2
)
s1s2s1 s23 10 4 5 1 10
36. 证明直线2
42
( 1)
2
102
( 5)2
1020.x 2 y
z 7,
2x y
z 7
与直线3x 6 y 3z 8,
2x y z 0
平行.
证已知直线的方向向量分别是i
s11
j
2
k
1
1
.
i
(3,1,5), s23
2
j
6
1
k
3
1
( 9, 3, 15),
2 1
由s2
3s1知两直线互相平行7. 求过点（0,2,4）且与两平面方程.
解可取x2 z 1和y 3z 2平行的直线所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量
i
s n1n2j k
2
3
( 2,3,1), 1 0
0 1
故所求直线方程为x 0
2
注本题也可以这样解：y 2
3
z 41
.则可由于所求直线与已知的两个平面平行，视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，为不妨设所求直线x 2z a,
y 3z b.
将点（0，2，4）代入上式，得ba
8,
10.故所求直线为x 2z 8,
y 3z
8.
求过点（3，1，-2）且通过直线10.
x 4
5
x 4
5
y 3
2
y 3
2
z
的平面方程.
1
z
的平面束方程1
解为利用平面束方程，过直线x 4
5
y 3
2
将点（3，1，-2）代入上式得x 4
5
y 3
2
y 3
( z) 0,
2
11
.因此所求平面方程为20
11 y 3
( z) 0,
20 2
即8x 9y 22z 59 0.
9.
求直线x y 3z
0,
与平面x y z 1 0的夹角.
x y z 0
i j k
解已知直线的方向向量s 11 3
( 2,4, 2),
平面1 1 1
的法向量n(1, 1, 1).
设直线与平面的夹角为,
则sin cos(n, s)
s n2 1 4 ( 1)
( 2) ( 1)
s n
2242
( 2)2
12( 1)2
( 1)2即0.10.
试确定下列各组中的直线和平面间的关系；（1）x 3 y 4
z
和4x 2 y
2z 3
；x
2
y z
7 3
（2）和3x 2y
3
2 7
7z 8；（3）x 2y 2 z 3
和x
y z 3.
3
1
4
解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n
，直线与平面的夹角为,
且sin
cos(n, s)
s n
.s n
（1）s ( 2, 7,3), n(4, 2, 2),
0,
sin
则( 2) 4 ( 7) ( 2) 3 ( 2)
( 2)
2( 7)2
3242
( 2)2
(
2)20,
A（-3，-4，0.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点0）代入平面方程，方程不成立面上，直线与平面平行（2）.
.故点A 不在平面上，因此直线不在平s(3, 2,7), n(3,
2,7),
由于s n
或22
2 2sin
3 3 ( 2) ( 2)
7 7
32
2
( 2)2
1,
73.
( 2)7知（3），故直线与平面垂直s(3,1, 4), n (1,1,1),
由于s n 0或3 1 1 1 ( 4) 1
32
2sin
知12
( 4)12
12
12
0,0,
将直线上的点A（2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即. 点A 在平面上.故直线在平面上11.求过点（1,2,1）而与两直线x 2 y
z 1 0,
x
的方程.
解两直线的方向向量为y
z 1 0
和2 xx
y z 0,
y z 0
平行的平面i
s11
1
j
2
1
k
1
1
(1, 2, 3), s2i
2
1
j k
(0, 1, 1), 1 1
1 1
i
取j
2
1
k
3
1
(1,1, 1),
n s1s21
0
则过点（1,2,1），以n
为法向量的平面方程为1 ( x 1) 1 ( y 2) 1 ( z 1) 0,
即x y z 0.
x 2y z 1 0上的投影. 12.求点（-1,2,0）在平面解作过已知点且与已知平面垂直的直线-1,2,0）与平面.该直线与平面的交点即为所求.根据题意，过点（直的直线为x 2y z 1 0垂x 1
1
将它化为参数方程y 2
2
z 0
,1
x 1t , y 22t, z t ,代入平面方程得1 t 2(2 2t )2
整理得( t ) 1 0,
x 2yz 1 0
上的t
.从而所求点（-1,2,0）在平面投影为（3
52 2
, ,
）.3 3 3
x
2x
i
y
j
1
1
y z 1 0,
z 4 0
k
1
1
(0, 3, 3).
的距离.
13.求点P（3，-1，2）到直线解直线的方向向量s 12
在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方
程形式x
1, y 2 3t ,z3t.
（1）又，过点P（3，-1，2），以s (0, 3, 3)
为法向量的平面方程为0,
（2）3( y 1) 3( z 2)
即y z 1 0.
1
2
，于是直线与平面的交点为将式（1）代入式（2）得t
故所求距离为21 3
，（1,,
）2 2
d (3
1)( 1
1)2
2(2
3)2
23 2
.2
14.
设M0
是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点M0到直线L 的距离d
证M
0M
s
s
.
如图8-9，点M0
到直线L 的距离为d.由向量积的几何意义知M
0M
M
0M
s
s
表示以M
0M
，s为邻边的平行四边形的面积s
表示以.而s
为边长的该平面四边形的高，即为点M
0
到直线L的距离.于是d
M
0M
s
s
.
15.
求直线2 x3x
4 y0,
z
y 2z
9 0
在平面4xy z 1上的投影直线的方程.
解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直. 的平面，该平面与已知平面的交线即为所求设过直线2x 4 y3x
z
0,
y 2z
9 0
的平面束方程为2x 4y
经整理得由得z (3x y 2z 9) 0,
0.
(2
3 )x ( 4
(2 3
) 4 ( 4
13
11
.代入平面束方程，得) y (1 2 ) z 9
) ( 1) (1 2 ) 1 0,
17x 31y 37z 117 0.
因此所求投影直线的方程为17x
4x
31y 37z 117
y z 1.
.
0,
16.
画出下列各平面所围成的立体的图形（1）x 0, y 0, z 0, x 2, y 1,3x 4 y 2z 12 0;
（2）解x2, z
0, z 0, x 1, y
y
.4
（2）如图8-10（b）.（1）如图8-10（a）；
1.一球面过原点及A（4，0，0），B（1，3，0）和C（0，0，-4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径.
解设所求球面的方程为( x a)
2( y b)
2( zc)
2R
2
，将已知点的坐标代入上式，得a2
b2
c2
R2,
(a 4)2b2
c2
R2,
( a1)
2(b 3)
2c2
R2,
（3）a2
b2
( 4c)
2R
2
，联立（1）（2）得a 2,
联立（1）（4）得c 2,
将a
（2）（3）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为( x 2)2( y 1)
2( z 2)
29,
其中球心坐标为(2,1, 2),
半径为3.
2.
建立以点（1，3，-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程解设以点（1，3，-2）为球心，R为半径的球面方程为( x 1)
2( y 3)
2( z2)
2R2,
球面经过原点，故R2
(0 1)2( 03)
2(0 2)
214,
从而所求球面方程为(
x1)
2(
y3)
2(
z2)
214.
3.
方程2
z2
2
xx2y4
y
2
z0表示什么曲面？解将已知方程整理成( x 1)2( y 2)2( z 1)
2( 6)
2,
（1）（2）（4）2代入3）（.
所以此方程表示以（4.
求与坐标原点1，-2，-1）为球心，以6
为半径的球面.
O 及点（2,3,4）的距离之比为1:2 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解设动点坐标为（，根据题意有x, y, z）22( x
0)( x
2)化简整理得( y
0)( y
3)22( z
0)( z
4)4221
,2
( x
它表示以（22 4 2
为半径的球面, 1,
）为球心，以293 3 3
2
)3
2
( y
1)2( z )3
22
2
( 29).
3
.
5.
将xOz坐标面上的抛物z
2
5x绕x 轴旋转一周，求所生成的旋线转曲面的方程.
解以y2
z(
代替抛物线方程z25x中的z，得y2z)
y22 2
5x，5x.x 轴旋转一周所生成的旋转即注xOz 面上的曲线z2F ( x, z) 0
绕z) 0.2
2
曲面方程为F
(
x,
y2
6.
将xOz坐标面上的xz2
9
绕z 轴旋转一周，求所生成的旋圆转曲面的方程.
解以x2
y2
代替圆方程x22
z2
9
中的x
，得9, (
即xy2y )z2
2z9.2x2 2
7.
将xOy 坐标面上的双曲线4x2
9
y.
2
36分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解以y2
z2
代替双曲线方程4x9 y236中的y，2得该双曲线绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4 x29(
y2
z2
)2
36,
即4
x29(
y2z2
)36.
2 2
2 2
以x z
代替双曲线方程4x 9 y36
中的x，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4(
x2
z2
)2
9 y236,
即4(
x2z2
)9
y2
36.
8.
画出下列各方程所表示的曲面：（1）( xa)
2y2(
a)
2;
（2）x2
y2
1;
2 2
4 9
（3）x
2
z
2
1;
（4）y2
z
0;
（5）z2 x2.9 4
解（1）如图8-11（a）；（2）如图8-11（b）；（3）如图8-11（c）（4）如图8-11（d）；（5）如图8-11（e）.
；
9.
指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）（3）解x 2;x2
（2）y2
x 1;
2
y4;
（4）x y
2
1.
（1）x 2
在平面解析几何中表示平行于yOz 面平行的平面.
y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与（2）y x 1在平面解析几何中表示斜率为1，y轴截距也为z 轴的平面.
1 的一条直线，在空间解析几何中表示平行于（3）x2
y24在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为z 轴，准线为2 的圆，在空间解析几何中表示母线平行于x2y24,
z 0
的圆柱面.
（4）2 2
x y1在平面解析几何中表示以x 轴为实轴，y 轴为虚轴z 轴，准线为的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于
x2
y2
1,
的双曲柱面.
z 0
10.
说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）x2
y
2
z
2
2
1;
1;（2）4
（3）9
y2
2
9
zx2
y
2
4
a)
2z2
1;y.
2x2（4）( zx2
22
解x（1）y2
z2
1表示xOy 面上的椭圆xy1绕2
x
4 9 9
或表示xOz面的椭圆4
x2
9
z绕1
轴旋转一周而生成的旋转曲面，4
x 轴旋转一周而生成的旋转曲面（2）.
xOy 面上的双曲线2 2
9
x2y
4
z21表示x
2
y旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz 面的双曲线.
4
2
y4
1绕y 轴z2
1绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面（3）x2
y2
z2
1表示xOy 面上的双曲线x2
yx2
1绕z2
x 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示x 轴旋转一周而生成的旋转曲面（4）.
xOz面的双曲线2
1绕( za)
2x2y
2
表示xOz面上的直线zx a或yOz 面的直.
z
线x a
绕z
z 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示y a或z y a绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面11.
画出下列方程所表示的曲面：
（1）4x2y2
z2
4;（2）x2y24 z24;
z
（3）x2
y2.3
解4 9
（1）如图8-12（a）；（2）如图8-12（b）；（3）如图8-12（c）；12.
画出下列各曲面所围立体的图形：（1）z0,
z3,
xy
0,
x3y
0,
x2
y21（在第一卦限内）；（2）x
限内）.
解（1）如图8-13 所示；（2）如图8-14 所示.
0, y 0, z 0, x2y2R, y22z2R
（在第一卦2
1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形；（1）x 1,
y 2;
（2）z
4 x0;
2y,
2（3）xx2
2
yz2
a,
a.
2
2
x
y
2
解（1）如图8-15（a）；（2）如图8-15（b）；（3）如图8-15（c）.2.
指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：y
5x 1,
（1）x（2）2
y2
1,
y 2 x3;
y 5x 1,
4 9y 3.
.
解（1）y
2 x3
在平面解析几何中表示两直线的交点在空间解析几何中表示两平面的交线，即空间直线.
x（2）2
y
2
1,
在平面解析几何中表示椭圆4y 3
9
x2
y2
1
与4 9
其切线y 3
的交点，即切点y2
.在空间解析几何中表示椭圆柱面x2
4 9
1与其切平面y 3的交线，即空间直线.
3.
分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线2xx2
2yz2
2
zy2
2
16,
0
的柱面方程.
2x2解在yz2
2
zy2
2
16,
0
z2中消去x，得x即为母线平行于2
3 y216,
. x 轴且通过已知曲线的柱面方程2
在2xx2
2y
z2
zy2
2
16,
0
3x2中消去y，得2 z216,
.
xOy 面上的投即为母线平行于4.
求球面y 轴且通过已知曲线多的柱面方程x2y2
z2
9
与平面xz
1的交线在影的方程.
解在x2
y2
z2
9,
中消去2z，得2
x
x2
z 1
y2
(1 x) 9,
即2 x22x
y2y28,
表示已知它表示母线平行于z 轴的柱面，故2x2x 8,z 0
交线在xOy 面上的投影的方程.
5.
将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）x2
y2
z2
9,
（2）( x1)
2y2( z 1)24,
y x;
z 0.
解（1）将y x代入x2x22yz22
z9,
2
9,
得3
取x
cost,
则z
3sint,从而可得该曲线的参数方程2
x cost ,2
3
y cost,
2
z 3sin t
3
（0t
?2
）（2）将z=0 代入(
x1)
2y22(
z
1)
y224,得( x 1)取3,
x 1 3 cost,
则y 3 sin t,
从而可得该曲线的参数方程x 1
y
3cost,
（0
3 sint,
t
?2
）z 0
x acos ,
6.
求螺旋线y asin ,
在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标z b
方程.
解由xacos , y asin
得x2
yx2
2a,
故该螺旋线y2
2在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为a,
2z 0
由y asin , z b
得yasin
z
b
，故该螺旋线在yOz面上
的投影曲线的直角坐标方程为y
x
a sin ,
b
0
z由x acos , z
b
得xacos,
故故该螺旋线在b
x acosy 0.
,
b
x2zyOz 面z上的投影曲线的直角坐标方程为7.
求上半球0 z
a2
x2
y2与圆柱体y2ax(a
>0
)的公共部分在解而由xOy 面和xOz面上的投影.
xOy 面上的投影即为如图8-16.所求立体在x2y2ax
，z
x得线2
ay2
x2y,
2
2
ax
xOz 面上的投影为由.
x 轴，z 轴及曲z
z
aa2
ax.
故所求立体在ax
所围成的区域28.
求旋转抛物面z x2y( 0
2z
4)
在三坐标面上的投影
解联立z
z
2
x2y
2
，得x2y2
4.故旋转抛物面在xOy
4
2
面上的投影为xyz 0.
4,
如图8-17.
联立z
2
x
2
y,
得2x 0
影为zy,
故旋转抛物面在.
2
yOz 面上的投zy
及z4所围成的区域z x2y,
得z2
同理，联立x,
故旋转抛物面在.
2xOz面上y 0
的投影为zx
及z2
4所围成的区域
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