数学教学论的研究对象

2024年1月24日发(作者：数学试卷的小程序叫什么)

第一章 绪论数学教学论的研究对象关于数学教学论的研究对象，目前还存在着不同的看法，主要有以下几种观点，这和数学教学论正在形成和发展的现状是相适应的。(一)前苏联学者斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书中谈到，数学教育学的对象中包含的问题可分为数学的教与学，也就是教师的数学教学活动与学生的数学学习活动，提出数学教学即是数学思维活动的教学，而不仅是数学结果的教学，要把数学知识如何通过思维活动得到的过程教给学生。如同底数幂乘除法的法则，不是仅让学生记忆，更重要的是通过观察、实验、归纳、猜想获得法则。特别强调受教育者学习数学知识的过程，一定意义下同发现数学真理的思维过程有相似之处。(去括号的法则)(二)西德学者包斯费尔德(sfeld) 。在第三届国际数学教育会议上描述了数学教育学的三个研究对象：课程、教学、学习。后来美国的汤姆·凯伦(Tom Kielen)——发展了他的观点，汤姆·凯伦在一篇题为“数学教育研究——三角形”的社论中把课程、教学、学习形象地比作为三角形的三个顶点，分别对应于三种人：课程设计者、教师、学生。数学教育学有三个研究的方面，即课程论、教学论、学习论。(三)日本山犁大学横地清教授于1980年写了《数学教育学序说》，阐述了数学教育学的研究对象、研究领域和研究方法，提出了数学教育学七个方面的研究领域。①关于学习者的数学认识和实践的研究。②关于教授——学习的研究。③关于教学内容的确定和教育课程的研究。④关于公共教育机关(保育院、幼儿园、小学、初中、高中、大学)的数学教育的研究。从系统论观点把中学与其它阶段的衔接联系起来。⑤关于数学在社会中的作用的研究。⑥关于数学教育史的研究。⑦关于世界数学教育的研究。总之，广义地来说，数学教学论研究与数学教育有关的一切问题(数学与社会、教师培训、比较数学教育等)。狭义地来说，以课程论、教学论、学习论——三论为核心，研究有关教授与学习的全部过程，是揭示数学教育现象及其规律的学科。数学教学论的学科特点目前由于数学教学论的研究对象较复杂，其理论体系正处于探索之中，因而人们对该学科的特点还没有形成统一的看法。具体地主要有以下几个特点：从数学教育学和相关学科的关系可看出，数学教学论与数学、逻辑学、哲学、教育学、心理学、教育心理学、计算机科学等密切相关，它处于数学、教育学、逻辑学和心理学等学科的“交界”处。边缘性：两个或两个以上不同学科综合运用。在数学教学过程和科学研究中，它针对自身研究的对象和需要解决的问题，综合运用相邻学科的有关原理和方法，并受各门学科特点和要求的约束，总结出数学教学、数学学习的具体规律，从而归纳创造出数学教育学的理论体系．因此它是一门综合性很强的边缘学科。(一)数学教学论是一门综合性很强的独立的、边缘性学科(独立性)但是数学教学论不是盲目照搬相关学科的有关原理，进行拼凑、组合，再加上相应的数学教学例子来形成学科体系，那种认为数学教育学仅是教育学添加上一些数学实例的观点是片面的。应以教育学中已有的理论为指导，从数学教育自身的特点和规律出发运用相邻学科的有关原理和方法，在数学教学实践和理论研究中总结出数学教学的具体规律，以此构建数学教育的理论体系。因此数学教学论又是一门相对独立的学科。(二)数学教学论是一门实践性很强的理论学科数学教学论是人们把教学过程、学习过程作为认识过程来深刻分析的成果。这种认识过程旨在寻求中学生学习数学知识，发展数学思维的规律以及数学教学过程的特点和规律，是数学教学过程的特点和规律的概括。其研究不应仅局限于搞好具体教学工作的一招一式，而应研究数学课程结构、教材体系、教法原理及中学生思维发展等理论问题。 这些理论

的研究，随着中学数学教学实践的需要而产生和发展，这种理论的意义在于指导教学实践，运用数学教学原理等总结出在教学实践中切实可行的教学方式、方法和手段，并经得起数学教学实践的检验，因此数学教育学是一门实践性很强的理论学科。没有理论指导的数学教学实践是盲目的。没有实践支撑的数学教学理论是苍白的(三)数学教学论是一门不断发展的学科随着社会、科技、数学的发展以及中学数学教育的不断改革，数学教学目的、内容、教学方法、手段等也需不断改进，同时随着教育科学、技术的进步和数学教学论研究的日趋深入和经验的积累，数学教学论的内容需不断充实和更新，及时体现中学数学教育改革的最新精神，相应的理论会更加完善和丰富。因此在一定时期内，数学教育学可能有一个相对趋于完善的理论体系，但不可能有一个始终不变的完善到顶的模式。随着社会、教育及中学数学教育等的发展，数学教育学也在不断地发展，因此它是一门不断发展的学科。四、研究的基本内容教学目的（为什么教？why）；教学对象（教谁？who）；教学内容（教什么？what）；教法（如何教）？教学效果（教得如何？评价）学法（如何学？）学习效果（学得如何？） how）绪论 数学课程 数学学习 数学教学对象、 为什么教 学习特点 如何教内容 教什么 如何学 原则、方法改革动因 教谁 学得如何 教得如何足迹、动向 (板书框架结构)

五、数学教学论在高师数学系开设的意义教学是一门科学（遵循教学规律）（1）科学的数学教学过程是数学教学论基本原理的具体表现。(结合应聘中笔试、说课、模拟教学)任何工作要取得好的效果都要顺乎其有关规律，讲究工作方法和艺术．而且工作过程越复杂，就越要有反映客观规律的理论指导和行之有效的工作方法。教与学对应、教与数学对应的原理（教材1）数学教学论是高师数学与应用数学专业最富有专业特色的课程之一，是为培养中学数学师资所特有的。高师数学系培养出的人才大都是未来的中学数学教师，其课堂教学效益的提高需一系列数学教育理论的指导。数学教学工作质量的好坏又直接受到教材、学生、教师、教法、学法等因素的影响，可见数学教学工作过程是一种多层次、多因素的比较复杂的系统工程，因而特别需要数学教学论的基本原理作指导，并讲究工作方法和艺术才能保证教学质量。作为一名数学教师的首要任务是明确数学教学的根本目的，学习数学教学的基本原理，掌握数学教学的基本技能，形成数学教学的基本认识，这正是“数学教学论”所要达到的目标。数学教学论就是把学生学到的一些基础理论、专业知识和基本技能，与中学数学教学实际联系起来，使它们能为中学数学教学服务，这是这门学科综合性的体现，也是之所以在高年级开设的原因之一。（二）数学教学论对新教师具有特殊的意义对未来的数学教师或者新教师来说，学习和研究数学教学论更有它特殊的重要的意义．(结合高中课改培训)1． 社会、经济等的发展对中学数学教育提出了新的任务和要求．为了完成新的任务，中学数学教育思想、教育理论和教材教法都在不断地变化．对此，即使是有经验的数学教师也必须不断学习和研究，才能适应变化的新形势，更何况是新从事数学教育的新教师呢？

对新数学教师来说，为了提高教育质量，必须学习和研究数学教育学的基本原理，以求对中学数学教学有正确的、深刻的理解。2。对于新数学教师来说，他们虽通过中学和大学学习，对中学数学教材内容中的基础知识有所掌握并能初步运用。目前高师数学与应用数学专业学生学过高等数学知识后，可居高临下地指导中学数学教学，能使中学数学的某些问题看起来较简单、容易一些，但并没有站在数学教师的角度来研究中学数学教学。作为数学教师来研究中学数学教材和教学却是陌生的。作为数学教师不仅要求对教学内容及其体系做到深刻理解、灵活运用，还要求掌握其中的数学思想方法以及寓于教材中的教学理论、观点和方法，按教学目的要求和学生的认知规律开展教学活动，以提高教学质量。因此努力学习和研究数学教育理论及其教学方法，才能逐步提高教学能力。教学自然、合乎情理。（教学规律）（经验+理论）。总之，一个新教师要想胜任如此复杂的、高度艺术的数学教学工作，成为一个合格的数学教师，不仅要努力学习数学专业知识，提高数学能力，还必须学习和研究数学教学论，提高教学能力和理论水平。一、我国数学教育改革的状况中国的数学对人类有过伟大的贡献，而且在隋唐年间就出现过当时世界上最完备的数学教育制度。唐代国子监添设算学馆，并以《算经十书》为主要教材。联系2010年中央3台举办的第14届青年歌手电视大奖赛文化素质考核：利玛窦 明朝万历年间，意大利传教士利玛窦和我国的徐光启等共同翻译和传授西方数学，对我国数学教育的发展产生了较大影响。但由于诸多历史原因，现代数学没能在我国产生，教育理论方面我国也落后于近代欧洲。（几何原本）。我们用了大约80年的时间(19世纪40年代——20世纪20年代)，才在学校里确立了西方近代数学的内容和符号体系。五四运动之前主要学习日本的数学教学体系和课程设置。20年代以后则学习欧美，引进“六、三、三”的美国学制及大批的中学数学教材，后来通过不少爱国学者的努力，也编写了不少适合我国中小学生使用的教材，但与当时先进数学教育思想相比仍有较大的距离。之后又学习前苏联。建国以来，我国的数学教育改革大致经历了如下五个阶段1、我国社会主义中学数学教育创设的阶段(1949—1957年)

特点：全面学习前苏联1952年至1957年全面学习苏联．1952年8月在教育部组织的中小学各科教学大纲起草委员会中，由北京、上海、东北共12名代表组成的中学数学组，编订了我国解放后的第一个《中学数学教学大纲（草案）》。1954年10月教育部制订了我国解放后第二个《中学数学教学大纲（修订草案）》，在“说明”中对思想教育任务作了修订，并对前一个大纲中数学教学的具体要求作了适当的补充．为了配合大纲，人民教育出版社根据苏联十年制课本，编写了解放后我国第一套中学数学课本．1956年教育部又制订解放以来的第三个《中学数学教学大纲（修订草案）》．在“说明”中对数学教学目的进行了修订，并在此大纲中第一次明确提出了在数学教学中要发展学生的“逻辑思维和空间想象能力”．以苏联教学大纲为蓝本，编订新的全国中学数学教学大纲和教学计划，同时在中学各年级普遍使用基谢廖夫课本的编译本，1953年在中学数学教师中广泛传播苏联伯拉基斯的《中学数学教学法》理论。数学教育思想方面来看，重视目的性、思想性、系统性和科学性，整个教材强调基础知识和技能技巧，突出了函数观念的重要性，教材的安排由浅入深，适合学生学习。但由于在学习苏联过程中也存在盲目照搬的倾向，将苏联十年制的数学课程和教材照搬到我国十二年制的学校中，延长了学习时间，使中学数学程度有所降低。2、我国社会主义中学数学教育改革的阶段(1958—1960年)1958年，国内掀起大跃进高潮。数学教育也掀起改革浪潮，并提出种种改革方案。这个阶段初期受大跃进和国际数学教育现代化运动的影响，客观形势使数学教育改革也出现了过

热的势态。 之后批判了教材陈旧落后、脱离实际、脱离政治、孤立割裂、繁琐重复的现象，提倡大破旧体系、打倒欧家店。全国各地也出现了上百个中学数学教改方案，其中最有代表性的是《中学数学现代化方案》，要求在初中毕业时就讲授140学时的微积分，甚至达到大学一年级的水平。这场改革，虽然为时短暂，但它反映了我国数学教育界民族自主意识的增强，表达了要求建立具有中国特色的先进的数学教育体系的强烈愿望。总体来说，这一时期的改革，由于受极左思潮的影响，存在一些重大问题。如过分强调生产劳动，削弱了课堂教学，甚至正常教学秩序也受到一定的干扰和冲击，削弱了知识的科学性，系统性，削弱了双基教学。使中学数学教育受到一定影响。3、我国社会主义中学数学教育调整、巩固、发展的阶段(1961—1966年)这一阶段的特点是总结数学教育改革的经验、教训，进行调整、巩固、发展。1961年党中央提出“调整、巩固、充实、提高”的八字方针。61年和63年重新修订了中学数学教学大纲（12年）体现为：(1)体现中央高度集中，有全国统一的大纲和教材。(2)教材分科编写，以直线式为主。(3)重视科学性、系统性和逻辑演绎的严密性，恰当地联系实际。(4)加强基础知识和基本技能的训练，培养三大基本能力(运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力)。(5)精讲多练，因材施教，体现教师的主导作用。4、我国社会主义中学数学教育遭到严重破坏的阶段(1966—1976年)这一阶段正是“文革”十年内乱期间，全盘否定文革前十七年的社会主义教育，并诬蔑为“修正主义教育”。课堂被砸烂，教材被当作封、资、修黑货全盘抛弃，教师被视为罪人，普遍遭到批判。后来在复课闹革命的号召下，中学学制由六年改为四年，实行二、二分段，提倡工农兵走上讲台。各省市虽然组织编写了一些教材，但实用主义严重，充满了阶级斗争的观点，大大削弱了基础知识的教学和基本技能的培养，教学秩序混乱，致使教学质量大幅度下降.(自己的认识)。大寨、大庆5、我国中学数学教育恢复，进一步改革、发展的阶段(1976年—)。1978年教育部制定了建国以来的第6个数学教学大纲，按“精简、增加和渗透”的基本思想编写了新数学教材。（10年制 ）。从1980年开始，教育部讨论制订了《六年制重点中学数学教学大纲（草稿）》，这是建国以来的第7个数学教学大纲． 1986过渡性的《全日制中学数学教学大纲》1988年国家教委制订《九年制义务教育全日制中学数学教学大纲》。1996年国家教委编订了《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》。97年开始在江西、山西和天津进行试验．这个新大纲精简了内容，更新了部分知识、讲法和技术手段，增加了灵活性而且重视数学应用．比如删减了幂函数、指数方程、对数方程、部分三角恒等变形公式、反三角函数、三角方程、立体几何中的面积与体积计算等，增加了简易逻辑、平面向量、空间向量、概率统计、微积分初步等 。2001年7月国家教育部制订《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）。2003年4月中华人民共和国教育部制订的普通高中数学课程标准（实验）正式颁布开始实施 。国内数学教育改革的足迹（20世纪以来）:五四运动之前主要学习日本。 20年代之后则学习欧美。解放初期学习前苏联。数学教育创设的阶段(1949—1957年)

数学教育改革的阶段(1958—1960年)数学教育调整、巩固、发展的阶段(1961—1966年)数学教育遭到严重破坏的阶段(1966—1976年)数学教育恢复，进一步改革、发展的阶段（1977—一、国际数学教育改革的状况20世纪以来，为了适应政治、经济、科学技术等方面的需要，世界各国对改革中小学数学教育进行了大量的讨论、研究和试验，并且召开了多次国际性会议，交流和讨论改革中带

有倾向性的问题。（ICME: International Congress of Mathematical Education )PME：Psychology Mathematics Education 这些世界规模的数学教育改革运动，在各国采取了不同的途径，经历了曲折的发展过程，大体有以下几个发展阶段。（一）数学教育改革的近代化运动(20世纪初—1958年)—培利·克莱因运动代表人物是英国皇家理科大学教授彼利(培利)，德国的F·克莱因，美国的莫尔

1.完全脱离Euclid原本的形态，极度重视实验几何，强调几何的实用部分，用变换来处理几何。2.不过于重视数学的形式陶冶，应该置重心于应用方面，养成用“数学方法”观察自然现象和社会现象的能力。（小鸟问题）。3.代数、几何、物理能否有机统一起来，使其与日常生活有密切的关系，并运用教育学、心理学的观点来指导教学活动。4.要以函数概念和直观几何作为数学的框架。（二）数学教育改革的现代化运动-新数运动（New math)1、改革的发动阶段(1958—1962年)通过各种渠道大造舆论，使人们认识到改革的必要性外，着重改革中学数学的课程内容。1951年在法国的罗瓦奥蒙召开关于数学教育改革的国际性讨论会，对中学和大学低年级所教的数学内容有必要作新的认识，肯定了改革的必要性，编写中学数学现代化大纲。英国的SMP教材(School Mathematics Project)及指导书和参考资料即是在此时期着手编写的。1962年，美国的学校数学教学研究小组(SMSG)编出7—12年级的教科书。1962年8月，在匈牙利的布达佩斯召开了国际数学教育会议，有17个国家的代表参加，会后不少国家开始考虑此次会议提出的建议，并注意吸收别国的经验，通过这个阶段的各种活动，一场数学教育的改革运动被发动起来。2、改革的实施阶段(1962—1970年)第二次世界大战时，前苏联遭到很大破坏，纳粹没有损害美国国土。但1957年，苏联第一颗人造地球卫星的上天，引起了美国朝野的极大震惊，因为美国一向认为自己是世界上头号科技大国，如今发现自己的科技水平落在别人后面，美国政府开始反省，认为问题的症结出在作为科技的基础和工具的数学上面。中学学的数学还是三百年前的东西，太陈旧、太落后，必须用新的数学来代替(New Mathematics)。于是掀起了一场轰轰烈烈的数学教育改革运动。当然新数学运动的出现还和当时社会经济、政治、技术发展的需要，数学的发展、教育学和心理学的发展等密切相关。布鲁纳（新数运动的基本思想）(1)代数、几何、三角的人为分科不存在，几何代数化，Euclid几何用变换观点、集合、函数观点来处理。(2)增加集合、数理逻辑、结构的观点，讲述抽象代数、现代数学，强调公理化方法。(3)Euclid几何被大幅度删减，代数恒等变形，反三角函数、三角方程，一次无理不等式，无理数等作了删减。(4)强调数学直觉和实验，加强趣味性，忽视数学技巧的应用。新数运动的基本内容:美国编写了《统一的现代数学》集合论方面：集、子集、交集、并集、文氏图、 二元关系、笛卡尔集、映射、关系、开、闭集、势。数理逻辑初步：命题演算、原命题、否命题、合取、析取、蕴含、等价、真值表。抽象代数内容：群、环、体、向量空间、矩阵代数。微积分初步：极限、微积分运算、级数。概率统计：排列组合、概率、加乘条件概率、独立条件、条形图、平均值、标准差、统计、推断。算法语言：程序设计、二进制、框图、语言。新数运动的特点：（1）结构化——统一化。以集合—关系—映射—运算—群—环—域—向量空间的代数结构为主轴，把中学数学内容统一起来。 （2）公理化——抽象化.。把集合论初步和几何公理化引入教材。（3）现代化——通俗化。大量引入现代数学内容和数学符号，利用生活现象为模型，帮助学生理解。（4）几何代数化。打破欧几里德几何体系，轻视几何、重视代数，用各种方法取代欧氏几何。（5）电脑化——离散化。普及计算器，与数值分析、概率统计及各种函数的学习相结合，使数学教学出现新的面貌。（6）传统内容

精简化，增加近现代数学知识、观点和方法。（7）教学方法多样化。研究电化教学、程序教学和个体教学，提倡发现法，教学方法趋向多样化。3、新数运动遭受挫折，试验评价阶段(70年代——80年代初)经过10年的新数学改革试验，总结经验教训，对新数运动进行评价。即新数运动受到挫折，名声一落千丈的阶段。新数学在某些方面脱离实际，过早引入抽象概念，传统内容抛弃太多，过分注重演绎推理。新数运动的直接导火索—人造地球卫星的上天。还和政治、经济、科技教育学、心理学、数学的发展密切相关，是一种多因素促成的文化现象。在此阶段试验完全展开，但同时暴露出很多问题。首先表现出学生成绩下降，有人担心若继续下去，大学生中也许会有50%的人不懂分数的加法与乘法。新数强调掌握自然数系的结构。课堂中出现了这样的对话。老师问Mary:2+3等于几,回答2+3=5，老师说：不对。约翰回答：2+3=3+2,老师问：为什么?约翰回答说：因为两边都等于5。教师说：错了，正确的回答是因为加法满足交换律。对新数运动的评述(1) 学校数学要面向全体学生而不只是培养少数数学家。新数只是从现代数学观点着眼，没有重视学习者将来从事什么工作，社会对数学的需求(即未处理好就业与升学的关系)。(2)

抽象概念在没有成熟之前不能过早引入，否则多数学生实际上接受不了或理解不了，影响其学习积极性与成绩(即未处理好具体与抽象的关系)。(3) 逻辑思维能力的培养不仅仅是演绎推理，还应重视归纳、类比、观察、实验等合情推理。而新数强调结构化、形式化和公理化演绎推理，忽视归纳等合情推理(未处理好归纳与演绎的关系)。4、新数忽视应用(未处理好理论与实际的关系)。5、传统数学内容中最基本的、而有丰富历史根源的几何学在“新数”教材中却降到从属代数的地位，因此砍掉Euclid几何遭到众多的批评。同时改革不能一轰而起，一轰而散。改革本身无错，只是方式、时机不当。从此可看出新数运动受到挫折而不是失败，总结经验教训后，仍可能东山再起，其中一些思想(如渗透近现代数学思想和方法)是有借鉴作用的。学生成绩下降并非因为改革，而是过于偏重抽象理论、公理化及演绎推理方式。经过测验，学习新数学的学生比原来的学生只是在算术运算方面能力较差，在其它方面还是前者高于后者的。几点启示①数学教育改革是一个庞大的系统工程(受社会、经济、科技、教育理论、课程、教材、教法等多因素的影响)。②这次改革的动机是维护美国的社会制度，没有得到教师、家长的支持，忽视了教师的水平，忽视了改革的渐进性。（导火索）③大幅度削减平几，又没有找到可以代替平几，而又能被教师和家长接受的课程。近现代数学观点指导中学数学教学而不能全盘代替。④教材未经实验过早使用，急功近利。同时数学教育改革必须排除金钱利益的干扰。一些书商借助商业宣传唯利是图。⑤师资培训是数学教育改革中不容忽视的问题。⑥渗透近现代数学知识于中学数学教材中，对今后的课程建设仍有一定的借鉴作用。（三）回到基础(Back to basics)20世纪80年代。经过曲折的改革道路，有些国家受到挫折，有些国家巩固了改革成果，有些国家经过试验普遍采用新教材，又进一步调整改革，回到基础.（注重基础而不是回到原来的基础）（四）问题解决的思想(Problem solving) 90年代。问题解决(Problem solving)是国际数学教育改革的又一热门话题。是对“新数运动”以及近现代数学教育改革进行反思和调整之后，于1980年由美国全国教师联合会公布的《关于行动的议程》的文件中首先提出的。 但目前关于问题解决的思想还未形成较统一的认识，在第六届国际数学教育大会上，“问题解决、模型化和应用”课题组提出的报告中指出：“一个数学问题是对人具有智力挑战性的，没有现成的直接方法、程序或算法的未解决问题的情境”。因此作为问题解决中的问题首先指

非常规性问题，学生解决时常常需要一定的创造性；其次重视情境应用；再次具有一定的开放性(条件可以多余，答案不唯一)。(牛、羊，船长年龄）花坛、正三角形。此类问题对学生来说，一般能够使学生乐意思考，并具有思考它的知识和能力。其次具有一定的障碍性，学生经过反复思考才能解决，同时学生没有既定的现成方法去解决，需进行探索研究。目前关于问题解决的含义富有争议，尽管有所差别，但都体现综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题。（非常规）包括实际问题、数学内部问题和其它学科中的问题。（五）大众数学的思想(mathematics for all)首先是由德国数学家达米洛夫于1983年，在华沙召开的国际数学大会的数学教育会议上提出的。之后在第三届国际数学教育大会上设置了“大众数学”专题讨论组。同时受到联合国教科文组织的重视，从而使“大众数学”成为国际数学教育界共同关注的问题，并成为我国21世纪上半叶中小学数学教育的主旋律。大众数学的基本观点：①人人掌握必需的数学。要求每个学生都应掌握作为一个公民所必需的数学。因此大众数学是人人需要学习的基础的、起码的数学，是生存所需的数学。大众数学的思想体现在数学教育中，要使数学教学面向全体学生，而不仅仅是数学英才，使人人都得到发展。相信人人都能学会为生存所需要的数学。以前教师埋怨学生：“同一教室上课，为什么别人能听懂，而你却听不懂”。在大众数学意义下，对教师提出更高的要求，学生可能问：“老师，同在一个教室，你为什么让他听懂而没让我听懂呢”?因此要发挥数学教育的教育功能，而不仅仅是选拔功能。②人人学有价值的数学。没有价值的数学即使人人能够掌握也不应进入课堂。因此作为大众数学意义的数学教育，首要的是使学生学习那些既是未来社会所需要的，又是个体发展所必须的；既对学生走向社会，适应未来生活有帮助，又对学生的智力训练有价值的数学。因学生接受学校教育的时间有限，因此需设计出具有双重价值乃至多重价值的课程。在此要注意有用并非仅仅是实用。（几何例子）。③不同的人学习不同的数学。不同的学生有不同的思维方式、不同的兴趣爱好以及不同的发展潜能。因此大众数学体系下的数学课程将在使所有学生获得共同的数学教育的同时，让更多的学生有机会接触了解乃至钻研自己所感兴趣的数学问题，最大限度地满足每一个学生的数学需要。从此意义上讲，大众数学与精英数学并不对立，精英数学教育是大众数学体系的有机组成部分，为有特殊数学才能和爱好的学生提供更多的发展机会。（结合数学新课程）。九年义务教育课标修订版关于大众数学的提法：使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。总之国际数学教育改革的足迹体现为(20世纪以来)。数学教育近代化运动——培利·克莱因运动

(50年代 ) 。数学教育现代化运动——新数New math(60,70年代)。回到基础 ——Back

to Basics (80年代)。问题解决 ——Problem Solving (90年代)。大众数学——mathematics for all(21世纪上半叶)国内数学教育改革的足迹（20世纪以来）五四运动之前主要学习日本。 20年代之后则学习欧美。解放初期学习前苏联。数学教育创设的阶段(1949—1957年) 。数学教育改革的阶段(1958—1960年)。数学教育调整、巩固、发展的阶段(1961—1966年)。数学教育遭到严重破坏的阶段(1966—1976年)数学教育恢复，进一步改革、发展的阶段（1977—结合国内外数学数学教育改革足迹，思考和讨论数学教育改革的动因（是什么原因促使中学数学教育不断进行改革?）一.社会的变革对数学的需要 (政治、经济、计算机、科技的进步、职业的变化）删减思维训练不大、增加与计算机有关的内容（逻辑、算法、估算）。21世纪人们所从事的工作将是机械化程度减少，电子化程度增加，职业转换的可能性增加。面对这一社会现实，我们

虽说不能在学校里把各行各业所需要的数学知识都准备好，但数学教育应考虑将来就业、转换职业所需要的数学基础知识，以适应变化着的数学现实。教师职业的相对稳定性，结合自己的体会及遗憾。2.数学的发展和广泛应用呼唤着数学教育的大幅度改革。过去认为数学主要应用在物理和工程上。100多年前，恩格斯在《自然辩证法》一书中写道：“数学在化学上的应用，仅仅是简单的比例式，而在生物学中的应用等于零”。今天的数学已渗透到人类的一切活动领域(有奖销售、分期付款、打折销售、还本销售、人寿保险、养老保险等)。几乎无一个领域与数学绝缘。工程技术方面需要的数学已从微积分——泛函分析、抽象代数、随机过程、突变理论等。统计思想、优化观念、估算等数学观念已渗透到人们的日常生活中，成为现代化和日常生活不可缺少的组成部分。象欧拉、高斯、黎曼那样的全能数学家已不可能再产生，就连庞加莱和希尔伯特那样雄视全局的大师也难以再有，数学知识的积累和惊人的发展速度，一个人实难研究每一个数学领域。在此形势下，数学工作者不得不考虑如何调整吸收知识的方法，对于一个正在学习过程中的学生，要适应瞬息万变的社会变革，学习时间和精力是个定量，对所学内容进行选择、充实和更新，以不断提高自我获取知识的能力显得很有必要。因而数学教育亟待改革。三.现行数学教育存在的问题。一度时期，教学现状体现为轰轰烈烈搞素质教育，扎扎实实搞应试教育。应试教育：面向少数学生，以升学应试为目的的教育行为。素质教育：面向全体学生，使人人都得到全面发展的教育思想和行为。（二者不是对立的，若学生学习成绩普遍下降，素质教育的有效性需打问号）。1、以升学为中心和对升学率的片面追求，使教师不能按教学规律办事。美籍华人、美国纽约州立大学物理学教授林多梁在我国的一次演讲中指出：中国的教育比起美国来差一大截，差距倒不是我国的学生水平低，而是我们国家的基础教育实际上办成了升学教育、竞争性教育，而美国的教育目的是培养好公民。从某种角度讲,我国的数学教育是源源不断地向社会输送一批又一批的失败者.(胜利者喜气洋洋地进入理想高校,失败者悲观沮丧地走入社会)。按升学率对教师给予奖惩。因此教师绞尽脑汁，猜题抻宝，造成教考倒挂，虽然国家教育部一再指示教学要降低难度，但考题、练兵题越来越难。师生在一起深挖洞，搞难题，结果使高考题目水涨船高。若按教学大纲的要求办事，岂能通过高考。以高考地狱著称的日本，虽然也受高考指挥棒的影响，但日本有大的补习学校(Juku)，专门对付考试，学生能否考上大学，不只由中学教师负责，因此日本中学数学教学还是能按教育规律办事的。2、课业负担重,课程灵活性较低。日本访学者的体会.(作业时间) 美国游学有感。中小学课程、教材体系门类多、难度大、分量重，作业多、考试多、书本多(教材、练习册、参考书等),选择的灵活性低。沉重的学习负担压得学生无个人自由驰骋的余地，个性特长不能得到发挥，中学生失去了应有的活泼。(学生用7部电影形容一周痛苦的心情)有的中学教师内心感到，如此的教育是在摧残学生。目前中学生不仅是中国近代史上学得最苦的一代，也是世界同龄人中学得最苦最累的。近年来高中实行会考，高考科目减少，3+x.但平时考试次数增多。如何看待减负(减负的极端，学生需要合理的学习负担)3、现有考试制度存在的问题(人才流动与选拔的一种公平、温和、平稳的方式，同时存在问题）。大批复习生涌现，浪费人力、物力。每年的七月份，全国总有一部分家庭欢天喜地，而更多的家庭忧心忡忡，榜上有名，大功告成，名落孙山，前途渺茫；十年寒窗苦，一考定终身，这在西方国家认为是不合理的事情，在我国却很少有人非议。在独生子女时代，(421家庭模式)望子成龙心更切，对子女的期望值更高。许多家长要求子女上重点中学、重点大学。一批被大学筛子筛下来的人，一部分泄气，一部分死不罢休。(高考不限制年龄)大量复习生涌现，有的学校靠补习班提高升学率。4、课程、教材中的问题。教材利用率较低，系统性、衔接性弱。对知识的来源和应用未得

到应有的体现。例习题的设置。重要的东西有时显而代之，教师备课茫然。（有理数可表为有限小数或无限循环小数，反之则一句话带过，9/11）。数学教育改革是长期的、持续的系统工程，有人说中国数学教育的关键是改革考试制度，似有道理。可是升学考试作为一种文化现象，不可能立即废除，改革非常之难，牵动的面太多。目前改革习题、试题形式和内容是牵涉面少而见效快的方法。如考应用题、开放题、增加选修内容的题目，增加思考的创造性。（两个正三角形问题）5、教学方法的弊端。重教授，轻学习；重结果, 轻过程；重显性知识，轻思想方法；重知识点传授，轻知识网络构建；重模仿，轻创造；重解题训练，轻能力发展；重解答，轻反思；重教学思路设计，轻学生思维生成。课例：一元二次方程根与系数关系的应用数学教育改革的动向（1）教育教学观念的更新人才观（精英——大众数学素养）：懂得数学的价值，对数学能力有信心，解决问题，数学交流，数学思维）教学观：数学教学重在教学生学数学，是数学思维活动的教学。数学教师是学生思维向导的主角。学习观：数学学习是在已有知识和经验基础上的主动积极的建构过程。独立思考、合作交流。（2）课程与教材改革:课程改革：精简传统内容，增加近现代数学知识，渗透近现代数学思想方法，不断适应社会发展的需要，提高所有学生的数学能力和数学态度。设计一个有更大选择性的带弹性的数学课程，把现代数学思想和数学方法作为中小学数学课程的重要组成部分，以满足各类学生的不同要求。教材改革：降低难度，删繁就简，压缩授课时数，减轻课业负担；减少必修课，充实新内容，扩大知识面，增强动手内容；加强实践性、应用性、学科联系。以社会需求，学科体系、学生发展作为三个基点，建立以全面提高素质为核心的教材体系。（3）教学方法和手段改革:以启发式教学为指导思想,适时暴露思维过程,突出学生数学思维的深层参与.（富克斯先生独特的授课方式)。充分发挥计算器和计算机在数学教学中的应用。（4）加强数学学习心理学的研究.（PME)从心理学的角度研究数学教学、学习方法、思维规律等。目前国际上把学习理论的研究提到相当重要的位置。焦点、难点、薄弱点。第二章 中学数学课程研究课程是教育的核心，课程的变革是永恒的，稳定是暂时的。课：课业，程：进程。教学科目或内容以及这些科目及内容的教学时间与程序。关于课程的涵义有不同的认识 （不同角度）1、作为学科：教学使用的科目，是经过精心安排组织的适用于教学的学科知识体系，它更多地具有知识、内容的含义。（学科说）。2、作为目标或计划：为实现学校教育目标而规定的教学科目及目的、内容、范围、份量、进程的总和 。（编订课标、选择教学内容—内容说）。3、作为学习者的经验：儿童或成人所接触到的各种经验的总和。（抽象地研究数学课程—经验说）。4、作为动态的由师生共同参与的意义创造的过程。（三角形内最大的角才可能是钝角---生成性的课程资源），（强调学习者的主体性——过程说）数学课程所要研究的基本问题是：应该教学哪些数学内容?为什么选取这些内容? 达到什么

目标？怎样展示这些内容?（教学什么？为什么教学？教学目标？如何选择和编排?选择和组织的如何？实施和评价）。学校数学课程是培养什么样人的蓝图，同时又为教学提供依据，因此研究课程、掌握和使用教材，设计课程关系着人才的培养，决不可认为只是课程设计者的事而把自己局限于一个教书匠。而上述的一系列课程问题体现在哪里呢？§2.1 中学数学教学大纲及教材中学数学教学大纲是根据国家振兴经济、科学技术、繁荣教育事业的需要，据学生身心发展特征和知识水平，据开发学生智力、培养人才和提高预备劳动力的需求，根据本学科的具体内容、特点，对中学数学教育提出的基本要求。（编写依据）是根据课程计划规定的中学数学的教学目的、任务而编写的指令性文件。明确中学数学的教学目的、教材内容、范围、体系、教学进度以及教学指导思想和教学方法等的基本要求，对实施教学具有重要的指导作用。（性质和内容）所谓教学大纲是根据教学计划中规定的各门学科的目的任务而编写的，以纲要的形式具体规定每门学科知识、技能的范围、深度及其结构、讲授时间与进度、以及教学方法上的基本要求。它是国家对和各门学科的教学内容所提出的统一的要求和具体标准，也可作为衡量教学原则性的标准和依据。教学大纲一般是由说明与本文组成。一、建国以来我国中学数学教学大纲的演变新中国成立以来，除了1950年6月中央人民政府教育部印发的《数学精简纲要》(草案)外，我国共颁发过15个中学数学教学大纲（课标）。1952年，由中央人民政府教育部编订的《中学数学教学大纲》(草案)。1954年10月，中央人民政府教育部编定的《中学数学教学大纲》(修订草案)。1956—1957年度《中学数学教学大纲》修订草案。1961年10月《全日制中学数学教学大纲》(草案)。1963年由中华人民共和国制订的《全日制中学数学教学大纲》(草案)。1978年《全日制十年制学校中学数学教学大纲》(试行草案)。1982年5月，人教社中小学数学编辑室制订了《全日制六年制重点中学数学纲要》(草案)。1987年1月，国家教委制订了《全日制中学数学教学大纲》。1992年编订了《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》(试用)，1996年编订了《全日制普通高级中学数学教学大纲》(供试验用)。2000年《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》(试用修订版)。2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》(试验修订版)。2001年《全日制义务教育数学课程标准》(实验稿）2003年《普通高中数学课程标准》(实验稿）了解我国中学数学教学大纲的历史演变，就能从中把握我国中学数学教学大纲的主流，吸取经验教训。2011年《义务教育数学课程标准》(2011年版）大纲的演变分为三个阶段。（日本-欧美-苏联）1.1952—1957年，全面学习前苏联的阶段。大纲以前苏联教学大纲为模式，教给学生数学知识以及必须的技能、技巧。1956—1957年增加了逻辑思维能力和空间想象能力，以及理论联系实际。2.1961—1963年，是对1958年教育革命以来的总结，其中1961年的大纲只发了征求意见稿，为1963年的大纲做了准备，体现追求现代化的思想。由于我国中学多数是六年制，因而63年5月教育部又颁布《全日制中学数学教学大纲》(草案)，第一次把基本能力作为教学目的提出，但仍偏重基本技能(初一算术完全下放到小学，平面几何下放到初中)。

3.1978年至今，在追求现代化的同时，注重实际，培养学生的基本能力。1982年大纲采用高二分为普通、文科、理科进行教学。1987年又为适应义务教育的需要进一步降低难度，颁发过渡性大纲，1992年实行义务教育数学教学大纲，1996年高中数学教学(供试验)大纲。2000年义教和高中试验修订版。 2001、2003、2011年数学课程标准。二、最新中学数学教学大纲的基本结构中学数学教学大纲以纲要的形式，具体规定中学数学的基础知识、基本技能的范围、深度以及体系结构，同时又规定教学的一般进度和教学法的基本要求。全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）的基本结构（2000年版）。1996年4月颁行的供试验用的高中数学教学大纲，由国家教委基础教育司全日制高中数学教学大纲编订组编拟，自1994年3月启动，经过调查研究、编拟初稿、征求意见、审查修订等几个阶段，1996年4月通过国家教委审批，1997年9月在全国两省一市进行试验(山西、江西、天津)，2000年经过进一步审查、修订后逐步在全国范围内试用。大纲制定主要针对目前高中数学内容最少、最老、最难的特点，并和义务教育相衔接。设计的依据是：①最新颁行的高中教学计划；②精简、增加、渗透的精神；③以数学的工具性、训练思维能力和文化素养的功能为出发点；④如何设计教学过程，更新教学手段的研究。大纲共分五部分：1.教学目的。2.教学内容的确定和安排。3.教学内容和教学目标。4.教学中应该注意的几个问题。5.教学测试和评估。数学研究的对象、数学的地位作用和高中数学课的功能。这部分是确定高中数学教学目的和教学内容的关键。目前关于数学的研究对象已由现实世界的空间形式和数量关系拓广为对数量、空间的广义理解。数量不仅仅是实数、复数，还有向量、张量、集合中的元素等。空间也不只限于二维空间、三维空间，还有n维、无穷维空间以及某些结构的抽象空间等。(简易逻辑中以命题为演算对象)。美国《关于数学教育的未来》中指出，数学是模式和秩序的科学。关于数学的地位，新大纲提到：在当代社会中，数学的应用非常广泛，它是人们参加社会生活，从事生产劳动和学习、研究现代科学技术必不可少的工具，它的内容、思想方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。关于高中数学课的功能作用，新大纲提出高中数学是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生活、生产和进一步学习的必要基础，对进一步形成良好的思想品质和辩证唯物主义世界观有积极作用。因此，使学生在高中阶段受到数学教育，提高数学素养，对于提高全民族素质，为培养社会主义现代化建设所需要的人才打好基础是十分必要的。1.教学目的(在本章设专节研究)。2.教学内容的确定和安排。教学内容的确定和安排首先要体现社会的需要和学科发展的趋势以及学生的身心发展和认知水平。新大纲确定教学内容时本着“有用、基本、能接受”的原则，精选那些在现代社会生活、生产中有广泛应用的，为进一步学习所必需的，在理论上、方法上、思想上是最基本的，同时又是学生所能接受的知识。体系安排上首先考虑各部分知识的系统性，由浅入深，由易到难，由简单到复杂，按照逻辑系统和认知理论相结合的思想安排知识的顺序；其次是考虑与相邻学科的相互配合(物理、化学、计算机等)；再次是考虑各学段的相互衔接，既要与义务教育大纲相衔接，又要考虑与大学继续学习的内容相衔接。（目前新课程中的衔接问题？？）。高中数学课将精选出来的代数、几何基础知识和概率统计、微积分初步知识综合为一门数学学科，有利于精简教学内容，减少不必要的重复，提高教学效益，有利于数学各部分内容的相互联系，有利于数学思想方法的相互渗透。(由分科到综合)。高中数学课含必修课、选修课。选修课分为选修Ⅰ和选修Ⅱ。必修课总计280课时，选修Ⅰ

总计52课时，选修Ⅱ总计104课时。学校根据教学实际自行安排必修课、选修课的开设。每学期至少安排一次研究性课题。 3.教学内容和教学目标教学内容必修课：1集合、简易逻辑(14课时)。 集合、子集、交集、并集、补集、命题、逻辑联结词、四种命题、充要条件。2函数(30课时)。映射、函数、函数的单调性、奇偶性、反函数、互为反函数图象间的关系，指数概念的扩充，有理指数幂的运算性质，指数函数、对数、对数的运算性质、对数函数、函数的应用举例。实习作业。3不等式(22课时)。不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的解法。含绝对值的不等式。4平面向量(12课时)。向量、向量的加法与减法，实数与向量的积，平面向量的坐标表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离、平移。5三角函数(46课时)。角的概念的推广。弧度制。任意角的三角函数。单位圆中的三角函数线。同角的三角函数的基本关系。正弦、余弦的诱导公式。两角和与差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。正弦函数、余弦函数的图象和性质。周期函数y=Asin(wx+φ)的图象。正切函数的图象和性质。已知三角函数值求角。正弦定理、余弦定理、斜三角形解法举例。实习作业。6数列(12课时)。数列，等差数列、等差数列及其通项公式，前n项和公式。等比数列、等比数列及其前n项和公式。7直线和圆的方程(22课时)。直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式、两点式。直线方程的一般式。两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离，用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题，实习作业。曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点，圆的标准方程和一般方程、圆的参数方程。8圆锥曲线方程(18课时)。椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。9(A)直线、平面、简单几何体(36课时)。平面及其基本性质，平面图形直观图的画法。平行直线、对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线、异面直线的距离。直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定及性质。点到平面的距离，斜线在平面的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。平行平面的判定与性质。平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定和性质。多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球。（多面体的欧拉定理）。9(B)直线、平面、简单几何体(36课时)。增加的内容有：空间向量的加法，减法与数乘，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积。直线的方向向量，平面的法向量，向量在平面内的射影。10排列组合、二项式定理(18课时)。分类计数原理与分步计数原理，排列、排列数公式，组合、组合数公式、组合数的两个性质，二项式定理，二项展开式性质。11概率(12课时)。随机事件的概率，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复试验。12 研究性课题（12课时）。研究性课题主要是指对某些数学问题的深入探讨，或从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。充分体现学生的自主活动和合作活动。以所学的数学知识为基础，密切结合生活和生产实际。可自拟课题，也可参考如下课题：数列在分期付款中的应用；向量在物理中的应用；线性规划的实际应用；多面体欧拉定理的发现自选课题：如勾股定理的反思，等边三角形的开放题。选修Ⅰ(文科)1统计(12课时)。抽样方法。总体分布的估计。正态分布。线性回归。实习作业。2极限与导数(20课时)。数列的极限。函数极限。极限的四则运算、导数的概念、多项式函数的导数。导数的应用：变化率。利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值。微积分建立的时代背

景和历史意义。3 研究性课题（3课时）。参考课题：杨辉三角；定积分在经济生活中的应用。复数内容已取消。选修Ⅱ（理科）：1概率与统计(14课时)。离散型随机变量的分布列。离散型随机变量的期望值和方差。抽样方法，总体分布的估计。正态分布。线性回归。2、极限(12课时)。数学归纳法。数学归纳法应用举例。数列的极限，函数的极限。极限的四则运算。函数的连续性。3、导数与微分(16课时)。导数的概念。导数的几何意义。几种常见函数的导数。两个函数的和、差、积、商的导数。复合函数的导数、基本导数公式。微分的概念及运算。利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。4、积分(14课时)。定积分概念。简单性质。微积分基本公式。原函数与不定积分的概念。不定积分的线性性质。基本积分公式。平面图形面积，旋转体体积。微积分建立的时代背景和历史意义。5、复数(16课时)。复数的概念、复数的向量表示法，复数的加法与减法、乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方。6.研究性课题（6课时）。参考课题：杨辉三角；定积分在经济生活中的应用.4.教学中应该注意的几个问题：①面向全体学生(结合教育实习中的例题、问题)。面向全体学生就是对每一个学生负责，既要为所有的学生打好共同的基础，也要注意发展学生的个性和特长。由于学生在知识、技能、能力方面的发展和志趣存在差异，所以要因材施教。在课堂教学中，应根据必修、限定选修和任意选修的不同方式，从大多数学生的实际情况出发，并兼顾学习有困难和学有余力的学生。对学习有困难的学生，要特别予以关心，及时采取有效措施，使他们能够达到教学目标。对学有余力的学生，要通过多种途径，满足他们的学习愿望，发展他们的数学才能。②进行思想品质教育。结合数学教学内容和学生的实际对学生进行思想品质教育是数学教学的一项重要任务。要用辩证唯物主义的观点阐述教学内容，使学生领悟到数学来源于实践，又反过来作用于实践，以及反映在数学中的辩证关系，从而受到辩证唯物主义观点的教育。要通过介绍我国古今的数学成就和数学在社会主义建设中的作用，激发民族自尊心和爱国主义思想，使学生逐步明确要为国家富强、人民富裕而努力学习。对学生既要严格要求，又要热情关怀，使他们树立学好数学的信心。帮助学生通过学习数学,养成良好的学习习惯,认识数学的科学意义,文化内涵,理解和欣赏数学的美学价值.(链接数学美) 。课本27页。③重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养。知识、技能和能力三者的关系是互相依存、互相促进的。能力是在知识的教学和技能的训练过程中，通过有意识的培养而得到发展的；同时，能力的提高又会加速加深对知识的理解和技能的掌握。在教学中，要突出重点、抓住关键、解决难点，要引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律，并着重培养学生的能力。在进行概念教学时，应当从实际事例或学生已有的知识中，逐步引导学生加以抽象，弄懂概念的含义。对于规律，应当引导学生搞清它们的来源，分清条件和结论，弄清抽象、概括和证明的过程，了解它们的用途和适用范围。（有理数的混合运算）。对于基本技能和能力，要遵循学生的认识规律，结合教学内容，选择合适的教学方法，有目的有计划分阶段地进行训练和培养。要随着学生对基础知识的理解的不断加深，逐步提高对基本技能和能力的要求。在教学中，还必须注意知识的整体性，把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，以便于存储、提取和应用。要指导学生认真阅读课文，及时进行复习和总结，把所学知识系统化。圆、二次函数、零点、四边形 ④重视创新意识和实践能力的培养。培养学生的创新意识和实践能力要成为数学教学的一个重要目的和一条基本原则.（新课程中继承和发展）。激发好奇心,不断追求新知,要启发学生能够发现问题和提出问题.善于独立思考,会从数学角度发现和提出问题。学会分析问题和创造性地解决问题,使数学教学成为再创造、再发现的教学．（学问—学答）去问题的教学，中外观念（分数-问题)。把没有问题的学生教成有问题的学生．勾股定理反思。实习作业和研究性课题为创新意识和实践能力的培养提供了一个机会，要在教学中加以实施。增强用数学的意识。通过背景材料进行观察、比较、分析、

综合、抽象和概括得出数学概念和规律。实际问题抽象为数学问题，建立数学模型。⑤改进教学方法，正确组织练习（有学的教）。数学教师必须转变教育观念，改变向学生灌输知识的单一的教学模式。积极实行启发式和讨论式教学。师生双方密切合作、交流互动，激发学生独立思考和对问题的好奇心。（结合教育实习中听课的感受：教学是教学生学，教师起着启发、引导、点拨的作用.通过自然的帮助引起学习意向）。练习是数学教学的有机组成部分，是学生学好数学的必要条件。练习的目的是使学生进一步理解和掌握数学基础知识，训练、培养和发展学生的基本技能和能力，能够及时发现和弥补教学中的遗漏或不足，培养学生良好的学习习惯和品质。要注意充分发挥练习的作用，要正确组织练习，加强对解题的指导，引导学生在弄懂课文内容的基础上独立完成作业，弄清产生错误的原因并及时加以改正，对解题的思想方法作必要的概括。习题要精选，题量要适度，要有一定数量的基本题，由单一到综合，循序渐进，由浅入深；不要增加过量的课外题，以免造成学生过重的课业负担。对完成作业有困难的学生要给予必要的指导。要重视实习作业具体内容的选择和安排。对学生完成的作业，要及时检查，并做必要的评析。（备课中备练习题、习题要落到实处。结合有理数乘方的案例）圆的标准方程的练习课例。⑥ 重视现代教育技术的运用。应根据教学需要重视投影、录像、计算器、计算机和多媒体技术等现代教育技术手段的运用。使计算机及其网络成为数学课堂及课外教育的辅助工具。提倡教师自制教具，自己设计教学课件。(简单的图案设计、概率)。思考：如何把握现代教育技术运用的度？⑦严格执行课程计划。严格执行课程计划所规定的教学周数和每周的教学课时数。不得增加课时数，不得提前结束数学课程，不得随意增加毕业前的复习时间。 5.教学测试和评估数学教学测试和评估必须以教学目标为依据，其目的不仅是评定学生的学习成绩，促进教师改进教学，更重要的是为了激励学生努力学习。要注意通过课堂提问、观察、谈话、学生作业和平时测验，及时测试和评定学生的学习状况，吸收教学的反馈信息。要注意评估手段和方法的改革。科学的考试既要测量学生理解和掌握数学基础知识和数学基本技能的情况，又要测量学生的数学基本能力和综合应用数学的能力。要按照课程计划的要求，控制考试的次数。命题要依据教学内容和教学要求，题目要体现教学重点，难易适当，不出偏题、怪题和助长死记硬背的题目。要及时做好考卷分析和教学评估工作，针对发现的问题，有的放矢地调整教学。对于学生学习中的缺陷，要积极采取补救措施。测试和评估的过程也是师生交流的过程，这个过程应有利于学生树立学好数学的信心，充分发挥他们的才能去获取更好的学习效果。要改进测试和评估结果的报告形式，选择描述学生学习效果的最佳方法，鼓励他们所取得的点滴进步，促进他们数学素养的不断提高。高中数学教学大纲的基本结构1.教学目的2.教学内容的确定和安排3.教学内容和教学目标4.教学中应该注意的几个问题5.教学测试和评估三、高中数学教材的结构和基本内容(一)中学数学教材的结构：1说明(包括教材适用的学制、年级、主要内容、习题分类及使用和有关出版该教材的事宜)。2目录(各章节内容的索引)。3引言(对新开设的课而言，简述该教科书阐述的数学知识的产生、研究对象及方法，以及同其它学科的关系，可从整体

上认识本学科的知识，掌握一定的数学思想和方法)。4正文(各章节内容阐述，是教科书的主体，既是教师选择教学内容的依据，又是学生自学预习的必备内容，一般由概念、命题、例习题三大部分组成，每章后附小结)。5附录(公式、符号表、内容补充)。(二)最新颁行的中学数学教材的特点（修订版大纲）。高中试验修订版教材有如下特点：1每章均配有章头图和引言，作为全章内容的导入，可作为教师导入新课的材料，也可使学生初步了解学习该章的必要性。2习题分为三类：练习(课堂练习)、习题(*号选用)、复习参考题(A、B两组)和参考例题）。3每章后有小结与复习(内容提要、学习要求、需注意的问题、参考例题)。4每章附有一至两篇不作教学要求的阅读材料供学生课外阅读，借以扩大知识面，激发兴趣，培养应用数学的意识(集合元素个数，指数、对数发展简史，笛卡尔和费马，有关储蓄计算等)。5安排有实习作业(线性规划、三角函数等安排有实习作业，要求写实习报告)。(三)高中数学教材的内容分布(与2000大纲对应）数学第一册(上)：第一章 集合与简易逻辑；第二章 函数；第三章 数列数学第一册(下)：第四章 三角函数；第五章 平面向量数学第二册(上)：第六章 不等式；第七章 直线和圆的方程；第八章 圆锥曲线方程数学第二册(下)：第九章 直线、平面、简单几何体；第十章 排列、组合、二项式定理；第十一章 概率。数学第三册(选修Ⅱ)：第一章 概率与统计；第二章 极限；第三章

导数与微分；第四章 积分；第五章 复数。数学第三册(选修Ⅰ)：第一章 统计；第二章 极限与导数。数学课程标准。国家课程标准是国家对基础教育课程的基本规范和要求。《基础教育课程改革纲要(试行)》明确指出，课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础。它体现国家对不同阶段的学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观（三维目标）等方面的基本要求，规定各门课程的性质、目标、内容框架，提出教材编写、教学和评价建议。1）课程标准主要是对学生在经过某一学段之后的学习结果的行为描述，而不是对教学内容的具体规定(如教学大纲或教科书)。2）课程标准是国家(有些国家是地方)制定的某一学段的共同的、统一的基本要求,而不是最高要求。课程标准的范围应该从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面体现数学课程的总体目标和学段目标的基本要求。§2.2 数学课程标准及教材解析第一部分：课程标准：确定一定学段的课程水平及课程结构的纲领性文件。一、义务教育数学课程标准。（一）基本结构。第一部分：前言 1.课程性质 2.课程基本理念。 3.课程设计思路。第二部分:课程目标 1.总目标 2.学段目标。第三部分:课程内容：1.数与代数 2.空间与图形（几何） 3.统计与概率4.课题学习。第四部分:课程实施建议 。1.教学建议 2.评价建议 3.教材编写建议4.课题资源开发与利用建议。附录。(二)对基本内容的理解。前言:数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。（修订版：数量关系和空间形式）。义务教育数学课程的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展第一部分 前言。1.课程性质：基础性、普及性、发展性。为学生未来生活、工作和学习奠定基础，数学是人类文化的重要组成部分。能使学生掌握双基、培养抽象思维、推理能力，创新意识和实践能力，情感态度价值观等方面的发展。课程基本理念：（1）大众数学理念。课标修订版中将原来“人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。改为“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。不同的学生有不同的思维方式、不同的兴趣爱好以及不同的发展潜能。因此大众数学体系下的数学课程将在使所有学生获得共同的数学教育的

同时，让更多的学生有机会接触了解乃至钻研自己所感兴趣的数学问题，最大限度地满足每一个学生的数学需要。（2）数学课程观。课程内容反映社会需要、数学特点、学生认知规律。内容组织处理好过程与结果、直观与抽象、直接经验与间接经验的关系。（3）数学学习观。学生学习应当是生动活泼、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式。当前合作学习的误区：作秀、热闹的课堂（分工-合作）独立思考与合作。（思维的个体性）。（4）数学教学观。教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学的主体，教师是学习的组织者、引导者、合作者。教师教学以学生认知水平和已有经验为基础，启发式和因材施教，处理好讲授与自主学习。同底数幂乘法法则、去括号、有理数除法的课例。 （结合教育实习：二项式定理，离散型随机变量为什么要学？是天上掉下来的吗？）新知识的生长点-激活。教学重在教学生学。教师是学生思维向导的主角，起着启发、引导、点拨的作用。（5）教学评价观。评价目的：全面了解学生数学学习的过程与结果，激励学生学习和教师改进教学。评价目标多元、评价方法多样：结果、过程，学习水平、情感态度、认识自我、信心。（6）现代信息技术的作用。充分发挥计算器、机、多媒体等在教学中的辅助作用。如何把握度：不提倡用计算机上的模拟实验来代替学生能够从事的必要的实践活动，代替学生的直观想象、代替学生对数学规律的探索。课程设计思路：①学段划分：三个学段；②学段目标：刻画知识技能的结果性目标动词:了解、理解、掌握、灵活运用。刻画数学活动水平的过程性目标动词：经历（感受）、体验（体会）、探索。②课程内容:数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。教学目标和教学要求分为四个层次(一)了解（知道、初步认识）：能够说明对象的有关特征（或意义），能够根据对象的特征，从具体情境中辨认出这一对象。对知识的含义——有感性的、初步的认识。从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。如了解角平分线及其性质、解析几何的基本思想、了解无理数、实数、二次根式、分式的概念，了解二次根式的加、减、乘除运算法则。(二)理解（认识、会）：不仅能说出概念和规律是什么，而且知道其是怎么来的，它与其它概念和规律之间的联系。能描述对象的特征和由来，能明确阐述此对象与有关对象之间的区别和联系——达到理性认识。如理解有理数的意义、乘方的意义、有理数的运算律。理解配方法、正比例函数，理解离散型随机变量、圆及其有关概念。理解特殊→一般→特殊，未知→已知，用字母表示数、数形结合、复杂问题简单化的思想方法。理解子集、真子集、补集的，理解对数函数概念及其运算性质，理解向量的概念、理解直线的方向向量，平面的法向量，向量在平面内的射影。理解导数、二阶导数的概念。理解圆的参数方程。（参数是数学中最富有献身精神的一员，招之即来，挥之即去）。(三)掌握（能）：能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中。一般地说，是在理解的基础上，通过练习形成技能，能够或会用它去解决一些问题。如掌握因式分解的公式法、提取公因式法、熟练掌握有理数的运算法则，掌握消元降次、配方等常用的数学方法，掌握平行四边形、矩形等的概念和性质。算术平均数与几何平均数的定理，掌握分析法、综合法、比较法证明简单不等式，掌握圆的标准方程和一般方程。掌握空间线线、线面、面面关系，掌握微分的概念，复数的代数形式、三角形式。(四)运用（证明）：指能够综合运用知识并灵活、合理地选择与运用有关方法完成特定的数学任务——从而形成能力。综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。如能运用有理数的运算解决简单的问题。能运用函数性质解决简单实际问题.。经历（感受）：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。体验（体会）：参与特定的数学活动，主动认识或

验证对象的特征，获得一些经验。体验勾股定理的探索过程.。探索：主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或其他对象的区别和联系。修订版探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。探索并证明平行四边形的性质、判定定理第二部分：课程目标1.总体目标（后面专节学习）● 获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。●体会数学知识之间、其它学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现、提出、分析和解决问题的能力；● 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。2.学段目标：四方面：① 知识技能：经历过程、掌握、解决问题。②数学思考：思维、合情推理、演绎推理能力、基本思想、思维方式。③问题解决：发现、提出、分析解决、应用、反思意识。④情感态度：好奇心、求知欲、意志、乐趣、自信心、数学的价值、学习习惯、科学态度。学习习惯：认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等。科学态度：坚持真理、修正错误、严谨求实（带队实习听课经历）（合情推理：据已有事实和正确结论、实验、实践、经验、直觉等推测某些结果的推理过程。演绎推理：据已有事实和正确结论，按照严格的逻辑规则得到新结论的推理过程。）第三部分 内容标准(7-9年级)数与代数：数与式、方程与不等式、函数；图形与几何：图形的认识，图形与变换、图形与坐标、图形与证明。统计与概率：统计、概率；综合与实践。具体内容及目标第四部分 课程实施建议（2011版）一）教学建议1. 数学教学活动要注重课程目标的整体实现 。为使每个学生都受到良好的数学教育，数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而且要把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面目标有机结合，整体实现课程目标。2. 重视学生在学习活动中的主体地位。（1）学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。（2）教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。3. 注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握。4 .感悟数学思想，积累数学活动经验。5. 关注学生情感态度的发展。6. 合理把握“综合与实践”的实施。7. 教学中应当注意的几个关系：（1）“预设”与“生成”的关系 。（2）面向全体学生与关注学生个体差异的关系。（3）合情推理与演绎推理的关系。（4）使用现代信息技术与教学手段多样化的关系（二）评价建议1. 基础知识和基本技能的评价。2. 数学思考和问题解决的评价。3. 情感态度的评价。4.

注重对学生数学学习过程的评价。5. 体现评价主体的多元化和评价方式的多样化。6. 恰当地呈现和利用评价结果。7. 合理设计与实施书面测验（三）教材编写建议1. 教材编写应体现科学性。2. 教材编写应体现整体性。3. 教材内容的呈现应体现过程性4. 呈现内容的素材应贴近学生现实、生活现实、数学现实、其它学科现实。5. 教材内容设计要有一定的弹性。6. 教材编写要体现可读性（四）课程资源开发与利用建议1. 文本资源 。2. 信息技术资源 。3. 社会教育资源 。4. 环境与工具 。5. 生成性资源。生成性资源是在教学过程中动态生成的，如，师生交互、生生交流过程中产生的新情境、

新问题、新思路、新方法、新结果等。合理地利用生成性资源有利于提高教学有效性。附：九年义教人教版教材内容分布：七年级：有理数、整式的加减、一元一次方程、二元一次方程组、不等式与不等式组；图形的初步认识、相交线与平行线、平面直角坐标系、三角形；数据的收集整理与描述；设计制作长方体形状的包装纸盒、镶嵌、从数据谈节水

。八年级：实数、一次函数、整式的乘除与因式分解、分式、反比例函数；全等三角形、轴对称、勾股定理、四边形；数据的分析；选择方案、重心、体质健康测试中的数据分析。九年级：二次根式、一元二次方程、二次函数；圆、旋转、相似、锐角三角函数、视图与投影；概率初步；图案设计、键盘上字母的排列规律、制作立体模型 。附：北师大版教材内容分布：七年级：有理数及其运算、字母表示数、一元一次方程、整式的运算、变量之间的关系；丰富的图形世界、平面图形及其位置关系、平行线与相交线、三角形、生活中的轴对称；生活中的数据、可能性、生活中的数据、概率；制成一个尽可能大的无盖长方体、制作“人口图” 。 八年级：实数、一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式和一元一次不等式组、分解因式、分式；勾股定理、图形的平移与旋转、四边形性质探索、位置的确定、相似图形、证明（一）；数据的代表、数的收集与处理；制作平面图的镶嵌、制作视力表、吸烟的危害。 九年级：一元二次方程、反比例函数、二次函数；证明（二）、证明（三）、视图与投影、直角三角形的边角关系、圆 ；频率与概率、统计与概率 ；猜想证明与拓广、拱桥设计、设计遮阳篷。

二、高中数学课程标准（实验稿）基本结构：与初中对比：第一部分 前言 体现基础性、多样性和选择性1.课程的性质 2.课程的基本理念3.课程的设计思路。第二部分 课程目标。第三部分

内容标准。必修课程(数学1,数学2,数学3,数学4,数学5）。选修课程(系列1,系列2,系列3,系列4)。数学探究、数学建模、数学文化。第四部分 实施建议（教学建议、评价建议、教材编写建议）。第一部分 前言数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学的应用越来越广泛。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。一、课程性质高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。二、课程的基本理念1. 构建共同基础，提供发展平台 高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。（生活、发展、进一步学习）高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。2. 提供多样课程，适应个性选择。高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式。高

中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。4. 注重提高学生的数学思维能力。经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。5. 发展学生的数学应用意识。6. 与时俱进地认识“双基”。7. 强调本质，注意适度形式化。高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹。把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。数学家女儿学集合的例子（非本质泛化）。8. 体现数学的文化价值（应用价值、智力价值、认识价值、美学价值、精神价值等）阅读教材。 9.

注重信息技术与数学课程的整合。10. 建立合理、科学的评价体系三、课程设计思路（一）高中数学课程框架1.课程框架高中数学课程分必修和选修。必修课程由5个模块组成；选修课程有4个系列。其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成；每个模块2学分（36学时），每个专题1学分（18学时），每2个专题可组成1个模块。课程框架由必修的5个模块和选修的4个系列组成，系列1，2由若干模块组成，系列3，4由若干专题组成。2.必修课程：数学1：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）。数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。数学3：算法初步、统计、概率。数学4：基本初等函数Ⅱ（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换。数学5：解三角形、数列、不等式。3.选修课程系列1：2个模块。选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。系列2：3个模块组成。选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。选修2-3：计数原理、统计案例、概率。系列3：由6个专题组成。选修3-1：数学史选讲。选修3-2：信息安全与密码。选修3-3：球面上的几何选修3-4：对称与群。选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3-6：三等分角与数域扩充。系列4由10个专题组成。选修4-1：几何证明选讲 选修4-2：矩阵与变换 。选修4-3：数列与差分 选修4-4：坐标系与参数方程 。选修4-5：不等式选讲 选修4-6：初等数论初步。选修4-7：优选法与试验设计 。选修4-8：统筹法与图论初步。 选修4-9：风险与决策选修4-10：开关电路与布尔代数4.关于课程设置的说明课程设置的原则与意图：必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的。系列2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列1，系列2内容是选修系列课程中的基础性内容。系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，根据系列3内容的特点，系列3不作为高校选拔考试的内容。模块的逻辑顺序：必修课程是选修课程中系列1，系列2课程的基础。选修课程中系列3、系列4基本上不依赖其他系列的课程，可以

与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。必修课程中，数学1是数学2，数学3，数学4和数学5的基础。系列3、系列4课程的开设。学校应在保证必修课程，选修系列1、系列2开设的基础上，根据自身的情况，开设系列3和系列4中的某些专题，以满足学生的基本选择需求。学校应根据自身的情况逐步丰富和完善，并积极开发、利用校外课程资源（包括远程教育资源）。对于课程的开设，教师也应该根据自身条件制定个人发展计划。4.对学生选课的建议学生完成10个学分的必修课程，在数学上达到高中毕业要求。希望在人文、社会科学等方面发展的学生，在完成10个必修学分的基础上，可以有两种选择。一种是，在系列1中学习选修1-1和选修1-2，获得4学分；在系列3中任选2个专题，获得2学分，共获得16学分。另一种是，如果学生对数学有兴趣，并且希望获得较高数学素养，除了按上面的要求获得16学分，同时在系列4中获得4学分，总共获得20学分。希望在理工（包括部分经济类）等方面发展的学生，在完成10个必修学分的基础上，可以有两种选择。一种是，在系列2中学习选修2-1，选修2-2和选修2-3，获得6学分；在系列3中任选2个专题，获得2学分；在系列4中任选2个专题，获得2学分，共获得20学分。另一种是，如果学生对数学有兴趣，希望获得较高数学素养，除了按上面的要求获得20学分，同时在系列4中选修4个专题，获得4学分，总共获得24学分。本标准中使用的主要行为动词：目标领域水平行为动词：知识与技能知道/了解/模仿了解、体会、知道、识别、感知、认识、初步了解、理解/独立操作描述、说明、表达、表述、结实、归纳、会求、初步应用、掌握/应用/迁移掌握、导出、分析、推导、证明、解决问题、程与方法经历模仿观察、感知、体验、操作、尝试、发现/探索分析、交流、研究、整理、解决、情感、态度与价值观反应/认同感受、认识、了解、初步体会、体会、领悟/内化获得、提高、增强、形成、养成、树立一、教学建议 1. 以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划。2. 帮助学生打好基础，发展能力。 教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，发展能力。具体来说：（1）强调对基本概念和基本思想的理解和掌握。 教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。（2）重视基本技能的训练。熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的。在高中数学课程中，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。（3）与时俱进地审视基础知识与基本技能。3. 注重联系，提高对数学整体的认识。教学中要注重函数、方程、不等式的联系；向量与三角恒等变形、向量与几何、向量与代数的联系；数与形的联系；算法思想在有关内容中的渗透、在不同内容中的应用等。此外，还要注意数学与其他学科及现实世界的联系。例如，教学中应重视向量与力、速度的联系，导数与现实世界中存在的变化率的联系等。4. 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力。5. 关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成。6. 改善教与学的方式，使学生主动地学习。（1）高中数学课程增加了一些新的内容，对于这些内容，教师要把握标准的定位进行教学。（2）教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与。 （3）加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思考。（4）在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，不能只限于形式化的表达，应注意揭示数学的本质。 （5）对不同的内容，可采用不同的教学

和学习方式。 （6）教师应根据不同的内容、目标以及学生的实际情况，给学生留有适当的拓展、延伸的空间和时间，对有关课题作进一步探索、研究。例如，反函数的一般概念、概率中几何概型的计算等都可作为拓展、延伸的内容。拓展、延伸的内容不作为考试的要求。（7）教师应充分尊重学生的人格和学生在数学学习上的差异，采用适当的教学方式，在数学学习和解决问题的过程中，激发学生对数学学习的兴趣，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，勤奋好学、勇于克服困难和不断进取的学风。（8）教师应不断反思自己的教学，改进教学方式，提高自己的教学水平，形成个性化的教学风格。7. 恰当运用现代信息技术，提高教学质量二、评价建议1. 重视对学生数学学习过程的评价。2. 正确评价学生的数学基础知识和基本技能。3. 重视对学生能力的评价。4. 实施促进学生发展的多元化评价。5. 根据学生的不同选择进行评价三、教材编写建议1. 素材的选取应体现数学的本质、联系实际、适应学生的特点。2. 体现知识的发生发展过程，促进学生的自主探索。 3. 体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学

。4. 注意新理念、新内容在教材编写上的特殊处理。5. 渗透数学文化，体现人文精神。6.

内容设计要有一定的弹性 。7. 反映现代信息技术与数学课程的整合§2.3中学数学课程目标（教学目的）和教学内容的选择与编排中学数学课程目标的重要性（为什么教学？）中学数学课程目的是数学教学工作的依据，无论对课标的理解、教学内容的确定，还是教学原则的掌握、教学环节的运用等都必须以教学目的为准则，是数学教学工作的指南。因此全面、正确理解中学数学课程目的，对深入钻研和妥善处理教材，恰当地选择教学方法，从而有效地提高教学质量具有重要的意义。数学教学目标是衡量数学课堂教学质量高低的标准之一，评价一堂数学课的好坏，不是仅看其讲得如何流畅，课堂气氛如何热烈，板书如何漂亮，这些仅仅是达到目的的手段与环境，而首先应该看这堂课的教学目标定得是否合适？教学目标是否达到。而课堂教学目标的确定又依赖于总的数学教学目的。因此研究和掌握中学数学教学目的具有非常重要的意义。§ 2.3.1中学数学课程目标（或教学目的）一、确定中学数学课程目标的依据中学数学教学目的是依据党和国家对现阶段培养人才提出的总目标，中学教育的性质、任务、数学自身的特点及其在培养人才中所起的作用，以及中学生的学习基础，年龄特征来确定的。1 党和国家对现阶段培养人才提出的总目标和中学教育的性质任务。2 数学的特点及其作用。特点：数学以现实世界的空间形式和数量关系为其研究对象，它的内容具有高度的抽象性，逻辑的严谨性和应用的广泛性的特点．作用：（1）数学具有发展学生观察力、注意力、记忆力、思维力和想象力的因素．（2）数学提供了培养学生空间想象能力和运算能力的好材料．（3）数学应用的广泛性，在日常生活、生产中都要运用数学的知识、思想和方法，同时它也是进一步学习科学技术的基础．数学在社会科学中也越来越多地使用着它的语言、思想、方法和符号，发挥了“数学是一切科学的得力助手和工具”的作用．未来高科技的发展离开数学寸步难行．（4）数学中充满着辩证关系，它的产生和发展体现唯物辩证思想．所以，数学是培养学生辩证唯物主义观点的好材料．3.中学生的学习基础和年龄特征。(1)学生在中学阶段的学习，必须以小学阶段的学习为基础．同时，中学阶段的学习也要为升入高一级学校的学习打好基础．在确定中学数学教学目的时，需要对小学、中学、大学的教学目的作全面考虑．一般来说，数学知识在大、中、小学中的衔接是容易做

到的，而在学习方法、学习习惯等方面的衔接比较困难，尚需进一步研究． (2)中学生的年龄特征、认知特点，是指青少年各年龄阶段身心发展的不同特点．据思维发展心理学研究表明：思维发展，初中生主要以经验型为主的抽象逻辑思维；高中生主要以理论型为主的抽象逻辑思维．可见，抽象化程度较高的数学内容，对中学生来说还不能接受．所以，确定中学数学教学目的要依据中学生的年龄特征．二、中学数学课程目标（教学目的）的基本内容基本内容体现在数学教学大纲和课程标准中（一） 高中《数学教学大纲》试验修订版2000年高中《数学教学大纲》试验修订版中规定，高中数学的教学目的是：使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力，以及创新意识；进一步培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点。二）高中数学课程标准（实验）总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展和社会进步的需要。6个具体的目标: 1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。（数学家女儿学集合、函数定义、性质、代数的本质、近代）2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。3.提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。（三）义务教育数学课程标准（实验稿）总体目标：获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都得到充分发展。（四）义务教育数学课程标准（2011版）总体目标：● 获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.●体会数学知识之间、其它学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现、提出、分析和解决问题的能力；● 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。具体分为四个方面的目标：知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度。具体阐述分为：知识与技能。数学思考。解决问题。情感与态度教学目标要求的三个维度 （三维目标）知识与技能；过程与方法； 情感态度与价值观。中学数学教学目的归结起来有以下七方面内容: 大前提:社会发展、个人进步（升学、就业、成人生活）(一)数学基础知识。基础知识是数学体系构成的基本要素，一般认为大纲或标准中规定的知识都是基础知识。主要指数学概念、性质、法则、公式、公理、定理等。（显性）基础知识不是一成不变的。与时俱进四基(

二)数学基本技能。技能是个体身上固定下来的自动化的行动方式，即按一定程序和步骤完成的动作 。如解一元一次方程或不等式的基本步骤(去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化1)，五步进行计算、推理均属技能。初中阶段指能按一定程序和步骤进行运算、作图或画图、进行简单推理。高中阶段指按一定程序与步骤进行运算、处理数据(包括使用计算器)、简单的推理，画图及绘制图表等技能。对于中学数学的基础知识和基本技能的范围，一般是通过制订中学数学教学大纲、数学课程标准或国家统一的考试大纲的形式说明的．因此，在教学实践中，应以中学数学教学大纲、数学课程标准为指导，以中学数学教材为依据来具体确定基础知识和基本技能的深、广度。（三）基本数学思想数学思想方法的重要性。（四基之一）（米山国藏）作为知识的数学，若不从事数学工作，通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思想方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若培养了这方面的素质的话）却随时随地发挥作用，使他们受益终身。（农夫的故事）。已有的研究表明，大众数学实施的关键是数学思想方法的大众化。中学数学课程标准中把体会和获得数学思想方法放到重要的位置。（1）建立学科体系的思想------公理化思想。几何近世代数概率。（2)解决数学问题常用的基本思想--------化归思想。烧开水的问题体现数学家特有的思维方式。中学数学中的化归思想：代数中方程组方程、函数、几何。(3)解决实际问题常用的思想------数学模型化思想（MM方法）。(4)建立映射，使问题间接得解的关系----映射---反演原则（RMI原则）男士刮胡子、女士化妆。（1）对数法 （2）换元法 （3）待定系数法（4）间接征法（反证法、逆否命题法、同一法）(5)建立学科联系的思想----形数结合思想。（一）形转化为数（1）解析法

（2）代数法（3）三角法 （4）几何变换法（5）向量法 （5）复数法。（二）数转化为形。(6)建立部分与整体联系的常用策略---分类讨论思想。(7) 提出数学问题常用的思想----合情推理的思想（四）基本活动经验。操作、感知、思维活动等。基本活动经验：学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验。（动手操作、直观感知、解决问题经验）。数学活动经验：学生在经历数学活动的过程中获得的关于数学活动目的、数学内容意义、数学活动行为、数学活动环境等方面的感受、理解、领悟、体验以及由此获得的数学知识、技能、智慧、情感与观念等内容的有机组合性经验。三角形中最大角，解方程经验(五)数学能力数学能力是指直接影响人们顺利有效地完成活动的个性心理特征。（基本能力和一般能力）一元二次方程根与系数。主要包括运算能力、思维能力和空间想象能力、抽象概括、推理论证（演绎推理和合情推理）、数据处理等基本能力。数学课程标准中强调:发现提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。（学会学习）（学问、学答）中外家长观念的差别（分数、问题）教师：去问题教学。没有问题的学生-有问题的学生（中高考题）(六)创新意识和数学应用意识。创新意识和应用意识。创新意识主要指：学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考学会思考是创新的核心;归纳概括、猜想验证是创新的重要方法.勾股定理的反思。应用意识：有意识地用数学的概念、原理方法解释现实中的现象和问题；认识到现实中有大量问题可抽象为数学问题、用数学方法解决问题。数感、符号感、数学观念（五台山问题）一百万有多大?纸的对折（七）情感、态度和价值观。对数学有好奇心和求知欲、提高学习数学的兴趣、信心，体验成功的乐趣。养成认真学习、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯；形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，勇

于探索创新的精神.认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，体会数学的美学意义．(链接数学的文化价值、教材25页) 树立辩证唯物主义和历史唯物主义观点: 辩证唯物主义观点主要是指：数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；数学中普遍存在的对立统一观点、运动变化观点，相互联系、相互转化的观点，量变质变观点、否定之否定观点等。结合例子体味：数学模型化思想。数学运算。函数、轨迹、解析几何。一次、二次函数、角的变化。多项式、方程、函数、不等式。反证法、非欧几何的产生、数系的扩充。如何理解中学数学课程目标（教学目的）:

大前提。数学基础知识。数学基本技能。数学基本思想。数学基本活动经验。数学能力：发现、提出、分析解决问题。创新意识和应用意识。情感态度和价值观。知识是对经验的总结（数学概念、公式、命题等）。技能是个体身上固定下来的自动化的行动方式，即按一定程序和步骤完成的动作。是一系列行为方式的概括，偏重于操作。能力是对思想材料进行加工的活动过程的概括。体现认知过程的心理差异，偏重在个性心理特征方面2．3．2中学数学教学内容的选择(一)数学教学内容选择的依据和标准 中学数学教学内容的选择，要依据教学目的，同样也受着中学教育的性质、任务、数学的特点和中学生的年龄特征等的制约． 中学数学的教学内容选自数学科学，但在具体选择时要全面照顾到基础性、工具性、教育性、社会需要性、可接受性和统一性与灵活性相结合，不能偏废．教学内容选择较一致的标准有：1社会作用的标准：经济、科技、政治、文化等的发展（结合数学教育改革的足迹、算法、幂函数、函数零点、二分法）2教育作用的标准：选取的数学教学内容应是培养学生数学思维、数学能力以及形成数学观念有重要作用的基础知识。（初中几何：量补—探索证明）行为参与和思维参与。3后继作用原则：选择的教学内容要考虑学生升学、完成中等教育及今后终身学习所需的数学基础知识。4可接受性标准：选取教学内容应与学生的认识水平和接受能力相适应。（反函数降低要求—从指数函数和对数函数的关系中引出）。5可行性标准：选取的教学内容是在中学教学计划规定的时间和进度范围内，经过绝大多数学校、教师教学实践证明是可行的。（New math新数运动的教训）(二)数学教学内容编排的原则1心理原则：符合学生的认识过程、接受能力，由易到难，与思维发展的阶段性相适应，同时先前知识的学习促进后继知识的学习，充分发挥正迁移效应。（形象思维—抽象思维）。2科学系统原则：直观、类比、归纳、演绎等多种方式结合，逻辑结构不十分严密，但不破坏科学性，揭示学科基本结构，促进智力发展。（三）科学的数学与作为教学科目的中学数学的联系与区别（科学数学与学科数学或教学数学）所谓科学的数学就是指数学科学，即将人类(特别是数学家)所发现的数学规律按照数学特有的演绎规律组成的科学体系。（科学几何典范—几何基础：不允许直观和默认，直线上有5个点）。作为教学科目的数学即学科的数学，是指精心选择的满足于社会需要、适合于教育水平、个体认知水平的那部分数学内容。因此作为教学科目的数学是一种具有教育功能的数学。它是将科学数学经过教学法加工的结果，但其内部结构和叙述方式基本上保持科学数学的本色，体现科学数学的基本特点。（教学几何典范—《几何原本》）。二者的主要区别有：1.认识主体不同。科学的数学其认识的主体乃是数学家，数学研究人员，其使用者、服务范围仍然是数学家和科技应用领域，目的是寻求和确定完备的、精深的数学法则，使其能广泛地反映客观世界的关系和空间形式。(哥德巴赫猜想）。而教学的数学其认识的主体是具有不同年龄阶段和认知水平的学生，其目的是传授给中学生一些基本的、必要的，

且通过努力之后完全能为中学生所理解的数学知识。 2.可否接受和内容编排上不同 。 作为科学数学重在深入地探求科学的真理，以逻辑为工具编排内容，它对研究问题的复杂性和艰深性在所不计，不理会人们的科学水平和接受水平如何。而教学的数学是在教育学、心理学等理论基础上结合学生的年龄特征和认知发展水平及数学学习的特点，以便于学生接受的途径来叙述数学内容。对于一些艰深难懂的理论，采用直观、通俗易懂的描述方式讲述。因此二者在可否接受和内容编排上不同。（导数、反证法、反函数）。3.公理体系要求不同。 作为科学的数学，在公理体系上要求满足独立性、无矛盾性、完备性。（希尔伯特公理体系为何恰有5组20条公理？）。 而中学数学常常只要求无矛盾性，对独立性和完备性不作严格要求，常采取扩大公理的方法(如面积、体积公理、SSS公理、HL公理等可证)，一些易理解的概念也不加定义而直接使用。4.逻辑结构不同。作为科学的数学完全摒弃了数学发明创造的痕迹，仅出现严密准确的结论。连结这些不同时代、不同背景的数学结论的线索仅有一条，那就是数学自身的逻辑。如三角形内角和定理，只提出定理并加以论证即可(以形式逻辑和抽象思维为外部特征)。 而作为教学的数学大体保留了演绎科学的特征，但强调准确地反映科学认识的辩证过程以及形象、直觉、归纳、类比等探索性思维。三角形内角和定理要通过剪拼、观察、归纳、猜想、分析论证环节。（四）教材内容与课堂教学内容的关系1.二者呈现内容的方式不同。教材内容完全是以书面语言形式呈现，而课堂教学内容通过教师语言和板书展示，有较强的口语特点。 2.教材编写比较简单概括，教师必须对其进行教学法加工，进行深化和分解，使之变成可实施的教学内容(如函数概念、辅助线添设，有理数的混合运算、简单的图案设计、去括号法则、圆的方程等、反函数)。3.教材内容的难度只是编者对学生总体认识的体现，很难适用于所有学生。教师应根据所教学生的具体情况，适当调整教学内容的难度，使之成为最有利于学生接受的内容。同时不允许盲目照搬教材内容照本宣科，也不允许离开教材内容搞题海战术 。用教材教而不是教教材—创造性地运用教材§2.4 数学课程设计及改革一、数学课程设计的理论基础数学课程设计的理论基础就是指课程设计的三大基础——社会、数学、教育，并在此基础上产生均衡的数学课程.二、数学课程设计的原则

1、整体化原则。 所谓“整体化原则”是指在设计数学课程时一方面必须考虑数学作为一门学校课程，应与其他的学校课程一起组成一个整体的学校课程，发挥学校课程育人的整体功能；另一方面，又必须考虑数学课程作为一门独立的课程，应发挥它在学校教育中一门课程的整体功能．2、统一化与区别化相结合原则。作为一国家或一个社会、一个学校，为实现其教育目的和育人目标，对学校数学课程必须有一个统一的要求，必须规定学生学习应达到的基本要求或基本标准．但是，在一个国家，特别是发展中国家，各个地区的生产、经济、文化的发展是相当不平衡的，对数学的客观需求也是有区别的。（一标多本、校本课程、乡土教材）因此，在设计数学课程时，还要从不同地区的客观实际出发，适当照顾不同地区的差别，使设计的数学课程能适应不同地区的生产和经济发展水平，这就是说，统一化应与区别化相结合。在贯彻用统一化来组织数学课程内容及其结构体系的同时，还必须重视从不同地区的客观实际出发，根据各行各业和学生对数学的需求以及学生的认知水平来组织安排数学内容及其逻辑体系时，必须贯彻统一化与区别化相结合的原则。3、逻辑顺序与认知程序统一原则。 数学是有严密逻辑性的学科，逻辑系统是数学科学本身的系统；学生是课程实施过程中的主体，学生学习符合一定的认知程序，即心理系

统．（科学数学与教学数学） 设计数学课程时自然既不能违背逻辑顺序，也不应违背认知程序，无论是课程目标的确定、课程内容的选择，还是课程实施活动方式与评价的安排，都要贯彻逻辑顺序与认知程序统一的原则．数学科学的体系是从概念、公理出发，讲述定理、法则、公式，并加以证明，其中蕴涵着极其丰富的内容、观点、思想和方法，并且它的表述方式具有科学的系统性和结构的严谨性．但是在学校教学中，学生的感性认识还不够丰富，抽象思维能力尚未形成或正在形成，对这种从概念出发而不是从事实出发编排的教材，学习起来会感到困难，学习效果也不好．因此，数学课程需要按照学生心理发展水平和要求将知识材料重新组织，设计要从实际出发，提供一定的感性素材，并帮助学生从感性认识上升到理性认识，表述力求通俗易懂，便于学生学习；结论的叙述要求精练、准确，对结论的推理论证和系统的安排要严格、周密，使学习的结果逐步接近数学科学本身的体系．总而言之，设计数学课程既要保证科学性，也要注意学生的可接受性，贯彻逻辑顺序与认知程序相统一的原则。4、应用性原则。学校教育目标的一个重要方面是要求学生将所学得的知识 “理论联系实际”、“学以致用”．因而，学校为实现育人目标的这一要求设计的学校诸课程的目标也应包括这一重要方面，作为学校重要必修课程的数学当然也不能例外，其课程目标也应该包括数学知识的实用性．（度的问题、避免牵强附会）设计数学课程时，必须强调数学知识的实用性，必须重视数学知识在实际问题中的应用以及对其他学科发展的影响。三、数学课程评价1.数学课程评价的价值取向（结合课程涵义5页）：（1）目标取向的课程评价（2）过程取向的课程评价（3）主体取向的课程评价。2.数学课程评价的方法：（1）量化评价方法。（2）质性评价方法第3章 数学学习研究教学活动是一种师生双边的互动。教学重在教学生学。教与学对应：教师的教要建立在学生学的基础之上。对数学教学的认识要以对数学学习的认识为基础。人民教育家陶行知：教的法子要根据学的法子。因此需要研究数学学习的特点、过程等问题.学习理论：有效教学的保障。如果我必须把所有的教育心理学理论化约成一个原则的话，我宁愿这么说：影响学习的一个最重要的因素，即是学习者已经知道了什么，只要确信这一点，并且以此作为教学的依据即可。教学情境中的学习可以解释为：按照教学的目的和要求，由经验产生的、比较持久的行为、能力或倾向的变化。1、数学学习。学生通过获得数学知识经验而引起的较为持久的行为、能力或倾向的变化。数学学习具有一般学习的特点：系统掌握知识的内容、方法、思想为主；在教师引导下按一定的教材和教学时间进行；再发现等。一、数学学习的特点(一)中学数学学习是人类发现基础上的再发现，是在学生已有数学知识经验基础上的主动积极的建构过程。链接：相似三角形判定反函数、到角公式.。再发现经过了教学法加工，降低了发现过程的难度，使学生的发现成为捷径，省去了艰难曲折的历程。（无理数、集合论、非欧几何）。(二)数学学习是一种科学的公共语言的学习（应用的广泛性）。数学应用的广泛性：自然、社会、人文。马克思：一门科学只有当它成功地运用到数学时，才算达到比较完善的地步（真正发展了）。数学语言（文字语言、符号语言、图形图表语言）。数学语言的单义性、确定性；（切、割、相似）。数学语言的简明性、清晰性。科学的、公共的通用语言，正展现出世界文化符号的风采。符号的自然合理性。(三)数学学习需要较强的抽象概括水平。（抽象性）抽象—区分本质和非本质属性；概括—把抽象出的共同属性归结起来考察。（等差、比数列）。(四)数学学习需要较强的逻辑推理能力，有利于学生演绎

推理能力的发展 （严谨性）。(五)数学学习需要突出练习的环节（系统、衔接性）二、影响数学学习的因素（一）智力因素保证人们成功地进行认识活动的各种稳定心理特点的综合。人认识、理解事物和现象，运用知识、经验解决问题能力的总和。智力因素主要包括：观察力、注意力、记忆力、思维力、想象力。（二）非智力因素数学的智力价值。弗莱登塔尔对大学生做的测试。画家中最伟大(老)的诗人与诗人中最伟大(老）的画家。若诗人中只有一个画家，画家中是否只有一个诗人？大学数学、物理系学生回答此问题较文科学生大有长进。影响数学学习的因素:四个小圆分别表示注意力、观察力、记忆力、想象力，小圆交织的部分表示智力因素中的思维力，外围的大圆，表示为非智力因素同智力因素交织在一起

（一）智力因素：１．观察力：用感官认识现象的能力门户。2.注意力：心理活动对一定对象的指向和集中(警卫组织)注意分配和指向问题（专家和新手的区别）是形成问题的总体知觉、预见还是很快代入运算。上例：把一块木板锯成两块，第一块的长度是整块的三分之二，但比第二块短四英尺，问木板在锯开前的长度是多少？牛＼羊＼船长年龄问题苏联著名哲学家伊里英科夫指出：“损坏思维的器官要比损坏人体的任何一个别的器官都要容易得多，而要医治好它却很困难。如果治晚了，要想医治好就根本不可能。毁坏脑子和智力的最‘可靠’的方法之一，就是形式主义地死记知识。恰好是数学教师也许比别的教师具有很大的优势可以毁坏学生的脑子，强迫他们不理解意义地死记数学真理，不理解所进行的运算和操作的实质去解题。(有意义学习）３．记忆力：(仓库)事物在头脑中遗留的印迹的保持和再认。机械记忆为辅、理解记忆为主。(1)形象记忆法（马克思生日、3.14159、绝对值）（三三四三，四上有三，中间是减，符号不变）三四三三，四上有三，中间是减，符号不变） (2)类比记忆:例题（不等式、分式、正六边形）(3)系统记忆 例题(特角函数、和差化积、台体公式)。(2)类比记忆:例题（不等式、分式、数列、正六边形）。正六边形用处大，上弦中切下面割，左正右余中间1，对角线上互为倒，左右邻居找商数，阴影三角寻平方。(3)系统记忆：哥尼斯堡七桥问题：抽象分析。火柴摆三角形（直观感知、动手操作、思维）。4.思维力：人脑对事物的概括的、间接地反映。人的头发根数问题。据科学家预测，人的头发根数不超过20万，太原市总人口为300多万，试说明太原市人口中至少有2人的头发根数一样多。一般化（多余20万人口的地区）国际想象力调查在全球21个国家中，中国孩子的计算能力排名第一，想象力排名倒数第一，创造力排名倒数第五。想象力：对头脑中的表象加工形成新形象的能力。观察力----门户。 注意力----警卫。记忆力----仓库。思维力----核心。 想象力----翅膀智力因素：保证人们成功地进行认识活动的各种稳定心理特点的综合。人认识、理解事物和现象，运用知识、经验解决问题能力的总和。智力因素主要包括：观察力:有目的、计划地用感官认识现象的能力。注意力：心理活动对一定对象的指向和集中。记忆力：事物在头脑中遗留的印迹的保持和再认。思维力：人脑对事物的概括的、间接的反映。想象力：对头脑中的表象加工形成新形象的能力。学习活动中智力因素综合发挥作用：观察力：深度、广度注意力：分配、指向、集中（重点内容）。记忆力：组织、储备、提取。思维力：分析、抽象、概括。想象力：数量关系、图形图像、直观、空间观念（二）非智力因素所谓非智力因素，广义来说是指有利于人们进行各种活动的智力以外的全部因素的总称，

分为内部和外部因素。1．外部因素(1)教师：学识才智、敬业精神、人格魅力、情感、意志。（亲其师而信其道，爱+智。模仿力粉笔例子、享受高三）。教育实习中板书的示范作用（proof，#，答）教师对数学的情感、意志品质等都会对学生产生影响或震撼，建立平等、和谐的师生关系。1968年美国哈佛大学的心理学家罗森塔尔(hal)到加州旧金山奥克学校进行学生未来发展的预测，交给老师一份最佳发展前途名单。8个月后返回学校再测，名单上的学生在成绩和智力的发展上都有了明显的进步，而且神情开朗活泼、充满自信与幸福感，并与教师建立了融洽的感情，后进生的进步更为明显。教师产生的厚爱、关注与赞许的暗示、暗含的期待默默传递。教师的期待效应又称为皮格马利翁效应（Pygmalion effect)：皮格马利翁是古希腊神话中年轻的塞浦路国王。他在精心雕塑一座少女的塑像时竟然钟情于这位少女，每天都含情脉脉地凝视着她。日复一日奇迹发生了，爱神把这尊雕像变成了血肉之躯，少女活了，并与他结为伴侣。诚挚的感情使一个毫无生命的雕像获得了生命的活力。教师的期待能够激发学生的潜能，从而使学生取得教师所期望的进步。教师对学生的期望效应，证明了真挚的爱和充满信心的期望是一种伟大的力量，这种期望对学生的学习行为产生显著的影响。这是一种实验者效应。教育不能没有爱但爱不等于教育（有智的爱）。教育需要爱，教育还需要智慧（有爱的智）有爱无智的人无力搞好教育，有智无爱的人无心搞好教育(２)教学材料＼教学条件（教育技术）(３)社会环境：美国、少数民族、应试(４)家庭教育：希尔伯特、南北朝祖冲之、清朝梅文鼎、贝努利家族。421真实的故事：山西大学刘老师的家教观２．内部因素(1)动机：激励推动学生进行学习的内部动力．有内部动机和外部动机。

(2)态度：自觉型、兴趣型、说服型、强迫型（校长兼数学教师给台阶的案例：邝群英，给你一个台阶下，或许你还能发奋：说服—兴趣—自觉）悔人—毁人(3)兴趣：学生对学习活动和学习对象的一种力求趋近或认识的心理倾向 。陈景润、(4)情绪与情感:是人对客观事物所持的态度的体验．人的生物钟：体力（23）、智力（33）、情绪（28）：曲线图 ：妇人积极乐观 换个角度看（洗衣店、雨伞店）(5)意志:是自觉地确定目的并支配行动以实现预定目的的心理过程．（英雄世纪的数学英雄欧拉：数学界的莎、顽石—铁锤）(6)性格：人对客观现实的稳定的态度以及与之相适应的习惯化了的行为方式。 （伽罗瓦：柯西弃之一旁、傅里叶丢泊松——刘维尔整理）谦虚、自信、诚实、勤奋三、数学学习的过程（一）联结学派：以桑代克（试误说）、巴甫洛夫（经典性条件反射）、斯金纳（操作性条件反射）为代表的刺激—反应联结观点，认为学习过程就是形成刺激和反应之间的联结过程。（二）认知学派：以格式塔、托尔曼、布鲁纳、加涅、奥苏伯尔等为代表的认知观点．学习过程是学生原有认知结构中的有关知识与新学内容相互作用，形成新的认知结构的过程

。案例：相似三角形判定、位置确定反函数、到角公式.数学学习过程是一个数学认知过程：

数学学习过程的一般模式

什么是数学认知结构？所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感知、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构．数学认知结构是数学知识结构和学生心理结构相互作用的产物．

数学认知结构是学生头脑中已有数学知识、经验的组织。（特殊角的三角函数、二次函数、方程、不等式）何谓同化和顺应？函数—三角函数，整式方程—分式方程，等式—不等式，等差—等比数列，多面体—旋转体。去括号法则、相似三角形判定、到角公式。（课例分析）同化：把新知识纳入学生原有认知结构或行为结构的过程。所谓同化，就是利用自己已有的数学认知结构，对新学习的内容进行加工和改造，并将其纳入到原有的数学认知结构中去，从而扩大原有的数学认知结构。顺应：是指原有认知结构不能使新知识同化时，需调整原有认知结构，使之适应新的学习。所谓顺应，就是当原有的数学认知结构不能接纳新的学习内容时，必须对原有的数学认知结构进行调整和改造，以适应新的学习内容的需要，从而构建新的数学认知结构。四、数学学习的原则数学学习原则是数学学习规律的反映，是学习的准则和原理，是据数学特点和学习过程的一般规律提出来的。贯彻数学学习原则不仅有利于教学质量的提高，而且有利于养成学生良好的学习习惯，掌握科学的学习方法，使学生在学习知识的过程中发展自己的能力。（一）动力性原则。动机、兴趣、情感、意志、性格等非智力因素对学习活动起着促进或阻滞作用。由于数学课程的特点，决定了学习数学有一定难度，需要付出艰苦的劳动和克服困难的信心和毅力。只有目标明确、学习积极主动、有良好的意志品质才能跨越一个个难关，获得成功。 动力性原则要求学习者在学习过程中，要不断提高自己的动机水平，培养学习兴趣，养成学习习惯，以强大的学习动力来促进、调节数学的学习活动。 （内在学习需求）（二）循序渐进原则。现代认知学派认为学习过程是在原有认知结构基础上形成新的认知结构的过程。数学的系统性、逻辑性较强，数学中每一个概念、命题都不是孤立的，它们彼此之间紧密联系，形成较严密的体系．数学学习中若前面知识未很好掌握，则后面内容就无法理解，循序渐进的原则要求在学习过程中，学生要依据教材内容有序地进行。易—难、简单—复杂（内在逻辑顺序和学生认识活动的顺序）

(三)独立思考原则（数学是思维的科学）。数学是思维的科学。思维是在个体头脑中的进行的，别人无法代替。无人能告诉你怎样思维，正如无人能告诉你怎样呼吸或使血液循环一样。独立思考原则要求在数学学习过程中，学习者应主动地探索和获取新的知识，对每一个内容，都要经过独立思考，弄清来龙去脉，前因后果。在学习过程中，如果没有学习者的积极思考，就不可能将公共知识转化为个体知识，并进一步转化为能力．因此，我国的教育家十分重视积极思考在学习中的作用．孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆．”孟子说：“心之官则思，思则得之，不思则不得也．”(四)及时反馈原则。及时反馈可以使学习者及时了解自己的学习情况．如果自己的学习已经达到学习的目标和要求，可以放心地学习后面的内容； 如果自己的学习没有达到学习的目标和要求，则及时采取补救措施，使存在的问题得到解决，这就有利于避免出现“夹生饭”，使学习得以循序渐进的进行．（课堂及时评价、批改作业等）学习中的及时反馈还有利于学习动机的增强．联结主义学习理论和认知学习理论都强调及时反馈对学习动机的增强作用．斯金纳认为，要获得有效的学习，就必须通过“强化”，“教师的首要任务是安排可能发生强化的事物以促进学习”．布鲁纳认为，“规定合适的强化时间是学习成功的重要一环”．对数学学习来说，实现强化的最好办法就是让学生及时知道学习的效果．五、数学学习中常用的思维方法一、观察、实验与归纳（一）观察、归纳。观察是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律和性质的方法。观察是数学思维过程中必需的和第一位的方法。（二）实验与归纳。实验是人们根据研究问题的需要，按照研究对象的自然状态和客观规律，人为地设置条件，使所希望的现象产生或对其进行控制的方法。数学虽然不是实验科学，但通过实验可以说明所研究对象的某些数学性质，启迪解题思路，引导数学发现。数学中的实验分为实物实验、模型实验和思想实验，思想实验是按真实实验的格式展开的一种复杂的思维活动。二、比较与分类。(一)比较。1大小比较。2同类比较 （圆锥曲线、四边形）。3正反比较。4一般与特殊的比较。5现实原型与数学对象的比较（导数）。6正误比较（教学中错例的功能）。运用比较法的意义：(1)运用比较法可进行抽象概括，特别是概念的引入等。(2)通过比较揭示数学对象的特征。一事物的特征总是相对于其它事物的特征而存在，把所有研究的对象与它有联系的对象进行比较，就有助于揭示所要研究对象的特征。如轴对称、中心对称，矩形、菱形、平行四边形的性质。(3)运用比较揭示概念之间的区别与联系。如二次曲线把椭圆、双曲线、抛物线统一起来。同时易于混淆的概念，如相反数、倒数，条件等式、恒等式，正、反比例函数，函数的极大、最大值，中位线、中线，切线、割线，共点线、共线点等。对数学对象进行比较后，找出其共同点和不同点，为了进一步区分其性质，需进行分类。(二)分类。在中学数学中由于字母代替数以及字母的变元性，当面临的数学问题不能以统一的形式解决时，可把已知条件涉及的范围分解为若干子集，在各个子集内研究问题的局部解，通过组合各局部解，得到原问题的解。数学学习中常用的分类方法有概念的划分、性质的分类，解题中的分类讨论。1、概念划分(课例分析：三角形、复数）。2、利用分类方法讨论数学对象的性质（根、单调性、线面位置等）。3、解决问题中的分类讨论：高考题。对于一类含有参数或虽不含参数，但条件和结论所包含的内容不唯一的问题，解题时常用分类加以讨论。分类的关键是对被考察的对象进行正确分类，然后对各种情形逐一加以研究再将所得结果进行综合整理，从而使问题得到完美的解答。分类是根据事物的共同

性和差异性，把具有共同性质的归为一类，不同属性的事物归入不同类的思维方法。一般地进行分类时，要求每一类的交集为空集，并集为全体研究对象，要达到既不重也不漏。在对数学对象进行观察、实验、比较后，为了进一步掌握数学材料的特征，需进行分类（标准同一，不重不漏）三、分析与综合(一)分析和综合的涵义。分析是在大脑中把事物的整体分解为部分或把整体的个别特征、因素、层次分解出来，分别加以研究的思维方法，以达到认识事物各方面的本质属性。（6火柴、平行四边形）。综合是在大脑中把事物的各个部分联系起来或把事物的特征、因素、层次等结合起来，形成对研究对象的整体认识的思维方法。综合不是把事物的各个部分简单地拚凑在一起，而是着重于找出其相互联系的规律性。(二)数学学习中分析能力的培养。1、抓住概念的特征和问题中涉及到的原理进行讨论。2、抓住图形的特征和涉及的原理进行分析探讨，寻求解题途径。3、抓住问题中的符号、式子、数字的特征，寻求与之有关的原理，探求解题途径四、特殊化与一般化(一)特殊化。特殊化是将原问题退到特殊情形，通过对特殊形式的研究达到研究一般状态目的的一种思维方法。(二)一般化。一般化又称普遍化，其是把研究对象或问题从原有范围扩展到更大范围进行考察的思维方法。五、抽象与概括(一)抽象。抽象在数学中的体现非常明显，从最初研究的数(是实物抽象的结果)到代数式(字母代替数)、图形(具体模型的抽象)，均是对现实世界的数量关系和空间形式进行抽象的产物。通过对数学材料的分析和综合，把不同对象或对象的个别特征区分开来并加以比较，同时把本质的东西和非本质的东西区分开来，即是抽象。数学中的概念、原理，思想方法等都是抽象的结果。抽象分为经验型抽象和理论型抽象(二)概括。概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归结起来进行考察的思维方法。概括以抽象为基础，它是抽象的发展，抽象度愈高，则概括性愈强。将概括中获得的概念和理论运用于实际时，其迁移范围就更广。抽象可涉及一个对象，概括涉及一类对象。数学中每一概念都是对一类事物的多个对象观察和分析，抽象出每个对象的各种属性，再归纳概括出各个对象的共同属性，在解决数学问题方面得出数学模型，总结解题方法均是通过分析、比较、抽象，最后进行理论概括的结果。（七桥问题、方程、方程组）一、数学思维及其分类思维是具有意识的人脑对客观事物的本质属性和内在规律的概括的、间接的反映。如我们常见刮风、下雨，这是对自然现象的感知觉，但如果要研究为什么会刮风、下雨，并把这些现象和吹气、扇扇子、玻璃窗上结水珠等现象联系起来，发现它们均是“空气对流”的表现或“水蒸汽遇冷后液化”的结果，这就是思维。数学思维是人脑和数学对象(空间形式、数量关系、结构等)交互作用，并按一般思维规律认识数学内容的理性活动。如对三角形、平面、几何体、数列的认识。实质上是数学活动中的思维，既包含一般思维所具有的本质属性，又表现出自己的特性。(一)数学思维的特点。1.思维的间接性较强。所谓间接性是指思维对客观事物的间接认识过程，思维需要对认识的初级阶段所提供的感知材料实施比较、分析、综合、抽象、概括与具体化等一系列思维加工手段，使认识达到揭示本质、抓住规律、预见发展进程的程度，这种以表象为基础，脱离了客观实体而间接认识客体的思维就是间接性。同时由于数学的高度抽象性，使得思维的间接性更加突出。如对数列性质、极限等的认识仅凭感知觉是难以认识其本质的，需通过思维反映事物的本质和规律。

2.思维的概括性较突出。概括性是指思维反映的往往不是个别事物的个别属性，而是一类事物的共同的本质属性。不仅能认识个别事物的本质属性，而且能从这些个别事物的本质属性推广到同类事物的本质属性。如对平行四边形的感知觉，只能看到颜色、大小、材料不同的四边形，而思维则是抽象出平行四边形的本质属性。又如对性质的认识也是概括的结果。随着人类思维的发展，较高水平的概括不断出现，由具体的集合到数，由数到式，由式到函数，由函数到映射等抽象程度越来越高，概括性也越来越强。3数学思维对数学语言的依附性。 思维和语言有密切的关系，因为不仅思维过程可依附语言完成，而且语言也是表达与交流思维成果的重要工具。数学语言是数学特有的形式符号体系，包括文字语言、符号语言、图形图表语言。依靠这种语言进行思维使思维在可见的形式下再现出来。通过数学语言，数学思维的结果可用简洁的形式表达，另外通过数学语言能加速思维进程，省略认识过程中某些具体到抽象的过程。4数学思维的目的性。有目的地认识、理解事物和解决问题是人类思维的独特本能，也是思维的重要特征。思维的目的性突出地表现在人们有意识地和能动地认识并改造自然。数学应用的广泛性使数学思维更具有目的性，数学思维突出地表现为提出问题、分析问题、解决问题。5数学思维具有较强的逻辑性。从前面的研究可看出数学与逻辑思维存在一定的联系。逻辑性表现在，人们思考问题时一般遵循严格的逻辑顺序，在判断推理中有充足的逻辑依据，具有思维的逻辑性是人区别于动物的根本标志之一。(二)数学思维的分类（标准不同，类不同）板书直观行动思维，具体形象思维，抽象逻辑思维．（思维过程凭借物或思维形态不同）再现性思维：是一般的思维活动，它的成份是思维者头脑中曾经有过的东西。常规性思维创造性思维：是人类高级的思维活动，是指带有创见的思维，即通过独立思考，在揭示事物本质及其内在联系的基础上，可以产生出独特的、具有新颖性成份的思维（思维的智力品质的不同）思维过程的指向性不同）集中思维：调动各种信息，按照常规习惯寻求解决问题、整理知识或总结方法的思维方式，思维方向集中于同一方向。其特点是思路集中，所有信息朝一个方向发展以产生新信息，数学学习中表现为严格按照定义、定理、公式、法则等，思维朝一个方向聚敛前进，使思维规范化。发散思维：是从同一来源材料探求不同答案的思维过程。即对已知信息进行多方向、多角度的思考，思维朝着各种可能方向发散，不局限于既定的模式，从不同角度寻求问题的各种可能途径。（1的表达式）（结论是否有明确的步骤或过程）分析思维：主要指以逻辑规则对事物按步就班地认识，对其过程和主体有清晰意识。直觉思维：是指人脑不受固定的逻辑规则的约束，对数学对象结构、关系的敏锐想象和迅速的判断(有时无严格的逻辑依据和中间推理过程)．笛卡尔解析几何的诞生六、数学思维的品质(一)数学思维的深刻性 数学思维的深刻性即指数学思维的深度，是指在分析、解决问题中，探究所研究问题的实质及问题间的相互联系，善于使用抽象概括，理解透彻、深刻，能从所研究的材料中揭示被掩盖着的某些个别特殊情况。能使知识和方法得到迁移，善于应用集中思维和分析思维是数学思维深刻性的重要表现。1善于联想，提出问题。2对问题(公式等应用的范围、等价形式理解深刻)进行引伸和推广(二)数学思维的广阔性数学思维的广阔性是指思路宽广，善于从多方向、多角度、多层次地进行探求的思维品质。在数学学习中常表现为放开思路联想、发散，寻求多种解决问题的方法。常表现为一题多

解，一法多用，一题多变等。1的等式、开放题。1．多角度（不等式例题）。2．多方向（101名运动员淘汰制，电梯、旋笔刀、司马光）(三)数学思维的灵活性其是指思维活动的灵活程度，具有超脱出习惯处理方法和界限的能力。在数学学习中主要表现为随着条件的变化迅速转化解题方向，不囿于固定程序和模式，数学思维灵活性和深刻性的结合常导致数学发明创造。(四)数学思维的独创性数学思维的独创性是指思维活动的创新程度，表现为思考、解决问题新颖独特、别出心裁且有意义。这里的独创，不只是看创造的结果，主要看思维活动是否有创造性态度。发现定理的证明，例题的新颖解法，发现问题、引伸问题均是独创性的体现。发散思维和直觉思维较多地体现独创性。(五)数学思维的批判性数学思维的批判性是指思维活动中独立分析和批判的程度，在数学学习中表现为善于提出问题和发现问题，并提出独立的见解。对已有结论或他人意见不轻易盲从，有检查和评价的强烈倾向，善于提出疑问，及时发现错误、纠正错误。（反例或错解）思维批判性的反面是盲从性，常表现为轻易相信结论，不善于找出错误。消除盲从性可通过凡事用自己的头脑思考，有分析地接受，有分析地批判。(六)数学思维的敏捷性数学思维的敏捷性是指思维过程中的简缩性和快速、准确性。在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为缩短运算环节和推理过程，直接得到结果。（选择题、三角方程例子）思维敏捷性的反面是迟钝性，表现为概括能力差，解题繁琐欠条理，不能及时再现思维所需的基础知识。数学思维的六个品质是彼此联系，密不可分的，且处于有机的统一体中。第4章 数学教学原则造成上述状况的原因除与教师自身的基本素质有关外，说明中学数学教学在中学数学教学大纲、课标、教材、中学生心理发展特点的指导下，不是盲目、随意的，而需要一定的数学教育理论和教学规律加以指导。首先需遵循一定的数学教学原则。一、关于教学原则的简单回顾教学是教师和学生的双边活动过程，是教师借助一系列辅助手段(教科书、直观教具，教学技术手段等)来实现教学目的的一种复杂的控制过程。教学不仅仅是教师教——重在“教学生学”。无教的学，有教的学，无学的教，有学的教。课堂教学是在“有教的学”的基础上体现“有学的教”(引起学生的学习意向)。通过教育学的学习已经知道，教学原则是根据一定的教育目的，为反映教学的规律而制定的对教学的基本要求，是指导教学实践的一般原理。是根据教学目的和教学过程的规律提出的，它既是教学实践经验的概括总结，又是指导教学工作的一般原理。是任何课堂教学中应该遵循的.就教学论的一般教学原则而言，我国封建社会曾有因材施教、因势利导、行知合一、学思相依、启发诱导、循序渐进、教学相长等原则。前苏联自1948年以来，曾先后提出多种条数不等的教学原则。赞可夫提出高难度、高速度，理解、理论指导实践，人人都发展的原则。布鲁纳从心理学的角度提出了动机原则、结构原则、程序原则、强化原则。近几年来，受控制论、信息论、系统论的影响，又有人提出系统性、反馈性、动态原则，最优化原则等。我国于1949—1958年期间提出直观性、巩固性、系统性、量力性、自觉性五大教学原则。1958—1966年期间提出了共产主义方向、理论联系实际，因材施教三大教学原

则，而十年动乱中实质上仅有阶级斗争和实用主义两大教学原则。近年来，关于一般教学原则，比较全面的论述主要包括如下几方面：(1)科学性与思想性相结合的原则。(2)理论与实际相结合的原则。(3)教师主导作用与学生主体作用相结合的原则。(4)感知与理解相结合的原则。(5)系统性和循序渐进相结合的原则。(6)知识、技能的巩固性相结合的原则。(7)符合学生年龄特点和接受能力的原则。(8)统一要求与因材施教相结合的原则。(9)间接性、启发性、愉悦性、创造性得以体现的原则。二、关于数学教学原则的提法关于数学教学原则，目前提法有多种。1是教师在数学教学活动中为成功地实现教学任务而遵循的一般原理。2是用以指导数学教学实践的一般原则，是进行数学教学活动所应遵循的准则。它提出的依据是中学数学教育目标，数学的特点、中学生学习数学的特点和规律，总之它是在教学实践基础上，并吸取广大数学教师多年来在教学实践中获得的成功经验等概括而成的，随着教学内容的变化，教学改革的深入而不断发展。经验+理论。科学数学的特点（教材12页）。1.数学的抽象性特征（对象、理论、方法—思辨：思想实验）等价抽象、强抽象、弱抽象、理想化抽象2.数学的确定性特征(严谨性:数学语言方法)。3.数学的广泛应用性特征4.数学活动的探索性特征教学数学数学作为一门特殊的教育学科，除遵循一般原则外，有其自身的特点和规律。十三院校协作组编写的《中学数学教材教法》一书中提出四条基本原则：①理论与实际相结合；②具体与抽象相结合；③严谨性与量力性相结合；④新版加上巩固与发展相结合的原则。前苏联的奥加涅相提出：科学性，教育性，直观性，自觉性和积极性，学生掌握知识的巩固性，教学的系统性和循序渐进性，可接受性，区别对待的教学原则。前苏联斯托利亚尔提出：①科学性；②自觉性；③积极性；④直观性；⑤巩固性；⑥个别指导等六条教学原则。辽宁师范大学王鸿钧等提出：①逻辑的严谨和认识的能动性相结合；②具体与抽象相结合；③理论与应用相结合；④数量与质量相结合；⑤数与形相结合；⑥继承与发展相结合的原则。华南师大郭思乐提出：①数学与发展相结合；②教师的主导作用和学生的主体作用相结合；③理论联系实际的原则湖南师大王子兴提出：①注重数学思想方法；②发展与创造；③整体优化；④抽象与具体相结合；⑤严谨与量力相结合五条教学原则。华东师大田万海提出：具体与抽象相结合；归纳与演绎相结合；形与数相结合三条原则。在我国关于数学教学原则研究的时间还不长，在诸多的数学教育学论著中，有的根据心理学、认识论、学校工作体系，有的着眼于知识、能力，有的着眼于教，有的着眼于学，提出不尽相同的数学教学原则体系。是数学教育研究领域百家争鸣和富有生命力的表征。三、 四种典型的数学教学原则（一）理论与实际相结合的原则如何在数学教学中贯穿？1. 提出的依据从科学数学与教学数学的角度分析(后面同理)。 科学数学特点：应用广泛性。

此原则体现了应用广泛性这一数学特点．我们在教学中，应随时让学生掌握基础知识的简单用途和用法，为今后解决一般实际或数学问题奠定基础．同时，学生通过实践更能体会抽象理论用途，便于牢固地记忆且获得一定技能．教学数学特点——教学目的： 此原则也是为培养学生分析问题与解决问题能力所需要的．因为这个能力主要是指如何使学生把实际问题归结为数学问题的能力．显然，这就要求学生明确抽象理论的实际意义，并了解从实际现象上升为理论的探讨过程，才能发展学生的能力．2.理论与实际相结合原则的涵义(1)联系实际的内容要不断更新。主要指联系实际的观念，选材处理方法上要更新。如古老的浓度、工程、行程等问题在一定程度上有的已失去了原有的应用价值。而概率、微积分、向量、指数(利息、分期付款等)等问题需要不断充实引进。(2)与中学数学其它学科配合（向量与物理）。(3)尽量从实际问题中抽象出数学问题，突出某些数学对象的实际背景。(4)近现代数学内容、数学思想和数学方法也要注意联系实际。3. 贯穿理论与实际相结合的原则(1)充分认识理论与实际相结合原则的意义，提高在数学教学中有意识贯穿的自觉性。(2)尽量突出某些数学对象的实际背景，使理论知识不脱离实际避免走极端。不考虑学生已有的数学知识和经验（链接二分法、公式法课例）。避免牵强附会地联系实际。防止理论联系实际的庸俗化。为实际而实际,未与数学内容建立内在联系,未突出数学问题的本质.（初中位置的确定，池塘里有多少条鱼录像）数学问题情境的创设不自然、不简明、牵强附会、冗长。实际问题情境冗长，弱化了对数学本质的理解.新课改中的极端.(3)提高理论水平，突出数学对象的本质，重视一般原理和方法的教学。重视发挥理论的指导作用，克服只强调结论记忆、方法模仿，忽视知识的理解、系统化。注重算理，克服片面强调技巧，搞题海战术等不良现象。(4)培养学生将数学理论运用于实际的能力。回到实际，解决问题。对理论与实践相结合有整体构想，应让学生解决力所能及的简单实际问题，通过把实际问题数学化，建立数学模型，培养学生运用数学理论解决实际问题的能力。（二）抽象与具体相结合的原则如何贯穿？1、抽象与具体相结合原则提出的依据科学数学的特点。抽象性是数学这门学科的特点之一。数学的抽象性撇开对象的具体内容，仅仅保留其空间形式和数量关系。其次，数学的抽象是逐级抽象，由数—式—函数—关系，由数的运算—代数式运算及命题演算等。另外数学的抽象性表现为广泛而系统地使用了数学符号，具有字词、词义、符号三位一体的特性，这是其它科学无法比拟的。数学研究对象＼研究方法的抽象（等价抽象、理想化抽象、强弱抽象）这一原则，既来自数学内部，又符合学生认知过程．它和数学的高度抽象性互为表里，是辩证的统一． 数学以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象，表现为思考事物的纯粹的量，广泛使用抽象符号，使得数学与其他学科相比，抽象程度较高．但是，数学理论不是空中楼阁，数学的抽象总是相对于具体原型而存在的．教学数学的特点。但是数学思维活动不能完全建立在抽象的概念和词语的基础上，同时据中学生认知发展状况，思维处于具体运演到抽象运演的过渡时期，因而数学教学中要阐明这种抽象性

的来源。另一方面，抽象的法则、公式等只有与具体联系，才能加深、检验这种抽象的认识，即从具体到抽象再到具体是数学教学的特点之一。（空汽水瓶换汽水的问题）。从具体到抽象符合学生在学习过程中从感知到理解，从表象到概念的认识规律．中学生思维发展的特点（形象思维—抽象思维的过渡时期）

2 抽象与具体相结合原则的涵义 抽象与具体相结合的原则是指数学教学要从学生感知出发，从具体到抽象，再从抽象回到具体，使学生形成正确的概念、判断和推理，它是直观与抽象对立统一规律在数学教学中的体现。3.在数学教学中如何贯穿抽象与具体相结合原则(1)尽量从具体事例出发引入概念、规律，为学生提供形象、直观材料。数学教学中直观的材料可以是模型、实物、图形、符号、数字、语言直观等，形成形象直观。(2)运用对象的变式规律，突出数学对象的本质属性（具体的数量：典型性、代表性、层次性）(一元一次方程、有理数乘方、同底数幂乘法、等差数列、圆）。变式：在变换非本质属性的过程中掌握数学对象的本质属性。几何中，变式主要指图形的变式，如三角形、等腰三角形的各种情形、位置。把图形的本质特征和仅属于图形的个别特征区别开来，使之把非本质特征排除出去。（非本质属性变化，避免非本质属性泛化）。代数中变式主要指学生不仅理解各种重要公式、法则等的标准形式，而且要掌握它的等价形式。(3)注意培养和发展学生的抽象概括能力。针对不同的年龄层次、不同程度抽象能力的学生，对数学抽象性逐步提出合理要求，并通过观察、试验、分析、综合、抽象概括来探索知识和规律。(4)运用有关理论解释具体现象。为了更好地理解抽象理论，加深对知识的理解，还需要把所学知识应用到同类问题中解决具体问题。在教学中不断做到具体与抽象相结合，从具体到抽象，到回到具体。循环往复，才能不断促使教学活动向纵深方向发展，使认识逐步提高和深化。（三）严谨性与量力性相结合原则在数学教学中如何贯穿严谨性与量力性相结合的原则?

1.严谨性与量力性相结合原则提出的依据和涵义 所谓数学的严谨性，是指数学结论的叙述准确、精炼，结论的论证严格、缜密，整个数学材料被组成严谨的逻辑系统。严谨性总体指逻辑的严格性和结论的确定性。这是科学数学的基本特点，也是科学性原则在数学中的体现。据这一特点，要求数学结论的叙述必须精炼、准确，而对结论的推理论证要具备一定的严格性。步步有据，符合逻辑理论的要求。在教学内容的编排上要求有一定的系统性，符合学科内在的逻辑结构，既严格又周密。(科学数学的特点)量力性是针对一定年龄阶段学生的心理特点而言的，他们接受知识的量是相对有限制的，因此教学内容、教学进度、以及教学内容的讲述都必须符合学生的接受能力和水平。(教学数学的特点)。数学的严谨性是相对的，并不是一下子形成的。在它达到高度严谨性之前也有一段相对来说不那么严谨的漫长道路.（古埃及几何、欧氏几何、8+5、函数的定义、数学系学生与工科学生）。量力性是发展的。量力性原则不能被动理解，学生的可塑性很大，不能固守学生的接受能力而拒绝引入现代数学的思想方法。强调严谨性，不能忽视学生的可接受性，强调量力性又不可忽视内容的科学性，人为降低理论水平。总之严谨性是相对的，量力性是发展的，教学的艺术在于把相对性与发展性结合起来在数学教学中如何贯穿严谨性与量力性相结合的原则？（1）根据教学目的、教学要求，掌握教学内容的深广度，注意教学要求的恰当明确。依据课程标准、教师教学用书（反函数、二分法）。应根据不同的阶段、不同的教学目的，提出不同的严谨性要求。不存在绝对的严谨性。只有在某个具体阶段，结合具体数学题材，根

据学生实际水平，规定具体的严谨性。考虑到中学生的理解能力和教学上的实际需要，中学数学教学内容的严谨性要求，首先必须保证对相应内容要有正确的理解。如极限是无穷变量变化时的一种变化趋势，不要让学生误以为极限是取无穷变量的近似值。其次：据教学目的和接受能力采用多种方法处理严谨性.(几何公理系统的处理)如扩大公理(边边边公理、HL公理是可证明的)。(2) 把培养学生的逻辑思维能力放在重要位置，要求学生思路清晰，言必有据。新课程平面几何中的问题：量、折叠？直观感知-操作确认-思辨论证。加强逻辑思维能力的培养，有意识地渗透形式逻辑方面的知识，要求语言精确、思考缜密，言必有据，学会推理论证。（不仅仅是几何学科）据不同年级的数学教学内容与要求，提出相应的不同目标。从低级到高级，从初步到成熟，从不完善到完善。在计算中懂算理，画图要有依据，论证中规范合理。几何中的填充理由题即是逐步培养学生推理的严密性。(3)坚持从教学实际出发，逐步培养严谨性（数学语言、逻辑） 。(a)要求学生语言表达精确。使学生懂得精确的必要性，教师自身语言体现规范性。如增长了、增长到；和的平方、平方和；和、或；切、割；共线点、共点线；非负数、正数；不大于、小于；都不、不都等的差别。(b)思考缜密，全面而不遗漏。对一些数学概念，不能以常识、直观代替精确定义。如相似有人理解为形状相象，并认为黑板外框与内框相似，点理解为很小、很小的球。极限理解为无穷变量变化的近似值。解题中考虑所有可能的情况。如分类方法中不重不漏即是严谨性的要求.总之数学的严谨性与量力性要很好地结合，教学中要注意分寸，注意教材的深、广度，从严谨着眼、量力着手，使学生形成良好的思考习惯，逐步进行潜移默化的训练

（四）巩固与发展、创造相结合的原则如何贯穿？1.巩固与发展、创造相结合原则提出的依据科学的数学(衔接性、系统性、连贯性强).。教学的数学(新旧知识的联系遗忘规律创新意识和能力)。该原则要求教师在教学中处理好新知识与旧知识的关系，知识传授与能力发展的关系．这一原则是符合当前数学教学实际的．数学教材以系统性、连贯性强为其特点之一，数学逻辑链条上的一个环节发生断裂，就可能影响整个知识掌握，因此循序渐进，注意知识的巩固是教师应特别重视的．但也应看到，知识的巩固不是单线条式的简单累加，它体现在数学教学过程中的各个阶段．在数学知识结构中，某一数学知识也常常是多个数学知识的交叉点，故应在知识与知识的有机联系中去巩固与发展知识，在知识的巩固中发展能力，以能力的培养求知识的发展，培养学生的创造性思维。巩固与发展、创造相结合也是数学教学应遵循的原则之一。2.在数学教学中如何贯穿巩固、发展与创造相结合的原则提出依据：(1)认识巩固、发展与创造相结合的意义，把数学教学看作数学思维活动过程的教学，将巩固、发展、创造贯穿于教学的全过程。（导入、例练习题、小结）（巩固已有知识；获得数学知识经验、数学能力和情感态度的持续发展、培养创新意识和创造能力）

（公式法、到角公式对比、反函数课例中的发展）。其含义有：（1）要求学生牢固地掌握所学的数学知识，随时在记忆中再现这些知识．温故而能知新，探新也可习故，应结合新知识的学习巩固旧知识．二分法。（2）在传授知识的同时使学生数学能力和创造性思维得到发展．(2)利用记忆规律，巩固学生所学的知识；应用迁移规律，使学生的数学能力得到发展。在理解的基础上，以意义识记为主，机械识记为辅，使两种识记有意识地结合。借助直观、形象、系统归纳、类比等强化记忆。（任意、存在符号、特殊的三角函数值，圆周率、和差化积、基本不等式）迁移：一种学习对另一种学习的影响。(分式与分数，方程与不等式，等差数列与等比数列、三角形与四面体、二倍角公式）通法中的例外---克服负迁移(3)突出数学活动，充分暴露数学思维过程，自觉掌握思维的方法，使思维得到创新。创

造性思维中活跃的成分：直觉思维和发散思维。4重视直觉思维和发散思维的培养引导学生有时不受逻辑规则的约束，对数学对象进行敏锐的想象和迅速的判断（直觉）。同时从多方向、多角度地对问题进行思考，使数学思维得到创新。（发散）关于数学教学原则的新提法：华东师范大学张奠宙教授。1 现实背景与形式模型相统一的原则。 数学内容实际上是一种数学模型(概念、公式、法则、命题等)，数学教学实际上是数学模型的教学。我们的目标应使学生会从现实的材料中抽象出形式化的模型，并将此类模型用于新的实际问题，因此模型化是数学教学有别于其它学科教学的一个特征，为了正确处理数学内容中的实践与理论这对矛盾，我们提出数学教学必须遵循现实背景与形式模型互相统一的原则。 2 解题机巧与程序训练相结合的原则。解决问题是数学课程的灵魂，其特点在于机巧性和程式化。一方面是灵活机动的创造性思维，一方面是呆板固定的计算公式，两者缺一不可，因此数学教学必须注意解题机巧与程序训练相结合的原则。3学生的年龄特点与数学语言表达相适应的原则。数学思想是十分丰富的，公理化方法、代数思想、解析几何观点、概率统计观念、微积分体系等是宏观数学思想。函数观点、向量表示、参数方法、恒等变换、同解变形等是中型的数学观念。教材上(73页）南京师范大学涂荣豹教授。数学教学的一般原则：主动性原则、发展性原则、启发性原则、理论联系实际原则。数学教学的特殊原则：1.“把握数学抽象性的淡化”的原则：淡化形式、注重实质。2. “摆脱数学严谨性的束缚”的原则：重视又不被束缚。3.“突出策略创造精神”的原则4.“加强数学语言训练”的原则(二)国外关于数学教学原则的提法荷兰弗赖登塔尔关于数学教学原则的设想。1数学现实原则。数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实，这是弗赖登塔尔的基本观点。确实数学不是符号游戏，而是现实世界中人类经验的总结。每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念，它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说每个人都有自己的“数学现实”，从这个意义上说所谓现实，不局限于具体事物。做为属于这个现实世界的数学本身，也是现实的一部分。（教学实际）。数学教育的任务在于随着学生所接触的客观世界越来越广泛，应确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并根据学生所拥有的数学现实予以丰富、发展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。所谓数学现实乃是人们用数学概念、数学方法对客观事物认识的总体.。既包括客观世界的现实情况，也包括学生个人用自己的数学水平，观察这些事物所获得的认识。习惯把课本上的知识称为理论，而把实际理解为生产实际，其实不妥。(理论与实际相结合中的教学实际)。其次，弗氏认为每个人都有自己的数学现实，也许和我们说的从学生实际出发差不多。数学教育当然要据学生的数学现实进行，学生的“实际”知识有多少，数学水平有多高，日常生活知识有多广，这都是教师面对的“现实”。2数学化原则。与其说是学数学，还不如说是学习数学化，数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学的产生和发展本身就是一个数学化的过程，人们从手指或石块的集合形成数的概念，从测量、绘画形成图形的概念，从具体置换群，几何变换群抽象出群的一般概念均是数学化。可以说整个数学体系的形成就是数学化的结果。事实证明，只有将数学与它相关的现实世界背景密切联系在一起，也即通过数学化的途径来进行数学教育，才能使学生真正获得充满关系的，富有生命力的数学知识并加以应用。其中反思是数学化过程中的一种重要活动(要学生对自己的判断活动加以思考、证实)，教师不应把现成数学模型教给学生，而希望学生自己构建，数学教育的目标是使学生学会数学化。数学化有：横向数学化:生活世界引向符号世界的过程.；纵向数学化:数学符号世界里生成、重塑和被使用的过程。数学化比通常说的数学抽象性，实践、理论、实践的一般公式更具体。数学教育的正确途径是现实的

数学化途径，课程体系体现数学化的正确发展，既强调现实基础，又重视逻辑思维(有的国家设置消费者数学，但知识零星不成体系，忽视数学本身的内在联系)。3再创造原则。弗氏认为数学教育必须以再创造的方式进行，数学与其它科学相比，有着不同的特点，它是最容易创造的一种科学。3+2=5，矩形的面积=长×宽，可以让学生通过自己的学习过程获得。即教师不必把各种法则、定律教给学生(灌输)，而应创造合适的条件，让学生在实践中再创造各种运算法则或发现有关的各种定律。传统的数学教育出现了一种不正常现象，弗氏认为这是违反教学法的颠倒(马车放在马的前面)。数学家从不按其发现、创造的真实过程来介绍工作，实际上经过艰难曲折的思维推理获得的结论，常以显然二字一笔带过。教科书更是常将通过分析法所得的结论采用综合法形式表述，也就是文字表达的思维过程与实际获得的发现过程完全相反。因而严重阻塞了再创造的通道。(1)通过自身活动所获得知识和能力比旁人硬塞的知识理解得透彻、掌握得快，同时也善于应用，保持长久。(2)发现是一种乐趣。(3)通过再创造方式学习促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法。目前教学中提倡发现式教学，从某种意义上来说也是一种再创造，但其具体做法，常常由教师事先设计好一个个问题，象设置圈套似的，它必须进一步发展。数学教学中典型的四个教学原则：理论与实际相结合原则；抽象与具体相结合原则；严谨性与量力性相结合原则；巩固、发展与创造相结合原则。第五章数学教学方法和数学教学模式教学有法 ，教无定法，贵在得法，重在启发。选择教学方法和教学模式时都需要遵循的教学思想——启发式教学。课标修订版：启发式教学（理念、教学建议）。启发式教学的由来和发展（教材74页）。孔子的“愤悱术” （中国传统教育思想的精华）苏格拉底的“产婆术”。学生达到思维激活、情感亢奋的心理状态——思潮汹涌、呼之欲出；启发的核心是开启学生的思维、点拨学生的思路，使学生的思维处于主动积极状态，思绪豁然开朗、茅塞顿开（内—外迸发）；启发的目标是举一反三。在当前班级授课制的教学形式下，需要教师创设数学教学情境引发“愤悱”。柏拉图对话集中的问题:已知正方形的边长为两尺，如何构造一个面积为已知正方形二倍的正方形？具体说明(1)提出一个有意义的问题作为对话的主题。(2)用一系列的反诘，使学生陷入矛盾的窘境（由原来的自以为知逐渐承认自己的无知，进入困惑状态）。(3)在困惑的基础上，经过启发使学生领悟到问题的实质（自以为知——知其不知——知其所知）。在教学中，他常常从简单事物或浅显的道理开始，向学生提出问题，并佯装自己一无所知，让学生充分发表意见，然后用反诘的方式，使学生陷入自相矛盾的窘境，由此产生困惑，从而促进其积极思索。随后教师再辅之以各种有关事例进行启发和诱导，使学生一步步逼近正确结论。数学启发式教学是指教师从学生已有的数学知识、经验和思维水平出发，力求创设“愤悱”的数学教学情境以产生认知冲突，形成认知和情感的不平衡态势，从而启迪学生主动积极思维，引导学生学会思考。通过点拨思路和方法，使学生的数学思维活动得以发生和发展，数学知识、经验和能力得到生长，以从中领悟数学本质，达成教学目标的过程。（激活新知识的生长点）。这一过程实质上是由认识的困惑到解疑、由模糊到确定的动态平衡过程，是尽可能创设“愤悱”数学教学情境的过程。数学教学中如何贯穿启发式教学思想？（1）创设“愤悱”的数学教学情境。（2）教师作为思维向导的主角（引导、启发、点拨）（自然的帮助而不是外部强行嵌入或简单告诉）等比定理自然合理、倍乘q进行错位相消，或提取q 的方法。（3）重视启发思路而不急于告知结果。中国教学史上最早系统总结教学理论的著作《学记》中指出：“君子之教，喻也”，这里的“喻”即启发诱导之意。教师如何善喻？应“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和易以思，可谓善喻矣” ，即引导学生而不牵着学生走，鼓励学生而不强迫学生走，

启发学生而不代替学生达成结论。道而弗牵，师生关系才会融洽；强而弗抑，学习起来才感到愉快；开而弗达，学生才能独立思考。师生融洽、学习愉快、又能独立思考，就叫做善于启发诱导。华东师范大学张奠宙先生认为启发式教学是教师在演讲时永远应该坚持的传统，不能忘记。教学过程中教师通过“显性”的和“隐性”的提问驱动学生的思维活动，显性的是课堂提问，隐性的提问则是启发。教师的这种基本功的启发示范是双基教学的一部分，永远不会过时. (非洲草屋茶山的故事)。南京师范大学涂荣豹先生非常重视启发式教学的研究，认为启发式教学是中国的教学瑰宝，是教学法最基本的方法论，是教学必须遵循的教学思想。他指出，启发是教师的教学基本功，启发的技巧和水平可以有高低，但是无论如何启发都是必须的，不进行启发甚至可以认为是教师的无能。 在学习、移植和借鉴西方教育教学理论时，如何看待作为我国传统教育思想精华的启发式教学是值得审视的问题。事实上启发式教学是有效的教学理论体系和教学方法共同具有的特征，其不会因为古老而过时，而是需要不断丰富和发展。学习国外的教育教学理论，不应以牺牲我国富有特色的教学理论和教学思想为代价，“善学邯郸，莫失故步”说的也正是这个道理。(非洲草屋茶山的故事)。既要具有国际视野，又要体现我国的国情和特点§5.1 数学教学方法课标修订版倡导启发式讲授。讲授与注入？问答与启发。一、讲授法（课标110页）教师的讲授仍是重要的教学方式之一。就是教师主要用教学语言对教学内容作全面、系统、重点深入地分析讲解，学生集中注意倾听教师讲述，认真思考教师提出的各个问题，从而达成教学目标的方法．由于这种方法主要是由教师作系统连贯地讲述，因而使用时应注意学生是否已具备较好的理解能力与保持长时间集中注意力，多半在高年级使用为好．较多的用于传授新知识．例如概念的引入，命题的得出，知识的总结等．讲授法的优势与不足（讨论）。应用讲授法注意的问题。1.教学节奏的把握（快慢度、性格）2.讲授的度：重讲深、讲透轻探究的偏颇。课标修订版倡导启发式讲授—形成认知和情感的不平衡态势、学习需求、激思导悟——使学生感到数学教学是自然的、合乎情理的。 菱形、等比数列（有时课堂表面安静，学生的思维机器高速运转，润物细无声，随风潜入夜。其言皆若出于吾之口，其意皆若出于吾之心）。讲授不是简单告诉，避免注入式的讲授（天上、兔子）。讲授不是注入的代名词（婴儿洗澡水）。正如著名哲学家伊里英科夫这样写到：损坏思维的器官要比损坏人体的任何一个别的器官都要容易的多，而要医治好它却很困难。数学在这方面比其他学科更容易一些。3.讲授内容 。讲授内容要有较高的科学性、思想性、系统性和逻辑性．力求做到概念明确、判断准确、推理合乎逻辑，条理清晰、层次分明、重点突出，粗细得当，深浅适度，通俗易懂，生动有趣，达到抓住关键，突出重点，难点分散的目的。启发性和情感性（激情＼激发＼控制）。 教师要善于启发学生积极思维．做到选例典型，论述严格、确切，设难解疑，使学生思维处于是什么、为什么的定向反映之中。直角三角形斜边上的中线。教师要恰当合理地运用板书，使其与口授、形象演示相辅相成，给学生看和记笔记的方便．要注意有计划、有系统、简明、图文并茂． 教师语言要简明扼要，有轻重缓急和节奏，针对性强，注意由浅入深，由简到繁，由远及近，由具体到抽象，由特殊到一般，方式多样．苏格拉底产婆术（问答或谈话法）二、问答法（谈话法）。教师提出问题，通过和学生谈话，引导学生在已有的知识基础上积极思维，回答教师的问题，从而获得系统牢固的知识的方法． 此法对低年级学生最适宜．因为他们年龄小，学习能力较差，注意力集中的时间短。有必要在教师启发下，通过师生共同谈话来引导他们思考．从教学内容角度看，综合课和新知识课的引入部分最适宜

用这种方法．因为这些课，对有关的基础知识已为学生所了解，有条件在教师启发下，学生去探讨知识的发展和得出新的结论．如何运用问答法（教材173页）１．问题具体、明确。连接四边形中点，立方和公式、２．提出的问题要从教学实际出发，富有启发性，引人思索．（直角三角形斜边中线到角公式、反函数）。对所提问题，一般学生经过一番思考，能够回答．提问对象和问题难易要配置得当，同时照顾到知识的全面性和系统性．当发现部分学生在知识上，有某些不当或不足时，要及时纠正或补充．正确使用好此法，对培养学生的表达能力，开阔思路，培养数学能力都有好处．３．提问时问题的顺序和层次（启发性提问语）。提问的内容必须有系统和层次，由浅入深，紧扣结论．因为此方法是在教学过程中，把教学内容组成一系列问题，通过师生共同对话，有目的、有计划地步步深入，一个接一个地不断出现新问题，不断解决新问题．这样的师生共同活动，组织得好，易抓住学生的思想，引起大家积极思考问题，使学生始终处于紧张的学习状态之中．4．提问和回答的次序（教育实习中的问题）。提出的问题要面向全体学生，给学生留思考时间，然后举手或指名回答．重点部分要复述或板书，以强化记忆．严防形成师生两人对答的局面．（必要的时间等待——信息的整合是需要时间的）随时注意课堂教学秩序和纪律，时刻做好组织教学工作，使绝大部分学生能聚精会神，处于积极紧张的思维活动之中．教师注意随时启发，有时亦可自问自答．５．对学生的回答给予即时反馈和评价，善待学生的非预期思路（弹性预设－动态生成）支持＼鼓励＼赏识

。直角三角形中线。淡化形式提问＼注重引发学生深层次的思维．教学机智。收放自如而不是信马由缰（平面几何中的向量法、菱形性质）。数学思维层次的交流才是数学交流的本真所在（行为参与、思维参与、情感参与）三、发现法（探究教学）。发现法是美国著名心理学家布鲁纳提出和倡导的．它是从青少年好奇、好问、好动的心理特点出发，在教师引导下，围绕一定的问题，依据教师和教材所提供的材料，让学生自己运用观察、类比、分析、归纳、演绎、抽象、概括等心理过程去发现回答与解决问题的方法．布鲁纳于本世纪70年代初写了《教育过程再探》一书，提出“发现”观点，要求学生象一名数学家那样思考数学，象一名史学家那样思考史学。“发现不限于人类尚不知晓的事物，确切地说，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方法．”他认为我们教一门课程，不但要在学生大脑中建立一个小型图书馆，而且应使他们成为知识的发现者．而不只是知识的消极接受者 。发现法教学的的一般步骤(课例：同底数幂乘法法则、平行四边形单元、等差、等比数列等）。教学目标中探索的用发现法（1）设计发现情境，激发探究兴趣．教师运用提问、演示或实验、阅读教材等方式，使学生思维集中于某个问题，诱发出矛盾，引导学生思考．（2）寻求解决问题的途径．这是学生独立思考阶段．依据问题，阅读课本，进行实验，尝试分析，运用联想、类比等方法进行探究，提出解决问题的设想．（3）交流总结．在独立探究的基础上，围绕关键问题进行讨论，相互启迪、开拓思路，确定并论证结论．然后由教师或学生总结，使结论充实完善．（4）巩固应用．将得出的科学结论，归结为定理、定律、原理或法则，用于解决实际问题，进一步巩固获得的知识，发展数学能力。四、程序教学法。程序教学法，是美国心理学家斯金纳于20世纪50年代末提出的．他发现动物的复杂行为可以用逐步接近的方法，经步步强化而形成，把这种动物形成复杂行为的方法用于人类学习，取得了较好的效果，于是提出了程序教学法．发现班级教学不易体现个别差异。小步子、及时强化。(结合卡片例子)五、读读、议议、讲讲、练练教学法。读读、议议、讲讲、练练教学法，又称“八字法”，是上海育才中学总结出来的．主要思想是“教学的侧重点应放在学生的学习上”，其基本精神，是充分调动学生的主动性和积极性，让学生积极思考、讨论疑难、寻找规律、解决问

题，然后在此基础上教师有的放矢地画龙点睛．六、单元教学法。单元整体教学法（景山学校）。六课型单元教学法（武汉）。根据教学内容的内在联系，把一章内容分成若干知识块，将结构严谨、自成系统且研究方法雷同的教材构成一个小教学单元，抓住横向（学生认识过程）、纵向（这一小单元的逻辑发展）两条线索进行教学，使学生通过整体——部分——整体的学习，从整体上掌握知识内容，有机地掌握知识内在联系、强化知识发展过程．四边形、公式法分解因式、数列、圆锥曲线§5.2 数学教学模式教学有法，教无定法，贵在得法；教学有模，教无定模，贵在得模。一、典型的数学教学模式教学模式是对教学方法进一步抽象、延伸和发展。教学模式实质上是一种教学结构。蕴含特定的教学理论或教学思想；要有利于达成教学目标，促进学生主动学习；能提供可参考的有一定操作性的教学活动结构或程序。有相对稳定的教学步骤。（但不是固定不变）（一）尝试指导与效果回授教学模式上海青浦县“顾泠沅”教改实验小组经过广泛的调查研究，认真筛选教改经验，然后进行试验推广而总结出的一种教学模式。诱导——尝试。基本程序：1创设问题情境，启发诱导（认知冲突）。2探求知识的尝试。3变式练习。4 归纳结论，纳入知识系统 。5 回授尝试效果，组织质疑和讲解。6 单元教学效果的回授调节。 教师将教材组织成一定的尝试程序(层次)，学生在教师指导下，通过尝试进行学习，同时教师十分注意回授学习的效果，以强化所获得的知识、技能，培养能力。（二）自学辅导教学模式1963年中科院心理研究卢仲衡教授首次在我国进行程序教学的实验，发现了程序教学法的某些优点，诸如以学生为主体，取消灌注式教学，提倡自学。但小步子编写的教材篇幅浩大，教材是一个框面、一个框面被学下去，难以复习和查阅，并降低了教师的作用。自定步调，教师无法起作用。卢仲衡先生认为教学不是教书而是教学生学，教学生自己学，教学生学会变为会学。因此教学方法的一个准则应该是自学辅导。此教学方法引进程序教学法的合理因素，结合我国实际而设计。编有专门的课本(适合自学)，练习本(练习题在本上，留有空白，位置固定，老师便于检查)，测验本(以便教师检查学生学习效果，由教师保存)。自学辅导法课堂教学的基本结构是启——读——练——知——结。启和结由教师在开始上课和即将下课时向班级进行。启即是从旧知识引进新问题，激发学生的求知欲，使他们有迫切需要阅读课本和解决问题的要求。启发不是讲课，教师不能代替学生阅读和思考。同号（异号）两数相乘取正号（负号），绝对值相乘。上述步骤不是固定不变的（三）数学情境与数学问题教学模式 贵州师范大学吕传汉教授等提出。数学问题产生于数学情境。数学情境是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件。人们通过对数学情境中数学信息的观察、分析，产生疑难、困惑，逐步发现、形成问题。因而在实施提出数学问题教学中，设置数学情境是一项重要的工作。实验的教学模式重视数学情境的设置；突出数学问题的提出；同时关注数学问题的解决与数学知识的应用。“343”新课堂教学模式。三个特点：以学定教，以教促学，以学为主。四个环节：个人自主学习，小组合作学习，课堂展示，测评巩固。三个精要：学生整体状态激奋，能体现达标性要求，达标效能明显、明确。问题导学教学模式（山西灵石、新绛、清徐）。贯穿启发式教学。当前教学实验模式化的误区（南京、忻州、太原）。教学模式不是模式化，模式化——僵化？教学有法 ，教无定法，贵在得法，重在启发，无法之法，乃为至法。多种教学方法融会贯通——无法的境界。教学有模，教无定模，贵在得模，无模之模，乃

为至模。多种教学模式融会贯通——无模的境界。学习模式——借鉴模式——发展模式——超越模式——走向无模式化的境界。随心所欲而不逾矩（教学高度艺术的境界）二、数学教学方法、模式运用的基本要求、选择及评价研究教学方法目的不在于寻求实际上不可能存在的万能的教学方法，而在于深入理解各种教学方法的实质，在教学中灵活运用。还在于根据主客观条件和自己的经验，设计出具有自己特色的教学方法，用以更好地完成教学任务。值得一提的是，课堂教学中教学方法应灵活多变，同一种教学方法刺激多了，学生的思维易产生惰性。(一)运用教学方法的基本要求1启发性：利用各种方法，有目的、有计划地调动学生的积极性，自觉、主动地思考各种问题，从而获得思考的乐趣。(1)难度：难度把握以学生积极思考后有可能实现为基础，过难应分解问题，过易可变换角度提高难度。（最近发展区）(2)速度：主要指学生思考问题的快慢程度，设计适合于大多数学生思考速度的启发过程。速度超过学生思考速度会使学生来不及获得思考结果，就必须接受新任务，而使思考流于形式，或使学生疲劳。速度慢于学生思考速度，使学生感到无事可做，思想开小差。2趣味性：教师在保证知识科学性的前提下，根据学生的心理特征，运用各种教学方法，最大限度地培养学生对数学学习的兴趣。使学生体现新奇感、成功感、美感，要我学变为我要学。陶行知：先生的责任不在教，而在教学，教学生学。3主体性：教学中运用教学方法时应充分发挥学生的主体作用，使教学过程真正成为学生的学习过程。注意反馈信息的主导作用以及学习方法的指导。（教学的双主体）4调节性：在课堂教学中，教师应注意灵活运用各种教学形式调节学生的注意力，充分利用有意注意和无意注意，调节学生的思维，调节教学节奏，提高学习效率。(二)选择教学方法（模式）的依据1教学目的和任务（理解、探索）

2教学内容的特点。抽象的数学概念(绝对值、轨迹、极限)、新的数学思想方法(反证法、分析法等)的介绍应主要采用讲授的教学方法。 比较容易看懂和理解的概念、定理、例题可采用自学型的方法。学生有能力通过归纳、类比实验而发现或解答的内容可采用发现、讨论型的方法。例题可采用启发、讲练结合，公式、定理、习题可采用逐步探索、自学、讨论相结合。检查学生知识掌握情况，可用提问、练习、答卷等方式 。教育实习中的共性：题目的思路分析上欠缺，思路不自然。（做什么，告诉如何做，为什么如此做？如此思考）3学生的年龄和心理发展特点。 初一、初二学生比较外露，初三和高中学生比较含蓄。在初一、初二、小学，对老师的提问，学生争先举手，到初三或高中这种现象逐渐消失。对年龄较小的学生及时的提问、表扬能激发其学习兴趣。而对年龄较大的学生可从学习目的、理想前途、数学的价值、美学因素，教师的学识能力、人格魅力、等方面去激发他们的学习兴趣。教学时必须针对学生的这些特点采取相应的教学方法。对低年级学生，教学方法灵活多变，多给学生以显露的机会，以调动其积极性。对高年级学生，多引导他们独立钻研问题。4教师本身的素质和修养。教师是教学方法的使用者，教师对各种教学方式的理解程度、经验积累程度、知识和能力的水平以及教学思想等都不同程度地影响教学方法的选择和使用。因此教师应根据自身的条件扬长避短，发挥个人的特长和优势，采取与自身条件相适应的教学方法，形成自己的教学风格，提高教学效益。(三)数学教学方法的评价1最大可能的教学效果。即实现教学目的（目标）的程度。选择的教学方法应有利于学生掌握系统的数学知识和进行基本技能的训练，形成良好的认知结构。

重视学生创造能力、分析和解决问题能力的培养。能充分发挥学生的主体作用，充分调动学生的主体性、积极性。体现因材施教。2定额的时间消费。在规定时间内最大限度地调动学生的智慧、潜力，达到高效率、高质量的教学效果。不但教学时间要少，而且要有利于减轻教师、学生的负担。在定额的时间内，既增大课堂教学容量，又提高教学效益。第6章数学教学媒体§6．1 数学教学资料一、 数学教学资料的类型。数学教学资料品种繁多，主要类型如下：课标、教科书及其配套资料．数学教学专著．数学教学辞典．数学教学期刊．会议资料．数学教学课件……数学教学资料的作用．但是，需要指出的是“充分利用教学资料并不是过分依赖资料、全盘照搬资料”，那种照本宣科的教学是要不得的．教师应该在领会和理解课程标准精神的前提下，广泛查阅大量资料，作全面深入的分析之后选择那些典型的，有利于培养学生数学能力的内容．一、数学直观教具的作用： 借助直观教具或模型作媒体，使抽象的知识变得具体形象，有利于学生对数学知识的理解和掌握． 数学直观教具的作用（数学的抽象性特点）：恰当地演示直观教具，制作直观教具，并辅以教师的分析，使学生从不同的感觉渠道同时往大脑输送有关的信息，可以激起学生的学习兴趣，调动他们的学习积极性．（教育实习中立体几何，天平、三视图、特殊四边形、莫比乌斯带）包括使用黑板、直观教具．自制简单适用的挂图、教具常可取得好的效果。链接最短路径教学录像.。传统的未必就是不好的。多媒体动态、直观、美观性 数学直观教具一、数学直观教具的作用 。二、数学直观教具的制作 （链接教学录像）。三、数学直观教具的运用。复杂的数学直观教具、模型是由教具模型厂生产。简单的直观教具应当发动广大师生因陋就简地自己动手制作．制作教学模型、挂图和演示教具等活动，是教学辅助材料的一个好来源。 数学直观教具的运用是为数学教学服务的，是为学生学习服务的，在运用中应注意如下几点：数学直观教具的运用

1、启发性（概率中的转盘问题）。通过直观教具的演示，注意启发学生的思维2、科学性。直观教具演示的科学性是指与科学知识本身的一致性．如果演示的媒体并非有助于对科学知识的理解，甚至与教学内容相抵触，那么这种演示是不科学的、有害的．3、实践性。 直观教具的演示应与实践保持一致．教师利用教具进行直观生动的演示的目的不仅仅是为了使学生从对直观教具的感性认识上升到对它们所揭示的抽象的数学结论的理性认识，从具体上升到抽象，更重要的是使学生认识到这些数学知识的重要性，那就是可以用于解决实际问题，从而培养他们用数学的思想． 总之，从具体到抽象，再到更加广泛的具体是认识论的一个重要方面，运用直观教具是贯彻抽象与具体相结合原则的一个重要手段．数学教学中一方面不能忽视直观教具的作用，另一方面在教学实践中也需注意不能为了直观而直观，要在学生接触了直观、具体的基础上引导他们形成抽象的结论．数学教学音像设备：一、 幻灯和投影。 1、幻灯和投影教学的优点： 图像清晰、形象逼真、色彩鲜艳，能客观反映事物的真实形态，有利于激发学生的学习兴趣；表现方法多种多样，既能演示静态图像，替代图表、挂图、板书，又能模拟一些动作过程，投影真实物体，使教学内容形象生动；设备简单，制作方便，制作周期短，成本低廉，易于普及；使用方便灵活，放映过程容易控制，显示停留时间随需要而定，教学随机性强，便于学生观察和教师讲解，教学内容可增可减可重复．2、幻灯片、投影片的设计原则（1）整体性原则。首先，深入钻研数学教学大纲、课程标准和教材，根据教学内容的重点

3∶2比例排列．标题可用大一些的字来表现，副标题用较主标题小的一些字来编排．二、录音和录象。1、有利于培养学生的能力。2、有利于改进教学方法，提高教师的教学水平。3、有利于教师自己发现讲课中的缺陷，提高讲课的科学性。总而言之，要使录音教学更好地发挥它的作用，课堂录音要有明确的目的，做好课前准备，防止干扰正常的课堂教学秩序．

三、电影和电视。1、电影、电视教学媒体在现代数学教学中的作用。（1）运用电影、电视教学可以改革数学教学方法。（2）运用电影电视教学可以提高学习效果，减少教学时数。（3）运用电影、电视教学可以提高学生综合素质2、电影、电视教材编制的原则（非典时期空中课堂）。电影、电视教材编制的原则：（

1）教育性。电影、电视教材的教育性主要体现在其目的性和适用性上．录制任何一部教学片，都必须能对学生掌握这门学科的基础知识、科学原理，提高教学、科研、实验能力等方面起到良好作用，还要注意通过传递知识进行思想教育．（ 2）科学性。 电影、电视教材是向学生传授知识的一种信息媒体，担负着培养人、教育人的使命．因此，编制的电影电视教材，要具有高度的科学性，能正确反映科学基础知识和现代科学技术发展水平．在内容上、科学原理上一定要准确无误；所选择的素材，例证和逻辑推理，必须是科学的，符合客观实际，真实可靠的；实验场地、环境必须符合科学要求；教师的操作要准确规范．（ 3）技术性。编制的电影、电视教材，要图像清晰、声音清楚、色彩逼真、声画同步、保证良好的技术质量，才能发挥电影、电视教材的作用．（ 4）艺术性。 电影、电视教材的内容比较单调，这就需要编导者根据内容的要求，以丰富多彩的表现手法，使电影、电视片具有一定的表现力和感染力，激发学生的情感，提高学习兴趣和审美能力．为了增强和难点或实际需要收集有关资料，整理分析，决定灯片的整体布局，设计画面，选择适当的表现方法，用静片还是动片或复合片也必须认真加以考虑．幻灯片的整体效果的好坏，取决于幻灯片制作的系统性，幻灯片文字的艺术效果处理，以及彩色幻灯片色彩的配置等等．幻灯片文件一般是以提纲的形式出现，最忌讳的做法是将所有授课内容全部写在几张幻灯片上．制作幻灯片时要将文字提炼处理，起到要点强化，重点突出的效果。对于要使用的较多数据可制成图表穿插于文字之中，使整套幻灯片既生动活泼、可视性强，又有论有据、科学严谨、说服力强．（2）主题性原则。在设计幻灯片时，要做到整套幻灯片有中心，每张幻灯片有主题，主题明确，重点突出．通过合理的布局有效地表现教学内容. 在每张幻灯片内都应注意构图的合理性，可使用黄金分割法构图，使幻灯画面尽量做到均衡与对称．从可视性方面考虑，还应当做到视点明确（视点就是每张幻灯片的主题所在）．利用多种对比方法来为主题服务．例如黑白灰对比，互补色对比（红和青、蓝和黄），色彩的深浅对比，文字的大小对比等等，以及各种对比方法的综合使用． 黑白色为经典搭配。尽量使幻灯片画面具有感染力和鲜明的主题．这里应注意的是，在彩色幻灯片中，用色尽量少一些．用色多则乱，用色繁则花，“用色不过三”就是一条常用的法则． 虽然人们喜欢看色彩丰富鲜艳的东西，但如果用色太多和过繁，极易造成喧宾夺主干扰画面主题，导致幻灯片的主题不突出和整体效果不佳．因此，切记用色不要滥．（目前某些课堂教学中幻灯片花哨、学生注意指向漂移.链接录像）（3）规范性原则。幻灯片的制作要规范，特别是在文字的处理上，力求使字数、字体、字色的搭配做到合理、美观，135幻灯片的规格是24毫米×36毫米，长和宽的比例为3∶2．制作幻灯片原稿时应注意每一张幻灯片内最佳文字数为120字左右，每行25个字，不超过12行，使用黑体字，激光打印机打印的效果最好．原稿所述应尽量简洁明确．标题字的排列也应尽量以

艺术性，编制的各个环节，如摄像技巧、画面构图、画面组接、光线色彩、美工动画、音响效果等多方面都要精心设计，严格把关．（ 5）经济性。编制电影、电视教材，要考虑经济效益，以最小的代价获取最大的效益，即力争投入最少的人力、材料、经费和时间，制作优秀的电影、电视教材．同时，要考虑到教材的通用性，使更多的人受益．多媒体的含义: 按照传统的说法，媒体（Media）指的是信息的载体，如报刊、广播、电视、广告等，信息借助于这些载体得以传播．按照国际上的通用定义，媒体可以分为感觉媒体、表示媒体、显示媒体、存储媒体、传输媒体五种．表示媒体是这五种媒体中最主要的一种，它确定了信息的存在和表现形式．文字、图形、图像等都属于表示媒体．“多媒体”这个术语是20世纪60年代开始使用的，最初的含义是指把两个以上的媒体组合，使之成为单一的产品或是呈现系统，并通过多种感官通道来交流信息．简单地说，就是利用多种媒介手段来存储、传播和处理信息．其基本含义是：多媒体技术是指以计算机为核心，交互地综合处理文本、图形、图像、动画、音频及视频等多种媒体信息，并使这些信息建立逻辑连接，以表现出更加丰富、更加复杂的信息．1、多媒体教学常用的基本形式. （1） 课堂教学（2） 模拟教学（3）个别化交互学习（4）远程教育（08、09年高中数学新课程培训）2、多媒体课件的基本类型。（1）资料、工具型。资料工具型多媒体课件包括各种电子工具书、电子字典以及各类图片库、动画库、声音库等．在这种类型的软件上提供某种教学功能或某类教学资料，并不反映具体的教学过程． 此类课件可供学生在课外进行资料查阅使用，也可根据教学需要选定有关片段，配合教师讲解，在课堂上进行辅助教学．它与普通工具型软件不同之处在于它存储了巨大的音频、视频教学数据信息，调动速度快，信息量大．（2）课堂演示型（链接三垂线定理录像片段）。所谓课堂演示型，是根据教学计划和教学大纲、课程标准的要求，采用多媒体的表现形式，将教学内容呈现出来，以辅助教师的讲解．它要求解决教学中的重点、难点问题，注重对学生的启发、提示等．课堂演示型多媒体课件主要适用于知识难度小、表象陈述较多、规律含量不高、学生活动相对较少的教学内容．演示型多媒体课件的编程难度小、程序结构较简单，但数据资料繁冗，收集起来较费时．由于该类课件学生活动不多，在资料收集过程中须注意资料的典型性和代表性，以防止学生产生学习疲劳现象．另外，还要注意它的画面要直观，尺寸比例要大些，便于学生远距离观看．（3）个别化交互学习型（程序教学)。个别化交互学习型多媒体课件一般具有多层次分支的知识结构，同一课题的不同分支教学流程能适合不同学生的需求．其中，主学习程序列是共同遵循的学习主线，而如课前学习、矫正学习、辅助学习、提高学习、补充学习等都是针对个别学生而设计的，符合因材施教的原则。此类课件的优越性在于它提供相应的形成性练习供学习者进行学习评价，设计了许多友好的界面让学习者进行人机交互活动，利于学生在个别化的教学环境中进行自主学习．并且，在学习过程中学生积极主动，学习效率高．这类课件设计难度大，设计者应注意设计风格，美化交互界面，优化模块跳转关系，适度增加视频、声音背景，增强趣味性．（4）操练复习型。这种类型的多媒体课件主要是通过提问题的形式来展示教学内容，用于训练、强化学生某一方面的知识和能力．这一类型的教学软件在设计时要保证具有一定比例的知识覆盖率，以便全面地训练和考核学生的能力水平．另外，考核目标要分为不同的等级，逐渐上升，根据每级目标设计题目的难易程度．如题库系统就可以制作成操作复习型的多媒体课件．（5）教学游戏型。这种类型的多媒体课件与一般的游戏软件不同，它是将教学大纲和课程标准所规定的知识内容，通过游戏的形式，传授给学生特别强调趣味性，游戏规则要简

单．在中小学教学中使用此种类型的多媒体课件比较多，因为它可以激发学生的学习兴趣，收到较好的教学效果．3、多媒体课件设计原则。（1）促进学生原有认知结构发展和优化原则。（2）激发学生学习的内在动机和兴趣的原则。课件设计应把激发学生的内在动机和学习兴趣放在重要位置．多媒体课件在教学中的应用应该充分发挥多媒体的独特功能以及多媒体在学科教学中的强大表现力，使学生乐学、愿学．（3）科学性、思想性、教学性相结合原则．（4）交互友好原则。（5）移植性、可重用性原则。在实际教学中，应该使传统的数学课堂教学和多媒体教学相结合，使之相辅相成.传统的未必就是不好的。现代的未必就是有效的。教学过程是十分复杂、细腻的过程，是学生的认知过程和建构过程，同时也是师生情感交流的过程。数学中的板书是不可少的（启发性、示范性、整体性、鲜明性），必要的画图、分析归纳、运算推理和证明等均应在教学过程中自然流露给学生，不能用技术化替代数学化的过程。息技术的价值：利用原有教学手段难以达到甚至达不到或多花时间的内容可考虑用。（到角公式、指数函数与对数函数的关系、读心术）无论什么时候, 信息技术只是教学的辅助手段。第7章 中学数学教学工作中学数学教学过程是教和学双边统一的活动过程。在这一活动过程中，学生要掌握数学知识和技能，培养数学能力并形成一定的个性品质。 研究中学数学中各项教学工作的进行，可以使未来的中学数学教师在教育实习前对中学数学教学工作有一个全面、概括的把握。中学数学教师日常教学工作的内容：中学数学教师的日常教学工作包括备课、上课、批改作业、课外辅导、指导数学课外活动、学生成绩的考核以及教学研究等。教师上课前进行的一系列准备工作叫备课。备课的中心环节是精读、分析和处理教学内容。备课不仅要备大纲、备教材，还要备学生实际，不仅要备教师如何教，也要备如何指导学生学。后者的重要性已逐渐被人们所认识，但仍是当前教学工作的薄弱环节。上课是实施教学任务，取得教学效果和实现教学目的的主要环节。上课要充分发挥教师和学生两方面的积极性，使学生能够完成从“学会”到“会学”的渐进过程。布置学生做适量作业并检查批改作业是提高教学质量的重要环节，意在巩固教学效果，获取反馈信息，督促学生完成学习任务，鼓励学生学习的积极性。（数学的特点、数学学习的特点）。辅导工作是根据班级授课制的特点提出来的。在同一个班级的学生中，由于多种原因总有个别或少数学生不能当堂消化所学的知识，也有少数学生不满足课堂所学的内容而尚有余力。但课堂教学必须面向大多数学生实施。因而课后对成绩差，没有完全掌握课堂内容的学生进行再帮助辅导，对学生组织课外活动小组，培养兴趣、爱好，早期发现和培养该学科的人才苗子显得尤为重要。因此把指导课外活动列入日常教学工作是现代数学教学改革的趋势。学生成绩的考核是一项经常性的工作，对学生来说能起到鼓午和督促作用。对教师来说能及时获得反馈信息，促使教师认真检查自己的教学工作，及时总结经验教训，不断改进教学方法，提高教学质量。教师即研究者要不断提高教学质量，教师就不能只是进行备课、上课等日常事务的重复劳动，而应积极开展教学研究工作，通过教学反思、集体备课、互相观摩、专题讨论、师生座谈、参阅资料、教法实验等方式不断提出问题、解决问题，使自己的教学水平得到提高。第1节 数学备课活动一、备课（教学设计）在教学中的意义如何?主要包括哪些方面的工作? 中学数学教学工作是有目的、有计划的活动。数学教师若对中学数学教材不熟，对学生情况不明，对教学方法不晓，则教学效果会受到影响；

有的教师在课堂上“平铺直叙”，“照本宣科”，也有的教师繁琐讲解，“目中无人”，结果教师动机虽好，学生怨言不少，教学质量不高．这些问题如何解决呢？还应该从教学准备工作做起。俗话说：上好课的甜来自备好课的苦，可见备课是教学全过程的基础，是教师取得上课资格的手段，在数学教学中的作用十分显著。它对课堂教学的质量起着决定性的作用．每一个教师都必须备好课。（对新教师尤为重要）富克斯先生独特的授课方式。1.备课（教学设计）的工作顺序由大到小，由粗到细。分三个层次：四边形内容 深度 目标学期总备课——通读———制定学期教学计划。单元备课———细读———单元计划(课时划分、总要求)。每堂课内容——精读———形成教案。2.备课的具体过程。(1)钻研教学大纲、课标、教材和教学参考资料(吃透大纲精神和教材内容)。备教学材料(2)深入了解学生状况(吃透学生，掌握班集体特征、年龄、学生心理特点等)。备学生(3)制定教学工作计划①本学期教学目的，要求。②所任班级学生情况分析。③提高教学质量的措施。(4)制定教学进度表。(5)精读教材。对每节课内容进行仔细研究。(6)

查阅资料。查阅有关的教学参考书等。(7) 确定教学目的。(8) 明确重点、难点和关键。(9)

研究和演算习题，精选题目。(10)明确课型和教法。备教法(11)制作教具。(12)编写教案。(13)板书设计。对本节课内容书写形成整体构想。(14)组织试教。具体到一节课，备课时思考下列问题是必要的。1本节课的教学目的、教学重点、教学难点和教学关键是什么?2如何围绕教学重点设计教学过程，选择教学方法。3如何抓住教学关键、分散难点。4如何培养数学能力。5如何培养学生的数学学习兴趣。（产生学习

的内在需要。1分钱 与10万元的交易）6如何提问，目的是什么?7何时板书，目的是什么?如何充分利用版面， 如何使版面美观，便于讲解。8是否使用直观教具，若用，则应怎样使用（实物、模型、投影、幻灯等）9 教学各环节所需的时间分配。10所选例题和练习的目的是什么?11 如何实现各环节的过渡（实习中的问题、过渡自然，必要的衔接语）12可能对学生进行哪些思想教育，其具体做法是什么?13分析、归纳时使用什么样的语言。14学生还可能出现哪些问题，应如何解决二、如何钻研教材，主要解决哪些问题?钻研教材是备课的核心，是教学的第一关。课堂教学质量如何，在很大程度上取决于教师钻研教材的深度和广度。应如何钻研教材呢?主要通过粗读、细读、精读三个过程。粗读——整本通读。细读——单元教材的再读，精读——一堂或一节课教材内容，逐字逐句推敲抓本质，把握教材的科学性。明确科目、章节的衔接关系，分清本末主次，估计知识的难易程度，经过反复钻研，主要解决如下问题。(一)确定教学目的或目标围绕总的教学目的，确定每堂课的教学目的或目标（依据大纲、课标、教学用书）1.知识技能目标：了解、理解、掌握、应用2.过程性目标:。经历(感受):在特定的数学活动中获得一些初步的经验.，体验(体会):参与特定的数学活动,在具体情境中认识特征,获得经验.，探索:主动参与特定的数学活动,观察、实验、推理发现数学对象的特征或与其他对象的区别和联系。3.情感态度目标(二)明确教材的系统和基本要求。教材的系统主要指教材的知识结构，在备课时尤其要注意知识结构中的基本理论和它们内在的通性和通法，形成组织合理的知识结构网络。（专家知识的研究：并不在于知识量的多少，而在于知识的合理组织，形成组织良好、纵横交错的知识结构网络）条件化知识、惰性知识。立体几何中的角和距离；四边形；方程、方程

组的通法 ；方程、函数、不等式、圆锥曲线等(三)确定教学的重点、难点和关键1.确定教学的重点，突出重点。所谓重点是指教材中贯穿全局、带动全面、起核心作用之点，它由教材本身所处的地位和作用来确定。一般来说，教材中的定义、定理、公式、法则以及它们的推导和重要应用，各种技能、技巧的培养和训练，解题的要领和方法，图形的制作和描绘等都可确定为重点。在教学中明确重点后即要突出重点。具体地，设计教学过程时，无论设置问题、分析讲解、启发研究均应着眼于让学生理解和掌握重点。防止枝节问题转移和干扰对重点内容的学习。菱形课例（特殊性质）。其次教学时间的分配上应将最佳时间用于重点内容的教学，应在学生注意力有效集中的时间内学习重点内容。把握好教学节奏，通过练习、小结、复习等及时了解学生对重点内容的掌握。2确定教材的难点，找出突出重点、突破和分散难点的关键。所谓难点就是教材中学生理解、掌握或运用上的困难之点，是针对学生而言的。一般来说教材中的知识比较抽象、结构比较复杂、本质属性比较隐蔽，需要运用新的观点和方法或学生缺乏必要的感性认识等，均可确定为难点。如根与系数关系的应用，数学中含参变数的方程解的讨论，布列方程解应用题。反证法、同一法、函数、轨迹概念等均是难点。等差数列、等比数列前n项和的推导。各种平行四边形的区别。如何突破和分散难点呢?首先要明确难点形成的原因，是由于启蒙性、抽象性、复杂性还是由于知识的易混性，技能、技巧的生疏性。如学习有理数时建立负数概念以及虚数的引入是难点(启蒙，抽象)，几何中初教推理证明、空间图形的学习是难点(生疏、复杂、空间观念)。初一学生学习不等式性质3，是一个教学难点。找到难点后即要分散难点，最终突破难点。如学习性质1，2后，再通过实例抽象概括性质3，并和性质2加以对比和区别。关键就是理解掌握某一部分知识或解决某一问题的突破口。(四)明确范例的作用。明确例题是引入概念、理解概念、归纳公式、法则或直接运用定理法则纠正错误、巩固知识的。还是联系实际、培养技能和运算技巧及能力的。结合同底数幂的乘法,矩形课例说明. (1)具有目的性 (3)具有延伸性 (2)具有启发性 (4)具有典型性(五) 分析研究习题。逐一演算习题，了解各个题目的作用、难易程度和解答方式，阶梯性、典型性、多样性地进行精选，分析学生在解题中出现的各种错误。(要让学生脱离题海,教师就要走进题海)。备数学课要认真备习题．首先教师需按照对学生的要求，将教材上全部习题演算一遍，明确各题的要求，解题关键，解题技巧，解题的格式．(矩形、菱形、同底数幂乘法的课例)。区别哪些习题是主要的，次要的，哪些是巩固性的，哪些是创造性的，哪些是单纯性的，哪些是综合性的，哪些学生可以独立完成，哪些需要提示，哪些可作为教材讲授，对每道题的难度与演算时间做到心中有数．教师还要根据教材和学生需要自编、改编、选编一些题目．有时教材上内容与练习题配备不协调，教师应自编一些过渡题、引伸题、联系题等补充数学习题．(六) 了解学生。主要包括思想状况、思维特点、动机态度、学习方法、学习习惯等，学生原有的知识经验、认知水平，常易犯的错误，学生哪些方面能力薄弱。矩形（直角三角形性质）、菱形（对角线垂直）、绝对值，二次根式，不等式性质运用中易出现的错误。结合教材211具体分析三、如何编写数学教案教案是教师在认真钻研课标、教材和充分了解学生的基础上，对每堂课的教学工作所做的整体设计和实施方案。由于课型不一教学过程又千差万别，因此没有统一的编写教案的格式。(有新授课、复习课、习题课、讲评课等)，同时又由于每位教师教学经验的多少，驾驭课堂教学能力的强弱，教案还有详简之分。教案的详略以让别人看懂每堂课的主要进程、内