2023年12月3日发(作者：清华考研数学试卷分数占比)

第11题与圆有关的最值问题一、原题呈现【原题】已知点P在圆x5y516上,点A4,0、B0,2,则（22）A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时,PB32D.当PBA最大时,PB32【答案】ACD【解析】圆x5y516的圆心为M5,5,半径为4,直线AB的方程为22xy1,即42x2y40,圆心M到直线AB的距离为52541222111154,55所以,点P到直线AB的距离的最小值为下图所示：11511542,最大值为410,A选项正确,B选项错误；如55当PBA最大或最小时,PB与圆M相切,连接MP、BM,可知PMPB,BM05252234,MP4,由勾股定理可得BPBMMP32,CD选项正22确.故选ACD.【就题论题】本题涉及的与圆有关的最值问题是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,圆上点到动直线的距离也会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离、角最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题,故在此提醒考生解题时千万不要得“意”忘“形”.二、考题揭秘【命题意图】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系,考查直观想象、逻辑推理及数学抽象的核心素养.难度：中等【考情分析】圆的方程及直线与圆的位置关系一直是高考热点,通常作为客观题考查,长度、面积的计算,参数问题及最值问题是考查热点.【得分秘籍】(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离y－b(2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点x－a(x,y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离平方的最值问题．(3)与距离最值有关的常见的结论：①圆外一点A到圆上距离最近为AOr,最远为AOr；②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦；③直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离dr,最近为dr；④过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.⑤直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离；⑥两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.(4)与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【易错警示】(1)不善于借助图形进行分析,导致解法方法错误(2)不善于运用圆的几何性质进行转化,导致运算量过大,以致运算失误三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题（2021山东省淄博市高三一模）圆x2y22x80截直线ykx1kR所得的最短弦长为（1．A．27B．2）2C．43D．2（2021江苏省百师联盟高三下学期3月联考）已知圆C:x2y24x2y30,过原点的直线l与圆C2．相交于A,B两点,则当ABC的面积最大时,直线l的方程为（A．y0或y）4x3B．y2x或yD．y3x41x21C．x0或yx3（2021湖南省郴州市高三下学期3月第三次质量监测）设点M(3,3)在圆x2y2r2(r0)外,若圆O3．上存在点N,使得OMNA．[3,22],则实数r的取值范围是（4C．[6,22)）D．[6,23)B．[22,23)（2021福建省龙岩市高三5月模拟）已知P是圆C：x2y24x6y110外一点,过P作圆的两切4．线,切点为A,B,则PAPB的最小值为（A．426B．432）C．2D．2（2021福建省宁德市高三第一次质量检查）已知点M(2,4),若过点N(4,0)的直线l交圆于C：5．(x6)y9于A,B两点,则|MAMB|的最大值为（A．12B．822）D．62C．102（2021河北省邯郸市高三三模）已知点P在直线xy4上,过点P作圆O:x2y24的两条切线,切6．点分别为A,B,则点M(3,2)到直线AB距离的最大值为（A．）D．52B．3C．2（2021江苏省苏州市高三5月三模）在平面直角坐标系xOy中,点Q为圆M：(x1)2(y1)21上一7．动点,过圆M外一点P向圆M引-条切线,切点为A,若|PA|=|PO|,则|PQ|的最小值为（A．）21B．21C．3214D．3214（2021山东省济宁市高三二模）8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇,是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中,点Px1,y1、Qx2,y2的曼哈顿距离为：LPQx1x2y1y2．若点P1,2,点Q为圆C:x2y24上一动点,则LPQ的最大值为（A．1）2B．122C．32D．322y2的范围是（x13）（2021山东省日照市高三第二次模拟）若实数x、y满足条件x2y21,则9．A．0,2B．3,5C．,1D．,4（2021江苏省南通市高三阶段性测试）在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(1,2),N(3,4),点P在x轴10．的正半轴上移动,当MPN取最大值时,点P的横坐标为（A．）D．52B．53C．3103）（2021湖南省怀化市高三下学期3月一模）若实数x,y满足x4y2xy,则x最大值是（11．A．4B．18C．20D．24（2021湖北省鄂州高三3月月考）已知直线l1:mxy3m10与直线l2:xmy3m10相交12．于点P,线段AB是圆C:(x1)(y1)4的一条动弦,且|AB|23,则|PAPB|的最大值为（22）A．32二、多选题B．82C．52D．822（2021山东省淄博市高三三模）已知圆O1:x2y22x30和圆O2:x2y22y10的交点为13．A,B,则（）A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为xy10C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ||AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为22（2021江苏省南通学科基地高三全真模拟）集合M在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M.14．若集合A确的有（x,y9x）2y225,Bx,yyxm,Cx,yykx2k则下列说法中正A．若AB,则实数m的取值范围为m52m52B．存在kR,使ACC．无论k取何值,都有ACD．A∩C的最大值为4542（2021河北省沧州市高三三模）已知点P2,4,若过点Q4,0的直线l交圆C：x6y29于15．A,B两点,R是圆C上一动点,则（A．AB的最小值为25）B．P到l的距离的最大值为25D．PR的最大值为423C．PQPR的最小值为1225（2021河北省张家口市、沧州市高三下学期二模）已知直线l:kxy0与圆16．M:x2y22x2y10,则下列说法中正确的是（A．直线l与圆M一定相交B．若k0,则直线l与圆M相切C．当k1时,直线l与圆M的相交弦最长D．圆心M到直线l的距离的最大值为三、填空题）2（2021湖北省襄阳市高三5月第二次模拟）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得､阿基米德被称17．为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是：已知动点M与两个定点A､B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：x2+y2=1和点A的最小值为___________（2021华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评）已知点M在抛物线C：y24x上运动,圆C过18．点5,0,2,3,3,2,过点M引直线l1,l2与圆C相切,切点分别为P,Q,则PQ的取值范围为__________.（2021湖南省益阳市高三下学期4月模拟）已知圆O：x2+y2=1,A(3,3),点P在直线l：x﹣y=2上运动,则19．1,0,点B(4,2),M为圆O上的动点,则2|MA|+|MB|2|PA|+|PO|的最小值为___________.（2021江苏省南通市高三下学期5月四模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的一种作图工具,20．如图,O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处的铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动.当点D在滑槽AB内作往复移动时,带动点N绕O转动,点M也随之而运动.记点N的运动轨迹为C1,点M的运动轨迹为C2.若ONDN1,MN3,过C2上的点P向C1作切线,则切线长的最大值为___________.


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