中学趣味数学:帽子颜色问题

2024年1月21日发(作者：初三数学试卷衡水)

中学趣味数学：帽子颜色问题

这是我最早听说的趣味逻辑题之一，是专门小的时候父亲告诉我的：

有3顶黑帽子，2顶白帽子。让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。(因此最后一个人能够看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始，问他是不是明白自己戴的帽子颜色，假如他回答说不明白，就连续问他前面那个人。事实上他们三个戴的差不多上黑帽子，那么最前面那个人一定会明白自己戴的是黑帽子。什么缘故?

答案是，最前面的那个人听见后面两个人都说了不明白，他假设自己戴的是白帽子，因此中间那个人就看见他戴的白帽子。那么中间那个人会作如下推理：假设我戴了白帽子，那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子，但总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自

己戴的是黑帽子，现在他说不明白，就说明我戴了白帽子那个假定是错的，因此我戴了黑帽子。问题是中间那人也说不明白，因此最前面那个人明白自己戴白帽子的假定是错的，因此他推断出自己戴了黑帽子。

我们把那个问题推广成如下的形式：

有若干种颜色的帽子，每种若干顶。假设有若干个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，而且每个人都看得见在他前面所有人头上帽子的颜色，却看不见在他后面任何人头上帽子的颜色。现在从最后那个人开始，问他是不是明白自己戴的帽子颜色，假如他回答说不明白，就连续问他前面那个人。一直往前问，那么一定有一个人明白自己所戴的帽子颜色。

因此要假设一些条件：

1) 第一，帽子的总数一定要大于人数，否则帽子都不够戴。

2)有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人那个信息是队列中所有人都事先明白的，而且所有人都明白所有人都明白此事，所有人都明白所

有人都明白所有人都明白此事，等等等等。但在那个条件中的若干不一定非要具体一一给出数字来。那个信息具体地能够是象上面经典的形式，列举出每种颜色帽子的数目

有3顶黑帽子，2顶白帽子，3个人，

也能够是

有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不明白哪种颜色是几顶，有6个人，

甚至连具体人数也能够不明白，

有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1，

这时候那个排在最后的人并不明白自己排在最后──直到开始问他时发觉在他回答前没有别人被问到，他才明白他在最后。在那个帖子接下去的部分当我出题的时候我将只写出有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人那个预设条件，因为这部分确定了，题目也就确定了。

3) 剩下的没有戴在大伙儿头上的帽子因此都被藏起来了，队伍里的人谁都不明白都剩下些什么帽子。

4) 所有人都不是色盲，不但不是，而且只要两种颜色不同，他们就能分别出来。因此他们的视力也专门好，能看到前方任意远的地点。他们极其聪慧，逻辑推理是极好的。总而言之，只要理论上依照逻辑推导得出来，他们就一定推导得出来。相反地假如他们推不出自己头上帽子的颜色，任何人都可不能试图去猜或者作弊偷看──不知为不知。

5) 后面的人不能和前面的人说悄悄话或者打暗号。

因此，不是所有的预设条件都能给出一个合理的题目。比如有99顶黑帽子，99顶白帽子，2个人，不管如何戴，都不可能有人明白自己头上帽子的颜色。另外，只要不是只有一种颜色的帽子，在只由一个人组成的队伍里，那个人也是不可能说出自己帽子的颜色的。

然而下面这几题是合理的题目：

1)3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，10个人。

2)3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，8个人。

3)n顶黑帽子，n-1顶白帽子，n个人(n0)。

4)1顶颜色1的帽子，2顶颜色2的帽子，，99顶颜色99的帽子，100顶颜色100的帽子，共5000个人。

5)有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不明白哪种颜色是几顶，有6个人。

6)有不知多少人(至少两人)排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1。

大伙儿能够先不看我下面的分析，试着做做这几题。

假如按照上面3顶黑帽2顶白帽时的推理方法去做，那么10个人就能够把我们累死，别说5000个人了。然而3)中的n是个抽象的数，考虑一下如何解决那个问题，对解决一样的问题大有好处。

假设现在n个人都差不多戴好了帽子，问排在最后的那一个人他头上的帽子是什么颜色，什么时候他会回答明白?专门明显，只有在他看见前面n-1个人都戴着白帽时才可能，因为这时所有的n-1顶白帽都已用光，在他自己的脑袋上只能顶着黑帽子，只要前面有一顶黑

帽子，那么他就无法排除自己头上是黑帽子的可能──即使他看见前面所有人差不多上黑帽，他依旧有可能戴着第n顶黑帽。

现在假设最后那个人的回答是不明白，那么轮到问倒数第二人。依照最后面那位的回答，他能推断出什么呢?假如他看见的差不多上白帽，那么他赶忙能够推断出自己戴的是黑帽──要是他也戴着白帽，那么最后那人应该看见一片白帽，问到他时他就该回答明白了。然而假如倒数第二人看见前面至少有一顶黑帽，他就无法作出判定──他有可能戴着白帽，然而他前面的那些黑帽使得最后那人无法回答明白他自然也有可能戴着黑帽。

如此的推理能够连续下去，然而我们差不多看出了苗头。最后那个人能够回答明白当且仅当他看见的全是白帽，因此他回答不明白当且仅当他至少看见了一顶黑帽。这确实是所有帽子颜色问题的关键!

假如最后一个人回答不明白，那么他至少看见了一顶黑帽，因此假如倒数第二人看见的差不多上白帽，那么最后那个人看见的至少一顶黑帽在

哪里呢?可不能在别处，只能在倒数第二人自己的头上。如此的推理连续下去，关于队列中的每一个人来说就成了：

在我后面的所有人都看见了至少一顶黑帽，否则的话他们就会按照相同的判定确信自己戴的是黑帽，因此假如我看见前面的人戴的全是白帽的话，我头上一定戴着我身后那个人看见的那顶黑帽。

我们明白最前面的那个人什么帽子都看不见，就不用说看见黑帽了，因此假如他身后的所有人都回答说不明白，那么按照上面的推理，他能够确定自己戴的是黑帽，因为他身后的人必定看见了一顶黑帽──只能是第一个人他自己头上的那顶。事实上专门明显，第一个说出自己头上是什么颜色帽子的那个人，确实是从队首数起的第一个戴黑帽子的人，也确实是那个从队尾数起第一个看见前面所有人都戴白帽子的人。

如此的推理也许让人觉得有点循环论证的味道，因为上面那段推理中包含了假如别人也使用相同的推理如此的意思，在逻辑上如此的自指式命题有点危险。然而事实上那个地点没有循环论证，这是类似数学归纳法的推理，每个人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而

关于最后一个人来说，他的身后没有人，因此他的推理不依靠于其他人的推理就能够成立，是归纳中的第一个推理。略微摸索一下，我们就能够把上面的论证改得适合于任何多种颜色的推论：

假如我们能够从假设确信某种颜色的帽子一定会在队列中显现，从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就赶忙能够依照和此论证相同的论证来作出判定，他戴的是这种颜色的帽子。现在所有我身后的人都回答不明白，因此我身后的人也看见了此种颜色的帽子。假如在我前面我见不到此颜色的帽子，那么一定是我戴着这种颜色的帽子。

因此第一个人的初始推理相当简单：队列中一定有人戴这种颜色的帽子，现在我看不见前面有人戴这颜色的帽子，那它只能是戴在我的头上了。

关于题1)情况就变得专门明显，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给10个人戴，队列中每种颜色至少都该有一顶，因此从队尾数起第一个看不见某种颜色的帽子的人就能够确信他自己戴着这种颜色的帽子，通过这点我们也能够看到，最多问到从队首数起的第三人时，就应该有人回答明

白了，因为从队首数起的第三人最多只能看见两顶帽子，因此最多看见两种颜色，假如他后面的人都回答不明白，那么他前面一定有两种颜色的帽子，而他头上戴的一定是他看不见的那种颜色的帽子。

题2)也一样，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给8个人戴，那么队列中一定至少有一顶白帽子，因为其它颜色加起来一共才7顶，因此队列中一定会有人回答明白。

题4)的规模大了一点，然而道理和2)完全一样。100种颜色的5050顶帽子给5000人戴，前面99种颜色的帽子数量是1++99=4950，因此队列中一定有第100种颜色的帽子(至少有50顶)，因此假如自己身后的人都回答不明白，那么那个看不见颜色100帽子的人就能够确信自己戴着这种颜色的帽子。

至于5)、6)有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不明白哪种颜色是几顶，有6个人以及有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1，原理完全相同，我就不具体分析了。

最后要指出的一点是，上面我们只是论证了，假如我们能够依照各种颜色帽子的数量和队列中的人数判定出在队列中至少有一顶某种颜色的帽子，那么一定有一人能够判定出自己头上的帽子的颜色。因为假如所有身后的人都回答不明白的话，那个从队尾数起第一个

单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。

看不见这种颜色的帽子的人就能够判定自己戴了此颜色的帽子。然而这并不是说在询问中一定是由他来回答明白的，因为还可能有其他的方法来判定自己头上帽子的颜色。比如说在题2)中，假如队列如下：(箭头表示队列中人脸朝的方向)

白白黑黑黑黑红红红白

一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副事实上的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。那么在队尾第一人就赶忙能够回答他头上的是白帽，因为他看见了所有的3顶红帽子和4顶黑帽子，能留给他自己戴的只能是白帽子了。