2024年3月15日发(作者：东明万福小升初数学试卷)

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数

学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习

这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，

发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因

式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，

对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

例如：

2222

(1 ) (a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；

222222

(2 ) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；

22333322

(3 ) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)；

22333322

(4 ) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a

2

+b

2

+c

2

+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)

2

；

(6)a

3

+b

3

+c

3

-3abc=(a+b+c)(a

2

+b

2

+c

2

-ab-bc-ca)；

例.已知

a，b，c

是

ABC

的三边，且

a

2

b

2

c

2

abbcca

，则

ABC

的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

解：

a

2

b

2

c

2

abbcca2a

2

2b

2

2c

2

2ab2bc2ca

(ab)

2

(bc)

2

(ca)

2

0abc

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：

amanbmbn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，

但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两

项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=

(aman)(bmbn)

=

a(mn)b(mn)

每组之间还有公因式！

=

(mn)(ab)

例2、分解因式：

2ax10ay5bybx

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

1

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=

(2ax10ay)(5bybx)

原式=

(2axbx)(10ay5by)

=

2a(x5y)b(x5y)

=

x(2ab)5y(2ab)

=

(x5y)(2ab)

=

(2ab)(x5y)

练习：分解因式1、

a

2

abacbc

2、

xyxy1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：

x

2

y

2

axay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完

后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=

(x

2

y

2

)(axay)

=

(xy)(xy)a(xy)

=

(xy)(xya)

例4、分解因式：

a

2

2abb

2

c

2

解：原式=

(a

2

2abb

2

)c

2

=

(ab)

2

c

2

=

(abc)(abc)

练习：分解因式3、

x

2

x9y

2

3y

4、

x

2

y

2

z

2

2yz

综合练习：（1）

x

3

x

2

yxy

2

y

3

（2）

ax

2

bx

2

bxaxab

（3）

x

2

6xy9y

2

16a

2

8a1

（4）

a

2

6ab12b9b

2

4a

（5）

a

4

2a

3

a

2

9

（6）

4a

2

x4a

2

yb

2

xb

2

y

2


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