七年级上册数学压轴题试题(Word版 含答案)

2024年1月23日发(作者：西师版三年级数学试卷)

七年级上册数学压轴题试题（Word版 含答案）

一、压轴题

1．[

问题提出 ]

一个边长为 ncm(n⩾3)的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1cm的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？只有一面涂上颜色的有多少块？有两面涂上颜色的有多少块？有三面涂上颜色的多少块？

[

问题探究 ]

我们先从特殊的情况入手

（1）当n=3时，如图（1）

没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有1×1×1=1个小正方体；

一面涂色的：在面上，每个面上有1个，共有6个；

两面涂色的：在棱上，每个棱上有1个，共有12个；

三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．

（2）当n=4时，如图（2）

没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2=8个小正方体：

一面涂色的：在面上，每个面上有4个，正方体共有

个面，因此一面涂色的共有

个；

两面涂色的：在棱上，每个棱上有2个，正方体共有

条棱，因此两面涂色的共有

个；

三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，正方体共有

个顶点，因此三面涂色的共有

个…

[

问题解决 ]

一个边长为ncm(n⩾3)的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有______个小正方体；一面涂色的：在面上，共有______个；

两面涂色的：在棱上，共有______个；

三面涂色的：在顶点处，共______个。

[

问题应用 ]

一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1cm的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积．

2．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0

（1）则m＝

，n＝

；

（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数

为n．则玩具火车的长为

个单位长度：

②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？

（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．

3．如图9，点O是数轴的原点，点A表示的数是a、点B表示的数是b，且数a、b满足a6b120．

2

（1）求线段AB的长；

（2）点A以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点B以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动．设点A、B同时出发，运动时间为t秒，若点A、B能够重合，求出这时的运动时间；

（3）在（2）的条件下，当点A和点B都向同一个方向运动时

，直接写出经过多少秒后，点A、B两点间的距离为20个单位．

4．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为________；

（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．

5．已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．

（1）求k的值；

（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．

（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？

6．如图，在三角形ABC中，AB8，BC16，AC12．点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿ABCA的方向运动，点Q从点B沿BCA的方向与点P同时出发；当点P第一次回到A点时，点P，Q同时停止运动；用t（秒）表示运动时间．

（1）当t为多少时，P是AB的中点；

2个单位长度/秒，是否存在t的值，使得BP2BQ；

3（3）若点Q的运动速度是a个单位长度/秒，当点P，Q是AC边上的三等分点时，求a（2）若点Q的运动速度是的值．

7．数轴上有两点A，B，

点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运动.

（1）如图，若点N为线段OB上一点，AB=16，ON=2，当点C，D分别运动到AO，BN的中点时，求CD的长；

（2）若点C在线段OA上运动，点D在线段OB上运动，速度分别为每秒1cm, 4cm，在点C，D运动的过程中，满足OD=4AC，若点M为直线AB上一点，且AM-BM=OM，求的值.

ABOM

8．如图①，已知线段AB30cm，CD4cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点.

（1）若AC8cm，则EF______cm；

（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；

（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知COD在AOB内部转动，OE、OF分别平分AOC和BOD，则EOF、AOB和COD有何数量关系，请直接写出结果不需证明.

9．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA20cm，AB60cm，

BC10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动.

（1）若点Q运动速度为2cm/s，经过多长时间P、Q两点相遇？

（2）当PA2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度;

（3）设运动时间为xs，当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，则OCAP2EF____________cm.

10．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．

（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC．

①求t的值；

②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；

（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）．

11．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动.如图1，数轴上的点M，N所表示的数分别为0，12.将一枚棋子放置在点M处，让这枚棋子沿数轴在线段MN上往复运动（即棋子从点M出发沿数轴向右运动，当运动到点N处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M处，随即沿数轴向右运动，如此反复⋯）.并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1步，从点M开始运动t个单位长度至点Q1处；第2步，从点Q1继续运动2t单位长度至点Q2处；第3步，从点Q2继续运动3t个单位长度至点Q3处…例如：当t3时，点Q1、Q2、Q3的位置如图2所示.

解决如下问题：

（1）如果t4，那么线段Q1Q3______；

（2）如果t4，且点Q3表示的数为3，那么t______；

（3）如果t2，且线段Q2Q42，那么请你求出t的值.

12．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）

（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：

（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的值．

AB

（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有CD1AB，此时C点停止运动，2D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②求值．

MN的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并AB

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．[

问题探究 ] (2)6,24;12,24；8,8；[

问题解决]（n-2）3，（n-2）2,12（n-2），8；

[

问题解决 ] 1000cm3.

【解析】

【分析】

[

问题探究 ]

（2）根据（1）即可填写；

[

问题解决 ]

可根据（1）、（2）的规律填写；

[

问题应用 ]

根据[

问题解决 ]知两面涂色的为12（n-2）=96，

，由此得到方程12（n-2）解得n的值即可得到边长及面积.

【详解】

[

问题探究 ]

2×2=8个小正方体：

（2）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×一面涂色的：在面上，每个面上有4个，正方体共有 6个面，因此一面涂色的共有24个；

两面涂色的：在棱上，每个棱上有2个，正方体共有12

条棱，因此两面涂色的共有24个；

三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，正方体共有8

个顶点，因此三面涂色的共有8

个…

[

问题解决 ]

一个边长为ncm(n⩾3)的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方32 _____个小正方体；一面涂色的：在面上，共有______个；

两面体，有_（n2）（n2）____个；

三面涂色的：在顶点处，共_8____个。

涂色的：在棱上，共有__12（n2）[

问题应用 ]

=96，得n=10，

由题意得，12（n-2）∴这个大正方体的边长为10cm，

∴这个大正方体的体积为101010=1000（cm3）.

【点睛】

此题考查数字类规律探究，正确理解（1）是解题的关键，由（1）即可得到涂色的规律，由此解决其它问题.

2．（1）m＝12，n＝﹣3；（2）①5；②应64岁；（3）k＝6，15

【解析】

【分析】

（1）由非负性可求m，n的值；

（2）①由题意可得3AB＝m﹣n，即可求解；②由题意列出方程组，即可求解；

（3）用参数t分别表示出PQ，B\'A的长度，进而用参数t表示出3PQ﹣kB′A，即可求解．

【详解】

解：（1）∵|m﹣12|+（n+3）2＝0，

∴m﹣12＝0，n+3＝0，

∴m＝12，n＝﹣3；

故答案为：12，﹣3；

（2）①由题意得：3AB＝m﹣n，

∴AB＝mn＝5，

3∴玩具火车的长为：5个单位长度，

故答案为：5；

②能帮小明求出来，设小明今年x岁，奶奶今年y岁，

根据题意可得方程组为：yxx40 ，

yx116y

x12解得： ，

y64答：奶奶今年64岁；

（3）由题意可得PQ＝（12+3t）﹣（﹣3﹣t）＝15+4t，B\'A＝5+2t，

∵3PQ﹣kB′A＝3（15+4t）﹣k（5+2t）＝45﹣5k+（12﹣2k）t，且3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关，

∴12﹣2k＝0，

∴k＝6

∴3PQ﹣kB′A＝45﹣30＝15

【点睛】

本题主要考查数轴上的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想.

3．（1）18；（2）6或18秒；（3）2或38秒

【解析】

【分析】

（1）根据偶次方以及绝对值的非负性求出a、b的值，可得点A表示的数，点B表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段AB的长；

（2）分两种情况：①相向而行；②同时向右而行．根据行程问题的相等关系分别列出方程即可求解；

（3）分两种情况：①两点均向左；②两点均向右；根据点A、B两点间的距离为20个单位分别列出方程即可求解．

【详解】

解：（1）∵|a﹣6|+（b+12）2＝0，

∴a﹣6＝0，b+12＝0，

∴a＝6，b＝﹣12，

∴AB＝6﹣（﹣12）＝18；

（2）设点A、B同时出发，运动时间为t秒，点A、B能够重合时，可分两种情况：

①若相向而行，则2t+t＝18，解得t＝6；

②若同时向右而行，则2t﹣t＝18，解得t＝18．

综上所述，经过6或18秒后，点A、B重合；

（3）在（2）的条件下，即点A以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点B以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动，设点A、B同时出发，运动时间为t秒，点A、B两点间的距离为20个单位，可分四种情况：

①若两点均向左，则（6-t）-（-12-2t）=20，解得：t=2；

②若两点均向右，则（-12+2t）-（6+t）=20，解得：t=38；

综上，经过2或38秒时，A、B相距20个单位．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离公式、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离公式结合点之间的关系列出一元一次方程是解题的关键．注意分类

讨论思想的应用．

4．（1）6；6；（2）不发生改变，MN为定值6，过程见解析

【解析】

【分析】

（1）由点P表示的有理数可得出AP、BP的长度，根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度，再由MN=MP+NP（或MN=MP-NP），即可求出MN的长度；

（2）分-6＜a＜3及a＞3两种情况考虑，由点P表示的有理数可得出AP、BP的长度（用含字母a的代数式表示），根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度（用含字母a的代数式表示），再由MN=MP+NP（或MN=MP-NP），即可求出MN=6为固定值．

【详解】

解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

22AP=4，NP=BP=2，

33∴MN=MP+NP=6；

∴MP=若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

22AP=8，NP=BP=2，

33∴MN=MP-NP=6．

故答案为：6；6．

∴MP=（2）MN的长不会发生改变，理由如下：

设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．

当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

2222AP=（a+6），NP=BP=（3-a），

3333∴MN=MP+NP=6；

当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3．

∴MP=∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

2222AP=（a+6），NP=BP=（a-3），

3333∴MN=MP-NP=6．

∴MP=综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6．

【点睛】

本题考查了两点间的距离，解题的关键是：（1）根据三点分点的定义找出MP、NP的长度；（2）分-6＜a＜3及a＞3两种情况找出MP、NP的长度（用含字母a的代数式表示）．

5．（1）2；（2）1cm；（3）【解析】

【分析】

（1）将x＝﹣3代入原方程即可求解；

（2）根据题意作出示意图，点C为线段AB上靠近A点的三等分点，根据线段的和与差关系即可求解；

（3）求出D和B表示的数，然后设经过x秒后有PD＝2QD，用x表示P和Q表示的数，然后分两种情况①当点D在PQ之间时，②当点Q在PD之间时讨论即可求解．

【详解】

（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，

解得：k＝2；

故k＝2；

（2）当C在线段AB上时，如图，

911秒或秒

106

当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，

∴AC＝2cm，BC＝4cm，

∵D为AC的中点，

∴CD＝1AC＝1cm．

2即线段CD的长为1cm；

（3）在（2）的条件下，∵点A所表示的数为﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，

∴D点表示的数为﹣1，B点表示的数为4．

设经过x秒时，有PD＝2QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x，4﹣4x．

分两种情况：

①当点D在PQ之间时，

∵PD＝2QD，

∴122x244x1，解得x＝②当点Q在PD之间时，

∵PD＝2QD，

∴122x2144x，解得x＝答：当时间为9

1011．

6911或秒时，有PD＝2QD．

106

【点睛】

本题考查了方程的解，线段的和与差，数轴上的动点问题，一元一次方程与几何问题，分情况讨论是本题的关键．

6．（1）2；（2）存在，t=【解析】

【分析】

（1）根据AB的长度和点P的运动速度可以求得；

（2）根据题意可得：当BP2BQ时，点P在AB上，点Q在BC上，据此列出方程求解即可；

（3）分两种情况：P为接近点A的三等分点，P为接近点C的三等分点，分别根据点的位置列出方程解得即可.

【详解】

解：（1）∵AB8，点P的运动速度为2个单位长度/秒，

∴当P为AB中点时，

12512；（3）或

54742=2（秒）；

（2）由题意可得：当BP2BQ时，

P，Q分别在AB，BC上，

∵点Q的运动速度为2个单位长度/秒，

3∴点Q只能在BC上运动，

∴BP=8-2t，BQ=则8-2t=2×解得t=2t，

32t，

312，

5当点P运动到BC和AC上时，不存在BP2BQ；

（3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图，

AB+BC+CP=8+16+8=32，

2=16，

此时t=32÷∵BC+CQ=16+4=20，

16=∴a=20÷5，

4当点P为靠近点C的三等分点时，如图，

AB+BC+CP=8+16+4=28，

此时t=28÷2=14，

∵BC+CQ=16+8=24，

14=∴a=24÷12.

7

综上：a的值为【点睛】

512或.

47本题考查了一元一次方程的应用—几何问题，在点的运动过程中根据线段关系列出方程进行求解，需要一定的想象能力和计算能力，难度中等.

7．（1）9；（2）【解析】

【分析】

（1）根据C，D分别为AO，BN的中点，可得ND=CD=CO+ON+DN，将ND，CO代入可得出结果；

（2）根据OD=4AC，BD=4CO,可得出OA:OB=1：4. 由点M为直线AB上一点，且AM-BM=OM，分两种情况求解：①当点M在线段AB上，先由已知等量关系得出AO=BM，设AO=x，再用x表示出AB，OM即可得出结果；②当点M在B点右侧时，由. AM-BM=AB=OM可得出结果.

【详解】

解：（1）当点C，D分别运动到AO，BN的中点时，得

ND=5或1.

311BN，CO=AO，再根据2211BN，CO=AO，

221111AO+ON+BN=(AO+BN)+ON=(AB-ON)+ON，

2222∴CD=CO+ON+DN=又AB=16，ON=2，

∴CD=1×（16-2）+2=9.

2

（2）∵C,D两点运动的速度比为1:4，∴BD=4CO.

又OD=4AC，∴BD+OD=4（CO+AC）,

∴OB=4OA，即OA:OB=1：4.

若点M为直线AB上一点，且AM-BM=OM，

①点M在线段AB上时，如图，

∵AM-BM=OM，∴AO+OM-BM=OM，

∴AO=BM，

设AO=x，则BM=x，

由OA:OB=1：4，得BO=4x，AB=5x

∴OM=BO-BM=3x，

∴AB5x5=.

OM3x3

②当点M在B点右侧时，如图，

∵AM-BM=OM，

∴AB=OM，

AB=1.

OMAB5综上所述：的值为或1.

OM3【点睛】

∴本题考查了数轴上的动点问题以及线段中点、线段和差的运算问题，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系

8．（1）EF17cm；（2）EF的长度不变，EF17cm；（3）EOF【解析】

【分析】

1AOBCOD.

2（1）根据已知条件求出BD=18cm，再利用E、F分别是AC、BD的中点，

分别求出AE、BF的长度，即可得到EF；

（2）根据中点得到ECEF=11AC，DFDB，由EFECCDDF推导得出221ABCD，将AB、CD的值代入即可求出结果；

21AOC，

2（3）由OE、OF分别平分AOC和BOD得到COE

1DOFBOD，即可列得EOFCOECODDOF，通过推导得出2EOF【详解】

（1）∵AB30cm，CD4cm，AC8cm，

∴BDABACCD308418cm，

∵E、F分别是AC、BD的中点，

∴AE1AOBCOD.

211AC4cm，

BFBD9cm，

22∴EFABAEBF304917cm，

故EF17cm；

（2）EF的长度不变.

EF17cm

∵E、F分别是AC、BD的中点，

11AC，DFDB

22∴EFECCDDF

11ACCDBD

221(ACBD)CD

21ABCDCD

21ABCD17cm

2（3）∵OE、OF分别平分AOC和BOD，

11∴COEAOC，

DOFBOD，

22∴EOFCOECODDOF,

11AOCCODBOD,

221(AOCBOD)COD,

21(AOBCOD)COD,

2∴EC1AOBCOD,

2∴EOF1AOBCOD.

2

【点睛】

此题考查线段的和差、角的和差计算，解题中会看图形，根据图中线段或角的大小关系得到和差关系，由此即可正确解题.

9．（1）经过30s，P、Q两点相遇（2）答案不唯一，具体见解析（3）10

【解析】

【分析】

（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，根据OP+CQ=OA+AB+AC列出方程即可解决问题；

（2）分两种情形求解即可；

（3）用t表示AP、EF的长，代入化简即可解决问题；

【详解】

（1）设运动时间为t，则t2t90，t30；所以经过30s，P、Q两点相遇

（2）当点P在线段AB上时，如下图,

AP+PB=60,

∴AP=40,OP=50,

∴P用时50s,

∵Q是OB中点,

∴CQ=50,

点Q的运动速度为5cm/s；

6

当点P在线段AB的延长线上时，如下图,

AP=2PB,

∴AP=120,OP=140,

∴P用时140s,

∵Q是OB中点,

∴CQ=50,

点Q的运动速度为5cm/s；

14

（3）如下图,

由题可知,OC=90,

AP=x-20,

EF=OF-OE=OF-11OP=50-x,

22∴OCAP2EF90-（x-20）-2(50-【点睛】

1x)=10

2本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系，注意分类讨论是解题关键．

10．（1）①5；②OQ平分∠AOC，理由详见解析；（2）5秒或65秒时OC平分∠POQ；（3）t＝70秒．

3【解析】

【分析】

（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分线定义求出∠POC度数，根据角的和差关系求出∠COQ度数，再算出旋转角∠AOQ度数，最后除以旋转速度3即可求出t值；②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可；

（2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根据角平分线定义可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t；

（3）先证明∠AOQ与∠POB互余，从而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数；同时旋转后∠AOC＝30°+6t，则根据互补关系表示出∠BOC度数，同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来．先后两个关于∠BOC的式子相等，构造方程求解．

【详解】

（1）①∵∠AOC＝30°，

∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,

∵OP平分∠BOC，

∴∠COP＝1∠BOC＝75°,

2∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°,

∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°,

t＝15÷3＝5；

②是，理由如下：

∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，

∴OQ平分∠AOC；

（2）∵OC平分∠POQ，

∴∠COQ＝1∠POQ＝45°．

2设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，

由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45，

解得：t＝5，

当30+6t﹣3t＝225，也符合条件，

解得：t＝65，

∴5秒或65秒时，OC平分∠POQ；

（3）设经过t秒后OC平分∠POB，

∵OC平分∠POB，

∴∠BOC＝1∠BOP，

2∵∠AOQ+∠BOP＝90°，

∴∠BOP＝90°﹣3t，

又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，

∴180﹣30﹣6t＝1（90﹣3t），

2解得t＝70．

3【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，根据角度的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键.

11．(1)4；(2)【解析】

【分析】

(1)根据题目得出棋子一共运动了t+2t+3t=6t个单位长度，当t=4时，6t=24,为MN长度的整的偶数倍，即棋子回到起点M处，点Q3与M点重合，从而得出Q1Q3的长度.

(2)根据棋子的运动规律可得，到Q3点时，棋子运动运动的总的单位长度为6t,,因为t<4,由(1)知道，棋子运动的总长度为3或12+9=21，从而得出t

的值.

(3)若t2,则棋子运动的总长度10t20,可知棋子或从M点未运动到N点或从N点返回运动到Q2的左边或从N点返回运动到Q2的右边三种情况可使Q2Q42

【详解】

解：(1)∵t+2t+3t=6t,

∴当t=4时，6t=24,

∵24122,

∴点Q3与M点重合，

∴Q1Q34

(2)由已知条件得出：6t=3或6t=21,

解得：t17222或；(3)或或2

2271317或t

222

7(3)情况一：3t+4t=2,

解得：t

情况二：点Q4在点Q2右边时：3t+4t+2=2(12-3t)

解得：t22

13情况三：点Q4在点Q2左边时：3t+4t-2=2(12-3t)

解得：t=2.

综上所述：t的值为，2或【点睛】

本题是一道探索动点的运动规律的题目，考查了学生数形结合的能力，探索规律的能力，用一元一次方程解决问题的能力.最后要注意分多种情况讨论.

12．（1）点P在线段AB上的【解析】

【分析】

（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的222或.

71311MN处；（2）；（3）②的值不变.

33AB1处；

3（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；

（3）当点C停止运动时，有CD＝1AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB21AB．

12表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝【详解】

解：（1）由题意：BD=2PC

∵PD=2AC，

∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.

∴点P在线段AB上的（2）如图：

1处；

3

∵AQ-BQ=PQ，

∴AQ=PQ+BQ，

∵AQ=AP+PQ，

∴AP=BQ，

∴PQ=1AB，

3

∴PQ1

AB3MN的值不变.

AB（3）②理由：如图，

当点C停止运动时，有CD=∴CM=1AB，

21AB，

41AB-5，

4∴PM=CM-CP=∵PD=2AB-10，

312231AB-5，

3∴PN=（AB-10）=∴MN=PN-PM=1AB，

12当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，

1AB1.

所以MN12ABAB12【点睛】

本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．