2023年12月3日发(作者：长春六模数学试卷)

一、选择题

11．已知a2,b4,c6，且ab12c，则abc（

）

2A．48 B．24 C．24 D．48

x12x56至少有4个整数解，且使关于x，y的方程2．若整数a使关于x的不等式组2x2aax2y0组的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是( )．

xy6A．－3

A．3a6b0

C．a2

bB．－4 C．－10

B．a12b1

D．a2b

D．－14

3．已知3a6b，则下列结论错误的是（

）

xya14．若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和x2y8为（ ）

A．14

A．acbc

B．15

B．a2b1

C．16

C．1a1b

D．17

D．|a||b|

5．若ab，则下列不等式一定成立的是（ ）

6．已知点Am3,2m在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（

）

A． B．

C． D．xa7．若不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围是（

）

52x3x1A．a＞4 B．a＜4 C．a≤4 D．a≥4

10，则关于x的不等式axba72D．x

58．已知关于x的不等式(2ab)xa5b0的解集为x的解集为（

）

A．x3 B．x5

2C．x

59．对于任意实数m，n，我们把这两个中较小的数记作min{m，n}，如min{1，2}＝1．若关于x的不等式min{1－2x，－3}＞m无解，则m的取值范围是（

）．

A．m≤－3． B．m≤2． C． m≥－3． D．m≥2．

xax3a10．若不等式组无解，则不等式组的解集是（

）

x3bxbA．x3a B．x3b C．3ax3b D．无解

二、填空题

11．已知2x153x+1x，则代数式2xx3最大值与最小值的差是________．

3212．已知关于x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+6，则a＝_____．

13．定义运算aba22ab，下列给出了关于这种运算的几个结论：（1）2516；（2）321是无理数；（3）方程xy0不是二元一次方程；（4）不等式组(3)x1051的解集是x．其中正确的是________（填序号）．

342x5014．一年一度的“八中之星”校园民谣大赛是每年八中艺术节的重要活动之一，吸引了众多才华横溢的八中同学参赛.该比赛裁判小组由若干人组成，每名裁判员给选手的最高分不超过10分.今年大赛一名选手演唱后的得分情况是：全体裁判员所给分数的平均分是9.84分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分.那么，所有裁判员所给分数中的最低分最少可以是________分.

15．某学校举办“创文知识”竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小聪要想得分不低于140分，他至少要答对多少道题？如果设小聪答对a题，则他答错或不答的题数为20a题，根据题意列不等式：___________．

116．已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集为x，则不等式bx＋a＜0的解集是3______________．

xy217．若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则k的取值范围为__．

2xyk118．定义：把ba的值叫做不等式组axb的“长度”若关于x的一元一次不等式组xa0解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______．

x2a3019．用a表示不小于数a的最小整数．例如：4.25，5.35，00，33．在此规定下：数a都能满足aab，其中0b1．则方程3x22x的解是__________．

12x12x220．如果不等式组的解集是x≥1，则m的取值情况是______．

xm三、解答题

21．某水果店到水果批发市场采购苹果，师傅看中了甲、乙两家某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同，甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠，乙家的规定如下表：

数量范围（千克）

不超过50的部分

50以上但不超过150的部分

150以上的部分 价格（元）

零售价的95%

零售价的85%

零售价的75%

（1）如果师傅要批发240千克苹果选择哪家批发更优惠？

（2）设批发x千克苹果（x100），问师傅应怎样选择两家批发商所花费用更少？

22．某超市投入31500元购进A、B两种饮料共800箱，饮料的成本与销售价如下表：（单位：元/箱）

类别

A

B

成本价

42

36

销售价

64

52

（1）该超市购进A、B两种饮料各多少箱？

（2）全部售完800箱饮料共盈利多少元？

（3）若超市计划盈利16200元，且A类饮料售价不变，则B类饮料销售价至少应定为每箱多少元？

23．某地葡萄丰收，准备将已经采摘下来的11400公斤葡萄运送杭州，现有甲、乙、丙三种车型共选择，每辆车运载能力和运费如表表示（假设每辆车均满载）

车型

汽车运载量（公斤/辆）

汽车运费（元/辆）

甲

600

500

乙

800

600

丙

900

700

（1）若全部葡萄都用甲、乙两种车型来运，需运费8700元，则需甲、乙两种车型各几辆？

（2）为了节省运费，现打算用甲、乙、丙三种车型都参与运送，已知它们的总辆数为15辆，你能分别求出这三种车型的辆数吗？怎样安排运费最省？

3x2y4①24．（发现问题）已知，求4x5y的值．

2xy6②方法一：先解方程组，得出x，y的值，再代入，求出4x5y的值．

方法二：将①2②，求出4x5y的值．

（提出问题）怎样才能得到方法二呢？

（分析问题）

为了得到方法二，可以将①m②n，可得(3m2n)x(2mn)y4m6n．

m23m2n4令等式左边(3m2n)x(2mn)y4x5y，比较系数可得，求得．

2mn5n1（解决问题）

（1）请你选择一种方法，求4x5y的值； 3x2y4（2）对于方程组利用方法二的思路，求7x7y的值；

2xy6（迁移应用）

12xy2（3）已知，求x3y的范围．

43x2y725．中国传统节日“端午节”期间，某商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌的粽子进行了打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元．

（1）打折前，每盒甲、乙品牌粽子分别为多少元？

（2）在商场让利促销活动期间，某敬老院准备购买甲、乙两种品牌粽子共40盒，总费用不超过2300元，问敬老院最多可购买多少盒乙品牌粽子？

26．使方程（组）与不等式（组）同时成立的末知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．

例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，当x＝2时，2x﹣3＝2×2﹣3＝1，x+3＝2+3＝5＞0同时成立，则称x＝2是方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0的“理想解”．

（1）已知①x13x1，②2（x+3）＜4，③＜3，试判断方程2x+3＝1的解是否是222它们中某个不等式的“理想解”，写出过程；

xx0x3（2）若是方程x﹣2y＝4与不等式的“理想解”，求x0+2y0的取值范围．

yyy1027．阅读理解：

例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．

例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x﹣2|＝3的解为

；

（2）解不等式：|x﹣2|≤1． （3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．

（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．

28．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．

（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；

2x40①；

5x2＜33xx5232②．

x33x1＜425x150（2）若关于x的组合3xa是“有缘组合”，求a的取值范围；

＞a25ax32x3a2（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．

xa1xa229．对x、y定义了一种新运算T，规定Tx,y里等式右边是通常的四则运算，例如：T0,1已知T1,12，T4,21．

（1）求a，b的值；

（2）求T2,2．

axby（其中a，b均为非零常数），这2xya0b1，

201T2m,54m4m3（）若关于的不等式组恰好有4个整数解，求p的取值范围．

Tm,32mp30．材料1：我们把形如axbyc（a、b、c为常数）的方程叫二元一次方程．若a、b、c为整数，则称二元一次方程axbyc为整系数方程．若c是a，b的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程3x4y2,7x3y5,4x2y6都有整数解；反过来也成立．方程6x3y10和4x2y1都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数．

材料2：求方程5x6y100的正整数解．

解：由已知得：x设1006y1005yyy20y……①

555yk（k为整数），则y5k……②

5把②代入①得：x206k． x206k

，

所以方程组的解为y5k206k0根据题意得：．

5k0解不等式组得0＜k＜10．所以k的整数解是1，2，3．

3x2x14x85x6y100所以方程的正整数解是：，，．

y5y10y15根据以上材料回答下列问题：

（1）下列方程中：①

3x9y11，②

15x5y70，③

6x3y111，④

27x9y99，⑤

91x26169，⑥

22x121y324．没有整数解的方程是

（填方程前面的编号）；

（2）仿照上面的方法，求方程3x4y38的正整数解；

（3）若要把一根长30m的钢丝截成2m长和3m长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程）

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

由ab12c可得ac12b，而根据a2,b4,c6，可得ac8，12b8，由此确定a、b、c的取值，进而求解．

【详解】

解：∵ab12c，

∴ac12b，

又∵a2,b4,c6，

∴ac8，12b8，

∴ac8，12b8，

∴a=2，b=4，c=6，

∴11abc246=24．

22故选B．

【点睛】

本题综合考查了不等式性质和代数式求值；解题关键是根据a、b、c的取值范围求出a、b、c的值． 2．D

解析：D

【分析】

根据不等式组求出a的范围，然后再根据关于x，y的方程组ax2y0的解为正整数得xy6到a26或12，从而确定所有满足条件的整数a的值的和．

【详解】

x12x56，

解：2x2a不等式组整理得：x2，

xa2由不等式组至少有4个整数解，得到a21，

解得：a3，

12xax2y0a2解方程组，得，

6axy6ya2ax2y0又关于x，y的方程组的解为正整数，

xy6a26或12，

解得a4或a10，

所有满足条件的整数a的值的和是14．

故选：D．

【点睛】

本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出a的范围，本题属于中等题型．

3．C

解析：C

【分析】

先将不等式两边都除以3得a＞﹣2b，再两边都加上1知a+1＞﹣2b+1，结合﹣2b+1＞﹣2b﹣1利用不等式的同向传递性可得答案．

【详解】

解：∵3a＞﹣6b，

∴3a6b0

故A正确；

∵3a＞﹣6b，

∴a＞﹣2b，

∴a+1＞﹣2b+1，

故B正确； ∵3a＞﹣6b，

∴a＞﹣2b，

得不到a2

b故C不正确；

∵3a＞﹣6b，

∴a＞﹣2b，

∴a2b

故D正确；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项

4．B

解析：B

【分析】

xya1先将二元一次方程组的解用a表示出来，然后再根据题意列出不等式组求出

x2y8的取值范围，进而求出所有a的整数值，最后求和即可．

【详解】

xya1x2a6解：解关于x，y的二元一次方程组，得，

x2y8y7axya1∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数，

x2y82a60∴，

7a0∴3＜a＜7，

∴满足条件的所有整数a的和为4+5+6＝15．

故选：B．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组等知识点，根据题意求得a的取值范围是解答本题关键．

5．C

解析：C

【分析】

根据不等式的性质逐项判断即可；

【详解】

解：A．ab，当c0时，acbc，所以A选项不符合题意；

B．当a0，b1，a2b1，所以B选项不符合题意； C．ab，则ab，1a1b，所以C选项符合题意；

D．a0，b1，则|a||b|，所以D选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了不等式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．

6．B

解析：B

【分析】

根据点A所在的象限得到m的不等式组，然后解不等式组求得m的取值范围即可解答．

【详解】

解：已知点Am3,2m在第三象限，

m3＜0且2m＜0，

解得m＜3，m＞2，

所以2＜m＜3，

故选：B．

【点睛】

本题考查了点的坐标特征，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握相关知识是解题的关键．

7．C

解析：C

【分析】

分别解两个不等式，根据不等式组的解集即可求解．

【详解】

x＞a①，

52x＜3x1②解不等式①得，xa，

解不等式②得，x4，

∵不等式组的解集是x＞4，

∴a≤4．

故选：C．

【点睛】

本题考查不等式组的解集，掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”取解集是解题的关键．

8．C

解析：C

【分析】

先根据题意得：ba且2ab0，可得a0，即可求解．

【详解】

35解：∵(2ab)xa5b0，

∴(2ab)x5ba，

∵关于x的不等式(2ab)xa5b0的解集为x∴5ba10

，且2ab0

，

2ab73510，

7∴35b7a20a10b

，解得：ba

，

∵2ab0，

∴2a3a0

，

5∴a0

，

∵axba，

∴ax32aa

，即axa

，

552∴x

．

5故选：C．

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式的解集的定义，解不等式，不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解集的定义，解不等式的基本步骤是解题的关键．

9．C

解析：C

【分析】

根据新定义运算法则分情况讨论1－2x与－3的大小及min{1－2x，－3}的值，通过min{1－2x，－3}＞m求解m的范围．

【详解】

－2x，－3

解：令y=min1由题意可得：

－2x，－33，

当12x＞3即x＜2时，min1－2x，－31－2x，

当12x＜3即x＞2时，min1－2x，－3＞m，

即y＞m无解，

∵min1∴m－3，

故选：C．

【点睛】

本题考查了新定义下解一元一次不等式，明白新定义的运算法则是解题的关键．

10．C

解析：C

【分析】 x3axa根据不等式组无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组x3bxb的解集．

【详解】

xa解：∵不等式组无解，

xb∴a＞b，

∴-a＜-b，

∴3-a＜3-b，

x3a∴不等式组的解集是3ax3b．

x3b故选：C

【点睛】

本题考查了求不等式组的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解集．解题的关键是根据已知得到a＞b，进而得出3-a＜3-b．

二、填空题

11．【分析】

首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．

【详解】

解析：104

11【分析】

首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．

【详解】

解：2x153x+1x，

32去分母得：（，

22x1）66x（353x）去括号得：4x266x159x，

移项得：4x6x9x1526，

合并同类项得：11x19，

解不等式组得：x（1）当3x19；

1119时，2xx32xx32xx312x，

11当x=1949时有最小值，

1111当x=3时有最大值5；

（2）当x＜3时，2xx32xx32xx35，

∴当x＜3时2xx3的值恒等于5（最大值）；

4910449∴最大值与最小值的差是5=5=.

111111故答案为：【点睛】

104.

11此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质．

12．【分析】

求出不等式的解集，根据已知得出，求出，设，则，得出不等式组，求出即可．

【详解】

解：解不等式得：，

关于的不等式的最大整数解为，

，

解得：，

为整数，

设，则，

即，

解得：，

为整

解析：10

33，设m【分析】

求出不等式的解集，根据已知得出3a6a3a7，求出3.5aa1m2，得出不等式组3.531m233，求出m即可．

3a6，则【详解】

解：解不等式xa0得：xa，

关于x的不等式xa0的最大整数解为3a6，

3a6a3a7，

3，

解得：3.5a3a6为整数，

设m3a6，则a1m2，

3即3.51m233，

解得：4.5mm为整数，

3，

m4，

即a1(4)2310，

3故答案为：【点睛】

10．

3本题考查了一元一次不等式的整数解，解此题的关键是得出关于a的不等式组．

13．（1）（3）（4）

【分析】

根据题中所给定义运算，依次将新定义的运算化为一般运算，再进一步分析即可．

【详解】

解：（1），故（1）正确；

（2）是有理数，故（2）错误；

（3）方程得是二元二次方

解析：（1）（3）（4）

【分析】

根据题中所给定义运算，依次将新定义的运算化为一般运算，再进一步分析即可．

【详解】

解：（1）252222516，故（1）正确；

（2）32(1)32222(1)382是有理数，故（2）错误；

（3）方程xy0得x22xy0是二元二次方程，故（3）正确；

(3)22(3)x10(3)x10（4）不等式组等价于2，解得

2x50222x5051x，故（4）正确．

34故答案为：（1）（3）（4）．

【点睛】

本题考查新定义的实数运算，立方根，二元一次方程的定义，解一元一次不等式组．能理解题中新的定义，并根据题中的定义将给定运算化为一般运算是解决此题的关键．

14．36

【分析】

设裁判员有x名，根据全体裁判员所给分数的平均分是9.84分可得总分为9.84x，如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给

解析：36

【分析】

设裁判员有x名，根据全体裁判员所给分数的平均分是9.84分可得总分为9.84x，如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分，可求出最高分的代数式从而列出不等式，得到最高分就能求出最低分．

【详解】

设裁判员有x名，那么总分为9.84x；

去掉最高分后的总分为9.82（x-1），由此可知最高分为9.84x-9.82（x-1）=0.02x+9.82；

去掉最低分后的总分为9.9（x-1），由此可知最低分为9.84x-9.9（x-1）=9.9-0.06x．

因为最高分不超过10，所以0.02x+9.82≤10，即0.02x≤0.18，所以x≤9．

当x取7时，最低分有最小值,则最低分为9.9－0.06x=9.9-0.54=9.36．

故答案是：9.36.

【点睛】

考查理解题意的能力，关键是表示出最高分的代数式，列出不等式求出最高分，然后求出最低分，根据平均分求出人数．

15．【分析】

小聪答对题的得分为10a；小明答错或不答题的得分为：−5（20−a）．不等关系：不低于140分．由此即可解答.

【详解】

解：根据题意，得10a−5（20−a）≥140．

故答案是：10

解析：10a520a≥140

【分析】

小聪答对题的得分为10a；小明答错或不答题的得分为：−5（20−a）．不等关系：不低于140分．由此即可解答.

【详解】

解：根据题意，得10a−5（20−a）≥140．

故答案是：10a−5（20−a）≥140．

【点睛】

本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，此题要特别注意：答错或不答都扣5分．不低于即大于或等于．

16．【分析】

根据已知不等式的解集确定出a与b的关系，用b表示出a，代入所求不等式求出解集即可．

【详解】 解：∵关于x的不等式ax＋b＞0的解集为x＜，

∴−＝且a＜0，

整理得：a＝−3b，b＞0

解析：x3

【分析】

根据已知不等式的解集确定出a与b的关系，用b表示出a，代入所求不等式求出解集即可．

【详解】

1解：∵关于x的不等式ax＋b＞0的解集为x＜，

3b1∴−＝且a＜0，

a3整理得：a＝−3b，b＞0，

代入所求不等式得：bx−3b＜0，

解得：x＜3．

故答案为：x＜3．

【点睛】

此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．

17．【分析】

先求出方程组的解，根据题意得出关于k的不等式组，再求出不等式组的解集即可．

【详解】

解：解方程组

得：，

关于，的二元一次方程组的解为正数，

，

解得：，

故答案为：．

【点睛】

本题

解析：1k3

【分析】

先求出方程组的解，根据题意得出关于k的不等式组，再求出不等式组的解集即可．

【详解】

xy2解：解方程组

2xyk1xk1得：，

y3kxy2关于x，y的二元一次方程组的解为正数，

2xyk1k10，

3k0解得：1k3，

故答案为：1k3．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于k的不等式组是解此题的关键．

18．【分析】

解不等式组求得不等式的解集为−a≤x≤2a−3，根据题意得出2a−3−（−a）＝3，解得a＝2，即可得到不等式的解集为−2≤x≤1，进而即可求得不等式组的整数解之和为−2．

【详解】

解

解析：2

【分析】

解不等式组求得不等式的解集为−a≤x≤2a−3，根据题意得出2a−3−（−a）＝3，解得a＝2，即可得到不等式的解集为−2≤x≤1，进而即可求得不等式组的整数解之和为−2．

【详解】

xa0①解：，

x2a30②由①得x≥−a，

由②x≤2a−3，

∴不等式组的解集为−a≤x≤2a−3，

xa0∵关于x的一元一次不等式组

x2a30解集的“长度”为3，

∴2a−3−（−a）＝3，

∴a＝2，

∴不等式组的解集为−2≤x≤1，

∴不等式组的整数解为−2，−1，0，1，它们的和为−2．

故答案为−2．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次方程，求得a的值是解题的关键．

19．或 【分析】

根据题意得出，其中，即，将转化为，且为整数，解出不等式组，再求出的范围，取整数再解方程即可求得．

【详解】

解：∵，其中，

∴，其中，

∴，

∴可以转化为：

，且为整数，

解得，，

∴

解析：x【分析】

1根据题意得出aab，其中0b1，即aaa1，将3x22x转化为279或x

443x22x111(3x2)1，且2x为整数，解出不等式组，再求出2x的范围，取整222数再解方程即可求得．

【详解】

解：∵aab，其中0b1，

∴aab，其中0b1，

∴aaa1，

1∴3x22x可以转化为：

23x22x11(3x2)1，且2x为整数，

2235解得，x，

22∴3.52x∴整数2x解得，x15.5，

21为4或5，

279或x，

4479或x．

44故答案为：x【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的解法和不等式的性质，解题关键是读懂题意，正确转换题意得到一元一次不等式组．

20．m＝1

【分析】

先求出不等式①的解集，再与②组成不等式组根据同大取大，即可求得m的值．

【详解】

解：，

由①得x≥﹣1

而不等式组的解集是x≥1，

根据大大取大，m＝1．

故答案为m＝1．

【点

解析：m＝1

【分析】

先求出不等式①的解集，再与②组成不等式组根据同大取大，即可求得m的值．

【详解】

x12x2①解：，

xm②由①得x≥﹣1

而不等式组的解集是x≥1，

根据大大取大，m＝1．

故答案为m＝1．

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集得出关于m的算式是解此题的关键．

三、解答题

21．（1）在乙家批发更优惠；（2）当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．

【分析】

（1）分别求出在甲、乙两家批发240千克苹果所需费用，比较后即可得出结论；

（2）分两种情况：①若100150时，分别用含x的代数式表示出在甲、乙两家批发x千克苹果所需费用，

再比较大小，列出不等式，求出x的范围，即可得到结论．

【详解】

（1）在甲家批发所需费用为：240×8×85%=1632（元）， 在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(240−150)×8×75%=1600（元），

∵1632>1600，

∴在乙家批发更优惠；

（2）①若100

在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，

在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(x−50)×8×85%=6.8x+40，

∵6.8x＜6.8x+40，

∴师傅应选择甲家批发商所花费用更少；

②若x>150时，

在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，

在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(x−150)×8×75%=6x+160，

当6.8x=6x+160时，即x=200时，师傅选择两家批发商所花费用一样多，

当6.8x＞6x+160时，即x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少，

当6.8x＜6x+160时，即150＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少．

综上所得：当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．

【点睛】

本题主要考查代数式，一元一次方程，一元一次不等式的综合实际应用，理清数量关系，列出代数式，不等式或方程，是解题的关键．

22．（1）购进A型饮料450箱，购进B型饮料350箱；（2）全部售完800箱饮料共盈利15500元；（3）B类饮料销售价至少定为每箱54元

【分析】

（1）设购进A型饮料x箱，购进B型饮料y箱，根据题意列出方程组解答即可；

（2）根据利润的公式解答即可；

（3）设B类饮料销售价定为每箱a元，根据题意列出不等式解答即可．

【详解】

解：（1）设购进A型饮料x箱，购进B型饮料y箱，根据题意得

xy800

42x36y31500x450解得

y350答：购进A型饮料450箱，购进B型饮料350箱．

（2）（64﹣42）×450+（52﹣36）×350＝15500（元）

答：全部售完800箱饮料共盈利15500元；

（3）设B类饮料销售价定为每箱a元，根据题意得

（64﹣42）×450+（a﹣36）×350≥16200

解得a≥54

答：B类饮料销售价至少定为每箱54元．

【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）．

23．（1）甲3辆，乙12辆；（2）有三种方案，具体见解析，甲4辆，乙9辆，丙2辆最省钱．

【分析】

（1）设需要甲x辆，乙y辆，根据运送11400公斤和需运费8700元，可列出方程组求解．

（2）设需要甲x辆，乙y辆，则丙（15﹣x﹣y）辆，根据甲汽车运载量+乙汽车运载量+丙汽车运载量=11400，列方程，化简后，根据甲、乙、丙三种车型都参与运送，即x＞0，y＞0，15﹣x﹣y＞0，解不等式即可求出x的范围，进而得出方案．计算出每种方案需要的运费，比较即可得出运费最省的方案．

【详解】

（1）设需要甲x辆，乙y辆，根据题意得：

600x800y11400

500x600y8700x3解得：．

y12答：甲3辆，乙12辆；

（2）设需要甲x辆，乙y辆，则丙（15﹣x﹣y）辆，根据题意得：

600x+800y+900（15﹣x﹣y）=11400

化简得：y=21﹣3x．

∵x＞0，y=21﹣3x＞0，15﹣x﹣y=2x－6＞0，解得：3＜x＜7．

∵x为整数，∴x=4，5，6．

因此方案有三种：

方案①：甲4辆，乙9辆，丙2辆；

方案②：甲5辆，乙6辆，丙4辆；

方案③：甲6辆，乙3辆，丙6辆；

则运费分别为：

①4×500+9×600+2×700=8800（元）．

②5×500+6×600+4×700=8900（元）；

③6×500+3×600+6×700=9000（元）．

故第一种方案运费最省，为8800元．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，建立方程或方程组解决问题．

24．（1）2；（2）26；（3）38x3y6

【分析】

（1）利用方法二来求4x5y的值；由题意可知4x5y24162； m1（2）先根据方法二的基本步骤求出，即可得7x7y(3x2y)5(2xy)；

n5（3）通过方法二得出x3y11(2xy)7(3x2y)，再利用不等式的性质进行求解．

【详解】

解：（1）利用方法二来求4x5y的值；

由题意可知：2(3x2y)(2xy)6x4y2xy4x5y，

即4x5y24162；

3x2y4①（2）对于方程组，

2xy6②由①m②n可得：(3m2n)x(2mn)y7x7y，

3m2n7③则，

2mn7④由③+2④可得：7m7，

m1，

将m1代入④可得n5，

m1，

n5则7x7y(3x2y)5(2xy)145626；

12xy23（）已知，

43x2y7通过方法二计算得：

x3y11(2xy)7(3x2y)，

又11112xy22,4973x2y28，

38x3y6．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的求解、代数式的求值、不等式的性质，解题的关键是理解材料中的方法二中的基本操作步骤．

25．（1）打折前，甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元；（2）最多可购买15盒乙品牌粽子．

【分析】

（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需要520元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设敬老院可购买m盒乙品牌粽子．即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值整数值即可得出结论．

【详解】

解：（1）设打折前，每盒甲品牌粽子x元，每盒乙品牌粽子y元， 根据题意，得：6x3y660，

80%5x75%4y520x70解得，

y80答：打折前，甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．

（2）设敬老院可购买m盒乙品牌粽子．

打折后，甲品牌粽子每盒：7080%56（元)，

乙品牌粽子每盒：8075%60（元)，

根据题意，得：60m56(40m)2300，

解得m15．

m的最大整数解为m15．

答：最多可购买15盒乙品牌粽子．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

26．（1）2x+3＝1的解是不等式【分析】

（1）解方程2x+3＝1的解为x＝﹣1，分别代入三个不等式检验即可得到答案；

（2）由方程x﹣2y＝4得x0＝2y0+4，代入不等式解得﹣2＜y0＜1，再结合x0＝2y0+4，通过计算即可得到答案．

【详解】

（1）∵2x+3＝1

∴x＝﹣1，

1x1＜3的理想解，过程见解析；（2）2＜x0+2y0＜8

23311∵x﹣2＝﹣1﹣2＝﹣＜

22∴方程2x+3＝1的解不是不等式x∵2（x+3）＝2（﹣1+3）＝4，

∴2x+3＝1的解不是不等式2（x+3）＜4的理想解；

∵x111＝＝﹣1＜3，

2213的理想解；

22∴2x+3＝1的解是不等式x1＜3的理想解；

22y043x3（2）由方程x﹣2y＝4得x0＝2y0+4，代入不等式组，得；

y1y10∴﹣2＜y0＜1，

∴﹣2＜4y0＜4，

1∵x02y02y042y04y04

∴2＜x0+2y0＜8．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式、一元一次方程、代数式、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式、代数式的性质，从而完成求解．

27．（1）x=-1或x=5；（2）1≤x≤3；（3）x＞5或x＜-3；（4）a≥6

【分析】

（1）利用在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数求解即可；

（2）先求出|x-2|=3的解，再求|x-2|≤3的解集即可；

（3）先在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集；

（4）原问题转化为：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值，进行分类讨论，即可解答．

【详解】

解：（1）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为-1或5，

∴方程|x-2|=3的解为x=-1或x=5；

（2）在数轴上找出|x-2|=1的解．

∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，

∴方程|x-2|=1的解为x=1或x=3，

∴不等式|x-2|≤1的解集为1≤x≤3．

（3）在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解．

由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值．

∵在数轴上4和-2对应的点的距离为6，

∴满足方程的x对应的点在4的右边或-2的左边．

若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3，

∴方程|x-4|+|x+2|=8的解是x=5或x=-3，

∴不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集为x＞5或x＜-3．

（4）原问题转化为：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值．

当x≥4时，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2，

当-2＜x＜4，|x+2|+|x-4|=x+2-x+4=6，

当x≤-2时，|x+2|+|x-4|=-x-2-x+4=-2x+2，

即|x+2|+|x-4|的最大值为6．

故a≥6．

【点睛】

本题主要考查了绝对值，方程及不等式的知识，是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．

28．（1）①组合是“无缘组合”，②组合是“有缘组合”；（2）a＜-3；（3）a<【分析】

8

13（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可；

（2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围；

（3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围．

【详解】

解：（1）①∵2x-4＝0，

∴x=2，

∵5x-2＜3，

∴x＜1，

∵2不在x＜1范围内，

∴①组合是“无缘组合”；

②x53x2，

32去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x），

去括号，得：2x-10＝12-9+3x，

移项，合并同类项，得：x＝-13．

解不等式x33x1，

24去分母，得：2（x+3）-4＜3-x，

去括号，得：2x+6-4＜3-x，

移项，合并同类项，得：3x＜1，

1化系数为1，得：x＜．

31∵-13在x＜范围内，

3∴②组合是“有缘组合”；

（2）解方程5x+15＝0得，

x＝-3，

解不等式x＞a，

5x150∵关于x的组合3xa是“有缘组合”，

a23xaa，得：

2∴-3在x＞a范围内，

∴a＜-3；

（3）解方程5ax32x3a，

2去分母，得5a-x-6＝4x-6a，

移项，合并同类项，得：5x＝11a-6，

化系数为1得：x＝11a6，

5解不等式xa+1≤x+a，

2去分母，得：x-a+2≤2x+2a，

移项，合并同类项，得：x≥-3a+2，

5ax32x3a2∵关于x的组合是“无缘组合，

xa1xa2∴11a6<-3a+2，

5解得：a<8．

13【点睛】

本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解．

29．（1）a1，b3；（2）2；（3）【分析】

（1）根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；

（2）利用题中的新定义将x2，y2代入计算即可；

（3）利用题中的新定义化简已知不等式组，表示出解集，由不等式组恰好有4个整数解，确定出p的范围，再解不等式组即可．

【详解】

解：（1）根据题意得：

ab2①，

4a2b1②24211p2．

3a1解得：；

b3（2）由（1）得：Tx,y∴T2,2x3y

2xy2322；

2(2)22m354m4①4m54m（3）根据题意得：，

m332mp②2m32m由①得：m；由②得：m不等式组的解集为1293p，

5193pm，

25不等式组恰好有4个整数解，即m0，1，2，3，

393p4，

5解得：11p2．

3【点睛】

此题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则、理解新定义的意义是解本题的关键．

x2x6x1030．（1）①⑥；（2），，；（3）有四种不同的截法不浪费材料，y2y8y5分别为2m长的钢丝12根，3m长的钢丝2根；或2m长的钢丝9根，3m长的钢丝4根；或2m长的钢丝6根，3m长的钢丝6根；或2m长的钢丝3根，3m长的钢丝8根

【分析】

（1）依据题中给出的判断方法进行判断，先找出最大公约数，然后再看能否整除c，从而来判断是否有整数解；

（2）依据材料2的解题过程，即可求得结果；

（3）根据题意，设2m长的钢丝为x根，3m长的钢丝为y根（x,y为正整数）．则可得关于x，y的二元一次方程，利用材料2的求解方法，求得此方程的整数解，即可得出结论．

【详解】

解：（1）①

3x9y11，因为3，9的最大公约数是3，而11不是3的整倍数，所以此方程没有整数解；

②

15x5y70，因为15，5的最大公约数是5，而70是5的整倍数，所以此方程有整数解；

③

6x3y111，因为6，3的最大公约数是3，而111是3的整倍数，所以此方程有整数解；

④

27x9y99，因为27，9的最大公约数是9，而99是9的整倍数，所以此方程有整数解；

⑤

91x26169，因为91，26的最大公约数是13，而169是13的整倍数，所以此方程有整数解；

⑥

22x121y324，因为22，121的最大公约数是11，而324不是11的整倍数，所以此方程没有整数解；

故答案为：① ⑥．

（2）由已知得：x设384y3623yy2-y12y+． ①

3332yk(k为整数)，则y23k． ②

3把②代入①得：x104k．

x10+4k所以方程组的解为．

y23k10+4k0根据题意得：，

2－3k0解不等式组得：－2＜k＜52．

3所以k的整数解是-2，-1，0．

x2x6x10故原方程所有的正整数解为：，，．

y8y5y2（3）设2m长的钢丝为x根，3m长的钢丝为y根（x,y为正整数）．

根据题意得：2x3y30．

所以x设303y302yyy15y．

222yk(k为整数)，则y2k．

2x15－3k∴．

y2k153k0根据题意得：，解不等式组得：0k5．

2k0所以k的整数解是1，2，3，4．

x12x9x6x32x3y30

，故所有的正整数解为：，，．

y4y6y8y2答：有四种不同的截法不浪费材料，分别为2m长的钢丝12根，3m长的钢丝2根；或2m长的钢丝9根，3m长的钢丝4根；或2m长的钢丝6根，3m长的钢丝6根；或2m长的钢丝3根，3m长的钢丝8根．

【点睛】

此题主要考查了求二元一次方程的整数解，理解题意，并掌握利用一元一次不等式组求二元一次方程的整数解的方法及是解题的关键．


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