2024年4月5日发(作者：海中四校联考数学试卷分析)
年寒窗苦读日，只盼金榜题名时，祝你考试拿高分，鲤鱼跳龙门！加油！
2020河南考研数学二真题及答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
（1）
当
x 0
时，下列无穷小量中最高阶是（
）
（A）
x
0
0
e
t
1dt
2
（B）
ln 1 t
0
x
2
dt
（C）
sin x
sin t dt
2
（D）
0
1cos x
sin t
2
dt
【答案】（D）
【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。
（A）
e
x
t
2
0
x
2
0
2
2
1dt
e
x
1 x
2
（B）
ln
1t
dt
ln
1
x
x
2
2 2
（C） （
sin x
sin t dt
sin
sinx
x
C
）
0
（D）
1cos x
0
1
3
sin x x
sin t
dt
sin(1 cos x)
2
2
2
经比较，选（D）
（A）1
（2）
函数
f (x)
e
1
x1
ln 1 x
(e1)(x 2)
x
的第二类间断点的个数为 （ ）
（B）2 （C）3 （D）4
【答案】（C）
【解析】由题设，函数的可能间断点有
x 1, 0,1, 2
，由此
lim f (x) lim
eln 1 x
lim ln 1 x
；
x 1
x1 x1
(e1)(x 2) 3(e1)
x1
1
x1
e
2
1
e
1
lim
ln(1 x)
1
；
lim f (x) lim
eln 1 x
x0
(e
x
1)(x
x0
2) 2
x0
x 2e
1
x1
年寒窗苦读日，只盼金榜题名时，祝你考试拿高分，鲤鱼跳龙门！加油！
1
eln 1 x
x
ln 2
lim f (x) lim
lim e
1
0;
x
x1
(e1)(x 2) 1 e
x1
x1
1
x1
；
1
lim
eln 1 x
ln 2
lim e
x1
;
x
x1
(e1)(x 2) 1 e
x1
1
x1
lim
lim f (x) lim
x
2
1)
x2
x 2
x2
1)(x 2) (e
x2
(e
故函数的第二类间断点（无穷间断点）有 3 个，故选项（C）正确。
e
x1
ln 1 x
1
e ln 3 1
x
arcsin
dx
（
（3）
（3）
0
x
1 x
1
2
（A）
2
（B）
）
（C）
4
4
8
（D）
8
【答案】（A）
【解析】令
x
sin t
，则
x sin
2
t
，
dx 2 sin t cos tdt
x
t
1
arcsin
dx
2
2 sin t cos tdt
2
2tdt t
2
2
0
x
1 x
0
sin t cos t
0
4
0
2
（4）
f
x
x
2
ln
1 x
, n 3
时，
f
n
0
n
（D）
n!
（A）
n 2
【答案】(A)
n!
（B）
n 2
（C）
n 2
!
n 2
!
n
【解析】由泰勒展开式，
ln(1 x)
n
，则
x
ln(1 x)
n
n1
n1
x
n
2
n2
x
，
n 2
n3
x
n
n!
.
故
f
(0)
n 2
(n)
xy, xy 0
（5）关于函数
f
x, y
x,
y 0
给出以下结论
y,
x 0
①
f
f
lim
1
②
0,0
1
③
x, y
0,0
f ( x, y) 0
0,0
x xy
④
lim lim f ( x, y) 0
y0 x0
年寒窗苦读日，只盼金榜题名时，祝你考试拿高分，鲤鱼跳龙门！加油！
正确的个数是
（A）4
（B）3 （C）2 （D）1
【答案】（B）
f
x, 0
f
0, 0
x 0
【解析】
lim
1
，①正确
0,0
lim
x0
x 0
x
x0
x
f
f
f
1
0, y
0, y 0, 0
x
x
x
f
lim lim ,
y0
xy
0,0
y0
y 0
y
f
f
x, y
f
0, y
xy y x 1
而
lim lim lim y
不存在，所以②错误；
x0 x0
x
x 0
x
0, y
x0
x
f
xy 0 x y , x 0 x , y 0 y ,
从而
x, y
0, 0
时，
lim
f ( x, y) 0
，
x, y
0,0
③正确。
0, xy 0或y 0
lim f
x, y
,
从而
limlim f ( x, y) 0
，④正确
x0
y0 x0
x 0
y ,
（6）设函数
f (x)
在区间
[2, 2]
上可导，且
f \'(x) f (x) 0
.则
f (2)
1
(A)
f (1)
【答案】(B)
f (0)
e
(B)
f (1)
f (1)
2
(C)
e
f (1)
(D)
f (2)
e
3
f (1)
x x
f \'(x)e f (x)e
f \'(x) f (x)
f (x)
【解析】构造辅助函数
F (x)
，由
F \'(x)
，由题
x 2 x x
eee
f (0)
f (1)
f (x)
意可知，
F \'(x) 0
，从而
F (x)
x
单调递增.故
F (0) F (1)
，也即
0
，
ee
e
1
f (0)
e
.故选(B).
又有
f (x) 0
，从而
f (1)
（7）
设 4 阶矩阵
A
*
a
不可逆，
a
ij
*
12
的代数余子式
12
A 0
,
1
,
2
,
3
,
4
为矩阵
A
的列向
） 量组，
A
为
A
的伴随矩阵，则
Ax 0
的通解为（
（A）
x k
1
1
k
2
2
k
3
3
，其中
k
1
, k
2
, k
3
为任意常数
（B）
x k
1
1
k
2
2
k
3
4
，其中
k
1
, k
2
, k
3
为任意常数
年寒窗苦读日，只盼金榜题名时，祝你考试拿高分，鲤鱼跳龙门！加油！
（C）
x k
1
1
k
2
3
k
3
4
，其中
k
1
, k
2
, k
3
为任意常数
（D）
x k
1
2
k
2
3
k
3
4
，其中
k
1
, k
2
, k
3
为任意常数
【答案】（C）
1
，故
Ax 0
的基础解系中有
4 1 3
个无关解向量。
* *
*
12 1 3 4
*
【解析】
由于A
不可逆，
故
r
A
4
，
A 0
.由
A
12
0 r A
*
1，r
A
4 1 3
，
则
r
A
3
，
r A
此外，
AA A E 0
，则
A
的列向量为
Ax 0
的解。则由
A 0
，可知
,
,
线性
*
无关（向量组无关，则其延伸组无关），故
A
x 0
的通解为
x k
k
k
，即选
1 1 2 3 3 4
项（C）正确。
（8）
设
A
为 3 阶矩阵，
1
,
2
为
A
的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，
3
为
A
的属
1 0 0
于特征值
1
的特征向量，则
PAP 0 1 0
的可逆矩阵
P
为（ ）
0 0 1
1
（A）
1
3
,
2
,
3
（C）
1
3
,
3
,
2
（B）
1
2
,
2
,
3
（D）
1
2
,
3
,
2
【答案】（D）
1
1 0 0
PAP 0 1 0
，则
,
应为 A 的属于特征值 1
【解析】设
P (
,
,
)
，若
1 3
1 2 3
0 0 1
的线性无关的特征向量，
2
应为A 的属于特征值
1
的线性无关的特征向量。
这里根据题设，
1
,
2
为
A
的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量，则
1
2
也为
A
的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量。又因
3
为
A
的属于
1
的特征向量，则
3
也
为
A
的属于特征值
1
的特征向量。且
1 0 0
1 0 0
(
,
,
) (
,
,
) 1 0 1
,
由于
1 0 1
可
逆，
1 2 3 2 1 2 3
0 1 0
0 1 0
故r(
1
2
,
3
,
2
) r(
1
,
2
,
3
) 3,即
1
2
,
3
,
2
线
性无关
年寒窗苦读日，只盼金榜题名时，祝你考试拿高分，鲤鱼跳龙门！加油！
1 0 0
PAP 0 1 0
.
综上，若
P (
,
,
) (
,
,
)
，则
1 2 3 1 2 3 2
0 0 1
1
因此选项（D）正确。
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
（9）
x
2
d
2
y
t1
，则
设
2
2
d x t 1
y ln t
t 1
【答案】
2
t
dy
1
dy
2
t
2
1
1
t1
dt
【解析】
2
dx
dx
t t
t t1
dt
1
d
d y dy 1
2
t
dt
2
t1
t1
d
2
x dx dt dx t
2
t t
3
2
(10)
d
2
y
2
2
d x
t 1
1dx
0
1
dy
1
y
x
3
【答案】
2
2
1
9
2
x
2
【解析】交换积分次序，原式
x1dy
xx
3
1dx
0
dx
0
1
2 1
1
3
1 2
3
2
3
3
x1d
x1
x1
2
2
1
3
0
3 3 0 9
3
1
1
2
0
(11)
设
z arctan
xy sin
x y
，则
dz
0,
【答案】
1
dx dy
x cos
x y
z
【解析】
2
,
2
x
1
y
xy sin x y 1 xy sin x y
z
y cos
x y
年寒窗苦读日，只盼金榜题名时，祝你考试拿高分，鲤鱼跳龙门！加油！
z
将
0,
带入得
1, 1
x y
因此
dz
0,
1
dx dy
(12)
斜边长为
2a
的等腰直角三角形平板，铅直的沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力
z
加速度为
g
，水的密度为
，则该平板一侧所受的水压力为
【答案】
.
1
3
ga
3
【解析】以水面向右为
x
轴，以垂直于三角板斜边向上为
y
轴建立直角坐标系，则此时，三
角板右斜边所在的直线方程为
y x a
，取微元
dy
，则此时
dF y2x
gdy 2
gy( y a)dy
，
2
3
1
2 0
2
gy( y a)dy
g( y ay)
ga
3
.
则一侧的压力
F
a
a
3 3
0
（13）设
y y
x
满足
y
\'\'
2 y
\'
y 0
，且
y
0
0, y
\'
0
1
，则
【答案】1
0
y
x
dx
【解析】由方程可得特征方程为
2
2
1 0,
则特征方程的根为
1,
1,
1 2
则微分方程的通解为
y c e
x
c xe
x
， 由
y
0
0, y
\'
0
1
可得
c 0, c
1
， 则
1 2 1 2
y
x
xe
x
，则
0
y
x
dx
1
1
a
0
0
xe
x
dx 1
a
0
（14）行列式
1
1
【答案】
a
4a
4 2
0
a
1
1
1
1
0
a
【解析】
a 1 0 0 a 0
a 1
a a 1 1 a
1 1 a 0
1 0 a 1 1 a
1 1 0 a
0a
1 a
2
a 2a a
2a a
3
2a
2
1 1
a 2a
a
0
0 1 1
a 1 1
年寒窗苦读日，只盼金榜题名时，祝你考试拿高分，鲤鱼跳龙门！加油！
a
4
4a
2
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解析,无关,函数,选项,平板,答题,联考,矩阵
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