2023年12月4日发(作者：学生数学试卷检查)
月考试卷
题号
得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.
若分式的值为0，则x的值为（ ）
1
B.
±A.
1
C.
-1
D.
任意实数
2.
下列图形中，既是轴对称图形是中心对称图形的是（ ）
A.
3.
若点
B.
C.
D.
在第二象限,则m的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
4.
下列说法正确的是（ ）
A.
对角线相等的四边形是矩形
B.
对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C.
顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是矩形
D.
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5.
一份工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是（ ）
A.
a+b
6.
不等式组B.
C.
D.
的整数解之和为（ ）
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0
7.
如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A（-1，-2）、D（1，1）、C（5，2），则顶点B的坐标为（ ）
A.
（-1，3）
B.
（4，-1）
C.
（3，-1）
D.
（-1，4）
8.
若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是( )
A.
m＜
C.
m＞-
B.
m＜且m≠
D.
m＞-且m≠-
第1页，共15页 9.
如图，菱形ABCD中，∠A=60°，边AB=8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE=EB时，线段PE的长为（ ）
A.
4
B.
8
C.
4
D.
4
10.
如图，一次函数y=2x-4的图象为直线l1，与一次函数y=-2x+2的图象直线l2交于点A，将这两条直线沿直线y=m（m＞0）向上翻折，点A的对称点为点C，直线y=m与l1、12分别交于点B、D，当四边形ABCD的面积等于4时，m的值为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.
一个多边形的内角和与外角和相差540°，那么这个多边形的边数是______．
4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A、12.
如图，在4×B两点在格点上，点C也是该网格中的格点，那么使△ABC的面积为1的点C的个数有______个．
=3，那么x2+-2的值为______．
13.
已知14.
如图，矩形ABCD中，边AB=5，BC=6点P在边AD上，且PD=2，点M为边AB上的一个动点，以PM为直角边作等腰Rt△PMN，∠MPN=90°，点N在直线NP的右下方连接DN，当点M在边AB上运动时，△PDN周长的最小值为______
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
15.
先化简，再求值：
第2页，共15页
，其中x为满足1≤x＜4的整数．
16.
解方程：+=1．
四、解答题（本大题共7小题，共48.0分）
17.
如图，△ABC中，D为BA的中点，请用尺规在边A上作一点E，使△ADE的周长为△ABC周长的一半（保留作图痕迹，不写作法）．
18.
如图，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点F处，折痕交CD边于点E．求证：四边形ADEF是菱形．
22224419.
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足ac-bc=a-b，试判定△ABC的形状．
第3页，共15页
20.
某文具店在次促销活动中规定：消费者消费满200元或者超过200元就可受打折优惠．期中考试后，小韦同学在该店为班级买奖品，准备买6支钢笔和若干本笔记本．已知每支钢笔15元，每本笔记本8元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？
21.
如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．
22.
如图，两个一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象分别为直线l1和l2，l1与l2交于点A（1，p），l1与x轴交于点B（-2，0），l2与x轴交于点C（4，0）
（1）填空：不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为______；
（2）若点D和点E分别是y轴和直线l2上的动点，当p=时，是否存在以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
第4页，共15页
23.
问题发现：
（1）如图①，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，CB=CD，对角线AC的长为6，则四边形ABCD的面积为______．
问题探究：
（2）如图②，Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=5，AB=12，点D和E都是边BC上的动点，且满足CD=BE，连接AD、AE．求AD+AE的最小值；
问题解决：
（3）某校准备组织八年级同学开展一次去大明宫遗址公园的考古研学活动．小凯和小鹏在去之前先做了一个模拟“藏宝图”的游戏，为了使宝物隐藏得更神秘，小凯利用学过的数学知识，设计了如下方案，让小鹏破解．如图③，点B在点A的正PB=BQ，东方向12m处，点P和Q都为平面内的动点，且满足PA=8m，∠PBQ=90°，当线段AQ长度最大时，点Q的位置即为藏宝地．请你帮助小鹏破解，藏宝地在点A的什么方向？距离点A多远？
第5页，共15页 答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可知：，
∴x=-1，
故选：C．
根据分式的值为0的条件即可求出答案．
本题考查分式的值，解题的关键是正确理解分式的值为0的条件，本题属于基础题型．
2.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】B
【解析】解：∵点P（2m-1，3）在第二象限，
∴2m-1＜0，
解得：m＜，
故选：B．
由第二象限点坐标特点求出m的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及点的坐标，弄清第二象限点坐标特征是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、对角线相等的四边形无法判定是矩形，故此选项不符合题意；
B、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项不符合题意；
C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是矩形，故此选项符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判断是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定即可得到答案．
本题考查了正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握它们的判定方法．
5.【答案】D
第6页，共15页 【解析】解：根据工作总量=工作效率×工作时间，得甲的工作效率是，乙的工作效率是．
∴甲乙两人合作一天的工作量为：+=．
故选：D．
把工作总量看作单位1．则甲乙两人合作一天的工作量即是他们的效率之和．
本题主要考查列代数式，此类题要把工作总量看作单位1．能够根据公式灵活变形，正确表示他们的工作效率．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
6.【答案】D
【解析】解：解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥-2，
所以不等式组的解集为：-2≤x＜3，
所以不等式组的整数解之和为：-2-1+0+1+2=0，
故选：D．
求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵▱ABCD的顶点A、D、C的坐标分别是A（-1，-2）、D（1，1）、C（5，2），
∴顶点B的坐标为（-1，3）．
故选：A．
后由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点B的坐标．
此题考查了平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了分式方程的解以及不等式的解法，解分式方程，正确解分式方程是解题关键．直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：去分母得：x+m-3m=3x-9，
整理得：2x=-2m+9，
解得：x=∵关于x的方程∴-2m+9＞0，
解得：m＜，
第7页，共15页
，
+=3的解为正数， 当x≠3时，x=解得：m≠，
≠3，
故m的取值范围是：m＜且m≠．
故选B．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=8，且∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，且点E是AD的中点，
∴BE⊥AD，且∠A=60°，
∴AE=4，BE=AE=4，
∴PBE=BE=4，
故选：D．
由菱形的性质可得AB=AD=8，且∠A=60°，可证△ABD是等边三角形，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：将两个一次函数联立得：2x-4=-2x+2，
解得：x=，故点A（，-1），
当y=m时，y1=2x-4=m，y2=-2x+2=m，则x1=（m+4），x2=（2-m）
则y=m与两条直线相交的两个交点的距离为：x1-x2=m+1，
2四边形ABCD的面积=（m+1）（x1-x2）=4，即（m+1）=4，
解得：m=1或-3（舍去-3），
故选：A．
将两个一次函数联立得：2x-4=-2x+2，求出点A（，-1），则y=m与两条直线相交的两个交点的距离为：x1-x2=m+1，四边形ABCD的面积=（m+1）（x1-x2）=4，即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，熟悉k、b与函数图象的关系．
11.【答案】7
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
=360°+540°则有（n-2）•180°，
解得n=7．
故答案是：7．
多边形的外角和是360度，根据这个多边形的内角和比四边形的内角和多540°求得内角和，然后根据内角和定理列出方程解出边数．
本题主要考查多边形的内角和定理，解题的根据是已知等量关系列出方程从而解决问题．
12.【答案】4
第8页，共15页 【解析】解：如图，
使△ABC的面积为1的点C共有4个．
故答案为：4．
取底边为1，根据高是2可得，其面积为1，故满足条件的点共有4个．
本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．
13.【答案】9
【解析】解：∵∴∴∴，
，
．
，
故答案为：9．
先将原式变形，根据完全平方公式展开变形进行计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
14.【答案】2+2
【解析】解：如图，作NH⊥AD交AD的延长线于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=6，
∵∠H=∠A=∠MPN=90°，
∴∠APM+∠HPN=90°，∠APM+∠AMP=90°，
∴∠AMP=∠HPN，
∵PM=PN，
∴△APM≌△HNP（AAS），
∴NH=AP=AD=PD=6-2=4，
∴点N的运动轨迹是直线l（在AH的下方，到直线AH的距离为4），
作P关于这条直线l的对称点P′，连接DP′交直线l于N′，连接DN′，此时PN′+DN′D的值最小，最小值=线段DP′的长，
在Rt△DPP′中，DP′==2，
∴，△PDN周长的最小值为2+2，
故答案为2+2．
如图，作NH⊥AD交AD的延长线于H，利用全等三角形的性质证明点N的运动轨迹是直线l（在AH的下方，到直线AH的距离为4），作P关于这条直线l的对称点P′，连接DP′交直线l于N′，连接DN′，此时PN′+DN′D的值最小，最小值=线段第9页，共15页 DP′的长．
本题考查轴对称-最短问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确判断N的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
15.【答案】解：原式==，
，
=x-2．
∵x取满足条件1≤x＜4的整数，
∴x只能取3（当x为1、2时，原分式无意义），
当x=3时，原式=3-2=1．
【解析】先算括号内的加法，再把除法变成乘法，求出后代入，即可求出答案．
本题考查了分式的混合运算和求值和一元一次不等式组的整数解，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
16.【答案】解：去分母得：2+x（x+2）=x2-4，
解得：x=-3，
经检验x=-3是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17.【答案】解：如图，△ADE为所作．
【解析】作AC的垂直平分线得到AC的中点E，连接DE，知DE为△ABC的中位线，所以DE=BC，则△ADE的周长为△ABC周长的一半．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18.【答案】证明：由折叠可知，DE=EF，AD=AF，∠DEA=∠FEA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥AF．
∴∠DEA=∠EAF．
∴∠EAF=∠FEA．
∴AF=EF．
∴AF=AD=DE=EF．
∴四边形ADEF是菱形．
第10页，共15页 【解析】先依据翻折的性质可证明DE=EF，AD=AF，然后再依据折叠的性质和平行线的性质可证明∠EAF=∠FEA，从而可得到AF=EF，故此可证明AF=AD=DE=EF．
本题主要考查的是翻折的性质、菱形的判定，证得AF=EF是解题的关键．
19.【答案】解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，
442222∴a-b-ac+bc=0，
442222∴（a-b）-（ac-bc）=0，
2222222∴（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，
22222∴（a+b-c）（a-b）=0
222222得：a+b=c或a=b，或者a+b=c且a=b，
即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
【解析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．
此题考查勾股定理的逆定理的应用，还涉及到了分解因式、等腰三角形的有关知识．
20.【答案】解：设小韦买x本笔记本才能享受打折优惠，
6+8x≥200， 依题意，得：15×解得：x≥13．
∵x为整数，
∴x的最小值为14．
答：小韦至少买14本笔记本才能享受打折优惠．
【解析】设小韦买x本笔记本才能享受打折优惠，根据总价=单价×数量结合总价不低于200元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
21.【答案】（1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
22222∴AB+AF=6+8=100=BF．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．
∴AE=
==．
第11页，共15页 【解析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型．
22.【答案】1＜x＜4
【解析】解：（1）由图象可知满足0＜mx+n＜kx+b的部分为A点与C点之间的部分，
∴1＜x＜4；
（2）∵p=，
∴A（1，），
将点A与B代入y=kx+b，得
，
∴，
∴y=x+1，
将点A与点C代入y=mx+n，得
，
∴，
∴y=-x+2，
①如图1：当四边形ABDE为平行四边形时，
∵E在直线l2上，
此时，BD∥AC，
∴BD所在直线解析式为y=-x-1，
∴D（0，-1），
∵DE∥AB，
∴DE所在直线解析式为y=x-，
∵-x+2=x-，可得x=，
∴E（，）；
②如图2：当四边形EBDA是平行四边形时，
第12页，共15页 则有BD∥AC，
∴BD所在直线解析式为y=-x-1，
∴D（0，-1），
∴AD的直线解析为y=x+1，
∵AD∥BE，
∴BE所在直线解析为y=x+5，
∵-x+2=x+5，解得x=-1，
∴E（-1，）；
③如图3：当四边形EBAD为平行四边形时，
设D（0，a），E（m，-m+2），
此时AE的中点M的横坐标为，
BD中点M的横坐标为-1，
∴-1=，
∴m=-3，
∴E（-3，）；
综上所述：满足条件的E点为（，），（-1，），（-3，）．
（1）观察图象即可求解；
（2）已知点A、B、C时，用待定系数法分别求出直线AB与AC的解析式；点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：①四边形ABDE为平行四边形；②四边形EBDA是平行四边形；③四边形EBAD为平行四边形．
本题考查一次函数的综合应用；熟练掌握代入法求函数解析式，平行四边形的性质与直线平行的关系灵活结合是解题的关键．
23.【答案】18
【解析】解：（1）如图①中，作CF⊥AB于F，CE⊥AD交AD的延长线于E．
∵∠E=∠AFC=∠EAF=90°，
∴四边形AECF是矩形，
∴∠ECF=∠DC=90°，
∴∠ECD=∠FCB，
第13页，共15页 ∵∠E=∠CFB=90°，CD=CB，
∴△CED≌△CFB（AAS），
∴CE=CF，S四边形ABCD=S正方形AECF，
∴四边形AECF是正方形，
∵AC=6，
∴AF=CF=3，
∴S四边形ABCD=3×=18，
故答案为18．
（2）如图②中，作BM∥AC，在BM上截取BM，使得BM=AC，连接EM，AM．
∵AC∥BM，
∴∠C=∠EBM，
∵AC=BM，CD=BE，
∴△ACD≌△MBE（SAS），
∴AD=EM，
∵AD+AE=EM+AE，
∵AE+EM≥AM，
∴AD+AE的最小值是线段AM的长，
在Rt△ABM中，AM===13，
∴AD+AE的最小值为13．
（3）如图③中，作BM⊥BA，在BM上截取BM，使得BM=AB，连接AM，QM．
∵∠PBQ=∠ABM=90°，
∴∠ABP=∠MBQ，
∵BP=BQ，BA=BM，
∴△ABP≌△MBQ（SAS），
∴PA=MQ=8m，
∵AB=BM=12m，∠ABM=90°，
∴AM===12，
∵AQ≤AM-MQ，
∴AQ的最大值=AM-MQ=（12-8）m．
∴，藏宝地在点A的东南方向，距离点A（12-8）m．
第14页，共15页 CE⊥AD交AD的延长线于E．（1）如图①中，作CF⊥AB于F，证明△CED≌△CFB（AAS）即可解决问题．
（2）如图②中，作BM∥AC，在BM上截取BM，使得BM=AC，连接EM，AM．证明△ACD≌△MBE（SAS），再利用两点之间线段最短即可解决问题．
（3）如图③中，作BM⊥BA，在BM上截取BM，使得BM=AB，连接AM，QM．构造全等三角形，再根据AQ≤AM-MQ即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
第15页，共15页
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