北京人大附中八年级(上)期中数学试卷

2023年12月4日发(作者：新华区考试数学试卷真题)

八年级（上）期中数学试卷

题号得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一，下图京剧脸谱剪纸中不是轴对称图形的是（　　）一二三四总分A.

．B.

．C.

2.3.4.5.D.

若分式x−2x−3有意义，那么x的取值范围是（　　）A.

x≠3B.

x=3C.

x≠2D.

x≠1下列计算正确的是（　　）A.

x+x2=x3B.

x2⋅x3=x6C.

(x3)2=x6D.

x9÷x3=x3如果一个等腰三角形的两边分别是3和6，则它的周长是（　　）A.

12B.

15C.

12或15D.

无法确定如图，点D，E为△ABC的边BC上的点，且满足DA=DB，EA=EC，若∠B=30°，∠C=40°，则∠DAE的度数为（　　）A.

36∘6.7.B.

38∘C.

40∘D.

42∘已知x+1x=3，则x2+1x2的值是（　　）A.

3B.

7C.

9D.

11如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　　）A.

(a−b)2=a2−2ab+b2C.

a2−b2=(a+b)(a−b)8.B.

(a+b)2=a2+2ab+b2D.

无法确定如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点A），临建楼（图中的点B）和图书馆（图中的点C）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点A，点B和点C的距离相等，则装修物资应该放置在（　　）第1页，共16页A.

AC、BC两边高线的交点处B.

在AC、BC两边中线的交点处C.

在∠A、∠B两内角平分线的交点处D.

在AC、BC两边垂直平分线的交点处9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD为△ABC的角平分线，若AC=12，则在△ABD中AB边上的高为（　　）A.

3B.

4C.

5D.

6D.

1810.已知2a-b=3，那么12a2-8ab+b2-12a+3的值为（　　）A.

9B.

12C.

15二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）11.计算（x2+2）0的结果是______．12.若分式a−2a+3值为0，则a的值为______．13.点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为______．14.如图，点D为△ABC的边AB上一点，若∠1=∠2，AB=7，AC=3，则△ACD的周长为______．AD⊥CD于D，若CD=2，则15.如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AB的长度为______．16.若a2x2+4x+1可以写成一个完全平方式，则常数a的值为______．17.用“★”定义一种新运算：对于任意实数a和b，规定a★b=ab2-5ab+4a，若3★（x+4）=3（x+1）（x-3），则x______．18.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AB=AC，AD=DE，且∠BAD=36°，∠EDC=12°，则∠B的度数为______．19.小为同学和小辰同学研究一个数学问题：尺规作图：作三角形的高线．已知：△ABC．尺规作图：作BC边上的高AD．他们的作法如下：第2页，共16页①分别以B，E为圆心，大于12BE长为半径画弧，两弧交于点F．②连接AF，与BC交于点D，则线段AD即为所求．③以A为圈心，AB为半径画弧，与BC交于点E．老师说：“你们的作法思路正确，但作图顺序不对．”请回答：其中顺序正确的作图步骤是（填写序号）______．判断线段AD为BC边上的高的作图依据是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）20.在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整点，我们经常用整式乘法和因式分解来解决整数和整点问题．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（20，0），B（20，20），C（0，20），点P为正方形内部（边界或者顶点除外）的动点，设点P的坐标为（x，y）（1）若整数x，y满足xy=10，x＞y，请直接写出点P的坐标；（2）设△POA的三边长分别a，b，c（其中c为OA的长度），整数a，b满足a3+2a2b+ab2=2500，求△POA周长．（3）若整点P满足S△POA•S△PBC=S△PAB•S△POC（其中S△POA表示△POA的面积）则称点P为“快乐数学点”，请直接写出在正方形内部的快乐数学点的个数．四、解答题（本大题共8小题，共46.0分）第3页，共16页21.计算：（1）x5÷x3+（x-2）（x+3）（2）（2x+3y）2-（2x+y）（2x-y）22.分解因式：（1）4x2y-9y（2）3ax2-6axy+3ay223.先化简，再求值：（x+1）（2-4x）+2（x-2）2+4，其中x2+5x=3．某学校初二年级于10月19日去红色快乐营进行24.为了弘扬长征精神传承红色经典，拓展训练，如图，小瑞同学需要在田地A点挖红薯，然后走到田坎上（直线l）上喝水，最后走到田地B点挖红薯，为了节省时间，挖到更多紅薯，需要走的路程最短，请你为小同学设计喝水的地方并写出结论．25.如图，点D，E分别是三角形△ABC边BC上的点，若AB=AC，BE=CD，求证：AD=AE．第4页，共16页他在计算两个两位数相乘的时候发现了一些有趣的数学现26.小兵喜欢研究数学问题，象现象1（十位数相同，个位数和为10）15×15=225，24×26=624，72×78=5616…现象2（十位数和为10，个位数相同）15×95=1425，24×84=2016，36×76=2736…（1）请根据以上现象规律直接写出下面两个计算结果48×42=______78×38=______（2）若其中一个两位数的十位数为a，个位数为b，请选择其中一个现象写出它的一般规律（用含有a，b等式表示），并运用整式的乘法证明这个等式．27.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AB上一点，连接CD，（1）作图：延长CD，在射线CD上取点E使得AE=AC，连接AE，作∠EAB的平分线AF交CE于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）条件下，连接BF，求证：∠BFC=∠BAC．28.线段AB和CD交于点E，连接AD，BC，满足AD∥BC，∠A=∠AED，（1）如图1，若∠D=50°，请直接写出∠B的度数．（2）如图2，作△ADE的高DH，延长DH交BC的延长线于点F，连接AF，求证：EF=AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若AB=AF，请找出图中所有与AC相等的线段．并证明你的结论．第5页，共16页第6页，共16页答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项正确；

C、是轴对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，故此选项错误；

故选：B．根据轴对称图形的概念进行判断．本题考查的是轴对称图形的概念．掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵分式有意义，∴x-3≠0，解得：x≠3．故选：A．直接利用分式有意义的条件分析得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．3.【答案】C【解析】解：A、原式不能合并，错误；

B、原式=x5，错误；

C、原式=x6，正确；

D、原式=x6，错误．

故选：C．A、原式不能合并，错误；

B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；

C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；

D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵等腰三角形的两边分别是3和6，

∴应分为两种情况：①3为底，6为腰，6+6+3=15；

②6为底，3为腰，则3+3=6，则应舍去；

∴它的周长是15．

故选：B．本题应分为两种情况：①3为底，6为腰，②6为底，3为腰．注意还要考虑三角形的三边关系．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲第7页，共16页目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．5.【答案】C【解析】解：∵∠B=30°，∠C=40°，

∴∠BAC=180°-30°-40°=110°，

∵DA=DB，EA=EC，

∴∠B=∠DAB=30°，∠C=∠EAC=40°，

∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=110°-30°-40°=40°，

故选：C．根据∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE，只要求出∠BAC，∠DAB，∠CAE即可解决问题．本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.【答案】B【解析】解：∵x+=3，∴（x+）2=9，∴x2+∴x2++2=9，=7．故选：B．直接利用完全平方公式展开求出即可．本题考查了对完全平方公式的应用，注意：（a+b）2=a2+2ab+b2．7.【答案】C【解析】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；第二个图形是梯形，则面积是（2a+2b）•（a-b）=（a+b）（a-b）．则a2-b2=（a+b）（a-b）．故选：C．分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．8.【答案】D【解析】解：作AC、BC两边的垂直平分线，它们的交点是P，

由线段的垂直平分线的性质，PA=PB=PC，

故选：D．根据线段垂直平分线的性质判断即可，本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．第8页，共16页9.【答案】B【解析】解：过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠CBA=60°，∵BD平分∠CBA，∴∠DBA=∠CBD=30°，∴AD=BD，CD=BD=AD，∵AD+CD=AC=12，∴CD=4，∵DE⊥AB，∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=4，故选：B．过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出DE=CD，求出∠A=∠DBA=∠CBD=30°，推出AD=BD，CD=BD，求出CD即可．本题考查了含30°角的直角三角形，角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．10.【答案】B【解析】解：原式=4a2-4ab+b2+8a2-4ab-12a+3

=（2a-b）2+4a（2a-b-3）+3

由于2a-b=3，

∴原式=9+0+3

=12，

故选：B．根据完全平方公式即可求出答案．本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用分组分解法以及完全平方公式，本题属于基础题型．11.【答案】1【解析】解：（x2+2）0=1．

故答案为：1．直接利用零指数幂的性质得出答案．此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．12.【答案】2【解析】解：由题意得：a-2=0，且a+3≠0，

解得：a=2，

故答案为：2．根据分式值为零的条件可得a-2=0，且a+3≠0，再解可得答案．此题主要考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．第9页，共16页13.【答案】（2，-3）【解析】解：∵点P（2，3）

∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，-3）．

故答案为：（2，-3）．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）得出即可．此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键．14.【答案】10【解析】解：∵∠1=∠2，

∴DB=DC，

∴△ADC的周长=AD+DC+AC=AD+DB+AC=AB+AC=7+3=10．

故答案为10．证明△ADC的周长=AB+AC，即可解决问题．本题考查等腰三角形的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】4【解析】解：∵△ABC为等边三角形，

∴AC=AB，∠BAC=60°，

∵DC∥AB，

∴∠ACD=∠BAC=60°，

∵AD⊥CD，

∴∠CAD=90°-60°=30°，

∴AB=AC=2CD=4

故答案为：4．根据等边三角形的性质求出AC=AB，∠BAC=60°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ACD=∠BAC，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2CD．本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，熟记各性质是解题的关键．16.【答案】±2【解析】解：∵a2x2+4x+1可以写成一个完全平方式，

∴a2=4，

解得：a=±2，

故答案为：±2利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17.【答案】=15【解析】解：∵a★b=ab2-5ab+4a，∴3★（x+4）=3（x+1）（x-3），第10页，共16页∴3（x+4）2-5×3（x+4）+4×3=3（x+1）（x-3），3（x2+8x+16）-15x-60=3（x2-2x-3），3x2+9x-12=3x2-6x-9，则15x=3，解得：x=．故答案为：．直接利用已知将原式变形进而得出x的值．此题主要考查了实数运算，正确化简原式是解题关键．18.【答案】44°【解析】解：设∠B=x．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=x，

∵DE=DA，

∴∠DAE=∠DEA=x+∠EDC=x+12°，

∵∠B+∠BAC+∠C=180°，

∴2x+36°+x+12°=180°，

∴x=44°，

故答案为44°．设∠B=x．利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】③①②

到线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上【解析】解：作法如下：先以A为圈心，AB为半径画弧，与BC交于点E，再分别以B，E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧交于点F，然后连接AF，与BC交于点D，因为根据到线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以线段AD⊥BC，即AD为高．故答案为③①②；到线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）可得到正确的作图步骤，然后根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AD⊥BC．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．20.【答案】解：（1）∵x、y为整数，且xy=10∴x=1y=10或x=2y=5或x=5y=2或x=10y=1∴点P的坐标为（1，10）或（2，5）或（5，2）或（10，1）（2）a3+2a2b+ab2=a（a2+2ab+b2）=a（a+b）2=2500∵a、b为整数，且a+b＞c，c=OA=20∴（a+b）2＞400且，（a+b）2为整数∴（a+b）2=500或625或1250或2500第11页，共16页∵a+b为整数∴（a+b）2=625或2500，即a+b=25或50当a+b=25即（a+b）2=625时，a=4，b=21，a+c＞b，能构成三角形当a+b=50即（a+b）2=2500时，a=1，b=49，a+c＜b，不能构成三角形∴C△POA=a+b+c=25+20=45（3）过点P作PE⊥OA于E，PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥OC于H，设P（m，n），则PH=m，PE=n，PF=20-m，PG=20-n，∵S△POA•S△PBC=S△PAB•S△POC∴12OA⋅PE⋅12BC⋅PG=12AB⋅PF⋅12OC⋅PH∴n（20-n）=m（20-m）整理得：m2-n2=20（m-n）（m+n）（m-n）-20（m-n）=0（m+n-20）（m-n）=0∴m+n-20=0或m-n=0，且m、n为整数当m+n=20时，满足的值m=1至19，共19个当m-n=0时，满足的值m=1至19，共19个，其中m=n=10重复一次，算18个∴在正方形内部的快乐数学点的个数为37个．【解析】（1）把10进行正整数因数分解，10=1×10=2×5=5×2=10×1，所以有五个点P．

（2）把a3+2a2b+ab2=2500进行因式分解，得a（a+b）2=2500，2500=2×2×5×5×5×5，由a、b为正整数且a+b＞20，确定（a+b）2=625或2500，即a+b=25或50，再排除a+b=50的情况，所以a+b=25．

（3）设P的坐标为（m，n），则四个三角形的面积都能用m或n表示，计算得n（20-n）=m（20-m），因式分解得（m+n-20）（m-n）=0，所以m+n-20=0或m-n=0，再确定m、n在条件限制下可以取的值．本题考查了数的分解和因式分解的应用，解题关键是对式子进行因式分解后结合题意进行数的分解．21.【答案】解：（1）x5÷x3+（x-2）（x+3）=x2+x2+x-6

第12页，共16页=2x2+x-6；（2）（2x+3y）2-（2x+y）（2x-y）=4x2+12xy+9y2-（4x2-y2）=12xy+10y2．【解析】（1）直接利用整式的除法运算法则以及多项式乘以多项式运算法则计算得出答案；

（2）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．22.【答案】解：（1）4x2y-9y

=y（4x2-9）=y（2x+3）（2x-3）；（2）3ax2-6axy+3ay2

=3a（x2-2xy+y2）=3a（x-y）2．【解析】（1）直接提取公因式y，进而分解因式即可；

（2）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．23.【答案】解：（x+1）（2-4x）+2（x-2）2+4

=-4x2-2x+2+2（x2-4x+4）+4

=-2x2-10x+14，∵x2+5x=3，∴原式=-2（x2+5x）+14

=-2×3+14

=8．【解析】直接利用多项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键．24.【答案】解：如图，作点A关于直线l的对称点C；连接BC，与直线l交于点D，连接AD，则AD=CD，AD+BD的最小值即为BC长，故点D即为喝水的地方．【解析】作点A关于直线l的对称点C；连接BC，直线BC与直线l的交点D即为喝第13页，共16页水的地方．此题考查了轴对称--最短路径问题在生活中的应用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．25.【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠B=∠CBE=CD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD=AE．【解析】根据等边对等角可得∠B=∠C，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，利用等边对等角的性质求出∠B=∠C是解题的关键．26.【答案】2016 2964【解析】解：（1）48×42=2016，78×38=2964．

故答案为：2016；2964；

（2）现象1：规律：（10a+b）（10a+10-b）=100a（a+1）+b（10-b）．

证明如下：

若其中一个两位数的十位数为a，个位数为b，则另一个两位数的十位数为a，个位数为（10-b），

（10a+b）（10a+10-b）=100a2+100a-10ab+10ab+10b-b2=100a（a+1）+b（10-b）．（1）根据题意直接写出结果即可；

（2）根据题意表示出相应两个数，根据多项式乘多项式的法则求解即可．此题主要考查运算规律探索与运用，认真观察算式中存在的规律，并结合它们灵活应用是解题的关键，在证明中，整式的运算法则是基础．27.【答案】解：（1）如图所示，AE和AF即为所求．（2）∵AB=AC，AE=AC，∴AE=AB，∵AF平分∠BAE，∴∠EAF=∠BAF，第14页，共16页在△EAF和△BAF中，∵AE=AB∠EAF=∠BAFAF=AF，∴△EAF≌△BAF（SAS），∴∠AEF=∠ABF，∵AE=AC，∴∠AEF=∠ACF，∴∠ABF=∠ACF，∵∠BDF=∠CDA，∴∠BFC=∠BAC．【解析】（1）根据已知逐步作图即可得，要求掌握作一线段等于已知线段和角平分线的尺规作图；

（2）先证△EAF≌△BAF得∠AEF=∠ABF，再由AE=AC知∠AEF=∠ACF，据此得∠ABF=∠ACF，结合∠BDF=∠CDA即可得证．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握作一线段等于已知线段和角平分线的尺规作图及全等三角形的判定与性质．28.【答案】解：（1）∵∠D=50°，∠A=∠AED，∴∠A=65°，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=65°，（2）∵∠A=∠AED，∴AD=DE，且DH⊥AE∴DH是AE的垂直平分线，∴EF=AF（3）AC=CF=DC，理由如下：如图，连接EF，∵∠DAB=∠B，∠AED=∠BEC，∠DAB=∠DEA∴∠B=∠BEC∴BC=EC，∵AF=EF，AB=AF∴AB=EF，∵AD=DE，DH⊥AE∴∠CDF=∠ADF，设∠CDF=∠ADF=x°，∠DAB=∠B=y°，∴∠ADC=2x°∵AB=AF，∴∠B=∠AFB=y°，∵AD∥BF∴∠ADF=∠DFB=∠CDF=x°，∠ADC=∠DCB=2x°∴CF=CD，∵∠AFD=∠AFB-∠DFB第15页，共16页∴∠AFD=（y-x）°，∵AF=EF，FH⊥AE∴∠AFE=2∠DFA=2∠DFE=2（y-x）°，∴∠EFC=∠AFB-∠AFE=（2x-y）°∵∠DCB=∠CEF+∠CFE∴2x°=（2x-y）°+∠CEF∴∠CEF=y°∴∠CEF=∠B，且BC=EC，AB=EF，∴△ABC≌△FEC（SAS）∴CF=AC∴AC=CF=DC【解析】（1）根据三角形的内角和定理和平行线的性质可求∠B的度数；

（2）由∠A=∠AED，可证AD=DE，根据等腰三角形的性质，可得DH是AE的垂直平分线，则EF=AF；

（3）根据等腰三角形的性质三角形外角的性质，可证∠B=∠CEF，即可证△ABC≌△FEC，可得CF=AC=CD．本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证△ABC≌△FEC是本题的关键．第16页，共16页