2023年12月2日发(作者：数学试卷评讲课反思)
⋯
⋯
2017 学年春季学期
《高等数学Ⅰ（二） 》期末考试试卷（ A）
7 ．设级数
a a
为交错级数，则（ ）.
n
n
0 (n )
，n 1
⋯
⋯
⋯
名姓
⋯⋯
．
⋯
号⋯
学
⋯
⋯线
号
封
序
密
lim( x
2
y
号x
)sin
0
班
y 0
学
教
过
注意： 1、本试卷共 3 页；2、考试时间110 分钟；3 、姓名、学号必须写在指定地方
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
阅卷人得分
一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）将每题的正确答案的
代号 A B C D 、 、 或 填入下表中．
题号
1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知
a
与
b都是非零向量，且满足a b a b
，则必有（ ）.
(A)
a b 0
(B)
a b 0
(C)
a b 0
(D)
a b 0
2
1
2.极限
( ).
(A)
散
该级数收敛 (B)该级数发(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛
8. 下列四个命题中，正确的命题是（ ）.
（A）若级数
a
n
发散，则级数
a
2
也发散
n
题
n
1
n
1
号一
（B）2
二
若级a
三
数
n 1
a
发n 1
也四
散，发总
则级散
分
n
（C）数若级n
得数
分
a
2
收敛，则级数
a
n
也收敛
n
n 1 n 1
（D）若级数
|an
|收敛，则级
2
数
a
也收n
敛
n
1
1
n
阅卷人得分
二、
填空题 (7 个小题，每小题 2
分，共 14 分) ．
3x
0
4y 2z 6
与
z
轴相交，则常数
a
1. 直线
为 .
x 3y z a 0
2 2
D : x y 2x
，二重积分= .
2
．设
f
(
x
,
y
) ln(
x
y
x
),
则
f
(x y)d
超
要
不
纸
卷 题
试
答
学
⋯
大
⋯
峡
．
三
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
(1,0)
______
_____.
y
x
2
y
2
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在
3(3, 4)
．函数
f (x, y) x y
在
处沿增加最快的方向的方向导数为 .
3．下列函数中，
df f
的是 ( ).
（A）
f ( x, y) xy
（B）
f (x, y) x y c0,c0为实数
4．设
（C）
2 2 x y
D
2
f (x, y) x y
（D）
f ( x, y) e
5．设
f x
是连续函数，
2 2
{( x,
4．函数
f (x, y) xy (3 x y)
，原点
(0,0)
是
f (x, y)
的( ).
y }
，y ,z)
| 0 z 9 x f (x
2
面坐标系下y )dv
在柱（ A）驻点与极值点 （B）驻点，非极值点
（ C）极值点，非驻点 （D）非驻点，非极值点
的三次积分为 .
5
域．
设 平 面 区
x y
D : (x
6. 幂级数
n 1
( 1)
n
1
x
n
的收敛域d
1)
2
(y 1)
2
2
， 若
I1
，
n!
是 .
D
4
1
2
为周期延拓后，其傅里叶级数在点
0
, x
以x 处收敛
7. 将函数
f ( x)
2
I
x y
1 x , 0 x
2
d
，
D
4
于 .
Ix y
3
3
d
，则有（ ）.
D
4
（A）
II I
（B）
I1
（C）
I
2
I1
I3
（D）
I
3
1
1
II I
2
I3
22
3
2
y
x
2
6．设椭圆L
2 2
：
4 3
1的周长为
l
，则
(3x 4y )ds
（ ）.
L
(A)
l
(B)
3l
(C)
4l
(D)
12l
2017 年《高等数学Ⅰ（二） 》课程期末考试试卷 A 共 3 页第1 页⋯
阅卷人得分
4．设是由曲面
z xy, y x, x 1及
z 0
所围成的空间闭区 ，域
d d d
2
3
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
名⋯
姓
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
．
⋯
号学
⋯
⋯
⋯线
号封
序
密
过
号班
学
要
教 不
三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题 7 分，共出文字
x
说明、证明过程或演算步 ）骤1．设u xf (x, )
y
，其中 f 有连续的一阶偏导数，求
u
，
u
．
x y
解：
z
方程．z
xy 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线2．求曲面 e 3
解：
35 分，解答题应写求
解：
5．求幂级数
级数
n 1
解：
超
nxn 1
的和函数S(x)
，并求I
z
xy z x y
.
n
的n
和．
1
2
n
纸
题
卷3. 交换积分次序，并计算二次积分
0
dx
sin y
．
试
答
解：
dy
x
y
学
⋯
大
⋯
峡
．
三
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
2017 年《高等数学Ⅰ（二） 卷试A 共 3 页第2 页 》课程期末考试阅卷人得分
四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题 7 分，共 35 分，解答题应写出文字
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
名
⋯
姓
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
．
⋯
号学
⋯
⋯
⋯线
号封
序
密
过
号超
班
学
要
教 不纸卷
题
试
答
学
⋯
大
⋯
峡
．
三
⋯
说明、证明过程或演算步 ）骤1. 从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．
解
2．计算积分
(
2 2 2 2
L
x y
)d
sx y ax
(
a
，其中
L
为圆周
0)．
解：
3．利用格林公式， 计算曲线 分积I (x
2
y )dx
2
(x 2xy)dy
，其中
L
是由抛物线y
L
x y2
所围成的区域D
的正向边界曲线．
y
2
y x
2
x y
x2
和
4． 计算
xdS，
为平面
x y z 1在第一卦限部分 .
解：
蝌
5dxdy +
．利用高斯公式计算对坐标的曲面积dydz + dzdx
分
S
其中 为圆 面锥2 2 2
z x y
z 0 z 1
介于平面 及 之间的部分的下侧.
解：
，
⋯
⋯
⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯
D
O x
2017 年《高等数学Ⅰ（二） 》课程期末考试 卷试A 共 3 页第 3 页 2017 学年春季学期
《高等数学Ⅰ（二） 》期末考试试卷(A)
答案及评分标准
一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）
题号1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B A D C D
1．已知
a
与
b都是非零向量，且满足a b a b
，则必有（ D ）
(A)
a b 0； (B)
a
2. 极限
1
b 0
； (C)
a b 0； (D)
a b 0．
lim( x
2 2
y
x
2
( A )
y
2
x
)sin
0
y 0
(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) 不存在 .
3．下列函数中，
df f
的是 ( B )；
（A）
f (x, y) xy
； （B）
f (x, y) x y c0
,c0为实数
；
（C）
2
f (x, y)
x
2
x
y
y
； （D）
f ( x, y)
e
.
4．函数（ A）驻点与极值
f (x, y) xy (3 x y)
，原点
(0,0)
是
f (x, y)
的( B ).
点； （B）驻点，非极值点；
（ C）极值点，非驻x y
x y
点； （D）非驻2 2
点，非极值点 .
(x 1) ( y 1) 2
， 若
I1
d
，
I2
5 ． 设 平 面 区 域
D
4
4
D
D：
d
，
（B）若级数
a
2
发散，则级数
a
也发n
散；
n
n
1
n
1
（C）若级数
a
2
n 1
n
收敛，则级数
n 1
a
也收敛；
n
（D）若级数
|an
|收敛，则级数
a
2
也收敛．
n
n 1 n 1
二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分) ．
3x 4y 2z 6 0
x 3y z a 0
1. 直线
与
z
轴相交，则常数
a
为
3 。
2．设 f (x, y) ln( x y),
x
则
fy
(1,0)
_______1_____
32
．函数
f (x, y) x y
在
(3, 4)
处沿增加最快的方向的方向导数为
4．设
2 2
D : x y 2x
，二重积分
(x y)d
= ．
f x
D
5．设 是连续函数，
{( x,
2
y }
y ,z) | 0 z 9
2
x
，
f (x
2
y
2
)dv在柱面坐标系下
2
的三次积分
2 3 9
为
2
n
0
d
0
f ( )dz
6. 幂级数
( 1)
n 1
x
0
d
n 1
n!
的收敛域是
( , )
.
7. 函数
f (x)
1
0
, x
2
2
,
2
.
1 x 0 x
，以
2
为周期延拓后，其傅里叶级数在点 x 处收敛于
I3
D
x y
3
三、综合解答题一（
d
，则有（ A
I
3
； （B）
I1
2
y
）
4
I
2
I
2
I3
； （C）
I2
程或演
算步骤）
5 个小题，每小题 7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过（A）
I1
I1
I
3
； （D）
I3
I1
I
2
．
1．设 u
x ， u
u
．
xf (x, )
y
x
，其中 f 有连续的一阶偏导数，求
y
u x
x
6．设椭L
：
圆(A)
l
；
2
(B)
3l
；
(C)
4
1的周长为
l
，则
3
(3x 4y )ds
（D
L
2 2
）
(D)
4l
；
12l
．
7．设级数
a
为交错级数，
an
0 (n )，则（ C ）
n
n 1
(A) 该级数收敛； (B) 该级数发散；
(C) 该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛．
8. 下列四个命题中，正确的命题是（ D ）
（A）若级数
a
2
n
发散，则级数
a
也发散；
n
n
n
1
1
2017 年《高等数学Ⅰ（二）解：
x
f xf1
y
f2
⋯⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
4
分
u x
2
f
y y
2
2
.
⋯7 分 ⋯⋯
⋯ ⋯ ⋯
2程．．求曲面z
e z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方
解：令 F x, y,z ez
z xy 3 ，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分
n (F ,F ,F ) ( y, x,e
z
1)⋯ 4
， n
(2,1,0)
(1,2,2) ，⋯ ⋯ ⋯ ⋯x
分
y z
所以在点 (2,1,0) 处的切平面方程为 (x 2) 2( y 1) 2z 0 ，》课程期末考试试卷A 共 3 页第4 页 ⋯
即 x 2y 2z 4 0 ；⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分
法线方程为
x 2 y 1 z
. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
1 2 2
3. 交换积分次序，并计算二次sin y
积分
dx
sin y
解：
x
dy
y
0
=
dx dy
；
0
x
y
⋯
⋯4
⋯分
⋯ ⋯0
dy
y
sin y
0
dx
⋯
y
=
0
sin ydy 2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
⋯4．设 是由曲面⋯
z xy, y x, x
xy,0 y
⋯轴，1及
z 0
所围成的空间区域，求x,0 x 1}
⋯⋯
2
3I xy
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分
⋯z
d d
x
d
y z
解：注意到曲面
z xy过经x
轴、
y
2 分
={( x, y, z) : 0 z
故
2 3
1 x xy
I
dz
xy z dxdydz dx dy xy
2
z
3
1
=
364
． ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
0 0 0
2
x
y
时有最大周长⋯
⋯
.
⋯
⋯
⋯
⋯
7
分
又最大周长一定存在，故当
2
2 2
(x y )ds
，
2 2
x
其中
L
为圆周
ax
y
0(
a
)．
2．计算积分
L
解：
L
的极坐标方程为
a cos
，
2 2
；⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ 2 分
则
2 2
ds ( ) d ad
，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
4 分
3
所以
L
(x
2
y
2
)ds
2 2
ad
2
a
3
cos
2
a
d
．⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ 7 分
2 2
2
a
或解：
L
的形心
(x, y) (
2
,0)
，
L
的周长
a
，
2 2
3
L
( x y )ds=
L
axds=
ax a=
a
2
3．利用格林公式，计算曲线积分
I
2 2L
(xy)dx (x 2xy)dy，其中
L
是
由抛物线
y x2
和
x y2
所围成的区域
D
的正向边界曲线．
⋯
5．求幂级数
级数
n 1
nx
1
的和函数
S( x)
，并求n
n
1
n
的和．
2
n
解：
I
L
(x2
y2)dx (x 2xy)dy
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分
y
2
y x
dxdy
x y
2
解：
S( x) nxn 1
，
S(0) 1，
n 1
由已知的马克劳林展式：
1
1
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分
1
,| |
，⋯ ⋯
x
xn
x
n 1
有
S( x1
=
1
，
| x | 1，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分
(
) (
1)
x )
2
n
(1 x)
n 1
1 x
n
=
1 n
=
1
S
(1)
=2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
1
2n
2
n
2n1
n
2 2
1
四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题 7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1. 从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．
2 2
1
解 设两个直角边的边长分别为
x
，
y
，则x y
，周长
C x y 1，
2 2
需求
C x y 1在约束条件x y
1
下的极值问题． ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分
设拉格朗日函数
L(x,y, ) x y 1
2
(x
2
y 1)⋯ ⋯ 4 分
，⋯ ⋯ ⋯ ⋯
F
x
1 2 x 0 ,
F
令01
y
,
2 y
x
2
y
2
1,
解方程组得
2
x y
为唯一驻点， ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分
D
1
dx
x
dy
D
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5
分
0 x
2
1
3
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
O
x
4． 计算
xdS，
为平面
x y z 1在第一卦限部分 .
解：
在
xoy面上的投影区域为
Dxy
: x y 1(x 0, y 0)
，⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ 2 分
又
: 1 ,
z
1,
z
1,
z x y
故
dS 3dxdy
，⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ 4 分x
y
所以
xdS 3 xdxdy
1
3 dx
1 x
3
xdy
. ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ 7 分
0 0
D
6
xy
或解：由对称性，
3
1 1
xdS
3
(x y z)dS
6
3
dS
5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
蝌
dxdy dydz d zdx
2
2
+ +
，其中 为锥z
面
S
介于平面
z 0及
z 1之间的部分的下侧。
解：补曲面
2 2
由高斯公式知
D : x y 1,z 1（取上侧），⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ 2 分
2
x y
2
2017 年《高等数学Ⅰ（二） 》课程期末考试试卷A 共 3 页第 5 页蝌
＝0， ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分
dxdy + dydz + dzdx
S + D
故
蝌
dxdy
dydz dzdx
+ +
S
＝
-
蝌
d d
+
d d
+
d dx y y z z
x
D
＝
dxdy
=
{ x
2
y
2
1}
⋯ ⋯ ⋯ ⋯7 分
2017 年《高等数学Ⅰ（二）试卷A 共 3 页第6 页 ⋯ ⋯
》课程期末考试
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