2023年12月31日发(作者：新高一四川数学试卷)

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【知识要点】

一、函数值域的定义

函数值的集合叫做函数的值域.

二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.

三、常见函数的值域

1、一次函数ykxbk0的值域为R.

4acb22、二次函数yaxbxca0，当a0时的值域为,，a0时的值域为

4a24acb2.

,4a3、反比例函数y4、指数函数yaxkk0的值域为yRy0.

xa0且a1的值域为yy0.

5、对数函数ylogaxa0且a1的值域为R.

6、幂函数yx的值域为R，幂函数yx312x的值域为[0,).

7、正弦函数ysinx、余弦函数ycosx的值域为1,1，正切函数ytanx的值域为R.

四、求函数的值域常用的方法

求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等

式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.

五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.

六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.

【方法讲评】

2

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方法六

使用情景

解题步骤

判别式法

dx2exf形如y的函数.

ax2bxc一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.

2x24x7【例1】求函数y2的值域.

x2x3

【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为

A(y)x2B(y)xC(y)0的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为

A(y)x2B(y)xC(y)0的形式后，要注意对A是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方

程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是y2,y去.

9）代回方程检验，把不满足题意的舍22x2x2 【反馈检测1】求函数y2的值域.

xx1

方法七

使用情景

解题步骤

基本不等式法

一般变量是正数，变量的和或积是定值.

一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.

x24x55 【例2】已知x，求函数f(x) 的最小值.

22x42

1

【解析】x24x5(x2)21x215x,x20.f(x)=1

222(x2)2(x2)2(x2)x21，即x3时，上式等号成立.

22(x2)当且仅当因为x3在定义域内，所以最小值为1.

【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可. 学科.网

【例3】已知(0,)，求函数ysin2(1cos)的最大值.

【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(ab2ab三元不等式ab+c33abc(a0,b0当且仅当ab时取等)和

(a0,b0,c0,当且仅当abc时取等).（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.

【反馈检测2 】已知x0，y0，且

【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数f(x)|x则a的取值范围是___________．

2

192，则xy的最小值为___________.

xy4a|a在区间[1，4]上的最大值是5，

x

1

方法八

使用情景

解题步骤

【例 4】求函数f(x)log1(x23x5)2单调性法

函数的单调性容易判断.

先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.

(0x2)的值域.

【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.

【例5】求函数y2x5log3【解析】令y12x5x1(2x10)的值域.

，y2log3x1

则y1,y2在[2,10]上都是增函数，所以yy1y2在[2,10]上是增函数

当x2时，ymin123log321

825log3933 当x10时，ymax1故所求函数的值域为,33。

8【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题y12x5，y2log3x1都是增函数，利用到了复合函数的单调性,所以要对函数单调性的判定方法比较熟练，才能做到游刃有余.

2

1

【反馈检测4】求函数y4x13x(x)的值域.

方法九

使用情景

解题步骤

数形结合法

函数有明显的几何意义.

先找到“数”对应的“形”，再利用数形结合分析解答.

13【例6】求函数yx1x4的值域.

【点评】(1)画函数的图像，要先化简解析式，再画出函数的图像.(2)本题也可以利用重要的绝对值不等式得到函数的最值，|x1||x4||(x1)(x4)|5，所以函数的最小值为5.（3）对于绝对值函数，一般利用零点讨论法把函数化成分段函数，再作图.

2【例7】 如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值.

2

1

图1

如图2所示，若顶点横坐标在区间t，t1上时，有t1t1，即0t1.当x1时，函数取得最小值f(x)minf(1)1.



图2

如图3所示，若顶点横坐标在区间t，t1右侧时，有t11，即t0.当xt1时，函数取得最小值f(x)minf(t1)t1

图3

22

1

综上讨论，f(x)min(t1)21,t11,0t1

t21t0【点评】二次函数在闭区间上的最值问题，是一种较典型的问题.如果对称轴和区间的位置关系不能确定，常利用分类讨论和数形结合分析解答.

【例8】求函数y3sinx的值域.

2cosx

因为直线和圆相切，所以1|-2k3|k21k623

3所以函数的值域为[623623,]

33y1y2对应着两点(x1,y1),(x2,y2)之间的斜率x1x2【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.（2）由于y（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.

【例9】设f(x)是R上的偶函数，对任意xR，都有f(x2)f(x2),且当x[2,0]时，1f(x)()x1,若在区间(2,6]内关于x的方程f(x)loga(x2)0(a1)恰有3个不同的实数根，2则a的取值范围是（ ）

A．（1，2） B．(2,) C．(1,34)

D．(34,2)

2

1

若在区间（2，6]内关于x的方程f（x）logax20恰有3个不同的实数解

所以f（x）logax2恰有3个不同的实数解.

则loga4＜3，loga8＞3，解得：34＜a＜2. 故选D

【点评】(1) 本题涉及到函数的奇偶性、周期性和零点问题，利用数形结合再好不过了. 所以要先根据已知条件作出函数f(x) 的图像，再作出函数y=logax2 的图像，数形结合分析解答. (2)对于函数的问题，大家要比较敏感，随时想到利用函数的图像来分析.

【例10】点P为抛物线：y24x上一动点，定点A(2,45)，则|PA|与P到y轴的距离之和的最小值为（ ）

A.9 B.10 C.8 D.5

【解析】如图所示，焦点F(1,0),过点p作PN垂直于准线l交y轴与点M，MP到y轴的距离

|PM|1,当A,P,F三点共线时，|PA||PF|取最小值，|FA|(21)2(450)29,所以|PA|与P到y轴的距离之和的最小值918.

2

1

【点评】圆锥曲线中，涉及到焦半径时，要想到圆锥曲线的定义，把问题转化，优化解题.

x1 【例11】已知x，y满足约束条件x3y4

3x5y30(1)求目标函数z2xy的最大值和最小值；

(2)若目标函数zaxy取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；

(3)求zxy的取值范围．

【解析】(1)作出不等式组表示的可行域如图：

22

作直线l：2xy0，并平行移动使它过可行域内的B点，此时z有最大值；过可行域内的C点，此时z有最小值，

x1x3y4x1527解，得A(1,)．解，得B(5,3)．解，得C(1,)．

35x3y43x5y303x5y302

1

∴zmax2537，zmin212717.

55(2)一般情况下，当z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线zaxy平行于直线3x5y30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解，有无数个．

又kBC333a. ，∴a555

【点评】线性规划的问题，就是数形结合研究问题的典型.线性规划解答问题的一般步骤是（1）根据题意，设出变量x,y；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数zf(x,y)；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系yf(x)(z为参数）；（6）观察图形，找到直线yf(x)(z为参数）在可行域上使z取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.

【反馈检测5】若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则2|PA||PF|取得最小值时，点P的坐标是 .

【例12】如图，圆锥的底面直径AB2，母线长VA3，点C在母线VB上，且VC1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）

A．13 B．7

V

C

4333C． D．

32

A

B

2

1

【点评】（1）由于蚂蚁在沿着曲面爬行，所以蚂蚁走过的路线时曲线，要直接求，比较困难，怎么办？我们这时可以把曲面展开，变成平面，再利用解三角形的知识来分析解答，问题迎刃而解. （2）本题利用了转化化归的思想，把空间的问题化成平面的问题，问题迎刃而解.

【反馈检测6】如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为______．

方法十

使用情景

解题步骤

导数法

函数的结构比较复杂，利用导数可以方便地求出函数的单调性.

先利用导数求出函数的单调性，再根据函数的单调性得到函数的值域.

【例12】已知函数f(x)xlnx，g(x)(x2ax3)ex(aR)

（1）当a5时，求函数yg(x)在x1处的切线方程；

（2）求f(x)在区间[t,t2](t0)上的最小值．

2x2x【解析】（1）当a5时，gxx5x3e,g1e又gxx3x2e,故切线的斜率为g14e.所以切线方程为：ye4ex1,即y4ex3e.

（2）函数fx的定义域为0,,fxlnx1,当x变化时，fx,fx 的变化情况如下表：

X

10,

e－

单调递减

1

e0

极小值

1,

e＋

单调递增

fx

f(x)

2

1

【点评】对于结构较复杂或高次的函数，一般利用导数法来研究函数的值域.先利用导数研究函数的单调性，再利用该函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域.

【例13】两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为kk,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数；

（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由.

22【解析】（1）如图,由题意知ACBC,BC400x,

C

x

A

B

y4k(0x20)

x2400x2其中当x102时，y0.065,所以k9.

所以y表示成x的函数为y49(0x20)

x2400x22

1

【点评】对于应用题，先要建立函数的模型，通过函数的模型，把一个实际问题转化成一个数学问题，再利用导数来研究函数的最值，最后再回到实际问题中去.

【反馈检测7】已知函数f(x)x2eax(a0) ，求函数在[1,2]上的最大值．

2

1

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第03讲：函数值域（最值）的常见求法（2）（判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法）

参考答案

【反馈检测1答案】1,5

【反馈检测2答案】8

【反馈检测2详细解析】xy(xy)211191y9x1y9x(xy)()(10)(102)

22xy2xy2xyx0,y0198(当且仅当2即x2,y6时取到最小值8.

xy9xyxy【反馈检测3答案】(,]

4【反馈检测3详细解析】x1,4,x4,5，分类讨论：

x92①当a5时，fxax②当a4时，fxx449a2ax，函数的最大值2a45,a，舍去；

xx244aax5，此时命题成立；

xx2

1

③当4a5时，fxmaxmax4aa,5aa，则：

994aa5aa4aa5aa或，解得：a或a

224aa55aa59综上可得，实数a的取值范围是,．

24【反馈检测4答案】(,]

3

【反馈检测6详细解析】由题意知底面圆的直径AB2，故底面周长等于2．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n0，

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得24n0解得n90，所以展开图中PSC90，

180

根据勾股定理求得PC=25,所以小虫爬行的最短距离为25

【反馈检测7答案】当0a1时，f(x)的最大值为4ea当a2时，f(x)的最大值为e

2a22，当1a2时，f(x)的最大值为4ae，【反馈检测7详细解析】f(x)xe∴f(x)2xe1ax2ax(a0)，

x2(a)eaxeax(ax22x)．

2

1

③当22时，即0a1时，f(x)在(1,2)上是增函数，∴[f(x)]maxf(2)4e2a

a2a22，当1a2时，f(x)的最大值为4ae， 综上所述，当0a1时，f(x)的最大值为4e当a2时，f(x)的最大值为ea.

2


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