2019年全国高中数学联赛模拟试卷9套及答案

2023年12月2日发(作者：上海中学中考数学试卷)

全国高中数学联赛模拟试题(一)

第一试

一、

选择题：（每小题6分，共36分）

2221、 方程6×(5a＋b)＝5c满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是

（A）1 （B）3 （C）4 （D）5

x22、 函数y（x∈R，x≠1）的递增区间是

x1（A）x≥2

（C）x≤0

（B）x≤0或x≥2

（D）x≤12或x≥2

3、 过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为

（A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0

（C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0

4、 若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在0,上有两个不同的实数解x，则参数a的取2值范围是

（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1

（C）a＜1 （D）0＜a＜1

5、 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是

（A）42 （B）45 （C）48 （D）51

6、 在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是

（A）8 （B）10 （C）14 （D）16

二、

填空题：（每小题9分，共54分）

1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程12×[x＋x]＝19x＋99的实数解x2是 ．

22、设a1＝1，an+1＝2an＋n，则通项公式an＝ ．

993、数7被2550除所得的余数是 ．

4、在△ABC中，∠A＝5，sinB＝，则cosC＝ ．

133225、设k、是实数，使得关于x的方程x－(2k＋1)x＋k－1＝0的两个根为sin和cos，则的取值范围是 ．

6、数5242n（n∈N）的个位数字是 ．

三、

（20分） 已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．

求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．

四、

（20分）

2（1） 求出所有的实数a，使得关于x的方程x＋(a＋2002)x＋a＝0的两根皆为整数．

322（2） 试求出所有的实数a，使得关于x的方程x＋(－a＋2a＋2)x－2a－2a＝0有三个整数根．

五、

（20分）

试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x＋(y－7)≤r}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何∈R，都有cos2＋xcos＋y≥0}之中．

222

第二试

一、（50分）

2 设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z－(a－c)z－b＝0．

a2bacz1的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0． 求证：acb

二、（50分）

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：

（1）

AK⊥BC；

A

P

B

D

K

Q

C （2）

AKAPAQ

2S△ABC，其中S△ABC表示△ABC的面积．

BC

三、（50分）

给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程：

ai4(j1,2,3,,n)．

ij2j1i1n

确定和式Sai的值（写成关于n的最简式子）．

i12i1n参考答案

第一试

一、选择题：

题号

答案

二、填空题：

1、1

C

2

C

3

D

4

A

5

B

6

D

1811587或；

3838

2、7×2－n－2n－3；

n-12 3、343； 4、5312；

26；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）．

5、{|＝2n＋或2n－，n∈Z}

21111xyxzyz三、证略，等号成立的条件是xyz或2或2或2．

3y0z0z0四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．

五、rmax＝42．

第二试

acac4bi一、证略（提示：直接解出z，通过变形即得充分性成立，然22后利用反证法证明必要性）．

二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点，2S△ABC从而AK⊥BC；记AR与PQ交于点T，则＝AR＞AT＞AQ＝AP，对于AK＜AP，可证BC∠APK＜∠AKP）．

三、S

12n121． 全国高中数学联赛模拟试题(二)

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、 若集合S＝{n|n是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为

（A）空集 （B）单元集 （C）二元集 （D）无穷集

2322、 若多项式x－x＋1能除尽另一个多项式x＋x＋ax＋b（a、b皆为常数）．则a＋b等于

（A）0 （B）－1 （C）1 （D）2

223、 设a是整数，关于x的方程x＋(a－3)x＋a＝0的两个实根为x1、x2，且tan(arctan

x1＋arctan

x2)也是整数．则这样的a的个数是

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

4、 设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V2．则V2为

V1（A）1

2 （B）2

3（C）常数，但不等于12和

23（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关

5、 在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为

（A）1001 （B）1010 （C）1011 （D）1013

6、 在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是

（A）36 （B）37 （C）48 （D）49

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、 若直线xcos＋ysin＝cos2－sin2（0＜＜＝与圆x＋y＝221有公共点，4则的取值

范围是 ．

2、 在平面直角坐标系xOy中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x轴相切．则此圆的半径等于 ．

3、 若常数a使得关于x的方程

2lg(x＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0

有惟一解．则a的取值范围是 ．

x24、

f(x)＝＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是 ．

85、 若k是一个正整数，且2整除

212ii40062003C0

4006C40063C40063C40063k则k的最大值为 ．

6、 设ABCD为凸四边形，AB＝7，BC＝4，CD＝5，DA＝6，其面积S的取值范围是(a,b] ．则a＋b＝ ． 三、（20分）

设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．

四、（20分）

设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．

五、（20分）

4222试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x的方程x＋(2b－a)x－2ax＋b－1＝0的各个根均是整数．

第二试

一、（50分）

点P在△ABC内，且∠BAP＝∠CAP，连结BP并延长交AC于点Q．设∠BAC＝60°，且111．

BPPCPQ求证：P是△ABC的内心．

二、（50分）

设正数a、b满足ab2且使得关于x的不等式

x1≥ax1b

总有实数解．试求f(a,b)＝a－3ab＋b的取值范围．

三、（50分）

试求出正整数k的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k个整数a1,a2,…,ak（允许相等），必定存在相应的k的整数x1,x2,…,xk（也允许相等），且|xi|≤2(i＝1,2,…,k)，|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0，使得2003整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak．

参考答案

22第一试

一、选择题：

题号

答案

二、填空题：

1、1

C

2

C

3

B

4

A

5

D

6

C

25,,；

6336

2、1565；

3、1631,；

62

4、－1；

5、2004； 6、2210．

三、e,1．

四、a2n＝2－2n－3；a2n+1＝3×2－2n－4．

2五、(a,b)＝(2l―1,l―l―1)(l∈Z)

第二试

一、证略（提示：将条件变形为n+2

n+112PCPAPC1，然后应用正弦定理，进行三角变换，得PAPBPQ∠BPC＝120°，利用同一法即证）；

二、(－∞，－1)．

三、kmin＝7．

全国高中数学联赛模拟试题(三)

第一试

一、

选择题（每小题6分，共36分）：

a2x21、函数fx是奇函数的充要条件是

xaa（A）－1≤a＜0或0＜a≤1

（C）a＞0

（B）a≤－1或a≥1

（D）a＜0

2、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l：y＝kx．当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是

（A）点A在直线l上 （B）点B在直线l上

（C）点C在直线l上 （C）点A、B、C均不在直线l上

3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于60°．这样的直线l可以做

（A）4条 （B）3条

（C）2条 （D）1条

D1

A1

D

B1

C1

4、整数的nC100200两位质因数的最大值是

（A）61 B）67 （C）83 （D）97

C

B

A

5、若正整数a使得函数yfxx132ax的最大值也是整数，则这个最大值等于

（A）3 （B）4 （C）7 （D）8

6、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2003个数是

（A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006

二、

填空题（每小题9分，共54分）：

21、在复平面上，Rt△ABC的顶点A、B、C分别对应于复数z＋1、2z＋1、(z＋1)，A为直角顶点，且|z|＝2．设集合M＝{m|z∈R，m∈N+}，P＝{x|x＝m1，m∈M}．则m2集合P所有元素之和等于 ．

42、函数f(x)＝|sinx|＋sin2x＋|cosx|的最大值与最小值之差等于 ．

3、关于x的不等式

x22a22xa24a70

222xa4a5xa4a7的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是 ．

4、银行计划将某项资金的40%给项目M投资一年，其余的60%给项目N．预计项目M有可能获得19%到24%的年利润，N有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是 ．

5、已知点(a,b)在曲线arcsinx＝arccosy上运动，且椭圆ax＋by＝1在圆x＋y＝222223的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb的取值范围是 ．

6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan(＋)的值是 ．

三、

（20分）

△ABC的三边长a、b、c（a≤b≤c）同时满足下列三个条件

（i）a、b、c均为整数；

（ii）a、b、c依次成等比数列；

（iii）a与c中至少有一个等于100．

求出(a,b,c)的所有可能的解．

四、

（20分）

在三棱锥D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．

五、

（20分）

设正系数一元二次方程ax＋bx＋c＝0有实根．证明：

24（1）

max{a,b,c}≥(a＋b＋c)；

91（2）

min{a,b,c}≤(a＋b＋c)．

4

第二试

一、（50分）

已知△ABC的外角∠EAC平分线与△ABC的外接圆交于D，以CD为直径的圆分别交BC、CA于点P、Q．

求证：线段PQ平分△ABC的周长．

二、（50分）

已知x0＝1，x1＝3，xn+1＝6xn－xn-1（n∈N+）．

求证：数列{xn}中无完全平方数．

三、（50分）

有2002名运动员，号码依次为1，2，3，…，2002．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．

参考答案

第一试

一、选择题：

题号

答案

二、填空题：

1、1

C

2

D

3

B

4

A

5

C

6

B

1；

7

2、2；

4、10%；

6、3、[1,3]；

5、,,；

644343R．

3a三、可能解为(100,100,100)，(100,110,121)，(100,120,144)，(100,130,169)，(100,140,196)，(100,150,225)，(100,160,256)，(49,70,100)，(64,80,100)，(81,90,100)，(100,100,100)．

四、arccos

五（1）证略（提示：令a＋b＋c＝t，分b≥（2）证略（提示：分a≤

第二试

一、证略；

二、证略（提示：易由特征根法得xn＝b2c2a2．

44；

t和b＜t讨论）9911；

t和a＞t讨论）4413222，设322nnyn＝132222

三、43．

322，于是xnn2n22yn1，原结论等价于方程x4－2y2＝1无整数解，由数论只是可证）． 全国高中数学联赛模拟试题(四)

第一试

一、

选择题：（每小题6分，共36分）

1、 空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论

（1） 没有任何两个平面互相平行；

（2） 没有任何三个平面相交于一条直线；

（3） 平面间的任意两条交线都不平行；

（4） 平面间的每一条交线均与n2个平面相交．

其中，正确的个数为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2、 若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)时，f(c)的近似值可表示为

（A）fafb

2 （B）fab

2（C）bcfacafb

ba222（D）facafbfa

ba3、 设a＞b＞c，a+b+c=1，且a+b+c=1，则

（A）a+b＞1 （B）a+b=1

（C）a+b＜1 （D）不能确定，与a、b的具体取值有关

x2y2334、 设椭圆221的离心率e，已知点P0,到椭圆上的点的最远距离2ab27，则短半轴之长b=

411（A） （B）

168是 （C）1

4 （D）1

25、

S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A的个数是

（A）C2003

3

22（B）C1001C1002

322（C）A1001A1002 （D）A2003

6、 长方体ABCDA1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有

（A）V4＜V1+V2+V3

（B）V4=V1+V2+V3

（C）V4＞V1+V2+V3

（D）不能确定，与长方体的棱长有关

二、

填空题：（每小题9分，共54分）

sin3cos3k，则k的取值范围为 ． 1、已知sincos2、等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x+y=10上，则这样的等差数列共有 个．

3、在四面体PABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则222a的取值范围b为 ．

4、动点A对应的复数为z=4(cos+isin)，定点B对应的复数为2，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D，则D所在的轨迹方程为 ．

20035、3k1k被8所除得的余数为 ．

6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为 ．

三、

（20分）

已知抛物线y=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．

2

四、

（20分）

单位正方体ABCDA1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M．

（1）求证：AN、B1M为异面直线；

（2）求出AN与B1M的夹角．

五、

（20分）

对正实数a、b、c．求证：

a28bcb28acc28ab≥9．

abc

第二试

一、

（50分）

设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时，

（1）证明：AB≥2BC；

（2）求AQ·BQ的值．

二、

（50分）

给定由正整数组成的数列

a11,a22（n≥1）．

aaan1nn2（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点

(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，…

22均在曲线x+xyy+1=0上．

nn-12

（2）若设f(x)=x+xanxan-1，g(x)=xx1，证明：g(x)整除f(x)．

三、

（50分）

我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划，如果

（1）A1A2AnA；

（2）AiAj，1≤i＜j≤n．

求最小正整数m，使得对A＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有两个元素a、b满足b＜a≤9b．

8

参考答案

第一试

一、选择题：

题号

答案

二、填空题：

1、1,,1 ；

221

D

2

C

3

A

4

C

5

B

6

C

11 2、17；

2x14、

3、23,1；



4y21；

35、4； 6、117600．

l2l2,0l2p,M8p,08p三、．

lp,l2p,Mlp,plp2222四、（1）证略；

五、证略．

第二试

一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2，此时∠APB＝90°）；

（2）AQ·BQ=1．

二、证略（提示：用数学归纳法）．

三、m=117．

（2）arccos．

23全国高中数学联赛模拟试题(五)

第一试

一、 选择题：（每小题6分，共36分）

1、在复平面上，非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上，z1z2的实部为零，argz1=，则z2=

6（B）（A）33i

223333i （C）i

2222（D）33i

2212、已知函数fxlogaax2x在[1,2]上恒正，则实数a的取值范围是

2（A）15,

2832 （B）3,

21,

2（C）,,

1528 （D）3、已知双曲线过点M(2,4)，N(4,4)，它的一个焦点为F1(1,0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是

22x1y4（A）25161（y≠0）或x=1（y≠0）

22x1y4（B）16251（x≠0）或x=1（y≠0）

22x4y1（C）25161（y≠0）或y=1（x≠0）

22x4y1（D）16251（x≠0）或y=1（x≠0）

4、已知正实数a、b满足a+b=1，则M1a212b的整数部分是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

5、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是

（A）9米 （B）10米 （C）12米 （D）15米

6、一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n个车站（n＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是

（A）12 （B）13 （C）14 （D）15

二、 填空题：（每小题6分，共36分）

1、长方形ABCD的长AB是宽BC的23倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD与BC重合折痕线EF、GH分别交原对角线AC于M、N，则折后截面AMN与底面AFH所成的角是 ．

2、在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，且满足a2+b2=2c2，则角C的最大值是 ．

3、从盛满a升（a＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n次操作后溶液的浓度是 ．

4、已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意x≥0，规定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}．若f(x)=3x，g(x)=2x5，则f(x)*g(x)的最大值为

．

5、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有

不同的取法．

536、若实数a＞0，则满足aa+a=2的a值属于区间：①0,63；②62,63；③63,；④0,32．其中正确的是 ．

三、 （20分）

求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积

四、 （20分）

222222直线Ax+Bx+C=0（A·B·C≠0）与椭圆bx+ay=ab相交于P、Q两点，O为坐a2b2a2b22标原点，且OP⊥OQ．求证：．

22CAB

五、 （20分） 某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c（万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？

表1 各部每1万元营业额所需人数表

部门

百货部

服装部

家电部

部门

百货部

服装部

家电部

第二试

人数

5

4

2

利润

0.3万元

0.5万元

0.2万元

表2 各部每1万元营业额所得利润表 一、 （50分）

矩形ABCD的边AD=·AB，以AB为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不222同于A、B的一点P，连PC、PD交AB于E、F，若AE+BF=AB，试求正实数的值．

二、 （50分）

若ai∈R（i=1,2,…,n），Sn+ai1ni，且2≤n∈N．

3ak1n2ak． 求证：≥n1Sak1k1k

三、 （50分）

无穷数列{cn}可由如下法则定义：cn+1=|1|12cn||，而0≤c1≤1．

（1）证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．

（2）存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T为周期（对于每个T=2,3,…）？

参考答案 第一试

一、选择题：

题号

答案

二、填空题：

1、1

A

2

C

3

A

4

B

5

C

6

C

；

6n 2、；

3

13、1；

a 4、231；

5、2500； 6、③④．

三、证略．

四、证略．

五、8，23，29或10，20，30（万元），对应40，92，58或50，80，60（人）．

第二试

一、2；

2

二、证略．

三、 （1）证略．

（2）无穷个．

全国高中数学联赛模拟试题(六)

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

7、

a、b是异面直线，直线c与a所成的角等于c与b所成的角，则这样的直线c有

（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）无数条

28、 已知f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)g(x)=x+2x+3，则f(x)+g(x)=

2222（A）x+2x3 （B）x+2x3 （C）x2x+3 （D）x2x+3

9、 已知△ABC，O为△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=2，则使AB+BC+CA≥3m(AO+BO+CO)

成立的m的最大值是

（A）2 （B）5

3 （C）3 （D）3

210、 设x=0.82，y=sin1，z=log37则x、y、z的大小关系是

（B）y＜z＜x （C）z＜x＜y （D）z＜y＜x

0.5（A）x＜y＜z

11、

101995整数95的末尾两位数字是

103（A）10 （B）01 （C）00 （D）20

223312、 设(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数．设(a,b)=1，则(a+b,a+b)为

（A）1 （B）2 （C）1或2 （D）可能大于2

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、若f(x)=x10+2x92x82x7+x6+3x2+6x+1，则f(21)= ．

2、设F1、F2是双曲线x2y2=4的两个焦点，P是双曲线上任意一点，从F1引∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹方程是 ．

3、给定数列{xn}，x1=1，且xn13xn13xn，则x1999x601= ．

4、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是CD中点，F是BB1中点，则四面体AD1EF的体积是 ．

yx15、在坐标平面上，由条件所限定的平面区域的面积是 ．

y2x36、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要 周．

三、（20分） x2y2已知椭圆221过定点A(1,0)，且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=x的ab交点为B、C．现有以A为焦点，过B、C且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M(m,0)．当椭圆的离心率e满足2e21，求实数m的取值范围．

3

四、（20分）

a、b、c均为实数，a≠b，b≠c，c≠a．

证明：ab2cbc2aca2b3≤＜2．

2abbcca

五、（20分）

432 已知f(x)=ax+bx+cx+dx，满足

（i）a、b、c、d均大于0；

（ii）对于任一个x∈{2, 1,0,1,2}，f(x)为整数；

（iii）f(1)=1,f(5)=70．

试说明，对于每个整数x，f(x)是否为整数．

第二试

一、（50分）

设K为△ABC的内心，点C1、B1分别为边AB、AC的中点，直线AC与C1K交于点B2，直线AB于B1K交于点C2．若△AB2C2于△ABC的面积相等，试求∠CAB．

二、（50分）

设wcos5isin5，f(x)=(xw)(xw)(xw)(xw)．

379 求证：f(x)为一整系数多项式，且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．

三、（50分）

在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．

参考答案

第一试

一、选择题：

题号 1 2

答案 D A

二、填空题：

1、4；

3、0；

5、16；

三、1,32．

4

四、证略．

五、是．

一、60°；

二、证略．

三、100．

3 4 5 6

C B C C

2、x2+y2=4；

4、524；

6、5．

第二试 全国高中数学联赛模拟试题(七)

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、设logab是一个整数，且loga①1logablogba2，给出下列四个结论

b

②logab+logba=0；

④ab1=0．

（C）3 （D）4

1ba2；

b

③0＜a＜b＜1；

其中正确结论的个数是

（A）1 （B）2

a2a2b2c02、若△ABC的三边长a、b、c满足，则它的最大内角度数是

a2b2c30（A）150° （B）120° （C）90° （D）60°

2b2x2y23、定长为l（l）的线段AB的两端点都在双曲线221（a＞0，b＞0），aab则AB中点M的横坐标的最小值为

（A）al2ab22 （B）al2ab22

（C）al2a2ab

22 （D）al2a2ab

22

4、在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

5、设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G=形面积是

（A）6

x1x2y1y2,x1,y1E,x2,y2F所组成的图22 （C）6.5 （D）7 （B）2

6、正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使D在面ABC外，这时DB与面ABC所成的角一定不等于

（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、已知24，则sinsinsinsin的值等cos4cos3cos3cos2cos2coscos于 ．

2、1111= ．

1212312320043、在Rt△ABC中，AB＝AC，以C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB内，且椭圆过A、B点，则这个椭圆的离心率等于 ．

4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选法．

zzzabi5、设a、b均为正数，且存在复数z满足，则ab的最大值等z1于 ．

6、使不等式8n7对惟一的一个整数k成立的最大正整数n为 ．

15nk13

三、（20分）

22已知实数x、y满足x+y≤5．求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|的最大值与最小值．

四、（20分）

2经过点M(2,1)作抛物线y=x的四条弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列．

求证：

五、（20分）

PMPMP1MP2M34．

MQ1MQ2MQ3MQ4n为正整数，r＞0为实数．证明：方程xn+1+rxnrn+1=0没有模为r的复数根．

第二试

一、（50分）

设C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆，点D、E、F分别是从I出发垂直于边BC、CA和AB的直线C(I)的交点．

求证：AD、BE和CF三线共点．

二、（50分）

222 非负实数x、y、z满足x+y+z=1．

求证：1≤xyz≤2．

1yz1zx1xy

三、（50分）

对由n个A，n个B和n个C排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n=2的一个例子．

A C B C B A

B A A A C

C A A B

B A C

C B

A

求所有的正整数n，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．

参考答案

第一试

一、选择题：

题号

答案

二、填空题：

1、1

A

2

B

3

D

4

A

5

D

6

D

3；

3 2、4008；

2005

3、63；

5、

4、816；

6、112．

1；

8

三、最大值2765，最小值27310．

四、证略．

五、证略．

第二试

一、证略；

二、证略．

三、

n=1．

全国高中数学联赛模拟试题(八)

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、已知n、s是整数．若不论n是什么整数，方程x28nx+7s=0没有整数解，则所有这样的数s的集合是

（A）奇数集

（C）偶数集

（B）所有形如6k+1的数集

（D）所有形如4k+3的数集

2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是

（A）16966 （B）16975 （C）16984 （D）17009

3、非常数数列{ai}满足ai21aiai1ai20，且ai1ai1，i=0,1,2,…,n．对于给定的自然数n，a1=an+1=1，则（A）2

ai0n1i等于

（C）1 （D）0 （B）1

2

24、已知、是方程ax+bx+c=0（a、b、c为实数）的两根，且是虚数，是实数，则的值是

k15985k（A）1 （B）2

2

2（C）0

2

2 （D）3i

221b1c1a1c1a1b，则A的5、已知a+b+c=abc，Abcacab值是

（A）3 （B）3

n（C）4 （D）4

6、对xi∈{1,2,…,n}，i=1,2,…,n，有xii1nn1，x1x2…xn=n！，使x1,x2,…,xn，2 （D）9

一定是1,2,…,n的一个排列的最大数n是

（A）4 （B）6 （C）8

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、设点P是凸多边形A1A2…An内一点，点P到直线A1A2的距离为h1，到直线A2A3的距离为h2，…，到直线An-1An的距离为hn-1，到直线AnA1的距离为hn．若存在点P使aa1a2n（ai=AiAi+1，i=1,2,…,n1，an=AnA1）取得最小值，则此凸多边h1h2hn形一定符合条件 ．

2、已知a为自然数，存在一个以a为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a的最小值是 ．

a22asin23、已知Fa,2，a、∈R，a≠0．那么，对于任意的a、，F(a,)a2acos2的最大值和最小值分别是 ．

4、已知t＞0，关于x的方程为xtx22，则这个方程有相异实根的个数情况是

．

5、已知集合{1,2,3,…,3n1,3n}，可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z}，其中x+y=3z，则满足上述要求的两个最小的正整数n是 ．

6、任给一个自然数k，一定存在整数n，使得xn+x+1被xk+x+1整除，则这样的有序实数对(n,k)是（对于给定的k） ．

三、（20分）

过正方体的某条对角线的截面面积为S，试求S最大S最小之值．

四、（20分）

数列{an}定义如下：a1=3，an=3an1（n≥2）．试求an（n≥2）的末位数．

五、（20分）

+ 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1．

证明：13222≤a+b+c+4abc＜1．

27

第二试

一、（50分）

已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．

二、（50分）

M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．

三、（50分）

32实系数多项式f(x)=x+ax+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．

参考答案 第一试

一、选择题：

题号 1 2

答案 C B

二、填空题：

1、该凸多边形存在内切圆；

3、23，23；

5、5，8；

三、233．

四、7．

五、证略．

一、证略；

二、证略．

三、 有．

3 4 5 6

D C C C

2、5；

4、9；

6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．

第二试

全国高中数学联赛模拟试题(九)

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、 设集合M={2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是

（A）45 （B）27 （C）15 （D）11

2、 已知sin2=a，cos2=b，0＜＜，给出tan值的五个答案：

44③①b；

1a ②a；

1b1b；

a④1aab1； ⑤．

bab1其中正确的是：

（A）①②⑤ （B）②③④ （C）①④⑤ （D）③④⑤

3、 若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是

（A）64 （B）66 （C）68 （D）70

4、 递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为

（A）729 （B）972 （C）243 （D）981

1594m15、

CnCnCnCn（其中m，[x]表示不超过x的最大整数）的4n1值为

（A）2ncosn

4 （B）2nsinn

4

（C）1n1nn22cos24

 （D）1n1nn22sin246、 一个五位的自然数abcde称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是

（A）8568 （B）2142 （C）2139 （D）1134

二、填空题：（每小题9分，共54分）

x2y21上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足）1、 过椭圆，并延长32PH到Q，使得HQ=PH（≥1）．当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是

．

2、 已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角（0＜＜90°）的直线l，则这样的直线l的条数是f()= ． 3、 不等式14x212x22x9的解集为 ．

4、 设复数z满足条件|zi|=1，且z≠0，z≠2i，又复数使得则复数2的辐角主值的取值范围是 ．

5、 设a1,a2,…,a2002均为正实数，且2iz为实数，z2i1111，则a1a2…a20022a12a22a20022的最小值是 ．

6、 在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过（nn为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ．

三、（20分）

已知数列{an}是首项为2，公比为（1） 用Sn表示Sn+1；

1的等比数列，且前n项和为Sn．

2Sk1c（2） 是否存在自然数c和k，使得＞2成立．

Skc

四、（20分）

设异面直线a、b成60°角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动．求线段AB中点P的轨迹方程．

五、（20分）

+已知定义在R上的函数f(x)满足

+ （i）对于任意a、b∈R，有f(ab)=f(a)+f(b)；

（ii）当x＞1时，f(x)＜0；

（iii）f(3)=1．

2+现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)|f(p+1)f(5q)2＞0，p、q∈R}，集合B={(p,q)|f(明理由．

p1+)+=0，p、q∈R}．试问是否存在p、q，使AB，说q2

第二试

一、（50分）

如图，AM、AN是⊙O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、N的点，过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P．若S⊙O23S△POQ，求证：∠POQ=60°．

M

P

O

L

A

N

Q

二、（50分）

已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1an（n≥1）．求所有的正整数n，使得1+5anan+1是完全平方数．

三、（50分）

设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点，其中p为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：

（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点；

（2） 三角形的内心是坐标原点．

参考答案

第一试

一、选择题：

题号 1 2 3 4 5 6 答案

二、填空题：

A C B D D B

1、3；

,13

0,0301,302、f2,3060；

3,604,0904、arctan 3、145,00,；

282002

4,；

3

5、4002；

110n18n11426、．

29763三、（1）Sn1

1Sn2；

2 （2）不存在．

x2y21． 四、9

五、不存在．

第二试

一、证略；

二、n=3．

三、

p≠2,7,11,13时，324个；p=2时，162个；p=7,11,13时，180个．