高等数学2答案

2023年12月11日发(作者：语文和数学试卷先写哪个)

高等数学2答案

【篇一：高等数学2(下册)试题答案以及复习要点(完整版)】

lass=txt>一. 选择题 (每题3分,共15分)

1. 设f(x,y)具有一阶连续偏导数，若f(x,x)?x，fx(x,x)?x?2x，则

2

fy(x,x)? [a ]

23224

(a) x?x3 ； (b) 2x2?2x4 ； (c) x2?x5 ； (d) 2x?2x2 。

解：选a 。

f(x,x2)?x3 两边对 x 求导：

fx(x,x2)?fy(x,x2)?2x?3x2，将 fx(x,x2)?x2?2x4 代入得

x2?2x4?2xfy(x,x2)?3x2 ，故 fy(x,x2)?x?x3 。

2．已知?axy3?y2cosx?dx??1?bysinx?3x2y2?dy为某二元函数的全微分，则a和b的值分别为[ c] (a) –2和2； (b) –3和3；

(c)2和–2；(d) 3和–3；

解：选c 。 ?q?p

?bycosx?6xy2??3axy2?2ycosx b??2,a?2 ?x?y

3. 设∑为曲面z=2－(x2+y2)在xoy平面上方的部分，则i???zds=[ d]

?

(a)?d??

2?

?b??0

?c??0

。

02?

2?

?d??0

2?

?2?r?4rrdr；

d???2?r?4rrdr； d???2?r?rdr；

d???2?r1?4rrdr

2?r

2

22 02

22

2

2

2

22

解：选d 。

i??d??

2?2

?2?r2

?4r2rdr 。

4. 设有直线l:?

?x?y?4z?1?0

，曲面z?x2?y2?z2在点(1,1,1)处的切平面?，则

?x?y?3?0

直线l与平面?的位置关系是： [c ] (a) l??； (b) l//?； (c) l??； (d)

l与?斜交 。

解：选c 。

i j k?

曲面f(x,y,z)?x2?y2?z2?z?0在l 的方向向量 s?1 ?1 ?4?{4,?4,2}，

1 1 0

??f?f?f??

点(1,1,1)处的切平面?的法向量n?{,,}(1,1,1)?{2,?2,1}。由于n//s，

?x?y?z

因此l?? 。

22

5. 设f(x,y)?x?2y?y?x?y?1，则下面结论正确的是 [b]

11

(a) 点（?，?）是 f(x,y) 的驻点且为极大值点 ；

2211

(b) 点（?，?）是极小值点 ；

22

(c) 点（0，0）是 f(x,y) 的驻点但不是极值点 ； (d) 点（0，0）是极大值点 。。

解：选b 。

二. 填空题 (每题3分,共15分)

1．设 z?ln(xy) ，则 x解：

1 ?z?z

?y? 。 ?x?y

1

或。 zln(xy)

y(x2?y2)

u?e2．函数 ，则 du? 。

??2xydx??x2?3y2?dy?。 y?4??

3. 曲线?x2?y2在点(2,4,5)处的切线方程 。

z??4?

x?2y?4z?5

解：切线方程 。 ??

101

3223

4．设l是圆周x2+y2=a2 (a0)负向一周,则曲线积分?x?xy?dx??xy?y?dy= _______。

l解：du?ey?x

2

?y2

解：曲线积分?x?xy?dx??xy?y?dy＝?

3

2

2

3

l

?a4

2

。

5．交换二次积分的次序：?dy0

1

2?y2y

f(x,y)dx=。

2

2?x2

解：

?dy0

1

2?y2f(x,y)dx=?dx?

1 x2

f(x,y)dy??dx?

1

f(x,y)dy。

三.求解下列各题（每题8分，共16分）

?2z?z

?y?x?y

?zx

?ecosy?f1?2yf2 （2分）

?y?z

?exsiny?f1?2xf2（2分）?x?2z

?excosy?f1?exsiny??f11excosy?2yf12??2x?f21excosy?2yf22??x?y

（2分） ?excosy?f1?f11e2xsinycosy?2yexsinyf12?2xf21excosy?4xyf22

x

2

2

?excosy?f1?e2xsinycosy?f11?2ex?xcosy?ysiny?f12?4xyf22（2分）

xy

2．设函数 f(x,y) 具有一阶连续偏导数，z?z(x,y) 是由方程f(,)?0 所确

zz

?z?z

定的隐函数，试求表达式 x?y 。

?x?y

xy

解法一：方程 f(,)?0 两端对x求导：

zz

z?xzxyzxzf1zf2

z?f?f?0 ? z?，同理可求，6分） y12x22

xf1?yf2zzxf1?yf2

?z?z

? x?y?z 。（2分）

?x?y

xy111 解法二：令 u(x,y,z)?f(,)，则 ux?f1 , uy?f2 ，uz??2[xf1+yf2] ,

zzzzz

（3分）

uyuzf2zf1

（3分） ， zy???于是，zx??x?

uzxf1?yf2uzxf1?yf2

? x

?z?z

?y?z （2分）

?x?y

四．计算下列各题（每题8分，共32分）

1．计算积分i?

x2?y2?x?y

???x?y?dxdy。

解：极坐标：令 x?rcos? , y?rsin? ，则

i???d??

?43?4

sin??cos?0

r2(sin??cos?)dr （3分）

3?

14

(sin??cos?)4d? （2分）???

3?4

14?

(1?sin2??sin22?)d?? （3分） ??? 3?42

3?

2．计算三重积分???zdv，其中?为曲面z?2?x2?y2及z?x2?y2所围成的闭

?

区域。

解：联立?的两曲面方程，得交线：x2?y2?1，(z?1)；

投影柱面：x2?y2?1；?在xoy面的投影域为：dxy:x2?y2?1(z?0)，

用柱面坐标：?：0?r?1,0???2?,r2?z?2?r2,（2分）

2?

1

2?r2

???zdv????z?rdrd?dz???

? ?

d??dr?2

r

r?zdz（2分）

?2???rdr?

1

2?r2?r4 （2分）

0217?

（2分） ?????2r?r3?r5?dr?

012

1

??

3．计算曲线积分

解：设

??e

l

x

siny?8ydx?excosy?8dy，其中l是由点a（a，0）到点

2

2

???

o（0，0）的上半圆周 x?y?ax(y?0,a?0)

p?x??exsiy?n8y,q?x??excoy?s8， 由格林公式得到

?q?p??excosy?excosy?8?8?x?y

l?oa

?e

x

siny?8ydx?excosy?8?

??

?q?p????????x??y??dxdy?8????

d

d

dxdy??a2 （4分）

i?

l?oa

?

oa?

?

??q?p???????x??y??dxdy??? ?d?oa

??8dxdy?0??a

d

2

（4分）

4．计算??(x?y?z)ds，其中曲面?为球面x2?y2?z2?a2上z?h(0?h?a)的部分。

解：曲面?的方程为z =a?x2?y2，其在xoy坐标面上的投影区域d为：

x2?y2?a2?h2，

?(zx)2?(zy)2=

aa?x2?y2

d

，（3分）

aa?

x2

?y2

d?

??

?

(x?y?z)ds=

??

(x?y?a?x2?y2)

=??

a(x?y)a2

?x2

?y2

d

d?+

??

d

ad?

（3分）

由积分区域和被积函数的对称性得

??

a(x?y)a2

?x2

?y2

d d?=0，且

??ad??a?(a?h)， 所以??(x?y?z)ds=a?(a

d

?

22

2

?h2)。（2分）

1n

五．（8分）求幂级数 ?(n?)x 的和函数，并求数项级数

nn?1

?

?

n2?11n

() 的和。 ?n2n?1

?

n2?1n?n?1n

x??nx??x （2分） 解： ?nn?1n?1n?1n??

1n?1

＝x?nx??xn

n?1n?1n

＝x?(x)????xn?1dx （2分）

n

n?1

n?1

??

x

x11＝x(?1)???

01?x1?x

x

?ln(1?x)(?1?x?1)， （2分） ＝

(1?x)2

1

取 x? ，得

2

n2?11n

()?2?ln2 。（2分） ?n2n?1

?

六．（8分）求解微分方程 y???3y??2y?e(1?2x) 。 x

【篇二：高等数学2期末复习题与答案】

t>一、填空题：

3?(x2?y2)的定义域是 1. 函数z?x2?y2?1?ln

x^2+y^23 . 2.设z?(1?x)y,则

?z

?(1?x)yln(1?x)?y

(1,2)

3.函数z?ln(1?x2?y2)在点(1,2)的全微分dz

12

?dx?dy33

4．设f(x?y,xy)?x2?y2,则f(x,y)?y

设f(x?y,)?x2?y2,则f(x,y)?x

5.设z?eusinv 而 u?xy v?x?y 则

?z

? exy[xsin(x?y)?cos(x?y)]?y

6．函数 z?x2?y2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，的方向导数是1

?7.改换积分次序?dy?2f(x,y)dx?

；?dy0y?1

y

2

2y

1

f(x,y)dx? .

8．若l是抛物线 y2?x上从点a(1,?1)到点b(1,1)的一段弧，则?xydxl

9.微分方程(1?e2x)dy?ye2xdx?0的通解为二、选择题： 1． tan(xy)

等于 （）（上下求导）

(x,y)?(2,0)ylim

a．2， b.

1

c.0 d.不存在 2

2．函数 z?x?y 的定义域是（ d ）

a．?(x,y)x?0,y?0? b.(x,y)x2?y

2?3） c.(x,y)y?0,x2?y d．(x,y)x?0,y?0,x2?y

??

??

??

?f(x,y)

|(x0,y0)?（ b） 3.

?x

?x?0

f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)

?x?0?x?xf(x0??x,y0??y)?f(x0??x,y0)f(x0??x,y0)d. lim

?x?0?x?x

?x?0

5.设z?f(x2?y2)，且f具有导数，则

?z?z

??（d ） ?x?y

a.2x?2y； b.(2x?2y)f(x2?y2)； c. (2x?2y)f?(x2?y2)； d.

(2x?2y)f?(x2?y2). 6．曲线 x?acost，y?asint，z?amt，在 t?

?

处的切向量是 （ d ） 4

a．(1,1,2) b.(?1,1,2) c.(1,1,2m) d.(?1,1,2m) 7．对于函数f(x,y)?x2?xy ，原点(0,0) （ a ）

a．是驻点但不是极值点b.不是驻点c.是极大值点 d.是极小值点

8．设i=??x2?y2?1dxdy， 其中d是圆环1?x2?y2?4所确定的闭区域，

d

则必有（ ）

a．i大于零b.i小于零c.i等于零d.i不等于零，但符号不能确定。

9. 已知l是平面上不包含原点的任意闭曲线，若曲线积分

xdx?aydy

?lx2?y2?0 ，

则a等于 （ ）.

a -1 b 1 c 2d -2

10．若l为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则曲线积分?(x?y)ds=（）

l a．0 b.1 c.2 d.2

11.设d为x2?y2?2y,则??f(x2?y2)dxdy?（ ）

d

a.?dy?

2

2y?y0

2sin?

f(x?y)dx；b. ?

2

22

2?

01

d??f(r2)rdr；

020

1

c. ?d??

?

f(r)rdr；d. ?dx?

?1

f(x2?y2)dy.

12. 微分方程ex(y??y)?1的通解为（）

?c； ?x?x?c；c.y?(x?c)e?x；d.y?cxe?x 13.（）是微分方程y???y??e?x在初始条件y

x?0

?1,y?

x?0

??1下的特解.

a.y?c1?c2xe?x；b.y??xe?x；c.y?1?2xe?x；d.y?1?xe?x. 三、计算题：

1.设z?f(exsiny,x3?y3)，求

?z?z

及，其中f 具有一阶连续偏导数. ?x?y

?x?y?u?v?u?v

2．设?， 求 ，

?x?x?xsinv?ysinu

3．求旋转抛物面 z?x2?y2?1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程。

4．求函数f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x的极值

5．计算??xy2dxdy，其中d是由圆周 x2?y2?4 及y轴所围成的右 d

半闭区域.

6．计算??e

d

?y2

dxdy，其中d是以o（0,0），a（1,1），b（0,1）为顶点的三角

形闭区域.

7.计算???xdxdydz ，其中?是三个坐标面与平面 x?y?z?1 所围成的区域.

?

8.计算 (2x?y?4)dx?(3x?5y?13)dy，其中l为圆x2?y2?25 的正向边界。

l

9.计算曲线积分

?

l

(y3?x)dy?(x3?y)dx, 其中l是从o(0, 0)沿上半圆

x2?y2?2x到a(2, 0).

10.验证：在整个xoy面内，4sinxsin3ycosxdx?3cos3ycos2xdy是某个函数的全微分，并求出这样的一个函数.

11.求微分方程(x2?1)y??2xy?4x2 的通解.

12.求解微分方程的特解： (y2?3x2)dy?2xydx?0,y(0)?1

13.解微分方程 yy???(y?)2?(y?)3?0

.

四、应用题：

1.用钢板制造一个容积为v的无盖长方形水池，应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板.

2.已知矩形的周长为24cm，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.

【篇三：_高等数学2第十一章答案】

txt>1.计算下列对弧长的曲线积分： （1

）

??l

，其中l为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限内所围成的

扇形的整个边界； （2）

?

?

x2yzds，其中?为折线abcd，这里a、b、c、d依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、

(1,0,2)、(1,3,2)；

（3）

?

l

y2ds，其中l为摆线的一拱x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(0?t?2?).

2.

有一段铁丝成半圆形y?，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。

解 曲线l的参数方程为x?acos?,y?asin??0?????

ds?

??ad?

依题意??x,y??y，所求质量m?

22

yds?asin?d??2a??l

?

习题11-2对坐标的曲线积分

1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）

?(x

l

2

?y2)dx，其中l是抛物线y?

x

2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；

（2）

(x?y)dx?(x?y)dy222

l，其中为圆周（按逆时针方向绕行）； x?

y

?a22??l

x?y

（3）

?

?

xdx?ydy?(x?y?1)dz，其中?是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线； （4）

??dx?dy?ydz，其中?为有向闭折线abca，这里a、b、c依次为点(1,0,0)、

?

(0,1,0)、(0,0,1)；

2.计算

?l

(x?y)dx?(y?x)dy，其中l是：

（1）抛物线y2?x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；

（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；

（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；

（4）曲线x?2t2

?t?1，y?t2?1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。

3.把对坐标的曲线积分

?

l

p(x,y)dx?q(x,y)dy化成对弧长的曲线积分，其中l为：（1）在xoy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；

（2）沿抛物线y?x2

从点(0,0)到点(1,1)；

（3）沿上半圆周x2

?y2

?2x从点(0,0)到点(1,1).

4.设?为曲线x?t，y?t2，z?t上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分

3

?

l

pdx?qdy?rdz化成对弧长的曲线积分。

习题11-3格林公式及其应用

3

1. 利用曲线积分，求星形线x?acost，y?asint所围成的图形的面积。

3

2.计算曲线积分

ydx?xdy22

l，其中为圆周(x?1)?y?2，l的方向为逆时针方向。 ??l2(x2?y2)