2023年12月2日发(作者：扬州技师学院数学试卷)

才哥数学481659882

全国初中数学竞赛初赛试题汇编

（1998-2018）

目录

1998年全国初中数学竞赛试卷 ................................................................................................................. 1

1999年全国初中数学竞赛试卷 ................................................................................................................. 6

2000年全国初中数学竞赛试题解答.......................................................................................................... 9

2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 ............................................................................................. 14

2002年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 15

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 ........................................................................... 17

2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 ................................................................................ 25

2005年全国初中数学竞赛试卷 ............................................................................................................... 30

2006年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 32

2007年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 38

2008年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 46

2009年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 47

2010年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 52

2011年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 57 才哥数学481659882

2012年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 60

2013年全国初中数学竞赛试题 ............................................................................................................... 73

2014年全国初中数学竞赛预赛 ............................................................................................................... 77

2015年全国初中数学竞赛预赛 ............................................................................................................... 85

2016年全国初中数学联合竞赛试题........................................................................................................ 94

2017年全国初中数学联赛初赛试卷...................................................................................................... 103

2018 年初中数学联赛试题 .................................................................................................................... 105

才哥数学481659882

1998年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题：（每小题6分，共30分）

1、已知a、b、c都是实数，并且abc，那么下列式子中正确的是（ ）

（Ａ）abbc（Ｂ）abbc（Ｃ）abbc（Ｄ）2ab

cc2、如果方程xpx10p0的两根之差是1，那么p的值为（ ）

（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5

3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）

（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18

4、已知abc0，并且abbccap，那么直线ypxp一定通过第（ ）象限

cab（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四

5、如果不等式组（ ）

（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个

9xa0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有8xb0二、填空题：（每小题6分，共30分）

6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线y2x3与抛物线yx相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。

9、已知方程ax3a8ax2a13a150（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。

10、B船在A船的西偏北450处，两船相距102km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。

22222三、解答题：（每小题20分，共60分）

1 才哥数学481659882

11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。

12、设抛物线yx22a1x2aa的值；（2）求a323a的值。

186AEE为腰AC中点，点F5的图象与x轴4只有一个交点，（1）求BFC13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。

解 答

1．根据不等式性质，选B．．

2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由

(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，

3．如图3－271，连ED，则

又因为DE是△ABC两边中点连线，所以

故选C．

4．由条件得

2 才哥数学481659882

三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．

当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．

限．

综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，

y=-x-1，则直线通过第二、三、四象 的可以区间，如图3－272．

+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．

6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所

7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，所以

3 才哥数学481659882

8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为

当圆环为50个时，链长为

9．因为a≠0，解得

故a可取1，3或5．

10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B

A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，

所以

4

船分别航行到A1， 才哥数学481659882

11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为

∠ABE＋∠AEB=90°，

∠CED＋∠AEB=90°，

所以 ∠ABE=∠CED．

于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以

又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以

所以

解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为

∠ABE＋∠AEB＝90°，

∠FEH+∠AEB=90°，

所以 ∠ABE=∠FEH，

于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为

所以

12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程

5 才哥数学481659882

有两个相等的实根，于是

(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得

a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，

a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13，

a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169

＝987a＋610，

a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610

=2584a＋1597．

又

因为a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即

(8a+5)(8a-13)=-1．

所以

a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．

13．(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是

W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)

=-800x＋17200．

W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整数)．

由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．

(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，

6 才哥数学481659882

10-y，x＋y-10．于是

W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)

=-500x-300y+17200．

W=-500x-300y+17200，

且

W=-200x-300(x+y)+17200

≥-200×10-300×18＋17200=9800．

当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800．又

W=-200x-300(x＋y)＋17200

≤-200×0-300×10+17200=14200，

当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为14200．

1999年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，

C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）

7 才哥数学481659882

1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）．

A．11 B．12 C．13 D．14

2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）．

A．60元 B．66元 C．75元 D．78元

3．已知，那么代数式的值为（ ）．

A．

B．－ C．－ D．

4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（ ）．

A．30 B．36 C．72 D．125

5．如果抛物线（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．在正五边形ABCDE所在的平面内能等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的 A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满

分30分）

找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相点P的个数为（ ）．

与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是 7．已知

，那么x2 + y2的值为 ．

8．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是

（0＜x＜10）．

8 才哥数学481659882

9．已知ab≠0，a2 + ab－2b2 = 0，那么

的值为 ．

10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第△象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是 ．

11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是 ．

12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两

台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台．

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

13．设实数s，t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求

的值．

14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，

9 才哥数学481659882

且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．

15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：

（1）（10分）证明：可以得到22；

（2）（10分）证明：可以得到2100 + 297－2．

1999年全国初中数学竞赛答案

一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D

．

二、7．10 8．y = 5x + 50 9．

10． 11． 12．6

三、13．解：△s≠0，△第一个等式可以变形为：

又△st≠1，

．

△，t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有

．

即st + 1 =－99s，t = 19s．

△

．

10 才哥数学481659882

14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．

△AB=BD，O是圆心，

△BH△AD．

又△△ADC=90°，

△BH△CD．

从而△OPB△△CPD．

△CD=1．

，

于是AD=．

又OH= AB= BC=CD=，于是

，

．

． 所以，四边形ABCD的周长为

15．证明：

（1）

．

也可以倒过来考虑：

．

（或者

（2）．）

．

或倒过来考虑：

11 才哥数学481659882

．

注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．

2000年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题（只有一个结论正确）

1、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（ ）。

（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。

答：（B）。△M＝abcabNcab2cab2c，N＝，P＝，M－P＝，

322212△a＞b＞c，△ab2ccc2c＞0，即M－P＞0，即M＞P。

12122、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b﹤a），再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。

答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。

（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。

12 才哥数学481659882

答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，△甲－乙＝5。

4、一个一次函数图象与直线y=595，则在线x平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25）44段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。

（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。

答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x＝－1＋4N，y＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，△1≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。

45、设a，b，c分别是△ABC的三边的长，且aab，则它的内角△A、△B的关系是（ ）。

babc（A）△B＞2△A；（B）△B＝2△A；（C）△B＜2△A；（D）不确定。

答：（B）。由aabab得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝a+c，在△ABC与△DAC中，△Cbabcbac为公共角，且BC:AC＝AC:DC，△△ABC△△DAC，△BAC＝△D，△△BAD＝△D，△△ABC＝△D＋△BAD＝2△D＝2△BAC。

6、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1,C1面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1则S与S1的大小关系一定是（ ）。

（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。

答：（D）。分别构造△ABC与△A1B1C1如下：△作△ABC△△A1B1C1，显然，即S＞S1；△设，则，S＝10，，则S1＝，则×100＞10，即S＜S1；△，S1＝10，即S设，则，S＝10，＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。

二、填空题

7、已知：，那么＝________。

13 才哥数学481659882

答：1。△，即。△

。

8、如图，在梯形ABCD中，AB△DC，AB＝8，BC＝6于________。

，△BCD＝45°，△BAD＝120°，则梯形ABCD的面积等

答：66＋6（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝6，△BCD＝45°，得AE＝＋8＋6＝14BF＝FC＝6。由△BAD＝120°，得△DAE＝30°，因为AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2＋2，△的方程。

的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。 9、已知关于答：5。△当整数，知时，；△当，△时，易知是方程的一个整数根，再由有5个。

且是；由△、△得符合条件的整数10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。

答：2.4米。作PQ△BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB△PQ△CD，得及

，两式相加得，由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，14 才哥数学481659882

AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）

11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线面积相等的两部分，那么＝________。

恰好将矩形OABC分成答：。直线通过点D（15，5），故BD＝1。当两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。

时，直线通过，12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。

（注：×100％）

答：17％。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为×100％，依题意得：

×100％＋8％＝×100％＝17％。

三、解答题

13、设数根（1）若是不小于。

，求的值。

的实数，使得关于×100％，解得＝1.17，故这种商品原来的利润率为的方程有两个不相等的实（2）求的最大值。

解：因为方程有两个不相等的实数根，所以

，△（1）因为。根据题设，有

。

，即

15

。 才哥数学481659882

由于，故。

（2）

。

设上是递减的，所以当时，取最大值10。故的最大值为10。

14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积。

解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，△AB:AC＝AE:AB，又△EAB＝△BAC，△△ABE△△ACB，△△ABE＝△ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝3。

△OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。

△，△E是AC的中点，△，

，△，△。

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）

16 才哥数学481659882

解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。

对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，别考虑如下：

设电梯停在第△当层。

时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为△当。

；交。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为。 换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为△当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。

；△当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为，前者比后者多。 交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为△当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为，前者比后者多。 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为今设电梯停在第层，在第一层有人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：

当x＝27，y＝6时，s＝316。

所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。

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2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷

选择题（30分）

2n42(2n)1、化简，得（ ）

n32(2)（A）2n1177n1 (B)

2 (C) (D)

884abbcca （ ）

,,2222、如果a,b,c是三个任意整数，那么（A）都不是整数 （B）至少有两个整数 （C）至少有一个整数 （D）都是整数

3、如果a,b是质数，且a13am0,b13bm0,那么22ba的值为（ ）

ab （A）3 （B） （D）或2 （C）或2

222222224、如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、 1 2

下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（ ） ……

18 才哥数学481659882

（A）6 （B）8 （C）10 （D）12

3 4

5、如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB

交于点D,且PB=4，PD=3，则AD•DC等于（ ） P

（A）6 （B）7 （C）12 （D）16

D C

A B

6、若a,b是正数，且满足12345(111a)(111b)，则a和b之间的大小关系是（ ）

（A）ab （B）ab （C）ab （D）不能确定

填空题（30分）

7、已知：x23232,y23232。那么yx

x2y28、若xxyy14,yxyx28,则xy的值为

9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于

10、销售某种商品，如果单价上涨m％，则售出的数量就将减少值应该确定为

11、在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x

12、已知实数a,b满足aabb1,且tabab，那么t的取值范围是

解答题（60分）

13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）

14、如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A,B两点，并交ST于点C。

求证：

2222m。为了使该商品的销售总金额最大，那么m的1501111(). P

PC2PAPB19 才哥数学481659882

S A

C

O T

15、已知：关于x的方程

(a21)(有实根。

求a取值范围；

若原方程的两个实数根为x1,x2，且,

x2x)(2a7)()110

x1x1x1x32，求a的值。

x11x2111

2002年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（每小题5分，共30分）

1、设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则ab的值为

abA、3 B、6 C、2 D、3

2、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为

A、0 B、1 C、2 D、3

3、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则S四边形AGCDS矩形ABCD等于

DA、CGFB54 B、

65C、32 D、

43AE4、设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋

，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值

33320 才哥数学481659882

A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0

5、设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是

A、222＜a＜ B、a＞

557C、a＜22 D、＜a＜0

7116、A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于

A、ab B、aabb

C、22221ab D、a＋b

2二、填空题（每小题5分，共30分）

7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，

则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。

8、已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则accb的值为 。

9、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。

10、如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OA为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，

这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。

21

AO3OO1O4O2APCBB 才哥数学481659882

11、满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有 ___________个。

12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。

三、解答题（每小题20分，共60分）

13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，2元；由甲、丙两队承包，2个队的承包费用最少？

14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。

23天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，3天完成，需付150000546天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪7QDAC求证：

EDECABQPEDCCPAC2F（2）求证：

PECE2

15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。

证明：（1）2a、2b、c都是整数；

（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？

22 才哥数学481659882

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）

5x22y2z21．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则2的值等于 ( ).

2x3y210z2(A)

119 (B)

 (C)

15 (D)

13

222．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ).

(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元

3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）.

(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°

4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）.

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个

5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).

(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知x13，那么

1112 .

x2x4x223 才哥数学481659882

7．若实数x，y，z满足x

11174，y1，z，则xyz的值为 .

yzx38．观察下列图形：

① ② ③ ④

根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .

9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，∠A=60

A

4622m，则电线杆AB的长为_______m.

影子恰好照在土坡的坡º CD=4m，BC=D

10．已知二次函数yaxbxc（其中a是正整1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交为 .

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

2B

C

（第9题图）

数）的图象经 过点A（－点，则b+c的最大值11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，

与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.

6

解：

14

C

13

D

10

17

E

12

A

D

P

A

15

11

O

5

18

E

O

F

7

B

G

9

H

(第11题图)

B

C

24 才哥数学481659882

12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：

13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.

(第12题图)

CD2BD2ADBD（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.

BC2AB（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

25

C

B

D

A

14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；

（2）求abc的最小值.

才哥数学481659882

(第13 B题图)

26

才哥数学481659882

注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。

13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2(k2)xk0（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2PB2PC2的值.

解：

P

B

(第13A题图)

2

A

O

C

27 才哥数学481659882

14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(ad)(bc)>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(ad)(bc)≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(ad)(bc)≤0？请说明理由.

解：（1）

6

1

2

5

4

3

（2）

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，满分30分）

28 才哥数学481659882

1．D

4x3y6z0,x3z,由 解得 代入即得.

x2y7z0,y2z.2．D

因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.

3．C

如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，

而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以

∠A+

(第3题图)

(第4题图)

C

D

∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

B

A

G

A

M

F

N

E

C

O

B

D

4．D

显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。

222（1）若AB=9，当CD=x时，9x(15)，x35；

当CD=5时，95(x1)，x2141；

222当CD=1时，91(x5)，x455.

222（2）若AB=x，当CD=9时，x9(15)，x313；

222当CD=5时，x5(19)，x55；

222当CD=1时，x1(59)，x197.

222故x可取值的个数为6个.

5．B

设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知kn

n(n1)100，即n2kn1200.

229 才哥数学481659882

因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n=5或n=8. 当n=5时，k=18；当n=8时，k=9. 共有两种不同方案.

6．32.

1x2114133x24x2x24x24x24＝(13)2432。

7．1.

71因为4x11z3xyxx7x3，

11xz1x714xz3x13所以

4(4x3)x(4x3)7x3，

解得

x32.

从而

z7172513x333，y1z13255.

于是

xyz3225531.

8．161.

根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为

1+4+3×4+324+334=1+4+12+36+108=161（个）.

9．62.

A

如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以D

EF=DFtan60°=26（m）.

因为ABtan303BE3，所以B

C

(第9题图F

)

E

ABBE3362（m）.

10.－4.

由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以abc4,4a2bc1,

解得

ba1,

c32a.

30

于F.

CF=DF=22m， 才哥数学481659882

因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以b24ac0，

(a1)24a(32a)0，即(9a1)(a1)0，由于a是正整数，故a1，

所以a≥2. 又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足

题意，故b+c的最大值为－4.

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O

于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，问EP与PD是否相等？证明你的结论.

解：DP=PE. 证明如下：

因为AB是⊙O的直径，BC是切线，

所以AB⊥BC.

由Rt△AEP∽Rt△ABC，得

的切线，OC平行与DE交于点P.

D

P

A

E

O

EPAE . ① ……（6分）

BCAB又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.

故B

(第11题图)

C

EDAEAE2AE ② ……（12分）

BCOB1ABAB2由①，②得 ED=2EP.

所以 DP=PE. ……（15分）

12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：从A城出发到达B城的路线分成如下两类：

（1）从A城出发到达B城，经过O城. 因为从A城到O城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）. ……（5分）

（2）从A城出发到达B城，不经过O城.

必定经过C，D，E城或F，G，H城，所

时. ……（10分）

综上，从A城到达B城所需的最短时间为A→F→O→E→B. ……（12分）

所需的费用最少为：

80×48×1.2=4608（元）…（14分）

答：此人从A城到B城最短路线是A→F用最少为4608元 ……（15

14

13

C

A

15

11

6

这时从A城到达B城，需时间至少为49小D

17

E

10

12

48 小时，所走的路线为：

O

5

F

7

B

18

→O→E→B，所需的费分）

G

31

9

H 才哥数学481659882

13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.

(第12题图)

CD2BD2ADBD（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.

BC2AB（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

解：（1）作DE⊥BC，垂足为E. 由勾股定理得

E

B

D

A

C

CD2BD2(CE2DE2)(BE2DE2)CEBE(CEBE)BC.22

CD2BD2CEBECEBE所以

.

BCBCBCBC2因为DE∥AC，所以

CEADBEBD.

,BCABBCABCD2BD2ADBDADBD故

. ……（10分）

2ABABABBC（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有

AD=0，CD=AC，BD=AB.

CD2BD2AC2AB2BC21， 所以

222BCBCBCADBDAB1.

ABAB从而第（1）小题中的等式成立. ……（13分）

（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立.

作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则

CDBDCEBEBC2BC2

CEBE2CE1,BCBC而2222

E

C

ADBDAB1,

ABABB

A

D

CD2BD2ADBD所以

. ……（15分）

ABBC2〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清

32 才哥数学481659882

者不扣分）.

14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.

（1）求a，b，c中的最大者的最小值；

（2）求abc的最小值.

解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，

且b+c=2-a，bc4.

a40的两实根，

a于是b，c是一元二次方程x2(2a)x(2a)244≥0，

aa34a24a16≥0，(a24)(a4)≥0. 所以a≥4. ……（8分）

又当a=4，b=c=-1时，满足题意.

故a，b，c中最大者的最小值为4. ……（10分）

（2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.

若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.

2）若a，b，c为或一正二负，设a>0，b<0，c<0，则

abcabca(2a)2a2，

由（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故abc的最小值为6. ……（15分）

13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2(k2)xk0（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点. 若PA，PB，PC222的长都是正整数，且PB的长不是合数，求

PAPBPC的值.

解：设方程x2(k2)xk0的两个根

为x1，x2，x1≤x2.由根与系数的关系得

22x1x242k， ①

x1x2k. ②

由题设及①知，x1，x2都是整数. 从①，②消去k，P

B

A

(第13A图)

O

得

C

2x1x2x1x24，

33 才哥数学481659882

(2x11)(2x21)9.

由上式知，x24，且当k=0时，x24，故最大的整数根为4.

于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.

因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4. ……（6分）

连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，

PAPC。

PBPA故

PAPB(PBBC) ③ ……（10分）

（1）当BC=1时，由③得，PA2PB2PB，于是

2PB2PA2(PB1)2，矛盾！

（2）当BC=2时，由③得，PA2PB22PB，于是

PB2PA2(PB1)2，矛盾！

（3）当BC=3时，由③得，PA2PB23PB，于是

(PAPB)(PAPB)3PB，

由于PB不是合数，结合PAPBPAPB，故只可能

PAPB1,PAPB3PB,PAPB3,

PAPBPB,PAPBPB,

PAPB3,PA2,解得

PB1.此时

PA2PB2PC221.

（4）当BC=4，由③得，PAPB4PB，于是

22(PB1)2PB24PBPA2(PB2)2，矛盾.

综上所述

PA2PB2PC221. ……（15分）

14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(ad)(bc)>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(ad)(bc)≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(ad)(bc)≤0？请说明理由.

解：（1）答案是肯定的. 具体操作如下：

34 才哥数学481659882

……（5分）

（2）答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ……（7分）

开始时，P0=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，经过k（k≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk，此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(ad)(bc)>0，即ab+cd>ac+bd，交换b，c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk1，有

Pk1Pk(accbbd)(abbccd)acbdabcd0.

所以Pk1Pk1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有(ad)(bc)≤0. …

2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案和评分标准

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）

35 才哥数学481659882

1. 已知实数ab，且满足(a1)33(a1)，3(b1)3(b1).则b（A）23 （B）23 （C）2 （D）13

答：选（B）

∵ a、b是关于x的方程

22baa的值为（ ）.

abx123(x1)30

的两个根，整理此方程，得

x25x10，

∵

2540，

∴

ab5，ab1.

故a、b均为负数. 因此

babaa2b2baababababab2ab2abab23.

ab2. 若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有 （ ）.

（A）abh2 （B）答：选（C）

∵

ah0，bh0，

∴

abh2，a2b2h2h22h2；

因此，结论（A）、（D）显然不正确.

设斜边为c，则有abc，111111 （C）222 （D）a2b22h2

abhabh111(ab)hchab，即有

222111，

abh因此，结论（B）也不正确.

由11111a2b2hab化简整理后，得222，

22abh因此结论（C）是正确的.

3．一条抛物线yaxbxc的顶点为（4，11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）.

（A）只有a （B）只有b （C）只有c （D）只有a和b

答：选（A）

36

2 才哥数学481659882

由顶点为（4，11），抛物线交x轴于两点，知a>0.

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，即为方程

ax2bxc0

的两个根.

由题设x1x20，知ca0，所以c0.

根据对称轴x=4，即有b2a0，知b<0.

故知结论（A）是正确的.

4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的1:2. 若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S（ ）.

（A）6 （B）8

（C）10 （D）12

答：选（B）

（第4题图）

由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以

CDSCDE2CAS1，

CAB324又由题设知FD1FA2，所以

FDAD13，

FD13AD1334AC14AC，

故FDDC，于是

S2CDES11，SCFG8.

CFG24因此，结论（B）是正确的.

5．如果x和y是非零实数，使得

xy3和xyx30，

那么x+y等于（ ）.

（A）3 （B）13 （C）1132 （D）413

37

距离之比为等于 才哥数学481659882

答：选（D）

将y3x代入xyx0，得xx3x0.

（1）当x>0时，x3x23x0，方程x2x30无实根；

（2）当x<0时，x3x23x0，得方程x2x30

解得x332113113，正根舍去，从而x.

22113713.

22于是y3x3故xy413.

因此，结论（D）是在正确的.

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6． 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，BAD60，EDC （度）.

答：30°

解：设CAD2，由AB=AC知

则B1(180602)60，

2

ADB180B6060，

由AD=AE知，ADE90，

所以EDC180ADEADB30.

（第6题图）

7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有Tkmn的关系(k为常数) . 现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所2d示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t表示）.

答：t

25080k，

2160解：据题意，有t∴k32t.

5

（第7题图）

38

因此，B、C两个城市间每天的电话通话次数为

TBCk

8010032t5t.

56423202 才哥数学481659882

8．已知实数a、b、x、y满足abxy2，axby5，则(ab)xyab(xy) .

2222答：5

解：由abxy2，得(ab)(xy)axbyaybx4，

∵

axby5，

∴

aybx1.

因而，(a2b2)xyab(x2y2)(aybx)(axby)5.

9． 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD)，BC=CD=12,

ABE45，若AE=10，则CE的长答：4或6

解：延长DA至M，使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM，G为BCDG为正方形， 所以BC=BG. 又CBEGBM，

∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.

∴ BM=BE，ABEABM45，

（第9题图）

∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.

设CE=x，则AG=10x，AD=12(10x)2x，DE=12x.

在Rt△ADE中，AE2AD2DE2，

∴

100(x2)2(12x)2，

即x210x240，

解之，得x14，x26.

故CE的长为4或6.

10．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是 .

答：133

解：∵

xy5z，xy3z(xy)3z(5z)z25z3，

∴ x、y是关于t的一元二次方程

t2(5z)tz25z30

的两实根.

∵

(5z)24(z25z3)0，即

3z210z130，(3z13)(z1)0.

39

D90，为 .

垂足.易知四边形 才哥数学481659882

∴

z13113，当xy时，z.

33313.

3故z的最大值为三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当0x10时，图象是抛物线的一部分，当10x20和20x40时，图象是线段.

（1）当0x10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；

（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.

解：（1）当0x10时，设抛物线的函数关系式为yax2bxc，由于它的图象经过点（0，20），48），所以

（5，39），（10，c20,25a5bc39,

100a10bc48.解得，a所以

124，b，c20.

55

（第11（A）题图）

124yx2x20，0x10. …………………（5分）

55（2）当20x40时，y7x76.

51224xx20，

55所以，当0x10时，令y=36，得36解得x=4，x20（舍去）；

当20x40时，令 y=36，得367x76，解得

5x200428. ……………………（10分）

77因为284442424，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛77题. ……………………（15分）

40 才哥数学481659882

12．已知a，b是实数，关于x，y的方程组

yx3ax2bx,

yaxb有整数解(x,y)，求a，b满足的关系式.

解：将yaxb代入yxaxbx，消去a、b，得

yxxy， ………………………（5分）

332(x1)yx3.

若x+1=0，即x1，则上式左边为0，右边为1不可能. 所以x+1≠0，于是

x31yx2x1.

x1x1因为x、y都是整数，所以x11，即x2或x0，进而y=8或y0. 故

x2 或

y8x0 ………………………（10分）

y0当x2时，代入yaxb得，2ab80；

y8x0当时，代入yaxb得，b0.

y0综上所述，a、b满足关系式是2ab80，或者b0，a是任意实数.

………………………（15分）

13．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得ADPACB，求值.

解：连结AP，则APBACBADP，

所以，△APB∽△ADP， …………………………（5分）

∴PB的PDABAP，

APAD22所以APAB•AD3AD，

∴AP所以3AD， …………………………（10分）

（第13（A）题图）

PBAP3. …………………………（15分）

PDAD

41 才哥数学481659882

14．已知a0，b0，c0，且b24acb2ac，求b24ac的最小值.

解：令yaxbxc，由a0，b0，c0，判别式所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛b24ac0，cB(x2,0)，且与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，因为x1x20，abx1x2，则x10x2，对称轴x0，于是

2a物线，不妨设2（第14（A）题图）

bb24acbb24acx1c， ………………（5分）

2a2a4acb2bb24acb24acc所以， …………………（10分）

4a2a2a故b24ac4，

当a1，b=0，c=1时，等号成立.

所以，b24ac的最小值为4. ………………………（15分）

2005年全国初中数学竞赛试卷

一

题号

1~5

得分

一、选择题(满分30分)

1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：⑴将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则△GFC的面积为( )

二

6~10

三

总分

11

12

13

14

AEDAB(E)DB(E)DA42

GFC图cB图aFCFC图b 才哥数学481659882

A.2 B.3 C.4 D.5

2.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x，y是实数)，则M的值一定是( )

A.正数 B.负数 C.零 D.整数

3.已知点I是锐角△ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

4.设A48(112234441)，则与A最接近的正整数是( )

21004A.18 B.20 C.24 D.25

5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数yx2xA.59 B.120 C.118 D.60

二、填空题(满分30分)

6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则经过_____秒后，△OAB的面积第一次达到最大。

7.在直角坐标系中，抛物线yx2mxOA，OB，且满足

8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_________

43

1的函数值中整数的个数是( )

232m(m0)与x轴交于A，B的两点。若A，B两点到原点的距离分别为4112，则m=_____.

OBOA3 才哥数学481659882

9.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们交于点P。过P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQRC的面积与△ABC的面积的比是________

10.已知x1,x2,x3,…x19都是正整数，且x1+x2+x3+…+x19=59，x12+x22+x32+…+x192的最大值为A，最小值为B，则A+B的值_________。

三、解答题、(满分60分)

11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

12.如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别是弧BC和弧BD的中点。求证：(1)NQK

PQCADAQREPD等B于BPNQ (2) ①△KPM∽△MPBQ

13. .已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2－(8p－10q)x＋5pq=0

至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q).

44

MB第14题图N 才哥数学481659882

14.从1，2….，205个共205 个正整数中，最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c (a,

2006年全国初中数学竞赛试题

考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）

1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）

（A）36 （B）37 （C）55 （D）90

2．已知m12，n12，且(7m214ma)(3n26n7)=8，则a的值等于（ ）

（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9

3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线yx上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）

（A）h<1 （B）h=1 （C）12

4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）

（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007

45

2 才哥数学481659882

5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则（A）231

（B）23

（C）3QC的值为（ ）

QA2

（D）32

二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a

7．如图，面积为abc的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，

且b不能被任何质数的平方整除，则等于 ．

8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．

9．已知0

b1229aa18，则10a的值等于

303030 ．(x表示不超过x的最大整数)

10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．已知xba，，（即a，且它们的最大公约数为1），且a≤8，21x31．

b为互质的正整数b是正整数，a试写出一个满足条件的x；

求所有满足条件的x．

12．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式

46 才哥数学481659882

b2c22a216a14 ①

bca24a5 ②

求a的取值范围．

13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．

14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．

47


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