高数B(上)试题及答案1

2024年1月24日发(作者：最难的数学试卷图片大全)

高数B(上)试题及答案1

第一篇：高数B(上)试题及答案1

高等数学B（上）试题1答案

一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （

× ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （

× ）2. 闭区间上的间断函数必无界. （

√ ）3. 若f(x)在某点处连续，则f(x)在该点处必有极限. （

× ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （

√ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.

（

× ）6. yf(x)在点x0连续，则yf(x)在点x0必定可导.

（

× ）7. 若x0点为yf(x)的极值点，则必有f(x0)0. （

× ）8. 若f(x)g(x)，则f(x)g(x).

二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设f(x1)x，则f(3)16. 2．limxsinxx112x

21＝x1。

nsinx1

1e2. 4. 曲线x6yy在(2,2)点切线的斜率为2323. 5．设f(x0)A，则limh0f(x02h)f(x03h)＝

h05A. 6. 设f(x)sinxcos31,(x极大值.

时，f(x)在x0点连续. 7. 函数yx3x在x8. 设f(x)0)，当f(0)x1处有为可导函数,f(1)1，F(x)f

三、计算题（每题6分，共42分）

12f(x)，则F(1)3nnlim2（3分） n1（3分）

xxcosx2. 求极限 lim. x0xsinxxxcosx解：lim

x0xsinx1cosxxsinx

（2分） limx01cosx2sinxxcosx

（2分） limx0sinx

33. 求y(x1)(x2)2(x3)3在(0, 2

x1. (n2)(n3)(n4) .

5n(n2)(n3)(n4)解： lim

5n31．求极限

34nlim1nn1

1

)内的导数. 解：

lnyln(x1)2ln(x2)3ln(x3)，

y123yx1x2x3，

故y(x1)(x2)2(x3)3123x1x2x3

4. 求不定积分2x11x2dx. 解： 2x1111x2d(1x2)11x2dx

ln(1x2)arctanxC

5. 求不定积分xsinx2dx. 解：xsinx2dx

12sinx2dx2

12cosx2C

6．求不定积分xsin2xdx. 解： xsin2xdx

12xsin2xd(2x)12xdcos2x

12xcos2xcos2xdx

2分）

（2分）

（2分） （2分）

（3分）

3

x2dx

（3分） （3分） （3分） （2分） （2分）（

11xcos2xsin2xC

（2分）

247. 求函数y（3分）

ysinxcosx1cot2xlnsinx

sinxcosx的导数. 解：lnycosxlnsinx

（3分）

四、解答题（共9分）

某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌2022的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大. 解：设垂直于墙壁的边为x，所以平行于墙壁的边为2022x，

所以，面积为Sx(2022x)（3分）

由S4x2022，知

2x2022

（3分） 当宽x5时，长y2022x10，

（3分） 面积最大S51050（平方米）。

五、证明题（共9分）

4

若在(,)上f(x)0,f(0)0.证明：F(x),0)和(0,增加.

证明：F(x)2f(x)在区间()上单调xxf(x)f(x)，令G(x)xf(x)f(x)

（2分） 2xG(0)0f(0)f(0)0，

（2分）

在区间(,0)上，G(x)xf(x)0，

（2分） 所以G(x)G(0)0，单调增加。

（2分） 在区间(0,)上，G(x)xf(x)0，

所以0G(0)G(x)，单调增加。

（1分）

第二篇：高数试题1

一、

一、填空题(每小题3分，共15分)

1． 1．设u=x4+y4-4x2y2 ，则u x x

2． 2．设u=xy+y/x，则u y

3． 3．函数z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的驻点是4． 4．设幂级数n0的收敛半径是4，则幂级数n0的收敛半径是

225． 5．设Σ是柱面x+y=4介于1≤z≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则=

5

二、

二、单选(每小题2分，共8分)

1、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：

(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。 答（ ）

2、微分方程y的解是

(A)y=(x-1)2(B)y=(x+1/2)2-21/

4(C)y=1/2(x-1)2+1/2(D)y=(x-1/2)2-5/4anxnanx2n1x2y2z2dxdy答（ ）

pyqy0的系数p+qx=0，则该方程有yxy满足条件y’(2)=1, y(2)=13、若方程y特解

(A)y=x(B)y=e x(C)y=e – x(D)y=sin x答（ ）

4、微分方程y（ ）

(A)Asin x(B)Acos x(C)Asin x +Bcos x(D)x(Asinx+Bcosx)

三、

三、解答下列各题

6

ysinx的一个特解应具有形式答

1． 1．(本小题6分)

利用二重积分计算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所围成的曲顶柱体的体积。

2、(本小题7分) 证明极限y0不存在。

3、(本小题5分)

2验证：y1=cosωx，y=sinωx都是微分方程y’’+ωy=0的解，并写出该方程的通解。

4、(本小题5分) x2ylim4x0xy

31cosx0xf(x)xx0若s(x)x设 是以2为周期的函数f(x)的Fourier级数之和函数，求S(-3π)。

四、

四、解答下列各题：

1、(本小题6分)

12x

更换积分次序：

22、(本小题6分) dxf(x,y)dyx

2求曲线

7

五、

五、解答下列各题：

1、(本小题6分) xt1t,y,zt21tt在t=1处的切线及法平面方程。

已知Σ是z=x2+y2上 z≤1的部分曲面，试计算2、(本小题6分)

(zy)dxdy(yx)dxdz(xz)dzdy计算，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为

V。

六、

六、解答下列各题

1、(本小题5分)

判别级数n

12、(本小题5分) 级数

3、(本小题5分)

nsin

4zds

8

n的敛散性。

1

1113n!xn

2试求幂级数k1n!的收敛半径

4、(本小题5分)

试将函数y=1/(4-x4)展开为x的幂级数

七、(本大题10分)已知上半平面内一曲线y=y(x) (x≥0)过点(0,1)，且曲线 上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，y轴，直线x=x0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。

七、

一、填空题(每小题3分，共15分)

1． 1．设u=x4+y4-4x2y2 ，则u x x22 2． 2．设u=xy+y/x，则u y

3． 3．函数z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的驻点是4． 4．设幂级数n0的收敛半径是4，则幂级数n0的收敛半径是 R=

9

325272是否收敛，是否绝对收敛？

222

5． 5．设Σ是柱面x+y=4介于1≤z≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则= 0

八、

二、单选(每小题2分，共8分)

1、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的： (A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。 答（A）

2、微分方程yyxy满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是 (A)y=(x-1)2(B)y=(x+1/2)2-21/4

(C)y=1/2(x-1)2+1/2(D)y=(x-1/2)2-5/

4a

n

x

n

a

n

10

x2n

1

x2y2z2dxdy

答（C）

3、若方程ypyqy0的系数p+qx=0，则该方程有特解 (A)y=x(B)y=e x(C)y=e – x(D)y=sin x答（A）

4、微分方程yysinx的一个特解应具有形式答（D） (A)Asin x(B)Acos x(C)Asin x +Bcos

x(D)x(Asinx+Bcosx)

九、

三、解答下列各题

1． 1．(本小题6分)

利用二重积分计算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所围成的曲顶柱体的体积。

1

1V1

x

2

dxx2y2dy

11

2、(本小题7分)

8810

5证明极限y0

x2ylim

4x0xy

3不存在。

[证明]：取不同的直线路径y=kx ykx0 沿不同的路径极限不同，故由定义二重极限不存在。

3、(本小题5分)

验证：y1=cosωx，y=sinωx都是微分方程y’’+ωy=0的解，并写出该方程的通解。

22

2[验证]：y1’=-ωsinωx,y1’’=- ωcosωx代入方程左端-ωcosωx+ωcosωx=0满足方程。

222

y2’=ωcosωx,y2’’=- -ωsinωx代入方程左端-ωsinωx+ωsinωx=0满足方程。 故y1 、y2皆是微分方程的解。又y1 /y2=(cosωx)/( sinωx)≠常数，故y1与y2线性无关 。方程的通解为y=C1cosωx+C2sinωx

12

4、(本小题5分)

x2kx

1lim4x0xk3x3k

21cosx

0xf(x)x

x0若s(x)是以2为周期的函数f(x)的Fourier级数之和函x设

数，

求S(-3π)。解：S(-3π)=- π/2

十、

四、解答下列各题：

1、(本小题6分)

更换积分次序：

22、(本小题6分)

dxf(x,y)dyx

2y

y

13

dyfx,ydxdyfx,ydx

12x

1y

42y

t1t,y,zt2

1tt求曲线在t=1处的切线及法平面方程。

x2y2z111

x424x

十一、

五、解答下列各题：

1、(本小题6分)

2

已知Σ是z=x+y上 z≤1的部分曲面，计算:

2、(本小题6分)

14

y12z1012法线方程解：切线方程：

4zds

d14r2rdr3

(zy)dxdy(yx)dxdz(xz)dzdy计算，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为

V。

解：由高斯公式，原积分=

十二、

六、解答下列各题

1、(本小题5分)

3dv

v

=3V

判别级数n

1解：因为当n趋于∞时，一般项u n的极限为1，其极限不为0，故级数发散。

2、(本小题5分) 级数

nsin

15

n的敛散性。

1

111222357是否收敛，是否绝对收敛？

n

(2n1)21

1(1)(2n1)2limn1/n4解：原级数=

3、(本小题5分)

原级数绝对收敛。

3n!xn3n3!n!

2lim22n3n!n1!试求幂级数k收敛半径。解

4、(本小题5分)

试将函数y=1/(4-x4)展开为x的幂级数

R0

1y

解：

16

的1n!

七、(本大题10分)已知上半平面内一曲线y=y(x) (x≥0)过点(0,1)，且曲线 上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，y轴，直线x=x0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。

x4n11x4x42x4n

12n4

2x2

解：

yyxdxy

x

yyy即y特征方程：r2-r-1=0

r1,2

12

15

x2

nyy17

44x440

n04114

通解：yc1ec2e

1x2

555

初始条件：y(0)=1 , y’(0)=1解得：C1=10，C2=10

15

x2

5特解是：ye

10

15

x2

5e

10

第三篇：西安工业大学高数试题及答案

高等数学（Ⅱ）期末参考答案

一、填空题（每小题3分，共30分）

1.已知a(1,1,2),b(0,1,2)，则aij11

18

b1

k

2(0,2,1) .

22.点(1,1,1)到平面3x6y2z140的距离为 3.

3.过点(3,0,1)且与平面3x7y5z120平行的平面方程为

3x7y5z40 .

4.已知zf(xy,2xe2y)，则t

4

zx

yf12f2 .

5.曲线x

14

4

13

,y

t

3

19

3

12

,z

t

2

2

在相应于t1处的法平面方程为

(x)(y

)(z

)0 .

10

y0

6.交换积分dxf(x,y)dy的积分次序为

xdy

f(x,y)dy.

223

7.设22

20

：zxy

(0z1)，则

xy1

2

xy

2

22

2dxdy.

8.设向量A(x2

Px

Qy

Rz

2(xyz).

zdS

yz)i(y2zx)j21

xy)k，则divA(z2

9.设函数f(x)以2为周期，且f(x)x(x)，其Fourier级数为

a02

n1

(ancosnxbnsinnx)，则2

1

xsin2xdx 1 .

10.函数f(x)

12x

的麦克劳林级数为

2

b2

22

(1)2

n

n

x .

n

n0

二、（8分）求函数f(x,y)xxyyxy1的极值，并指出是极大值还是极小值. 解：fx(x,y)fy(x,y)2yx1，

2

2fx(x,y)02xy10令 ，得驻点(1,1).由于 ,

即

f(x,y)02yx10Afxx(x,y)且

(BAC)xy1

则(1,1)为极小值点，极小值为

112230，A20,

y

2，

2xy1，2， Bfxy(x,y)1， Cfyy(x,y) 23

f(1,1)

2.

三、（8分）求级数(n1)xn的收敛域及它的和函数.

n0

解：由于 lim|

n

an1an

|lim|

n

nn1

|1，则R1，当xn0

发散，所以收敛域为(

s(x)

(n1)x

n0

1时，级数设

24

1)(均

1,1).(n1)n

n

，

则

于是

x0

s(t)dt

[(n1)n0

x

n

n0

x

n1

tdt]25

x1x

，

dx1xs(t).

s(t)dt2022dx(1四、（8分）计算(5x43xy

L

y)dx(3xy3xy

322

其中L是抛物线yxy)dy，

22

上自点(0,0)到点(1,1)的一段弧.

解：P(x,y)5x3xy

y，Q(x,y)3xy3xy

322

y在xoy面偏导数连续，

且

Py

26

x)1x

Qx

6xy3y，

则曲线积分与路径无关，取折线段(0,0)(1,0)(1,1)，则

L

(5x3xy

42

y)dx(3xy3xy

32

2y)dy

10

(5x3x00)dx3213)

116

10

27

1

222

(31y31yy)dy

1(.

(zx)dzdx(xy)dxdy，其中是由

五、（8分）计算曲面积分I

x(yz)dydz

柱面x2y21，平面z0,z3所围立体表面的外侧.

解：P(x,y,z)x(yz),Q(x,y,z)zx,R(x,y,z)xy在上偏导数连续，柱面x2y21，平面z0,z3所围立体则由高斯公式有

I

x(yz)dydz

(zx)dzdx(xy)dxdy

Rz

28

(

Px

Qy

)dv

(yz)dv

ydv

30

zdv（第一个积分为0，想想为什么？）

0

zdz

dxdyz1dz29

Dz

92

.

六、（8分）求下列方程的通解：

yx

y

yxlnyx

解：xyyln，方程为齐次微分方程；设dxx

yx

，则yuxu，

代入得

u(lnu1)

，

两端积分

lnu1

d(lnu1)

30

yln

udu

xdx

即ln(lnu1)lnxlnC 或lnuCx1 将u

yx

代回得yxe

2x

Cx

12.y4y3ye.

解：方程为二阶非齐次线性微分方程，对应齐次线性微分方程的特征方程

r4r30的特征根为r11,r22x

中2不是特征方程的根，则

特解形式为y*Ae2x，代入得A

yC1e

x

115

，在由解的结构得方程的通解为

3x

31

3；f(x)e

C2e

115

e

2x

七、（10分）设vn

unun

，wn

unun

，证明：

1.若级数un绝对收敛，则级数n1

n1

32

vn收敛；

证：由于un绝对收敛，即|un|收敛，则un也收敛，又vn

n1

n1

n1

12

|un|

12

un，

由性质知n1

2.若级数n1

n1

vn收敛.

un条件收敛，则级数33

wn发散.

证：（反证）假设wn收敛，已知un收敛，由wn

n1

n1

unun

，即|un|2wnun

及性质知|un|收敛，即un绝对收敛，与已知条件矛盾.所以wn发散.

n1

n1

n1

八、（10分）一均匀物体是由抛物面zx2y2及平面z1所围成. 1.求的体积；

解：在xoy面投影域D:xy1，则所围体积为V[1(x

D

34

y)]dxdy

20

d(1r)rdr

2(2.求12

14

)

.

解：由于是均匀物体及几何体关于yoz面、xoz面对称，则质心坐标应为(0,0,)； 而

zdv

35

的质心.

dv

2

drdr

11r

zdz

V

23

，

所以质心坐标为(0,0,

23

).

36

九、（10分）设D(x,y)|x2y2

22

2,x0,y0,[1xy]表示不超过

22

1x22

D

解：设D1{(x,y)|x2D2{(x,y)|1xy

2,x0,y0},

则DD1D2,且当(x,y)D1时，[1x2y2]1，当(x,y)D2时，

[1xy]2，所以

D

xy[1xy]dxdy

37

y的最大整数，计算二重积分xy[1xy]dxdy.

y21,x0,y0}，

xy[1xy]dxdy

22

D1D1

D2

xy[1xy]dxdy

22

xydxdy

2xydxdy

D2

d

38

rsincosdr2d

2022

rsincosdr

18

2

18

38

第四篇：大学高数下册试题及答案

《高等数学》（下册）测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1．设有直线

及平面，则直线（

A

）

A．平行于平面；

39

B．在平面上；

C．垂直于平面；

D．与平面斜交.

2．二元函数在点处（

C

）

A．连续、偏导数存在；

B．连续、偏导数不存在；

C．不连续、偏导数存在；

D．不连续、偏导数不存在.

3．设为连续函数，，则＝（

B

）

A．；

B．；

C．

D．.

4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分 40

＝（

D

）

A．7；

B．；

C．；

D．.

5．微分方程的一个特解应具有形式（

B

）

A．；

B．；

C．；

D．.

二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；

2．设，则＝；

3．设为正向一周，则

41

0

；

4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数

；

5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有

1

.

三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.

解：方程两边取全微分，则

解出

从而

四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数.

解：

，

从而

五、（本题8分）计算累次积分

42

）.

解：依据上下限知，即分区域为

作图可知，该区域也可以表示为

从而

六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.

解：先二后一比较方便，

七．（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分.

解：由对称性

从而

八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线.

解：在上半平面上

且连续，

从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取

九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧.

解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧

十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．

43

解：

由已知

即

十一、（本题4分）求方程的通解.

解：解：对应齐次方程特征方程为

非齐次项，与标准式

比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为

代入方程得

十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.

解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

令，则由

推出，的坐标为

附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）

1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

解：由于，该级数不会绝对收敛，

显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该 44

级数条件收敛

2．求幂级数的收敛区间及和函数.

解：

从而收敛区间为，

3．将展成以为周期的傅立叶级数.

解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

《高等数学》（下册）测试题二

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1．设，且可导，则为（

D

）

A．；；

B．；

C．；

D．．

2．从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方

程是（

45

B

）

A．；

B．；

C．；

D．．

3．微分方程的通解是（

D

）

A．；

B．；

C．；

D．．

4．设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于（A

）

A．；

B．；

46

C．；

D．．

5．累次积分＝（

A

）

A．；

B．；

C．；

D．．

二．填空题（每小题5分，本大题共15分）

1．曲面在点处的切平面方程是；.

2．微分方程的待定特解形式是；

3．设是球面的外测，则曲面积分

＝．

三、一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：）都相交，求该直线方程．（本题7分）

解：先求两已知直线与平面的交点，由

由

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L2：（即

由两点式方程得该直线：

四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分）

解：

沿梯度方向上函数的方向导数

五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）

解：设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。

由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省

六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．（本题8分）

解：观察得知该用极坐标，

七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．（本题8分）

解：解：观察得知该用先二后一的方法

八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段．（本题8分）

解：在上半平面上

且连续，

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从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，

取折线

九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．（本题8分）

解：由于，故

为上半球面，则

原式

十、求微分方程

的解．（本题8分）

解：

由，得

十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分）

解：沿着直线，

依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。

而

十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解．（本题4分）

解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否则不能有这样的特解。从而特征方程为

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