2023年12月11日发(作者：广东韶关初三数学试卷上册)

专科起点升本科高等数学二知识点汇总

常用知识点：

一、常见函数的定义域总结如下：

1ykxbyaxbxc2一般形式的定义域：x∈R

2y3yk 分式形式的定义域：x≠0

xx 根式的形式定义域：x≥0

4ylogax 对数形式的定义域：x＞0

二、函数的性质

1、函数的单调性

当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),f(x)在x1，x2所在的区间上是增加的;

当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),f(x)在x1，x2所在的区间上是减少的;

2、 函数的奇偶性

定义：设函数yf(x)的定义区间D坐标原点对称即若xD,则有xD

1 偶函数f(x)——xD,恒有f(x)f(x);

2 奇函数f(x)——xD,恒有f(x)f(x);

三、基本初等函数

1、常数函数：yc,定义域是(,),图形是一条平行于x轴的直线;

2、幂函数：yx,

u是常数;它的定义域随着u的不同而不同;图形过原点;

3、指数函数

x定义:

yf(x)a,

a是常数且a0,a1.图形过0,1点;

u4、对数函数

定义:

yf(x)logax,

a是常数且a0,a1;图形过1,0点;

5、三角函数 1 正弦函数:

ysinx

T2,

D(f)(,),

f(D)[1,1];

2 余弦函数:

ycosx.

T2,

D(f)(,),

f(D)[1,1];

3 正切函数:

ytanx.

T,

D(f){x|xR,x(2k1),kZ},

f(D)(,).

24 余切函数:

ycotx.

T,

D(f){x|xR,xk,kZ},

f(D)(,).

5、反三角函数

1 反正弦函数:

yarcsinx,D(f)[1,1],f(D)[,];

222 反余弦函数:

yarccosx,D(f)[1,1],f(D)[0,];

3 反正切函数:

yarctanx,D(f)(,),f(D)(,);

224 反余切函数:

yarccotx,D(f)(,),f(D)(0,);

极限

一、求极限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值;”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解;

2、传统求极限的方法

1利用极限的四则运算法则求极限;

2利用等价无穷小量代换求极限;

3利用两个重要极限求极限;

4利用罗比达法则就极限;

二、函数极限的四则运算法则

设limuA,

limvB,则

xx1lim(uv)limulimvAB

xxx2lim(uv)limulimvAB.

xxx推论

alim(Cv)Climv,

C为常数;

xxblimu(limu)

xxnnuAulimx3lim,

B0.

xvlimvBxnn14设P(x)为多项式P(x)a0xa1xan, 则limP(x)P(x0)

xx05设P(x),Q(x)均为多项式, 且Q(x)0, 则

limP(x)P(x0)

xx0Q(x)Q(x0)三、等价无穷小

常用的等价无穷小量代x换有：当x0时,sinx~x,tanx~x,arctanx~x,arcsinx~x,ln(1x)~x,e1~x,1cosx~对这些等价无穷小量的代换,应该更深一层地理解为：当□ 0时,sin□ ~□

,其余类似;

12x;

2四、两个重要极限

重要极限I

limsinx1;

x0xsin□

1

□ 0□

它可以用下面更直观的结构式表示：limx1重要极限II

lim1e;

xx1其结构可以表示为：lim1e

□ 

□□

八、洛必达L’Hospital法则

0f(x)f\'(x)“”型和“”型不定式,存在有limlim\'A或;

xaxa0g(x)g(x)一元函数微分学

一、导数的定义

设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量x点x0x仍在该邻域内时,相应地函数y取得增量yf(x0x)f(x0);如果当x0时,函数的增量y与自变量x的增量之比的极限

x0limf(x0x)f(x0)y（x0）=lim=f 注意两个符号x和x0在题目中可能换成其他的符号表示;

x0xx二、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

1(C)0

C为常数

2(x)x1为任意常数

xxxx3(a)alna(a0,a1) 特殊情况(e)e

4(logax)111logae(x0,a0,a1),

(lnx)

xxxlna5(sinx)cosx

6(cosx)sinx

1

2cosx1\'8(cotx)

2sinx7(tanx)\'9(arcsinx)\'11x2(1x1)

10(arccosx)\'11x2(1x1)

1

1x21\'12(arccotx)

21x11(arctanx)\'2、导数的四则运算公式

1[u(x)v(x)]u(x)v(x)

2[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)

3[ku]kuk为常数

u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)4

2v(x)v(x)3、复合函数求导公式：设yf(u),

u(x),且f(u)及(x)都可导,则复合函数yf[(x)]的导数为dydyduf\'(u).(x);

dxdudx三、导数的应用

1、函数的单调性

f\'(x)0则f(x)在(a,b)内严格单调增加;

f\'(x)0则f(x)在(a,b)内严格单调减少;

2、函数的极值

f\'(x)0的点——函数f(x)的驻点;设为x0

\'\'1若xx0时,f(x)0；xx0时,f(x)0,则f(x0)为f(x)的极大值点;

\'\'2若xx0时,f(x)0；xx0时,f(x)0,则f(x0)为f(x)的极小值点;

\'3如果f(x)在x0的两侧的符号相同,那么f(x0)不是极值点;

3、曲线的凹凸性

f\'\'(x)0,则曲线yf(x)在(a,b)内是凹的;

f\'\'(x)0,则曲线yf(x)在(a,b)内是凸的;

4、曲线的拐点

\'\'\'\'1当f(x)在x0的左、右两侧异号时,点(x0,f(x0))为曲线yf(x)的拐点,此时f(x0)0.

\'\'2当f(x)在x0的左、右两侧同号时,点(x0,f(x0))不为曲线yf(x)的拐点;

5、函数的最大值与最小值

极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值;

四、微分公式

dyf\'(x)dx,求微分就是求导数;

一元函数积分学

一、不定积分

1、定义,不定积分是求导的逆运算,最后的结果是函数+C的表达形式;公式可以用求导公式来记忆;

2、不定积分的性质

1[f(x)dx]\'f(x)或df(x)dxf(x)dx

2F\'(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

3[f(x)(x)(x)]dxf(x)dx(x)(x)dx; 4kf(x)dxkf(x)dxk为常数且k0;

2、基本积分公式要求熟练记忆

10dxC

2xdx3a1a1xC(a1).

a11xdxlnxC.

1xx4adxaC

(a0,a1)

lna5exdxexC

6sinxdxcosxC

7cosxdxsinxC

1cos2xdxtanxC.

19dxcotxC.

sin2x81011x2dxarcsinxC.

1111x2dxarctanxC.

3、第一类换元积分法

对不定微分g(x)dx,将被积表达式g(x)dx凑成

g(x)dxf[(x)]\'(x)dxf(x)d(x),这是关键的一步;

常用的凑微分的公式有：

1f(axb)d(axb)

a1kk12f(axb)xdxf(axkb)d(axkb)

ka1f(axb)dx3f(x)1xdx2fxdx

4f()x1x111dxf()d

xxx2xxx5f(e)edxf(e)d(e)

6f(lnx)1dxf(lnx)d(lnx)

x7f(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx)

8f(cosx)sinxdxf(cosx)d(cosx) 1dxf(tanx)d(tanx)

2cosx110f(cotx)dxf(cotx)d(cotx)

2sinx9f(tanx)11f(arcsinx)11x11x22dxf(arcsinx)d(arcsinx)

12f(arccosx)dxf(arccosx)d(arccosx)

13f(arctanx)1dxf(arctanx)d(arctanx)

1x2\'(x)dxd(ln(x))

((x)0) 14(x)4、分部积分法

二、定积分公式

1、牛顿—莱布尼茨公式 如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的任意一个原函数,则有 b af(x)dxF(b)F(a);

y

围成的其中y1出：

a o b x

线y

yf(x)

成的旋转体,如图所示;2、计算平面图形的面积

如果某平面图形是由两条连续曲线y1g(x),y2f(x)及两条直线x1a和x2b所是下面的曲线,y2是上面的曲线,则其面积可由下式求3、计算旋转体的体积

设某立体是由连续曲线yf(x)(f(x)0)和直xa,xb(ab)及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形则该旋转体的体积V可由下式求出：

多元函数微分学

1、 偏导数,对某个变量求导,把其他变量看做常数;

2、全微分公式：dzdf(x,y)AxBy;

3、复合函数的偏导数——利用函数结构图

o a x x+dx b x

如果u(x,y)、v(x,y)在点(x,y)处存在连续的偏导数uuvv ,, ,,且在对应于(x,y)的点(u,v)xyxy处,函数zf(u,v)存在连续的偏导数续偏导数,且

zz,,则复合函数zf[(x,y),(x,y)]在点(x,y)处存在对x及y的连uvzzuzvzzuzv,;

xuxvxyuyvy4、隐函数的导数

对于方程F(x,y)0所确定的隐函数yf(x),可以由下列公式求出y对x的导数y：

\'Fx\'(x,y),

y\'Fy(x,y)\'2、隐函数的偏导数

对于由方程F(x,y,z)0所确定的隐函数zf(x,y),可用下列公式求偏导数：

Fy\'(x,y,z)Fx\'(x,y,z)zz, ,

\'\'Fz(x,y,z)xFz(x,y,z)y5、二元函数的极值

设函数zf(x0,y0)在点(x0,y0)的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数,且

\'\'\'\'\'\'fx\'(x0,y0)0,fy\'(x0,y0)0又设fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C,

则：

1当BAC0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值,且当A0

时有极大值,当A0时有极小值;

2当BAC0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处无极值;

3当BAC0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处是否有极值不能确定,要用其它方法另作讨论;

222概率常识

1、 数学期望

E(X)xipi;

i12、方差

D(X)E[XE(X)]2;

方差的算术平方根称为均方差或标准差,记为(X),即

(X)D(X)E[XE(X)]2i;


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