2020年北京大学强基计划数学试卷

2023年12月2日发(作者：陕西高新一中数学试卷难度)

2020年北京大学强基计划数学试卷

一、选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错或不选得0分.

1．（5分）正实数x，y，z，w满足x≥y≥w和x+y≤2（z+w），则+的最小值等于（　　）

A．

C．1

B．

D．前三个答案都不对

2．（5分）在（2019×2020）2021的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为（　　）

A．16

C．32

B．31

D．前三个答案都不对

3．（5分）整数列{an}n≥1满足a1＝1，a2＝4，且对任意n≥2有an2﹣an+1an﹣1＝2n﹣1，则a2020的个位数字是（　　）

A．8

C．2

B．4

D．前三个答案都不对

+++4．（5分）设a，b，c，d是方程x4+2x3+3x2+4x+5＝0的4个复根，则的值为（　　）

A．﹣

C．

B．﹣

D．前三个答案都不对

5．（5分）设等边三角形ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线于点D，AD＞BD，则三角形BCD的面积为（　　）

A．C．

B．

D．前三个答案都不对

6．（5分）设x，y，z均不为（k+）π，其中k为整数，已知sin（y+z﹣x），sin（x+z﹣y），sin（x+y﹣z）成等差数列，则依然成等差数列的是（　　）

A．sinx，siny，sinz

C．tanx，tany，tanz

B．cosx，cosy，cosz

D．前三个答案都不对

第1页（共23页）

7．（5分）方程19x+93y＝4xy的整数解个数为（　　）

A．4

C．16

8．（5分）从圆x2+y2＝4上的点向椭圆C：B．8

D．前三个答案都不对

+y2＝1引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（　　）

A．C．

B．

D．前三个答案都不对

≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（　　）

B．9

D．前三个答案都不对

9．（5分）使得5x+12A．8

C．10

10．（5分）设P为单位立方体ABCD﹣A1B1C1D1上的一点，则PA1+PC1的最小值为（　　）

A．C．2﹣

B．

D．前三个答案都不对

11．（5分）数列{an}（n≥1）满足a1＝1，a2＝9，且对任意n≥1，有an+2＝4an+1﹣3an﹣20，其前n项和为Sn，则数列Sn的最大值等于（　　）

A．28

C．47

12．（5分）设直线y＝3x+m与椭圆OAB面积的最大值为（　　）

A．8

C．12

B．10

D．前三个答案都不对

，C，C构+B．35

D．前三个答案都不对

＝1交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形13．（5分）正整数n≥3称为理想的，若存在正整数1≤k≤n﹣1使得C成等差数列，其中C＝A．40

C．42

为组合数，则不超过2020的理想数个数为（　　）

B．41

D．前三个答案都不对

14．（5分）在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，……，D2020依次为边BC上的点，且BD1第2页（共23页）

＝D1D2＝D2D3＝…＝D2019D2020＝D2020C，∠BAD1＝α1，∠D1AD2＝α2，……，∠D2019AD2020＝α2020，∠D2020AC＝α2021，则A．C．

+B．

的值为（　　）

D．前三个答案都不对

的最大值15．（5分）函数为（　　）

A．C．++2

+B．2+

D．前三个答案都不对

＝1的实根个数为（　　）

B．2

D．前三个答案都不对

16．（5分）方程A．1

C．3

17．（5分）凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF：FD＝5：4，AG：GD＝1：1，CF：FG：GE＝2：2：3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，则S△CFD：S△ABE的值等于（　　）

A．8：15

C．11：23

B．2：3

D．前三个答案都不对

18．（5分）设p，q均为不超过100的正整数，则含有有理根的多项式f（x）＝x5+px+q的个数为（　　）

A．99

C．150

B．133

D．前三个答案都不对

19．（5分）满足对任意n≥1有an+1＝2n﹣3an且严格递增的数列{an}（n≥1）的个数为（　　）

A．0

C．无穷多个

20．（5分）设函数f（x，y，z）＝++

B．1

D．前三个答案都不对

，其中x，y，z均为正实数，则有（　　）

A．f（x，y，z）既有最大值也有最小值

B．f（x，y，z）有最大值但无最小值

第3页（共23页）

C．f（x，y，z）有最小值但无最大值

D．前三个答案都不对

第4页（共23页）

2020年北京大学强基计划数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错或不选得0分.

1．（5分）正实数x，y，z，w满足x≥y≥w和x+y≤2（z+w），则+的最小值等于（　　）

A．

C．1

【考点】基本不等式及其应用．

B．

D．前三个答案都不对

【分析】依题意，，再利用基本不等式及放缩思想即得出结论．

， 【解答】解：由x+y≤2（z+w），得又x≥y≥w，

∴，

当且仅当故选：D．

，即时取等号．

【点评】本题主要考查基本不等式的运用，考查放缩思想及运算能力，属于基础题．

2．（5分）在（2019×2020）2021的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为（　　）

A．16

C．32

【考点】排列、组合及简单计数问题．

B．31

D．前三个答案都不对

【分析】根据题意，有2019×2020＝3×671×22×5×101，则（2019×2020）2021的全体正因数均由2、3、5、101、671这5个数中任意1个或几个相乘组成，据此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，2019×2020＝3×671×22×5×101，则（2019×2020）2021的全体正因数均由1、2、3、5、101、671这6个数中任意1个或几个相乘组成，

第5页（共23页）

在（2019×2020）2021的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，

需要在2、3、5、101、671中任选1、2、3、4、5个相乘组成，

考虑因数1，也符合题意，在可选因数的范围内，

最多可以选1+C51+C52+C53+C54+C55＝25＝32个因数，

故选：C．

【点评】本题考查排列组合的应用，注意将（2019×2020）2021正确分解，属于基础题．

3．（5分）整数列{an}n≥1满足a1＝1，a2＝4，且对任意n≥2有an2﹣an+1an﹣1＝2n﹣1，则a2020的个位数字是（　　）

A．8 B．4

C．2 D．前三个答案都不对

【考点】数列递推式．

【分析】先将已知式子变形为，进而得到 an+1＝4an﹣2an﹣1，让 an 模 10所得结果从a2 开始的周期为24，进而求出a2000 的个位数字．

【解答】解：因为 ，则

，

，

因为 ，则 a3＝14，故

，

即 an+1＝4an﹣2an﹣1，欲求个位数字，只需让 an 模 10，其结果为

从 a2 开始周期为 24，则 a2000 的个位数字是 8，

故选：A．

第6页（共23页）

【点评】本题考查数列的递推关系式的变形与同构，得到 an+1＝4an﹣2an﹣1是解题的关键，考查学生的变形运算化简的能力和分析问题、解决问题的能力，属于难题．

4．（5分）设a，b，c，d是方程x4+2x3+3x2+4x+5＝0的4个复根，则的值为（　　）

A．﹣

C．

【考点】函数的零点与方程根的关系．

+++B．﹣

D．前三个答案都不对

【分析】由根与系数的关系可得，a+b+c+d＝﹣2，ab+ac+ad+bc+cd＝3，abc+bcd+abd+acd＝﹣4，abcd＝5，再直接计算即可．

【解答】解：由根与系数的关系可得，a+b+c+d＝﹣2，ab+ac+ad+bc+cd＝3，abc+bcd+abd+acd＝﹣4，abcd＝5，

+又＝，

∴+++＝．

++＝

＝，

故选：A．

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查根与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题．

5．（5分）设等边三角形ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线于点D，AD＞BD，则三角形BCD的面积为（　　）

A．C．

B．

D．前三个答案都不对

【考点】三角形的面积公式．

【分析】根据题意，作出图形，设∠DCB＝α，∠CDB＝β，求出BD，进而利用三角形的面积公式得解．

第7页（共23页）

【解答】解：如图，连接OC，记∠DCB＝α，∠CDB＝β，在△OHC中，，

∴∴，

又∠DBC＝120°，

∴∴在Rt△DHO中，∴∴故选：C．

，

．

，

，

，

，

【点评】本题考查三角形的面积求解，涉及了和差角公式的运用，考查了运算求解能力，属于中档题．

6．（5分）设x，y，z均不为（k+）π，其中k为整数，已知sin（y+z﹣x），sin（x+z﹣y），sin（x+y﹣z）成等差数列，则依然成等差数列的是（　　）

A．sinx，siny，sinz

C．tanx，tany，tanz

【考点】等差数列的通项公式．

B．cosx，cosy，cosz

D．前三个答案都不对

【分析】先由题设条件⇒2sin（x+z﹣y）＝sin（y+z﹣x）+sin（x+y﹣z）＝2sinycos（z﹣第8页（共23页）

x），再利用三角公式推导出

tanx+tanz＝2tany，即可选出正确选项．

【解答】解：∵sin（y+z﹣x），sin（x+z﹣y），sin（x+y﹣z）成等差数列，

∴2sin（x+z﹣y）＝sin（y+z﹣x）+sin（x+y﹣z）＝2sinycos（z﹣x），

∴sin（x+z﹣y）＝sinycos（z﹣x），

∴sin（x+z）cosy﹣cos（x+z）siny＝sinycos（z﹣x），

∴sin（x+z）cosy＝siny[cos（x+z）+cos（z﹣x）]＝2sinycosxcosz，

∴sinxcoszcosy+cosxsinzcosy＝2sinycosxcosz①，

∵x，y，z均不为（k+）π，其中k为整数，∴cosx，cosy，cosz均不为0，

∴对式子①左右两侧同时除以cosxcosycosz，可得：tanx+tanz＝2tany，

∴tanx，tany，tanz成等差数列．

故选：C．

【点评】本题主要考查等差数列的定义、判定及三角公式的应用，属于中档题．

7．（5分）方程19x+93y＝4xy的整数解个数为（　　）

A．4

C．16

【考点】函数的零点与方程根的关系．

B．8

D．前三个答案都不对

【分析】把已知等式分解变形，可得（4x﹣93）（4y﹣19）＝93×19＝1×3×31×19．然后分类求解得答案．

【解答】解：由19x+93y＝4xy，得4xy﹣19x﹣93y＝0，

即（4x﹣93）（4y﹣19）＝93×19＝1×3×31×19．

若若若若若若，无整数解，不合题意；

，解得，解得，解得；

；

；

，无整数解，不合题意；

，无整数解，不合题意；

第9页（共23页）

若若，无整数解，不合题意；

，解得．

同理，当4x﹣93与4y﹣19取对应的负数时，原方程组无整数解的有解，有整数解的无解．

∴方程19x+93y＝4xy的整数解个数为8组．

故选：B．

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，是中档题．

8．（5分）从圆x2+y2＝4上的点向椭圆C：+y2＝1引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（　　）

A．C．

B．

D．前三个答案都不对

【考点】直线与椭圆的综合．

【分析】设点 A（2cosθ，2sinθ），再根据题意求出切点弦方程，作图易得椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积即椭圆的面积，结合椭圆面积公式求解即可．

【解答】解：如图所示，设点 A（2cosθ，2sinθ），则 BC 直线方程为

cosθ•x+2sinθ•y＝1，

由于 在点 （acosθ，bsinθ） 的切线方程为

，

则 ，

因此 cosθ•x+2sinθ•y＝1 为椭圆 x2+4y2＝1 的切线系方程．

由椭圆的面积可得

下面证明以下两个引理：

①过椭圆 上一点 P（x0，y0） 的切线方程为

第10页（共23页）

，

．

证明：当斜率存在时，设切线方程为 y＝kx+t，联立椭圆方程

联立直线与椭圆方程可得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）＝0①

由题可得：Δ＝4a4k2t2﹣4a2（b2+a2k2）（t2﹣b2）＝0，

化简可得：t2＝a2k2+b2，①式只有一个根，记作 x0

为切点的横坐标，

，

切点的纵坐标 ，

所以 ，所以 ，

所以切线方程为：，

化简得：，

当切线斜率不存在时，切线为 x＝±a，也符合方程 ，

综上 上一点 P（x0，y0） 的切线方程为 ．

②从椭圆 外一点 P（x0，y0） 作椭圆的两条切线，

切点分别为 A，B，则切点弦 AB 的方程为 ．

证明：如图，设切点 A，B 的坐标分别为 （x1，y1），（x2，y2），

则椭圆的以 A，B 为切点的切线方程分别为 和 ，

由两切线均过点 P（x0，y0） 有 和

第11页（共23页）

，

所以点 A（x1，y1），B（x2，y2） 均在直线 上，

因此切点弦 AB 的方程为故选：A．

．

第12页（共23页）

【点评】本题考查椭圆的切线方程与切点弦方程，考查椭圆的面积公式，考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．

9．（5分）使得5x+12A．8

C．10

【考点】基本不等式及其应用．

≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（　　）

B．9

D．前三个答案都不对

【分析】由已知分离参数可得，a＝＝，换元t＝，（t＞0），然后导数与单调性关系及恒成立与最值的相互转化可求．

【解答】解：∵5x+12≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立，

∴a＝＝，

令t＝a≥，（t＞0），

，

，t＞0， 令f（t）＝则＝﹣，

易得f（t）在（，+∞）上单调递减，（0，）上单调递增，

故f（t）＜f（）＝9，

∴a≥9即最小值为9

故选：B．

【点评】本题主要考查了不等式恒成立与最值的相互转化关系的转化，还考查了利用导数研究函数的最值，体现了转化思想的应用．

10．（5分）设P为单位立方体ABCD﹣A1B1C1D1上的一点，则PA1+PC1的最小值为（　　）

A． B．

第13页（共23页）

C．2﹣ D．前三个答案都不对

【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．

【分析】直线结合三角形的两边之和大于第三边即可求解．

【解答】解：因为PA1+PC1≥所以PA1+PC1的最小值为故选：D．

【点评】本题考查立体几何中动点最值问题，考查直观想象的核心素养，属于基础题．

11．（5分）数列{an}（n≥1）满足a1＝1，a2＝9，且对任意n≥1，有an+2＝4an+1﹣3an﹣20，其前n项和为Sn，则数列Sn的最大值等于（　　）

A．28

C．47

【考点】数列递推式．

，当且仅当P在线段A1C1上时等号成立，

，

B．35

D．前三个答案都不对

【分析】设bn＝an+1﹣an，则bn+1＝3bn﹣20，即可得到数列{bn﹣10}是以a2﹣a1﹣10＝9﹣1﹣10＝﹣2为首项，3为公比的等比数列，从而求出bn，利用累加法求出an，当 n≥4 时，an﹣an﹣1＜0，此时数列为单调递减数列，再计算出数列{an}的前4项，又当 n≥5

时，an＜0，所以，则Sn 的最大值可求．

【解答】解：数列{an}（n≥1）满足a1＝1，a2＝9，且对任意n≥1，

有an+2＝4an+1﹣3an﹣20，

整理得an+2﹣an+1＝3（an+1﹣an）﹣20，

设bn＝an+1﹣an，

所以bn+1＝3bn﹣20，转换为bn+1﹣10＝3（bn﹣10），

所以（常数），

所以数列{bn﹣10}是以a2﹣a1﹣10＝9﹣1﹣10＝﹣2为首项，3为公比的等比数列．

所以所以故，

，

，…，，

第14页（共23页）

所以整理得，

＝1﹣3n﹣1+10n﹣10+1＝10n﹣3n﹣1﹣8．

则当n≥4时，an﹣an﹣1＜0，此时数列为单调递减数列，

可求得a1＝1，a2＝9，a3＝13，a4＝5，

当 n≥5 时，an＜0，则 Sn 的最大值为 S4＝28，

故选：A．

【点评】本题考查用数列的递推关系式求数列的通项公式，考查了数列的单调性、最值，考查学生运算能力，属于中档题．

12．（5分）设直线y＝3x+m与椭圆OAB面积的最大值为（　　）

A．8

C．12

【考点】直线与椭圆的综合．

+＝1交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形B．10

D．前三个答案都不对

【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程，可得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求弦长，由点到直线距离公式求O导直线的距离，写出三角形面积，再由基本不等式求最值．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得241x2+150mx+25m2﹣400＝0，

则Δ＝（150m）2﹣4×241×（25m2﹣400）＝﹣1600m2+385600．

由Δ＞0，得m2＜241，

，．

∴|AB|＝＝＝．

第15页（共23页）

O到AB的距离d＝∴S△OAB＝|AB|•d＝当且仅当241﹣m2＝m2，即m2＝∴△OAB面积取得最大值10，

故选：B．

【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

13．（5分）正整数n≥3称为理想的，若存在正整数1≤k≤n﹣1使得C成等差数列，其中C＝A．40

C．42

【考点】数列的应用．

，

≤，得m＝．

时上式取等号，

，C，C构为组合数，则不超过2020的理想数个数为（　　）

B．41

D．前三个答案都不对

【分析】把题意转化为关于k的方程4k2﹣4nk+n2﹣n﹣2＝0有解，即，所以 n+2 为完全平方数，设 n+2＝m2，n≥7，根据n≤2020得到 44≥m≥3，再验证m取[3，44]之间任何一个整数都满足题意即可．

【解答】解：由题意可得

则

构成等差数列，

，化简可得n2﹣（4k+1）n+4k2﹣2＝0，

以 k 为主元整理 4k2﹣4nk+n2﹣n﹣2＝0，

则 ，

成立， 题意转化为存在正整数1≤k≤n﹣1使得

于是 n+2 为完全平方数，设 n+2＝m2，n≥7，

令f（k）＝4k2﹣4nk+n2﹣n﹣2，

因为f（1）＝f（n﹣1）＝n2﹣5n+2＞0，

故，

因为n≤2020，则 44≥m≥3．

第16页（共23页）

若因为 m﹣2，m+1 奇偶性相反，

故对于任意 44≥m≥3 都满足题意．

综上，满足题意的有 42 个，

故选：C．

【点评】本题考查组合数的运算，考查二次方程求根公式，属于难题．

14．（5分）在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，……，D2020依次为边BC上的点，且BD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D2019D2020＝D2020C，∠BAD1＝α1，∠D1AD2＝α2，……，∠D2019AD2020＝α2020，∠D2020AC＝α2021，则A．C．

B．

的值为（　　）

，

D．前三个答案都不对

【考点】数列的求和．

【分析】作出图形，利用正弦定理化简求解即可．

【解答】解：注意到a1+α2+……+α2020＝150°，

在△BAD1中，，

在△D1AD2中，，

∴同，

理可得，

又，

第17页（共23页）

∴，

∴＝．

故选：D．

【点评】本题主要考查正弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

15．（5分）函数为（　　）

A．C．++2

+的最大值B．2+

D．前三个答案都不对

【考点】三角函数的最值．

【分析】令x＝cosθ∈[﹣1，1]，则原题可转化为求函数最大值，利用导数直接求解即可．

【解答】解：原式即为则转化为求函数的最大值，

，令x＝cosθ∈[﹣1，1]，

的因为，令f′（x）＝0得，，解得，且，

由导数知识易知，当x＝x0时，函数f（x）取最大值为．

故选：D．

【点评】本题考查三角函数与导数的综合，考查换元思想，转化思想以及函数思想，考查运算求解能力，属于中档题．

第18页（共23页）

16．（5分）方程A．1

C．3

【考点】函数的零点与方程根的关系．

+＝1的实根个数为（　　）

B．2

D．前三个答案都不对

【分析】把已知方程变形，可得，令（t≥0），得到|t﹣2|+|t﹣1|＝1，再由绝对值的几何意义求得t的范围，进一步求解x的范围得答案．

【解答】解：由得令+，①

（t≥0），则①化为|t﹣2|+|t﹣1|＝1，

＝1，

等式左边的几何意义为数轴非负半轴上的动点t到两定点1，2的距离和为1，

则1≤t≤2，即1≤≤2，

∴1≤x+1≤4，即0≤x≤3．

∴方程故选：D．

【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查绝对值的几何意义及根式不等式的解法，是中档题．

17．（5分）凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF：FD＝5：4，AG：GD＝1：1，CF：FG：GE＝2：2：3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，则S△CFD：S△ABE的值等于（　　）

A．8：15

C．11：23

【考点】三角形的面积公式．

+＝1的实根个数为无数个．

B．2：3

D．前三个答案都不对

【分析】根据边长的比值求出三角形的面积的比值即可判定结论．

【解答】解：如图示，连结AF：

第19页（共23页）

∵CF：FG：GE＝2：2：3，

∴S△CFD：S△DFG：S△DEG＝2：2：3，

设S△CFD＝S，则S△DFG＝S，S△DEG＝S，

又BF：FD＝5：4，

∴S△BEF：S△DFE＝5：4，

∴S△BEF＝（S△DFG+S△DEG）＝又BF：FD＝5：4，

∴S△ABF：S△AFD＝5：4，

∵AG：GD＝1：1，

∴S△AGE＝S△DEG＝S，S△AFG＝S△DFG＝S，

S△ABF＝S△ADF＝×2S＝S，

∴S△ABE＝S四边形ABFE﹣S△BEF＝（S△ABF+S△AFG+S△AGE）﹣S△BEF，

∴S△BEF＝S+S+S﹣S＝S，

S，

∴S△CFD：S△ABE＝8：15，

故选：A．

【点评】本题考查了三角形面积问题，考查转化思想，是一道常规题．

18．（5分）设p，q均为不超过100的正整数，则含有有理根的多项式f（x）＝x5+px+q的个数为（　　）

A．99

C．150

【考点】函数的零点与方程根的关系．

B．133

D．前三个答案都不对

【分析】由题意首先确定方程的根为负数，然后分类讨论其根所满足的条件从而确定多项式的个数即可．

第20页（共23页）

【解答】解析：因为 f（x）＝x5+px+q有有理根，则有理根必小于零．

设，且（m，n）＝1，则．

则qn5＝m5+pmn4，显然n|m，因为（m，n）＝1，则n＝1，故q＝m5+mp．

因为 q＝m5+mp≤100，故1≤m≤2，

当m＝1时，q＝1+p≤100，因此1≤q≤99，共99组，

当m＝2时，q＝32+2p≤100，故1≤p≤34，共34组，

综上所述：满足条件的（p，q） 共133组，

故选：B．

【点评】本题主要考查方程思想的应用，分类讨论的数学思想 等知识，属于中等题．

19．（5分）满足对任意n≥1有an+1＝2n﹣3an且严格递增的数列{an}（n≥1）的个数为（　　）

A．0

C．无穷多个

【考点】数列递推式．

B．1

D．前三个答案都不对

【分析】首先利用构造法出数列的形式，进一步利用叠加法求出数列{bn}的通项公式，再求出数列{an}的通项公式，最后利用单调性求出数列的通项公式，最后求出结果．

【解答】解：满足对任意n≥1有an+1＝2n﹣3an且，两边同除以（﹣3）n+1，

得到：，

令＝bn，

所以设a1＝a，所以，

，

，

…，

第21页（共23页）

，

以上（n﹣1）个式子相加得到：

，

整理得由于an＝（﹣3）nbn，

故，

．

由于{（﹣3）n﹣1}为摆动数列，

所以要使数列{an}严格单调递增，

所以当故选：B．

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，构造新数列，叠加法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

20．（5分）设函数f（x，y，z）＝++

，其中x，y，z均为正实数，则有（　　）

时，数列{an}的通项公式为（符合单调递增）

A．f（x，y，z）既有最大值也有最小值

B．f（x，y，z）有最大值但无最小值

C．f（x，y，z）有最小值但无最大值

D．前三个答案都不对

【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】先由糖水不等式得到f（x，y，z）＜2，再通过放缩证明f（x，y，z）＞1，把x当作主元，令z） 既无最大值也无最小值．

【解答】解：注意到x，y，z＞0，一方面由糖水不等式可得

，

且另一方面，把x当作主元，令，

，

，得函数g（x）的值域为（1，2），故 f（x，y，第22页（共23页）

当x→+∞时，当x→0 时，，明显当，明显当时，满足g（x）→2，

时，满足 g（x）→1，

故 f（x，y，z） 既无最大值也无最小值．

故选：D．

【点评】本题考查利用导数研究函数单调性，糖水不等式，函数的值域，考查转化能力，属于难题．

第23页（共23页）