历年考研数学一真题及答案

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2023年12月2日发(作者：河南省英语数学试卷真题)

历年考研数学一真题

1987-2014

（经典珍藏版）1987 年全国硕士研究生入学统一考试

数学( 一)试卷

一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中

横线上 )

(1)

当 x

=_____________时,

函数

y

(2)

由曲线 y

x 2x

取得极小值

.

ln x

与两直线

y

e 1 x

及

y

0

所围成的平面

图形的面积是 _____________.

(3)

与两直线

x及

1 y 2

yz

1

t

1 都平行且过原点的平面方程为 _____________.

1

(4)

设 L

为取正向的圆周

x2

y2

9,

则曲线积分

(2 xy

2 y)dx

( x2

4 x)dy

= _____________.

L

(5)

已知三维向量空间的基底为

α1 (1,1,0),α2 (1,0,1),α3 (0,1,1),则向量

β (2, 0, 0)

在此基底下的坐标是 _____________.

x

二、 ( 本题满分 8

分)

求正的常数 a

与

b,

使等式

lim

x 0

2

1

t

dt

1bx

sin x

0

a

t

2

三、 ( 本题满分 7

分)

(1) 设

f 、

g 为连续可微函数

, u

成立.

f ( x , xy ), v

g ( x

xy ),

求

u

, v

.

x x

3 0

1

(2) 设矩阵

A和B满足关系式

AB = A

2B,其中

A

1 1 0 ,求矩阵

B.

0 1

4

四、 ( 本题满分 8 分)

求微分方程 y

6 y (9 a2 ) y 1的通解

,

其中常数

a

0.

五、选择题 ( 本题共 4 小题 , 每小题 3 分, 满分 12 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号

内)

(1)

设 lim

x a

f ( x)

( x

f (a)

a)

2

1,

则在

x

a

处

(A)

f ( x) 的导数存在 , 且

f ( a ) 0

(C)

f ( x) 取得极小值

(B)

f ( x) 取得极大值

s

(D)

f ( x) 的导数不存在

(2) 设

f ( x ) 为已知连续函数

, I

(A) 依赖于

s 和

t

0

f (tx ) dx ,

其中

t

0, s 0,

则

I

的值

(B) 依赖于

s 、

t 和

x

(C) 依赖于

t 、

x , 不依赖于

s

(D) 依赖于

s , 不依赖于

t

(3) 设常数

k

0,

则级数

( 1)

n 1

nk

2

n

(A) 发散

(B) 绝对收敛

(C) 条件收敛

(D) 散敛性与

k 的取值有

关

(4) 设

A 为

n 阶方阵，且

A 的行列式

| A | a

0,

而

A

*

是

A

的伴随矩阵，则

| A* |等于

(A)

a

(B)

1

a

n 1

(C)

a

(D)

an

六、（本题满分

10 分）

n 1求幂级数

n 1

1

n x

ng2

的收敛域，并求其和函数 .

七、（本题满分

10 分）

求曲面积分

其中是由曲线 f (x)

zy

1

x

0

y

3绕 y

轴旋转一周而成的曲面

,

其法向量与 y

轴正向的夹角恒大于

.

2

八、（本题满分

10 分）

设函数 f ( x)

在闭区间 [0,1]

的值都在开区间 (0,1)

内, 且

f

得 f ( x ) x.

上可微 , 对于

[0,1] 上的每一个

x, 函数

f ( x )

( x)

1, 证明在

(0,1) 内有且仅有一个

x, 使

九、（本题满分

8 分）

问 a , b

为何值时

,

现线性方程组

有唯一解 , 无解 , 有无穷多解 ?并求出有无穷多解时的通解 .

十、填空题 ( 本题共 3 小题 , 每小题 2 分, 满分 6 分. 把答案填在题

中横线上 )

(1) 设在一次实验中 , 事件

A 发生的概率为

p, 现进行

n 次独立试验 ,

则 A

至少发生一次的概率为

____________;而事件 A

至多发生一次的概率为 ____________.

(2) 有两个箱子 , 第 1 个箱子有 3 个白球 ,2 个红球 , 第 2 个箱子有

4 个白球 ,4 个红球 . 现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2

个箱子里 , 再从第 2 个箱子中取出

1 个球 , 此球是白球的概率为

____________.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球 , 则从第一

个箱子中取出的球是白球的概率为

____________.

(3) 已知连续随机变量

X 的概率密度函数为 f ( x)

1

e

x

2

则 X

的数学期望为

____________, X

的方差为

____________.

十一、（本题满分 6 分）

设随机变量 X ,Y

相互独立

,

其概率密度函数分别为

1

0

x 1

y

0

f

X ( x)

0,

fe

yY

( y)

其它

0

y,求

0

Z2 X

Y

的概率密度函数 .

2 x 1

,

1988 年全国硕士研究生入学统一考试

数学( 一)试卷

一、(本题共 3 小题,每小题 5 分, 满分 15 分)

(1)

求幂级数

n3)( x

n

的收敛域 .

n 1

n3

(2)

设 f (x) e

x2

, f [

( x)]

1 x 且

( x )

0

,

求

( x )

及其定义

域.

(3) 设

为曲面

x2

I

y2 z2 1的外侧

,

计算曲面积分

z3 dxdy .

òx

3dydz y

3dzdx

二、填空题 ( 本题共 4 小题 , 每小题 3 分, 满分 12 分. 把答案填在

题中横线上 )

(1)

若 f (t) lim t(1

1x3

)2tx ,

则

f

( t )

= _____________.

x

1

(2)

设 f ( x )

连续且

f (7)

=_____________.

f (t )dt

x,

则

0

(3) 设周期为 2 的周期函数 , 它在区间

( 1,1] 上定义为

f ( x )

2

x

2

1

x

0

x

1

0

, 则的傅里叶

( Fourier

)

级数在

处

x

1

收敛于 _____________.

(4) 设 4阶矩阵

A

[αγ,2, γ3, γ4], B

[βγ,2, γ3, γ4],

其中 αβγ,,2,γ3, γ4

均为

4

维列向量 , 且已知行列式

A 4, B 1,

_____________.

则行列式 A

B

=

三、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出

的四个选项中 , 只有一个符合题目要求

, 把所选项前的字母填在题后

的括号内 )

(1) 设

f ( x ) 可导且

f ( x0

)

1

2

,

则

x

0

时

, f ( x)

在

x0

处的微分

dy

是

(B) 与

x

(A) 与

x

等价的无穷小

同阶的无穷小

(C) 比

x

低阶的无穷小

f ( x )

是方程 y

2 y

4 y

(D) 比

x

高阶的无穷小

(2) 设

y

0

的一个解且

f ( x0 ) 0, f ( x0 )

0,

则函数

f ( x )

在点

x0

处

(B) 取得极小值

(D) 某邻域内单调

(A) 取得极大值

(C) 某邻域内单调增加

减少

(3) 设空间区域

1 : x2

y

2

z2

R2 , z 0,

2 : x2

y2

z2

R2 , x 0, y 0, z 0,

则

(A)

1

xdv

4

2

dv

(B)

ydv

1

4

2

ydv

(C)(D)

zdv

1

4

2

zdv

xyzdv

1

4

2

xyzdv

(4)

设幂级数

an ( x

n 1

1)

在 x

n1

处收敛

,

则此级数在

x 2

处

(A) 条件收敛

(C) 发散

n

(B) 绝对收敛

(D) 收敛性不能确定

(5)

维向量组

是

α, α ,L12

, α (3 s

n)

s

线性无关的充要条件

(A) 存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,L , ks,

使

k α k α L

k α

0

s s

1122

1 2s

(B)

α,α ,L , α

中任意两个向量均线性无关

(C)

α,α ,L , α

中存在一个向量不能用其余向量线性表示

1 2s

(D)

α,α ,L , α

中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

1 2s

四、(本题满分 6 分)

设 u

yf ( )

xg ( ),

其中函数

f

、

g

具有二阶连续导数

,

求

y

xyx

x

2u2

y

2u

.

xx y

五、(本题满分 8 分)

设函数 y

y ( x)

满足微分方程

y3y

2 y 2e

x ,

其图形在点

(0,1)

处的切线与曲线 y

A

x2

x 1

在该点处的切线重合

,

求函数

yy ( x).

六、（本题满分 9 分）

设位于点 (0,1)

的质点 A

对质点 M

的引力大小为

质点与 M

之间的距离

),

质点 M

沿直线

y

k

(k 0

为常数 , r

为

r

2

2x x2

自

B (2, 0)

运动到

O (0, 0),

求在此运动过程中质点

A

对质点

M

的引力所作的功 .

七、（本题满分

6 分）

1

0

BP,其中0

0

, P

1

2

0

已知 AP

B0

0

5,求

A,A.

1

0

1

八、（本题满分

8 分）

2

0

2

0

y

0

相似 .

1

已知矩阵 A 0

0

1

与 B

0

1

x

(1) 求

x 与

y.

(2) 求一个满足

P

1

AP

B

的可逆阵

P.

九、（本题满分

9 分）

设函数

f ( x)

在区间

[ a , b ]

上连续 ,

且在

( a, b)

内有

f

( x )

0,

证明 :

在

( a , b)

内存在唯一的

,使曲线

y

f ( x)

与两直线

y

f (

), x

a

所围

平面图形面积 S是曲线

y

1

f ( x )

与两直线 y

f (

), x

b

所围平面

图形面积

S2

的

3 倍.

十、填空题 ( 本题共 3 小题 , 每小题 2 分, 满分 6 分. 把答案填在题

中横线上 )

(1) 设在三次独立试验中 , 事件

A 出现的概率相等 , 若已知

A 至少

出现一次的概率等于

19

27

,

则事件

A

在一次试验中出现的概率是

____________.

(2) 若在区间 (0,1)

内任取两个数

,

则事件”两数之和小于

”的概

5

6率为 ____________.

(3) 设随机变量 X

服从均值为

10,

均方差为

0.02

的正态分布

,

已知则 X

落在区间

(9.95,10.05)

内的概率为

____________.

十一、（本题满分

6 分）

设随机变量 X

的概率密度函数为

f

X

( x)

1

(1

x2 )

,

求随机变量

Y 1

3

X

的概率密度函数

fY

( y).

1989 年全国硕士研究生入学统一考试

数学( 一)试卷

一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在

题中横线上 )

(1)

已知 f (3)

2,

则

lim f (3 h)

h 0

f (3)

= _____________.

2h

(2)

设 f ( x )

是连续函数

,

且

f (x)

x 2 f (t)dt, 则

0

1

f ( x )

=_____________.

(3)

设平面曲线 L

为下半圆周

y

L

1 x

2 ,

则曲线积分

( x2

y2 ) ds

=_____________.

(4)

向量场 div u

在点

P (1,1, 0)

处的散度 div u

=_____________.

3

0

1

0

1

0 ,则矩阵

0

1

(5)

设矩阵A 1

4

0 ,I

0

3

(A 2I )

=_____________.

1二、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出

的四个选项中 , 只有一个符合题目要求

, 把所选项前的字母填在题后

的括号内 )

(1) 当

x

0

时,

曲线

y x sin

1

x

(A) 有且仅有水平渐近线

渐近线

(B) 有且仅有铅直

(C) 既有水平渐近线 , 又有铅直渐近线

平渐近线 ,

又无铅直渐近线

(D) 既无水

2已知曲面 z 4 x

(2)

y2

上点

P

处的切平面平行于平面

2 x 2 y

z 1

1, 2)

0,

则点的坐标是

(A)

(1,

(B)

( 1,1, 2)

(D)

( 1, 1, 2)

(C)

(1,1,2)

(3)

设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,

则该非齐次方程的通解是

(A) c1 y1 c2 y2

y3

(B)

c1 y1 c2 y2 (c1 c2 ) y3

(C) c1 y1

c2 y2

(D)

c1

y1

c2 y2

(1

c1

c2 ) y3

(1

c1

c2 ) y3

(4) 设函数 f ( x) x2 ,0 x 1,

而

S( x)

bn sin n x,

n

1

x

,

其中

bn 2

f (x)sin n xdx,n

1

1,2,3,L ,

则

S(

1

2

)

等于

0

(A)

1

(C)

12

(B)

1

(D)

14

4

2

(5) 设

A 是

n 阶矩阵 , 且

A 的行列式

A

0,则A中

(A) 必有一列元素全为 0

成比例

(B) 必有两列元素对应

(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合

是其余列向量的线性组合

(D) 任一列向量

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分, 满分 15 分)

(1) 设

z

f (2 x

2y ) g ( x , xy ),

其中函数 f ( t )

二阶可导 , g (u , v )

具有连续

二阶偏导数 , 求

z

.

x y

(2) 设曲线积分

c

xy2 dx y ( x)dy

与路径无关

,

其中

( x )

具有连续的

导数, 且

(0)

(1,1)

(0,0)

0,

计算

xy2 dx

y (x)dy

的值

.

(3) 计算三重积分

( x

z) dv,

其中是由曲面

z

x2

y2

与

z

1 x2 y2

所围成的区域

.

四、(本题满分 6 分)

将函数 f (x) arctan

1x

展为 x

的幂级数

.

1

x

五、(本题满分 7 分)

x

设 f (x) sin x

( x

t ) f (t )dt,

其中

f

为连续函数

,

求

f ( x).

0

六、（本题满分

7 分）

证明方程 ln x

x

e

0

1 cos 2 xdx

在区间

(0,

)

内有且仅有两

个不同实根 .

七、（本题满分

6 分）

问

为何值时 , 线性方程组

有解 , 并求出解的一般形式 .

八、（本题满分

8 分）

假设

为

n 阶可逆矩阵

A 的一个特征值 , 证明

1

(1)

(2)

A为A

1的特征值.

为A

的伴随矩阵 A的特征值

.

*九、（本题满分

9 分）

设半径为 R

的球面

的球心在定球面

x2

y2 z2 a2 (a 0)

上,

问当

R

?

为何值时 , 球面

在定球面内部的那部分的面积最大

十、填空题 ( 本题共 3 小题 , 每小题 2 分, 满分 6 分. 把答案填在题

中横线上 )

(1) 已知随机事件

A 的概率

P ( A )

0.5,

随机事件

B

的概率

P ( B )

0.6

及条件概率

P(B | A) 0.8,

则和事件

A U B

的概率 P ( A U

B )

=____________.

(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次 , 其命中率分别为 0.6 和

0.5, 现已知目标被命中 , 则它是甲射中的概率为 ____________.

(3) 若随机变量在

(1, 6) 上服从均匀分布 , 则方程

x2

根的概率是 ____________.

十一、（本题满分 6 分）

x 1 0

有实

设随机变量 X

与 Y

独立

,

且 X

服从均值为

1、标准差 ( 均方差 ) 为

2

的正态分布 ,

而Y

服从标准正态分布

.

试求随机变量

Z

率密度函数 .

2X Y 3的概

1990 年全国硕士研究生入学统一考试

数学( 一)试卷

一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在

题中横线上 )

(1) 过点 M (1, 2 1)

且与直线

y3 t 4

垂直的平面方程是

_____________

.

z

t 1

(2) 设

a 为非零常数 , 则 lim(

x

a

)

x

=_____________.

a

x

(3) 设函数

f ( x )

1

x

1

, 则

f [ f ( x)] =_____________.

0

x

1

2 2y2

(4) 积分

0 dx

x e dy

的值等于

_____________.

(5) 已知向量组

α

1

(1,2,3,4), α

2

(2,3,4,5), α

3

(3,4,5,6), α

(4,5,6,7),

4

则该向量组的秩是 _____________.

二、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 )

(1) 设

f ( x ) 是连续函数 , 且

F ( x)

e

x

f (t )dt ,

则 F (x )

等于

(A)

(B)

e

x f (e

x )

e

x f (e

x )

f ( x)

(C)

e

x

f (e

x

)

f ( x)

(D)

e

x

f (e

x

)

f ( x)

(2) 已知函数 f ( x )

具有任意阶导数

,

且

f ( x) [ f (x)]2

,

则当 n

为大于

2 的正整数时

, f ( x ) 的

n 阶导数

f

( n )

( x) 是

(A)

n![ f ( x)]

(C)

[ f ( x)]n 1

(B)

n[ f ( x)]n 1

2 n

(D) n![ f ( x)]

2n

[ sin( na )(3) 设

a 为常数 , 则级数

(A) 绝对收敛

1

]

n

(B) 条件收敛

n 1n

2

(C) 发散

(D) 收敛性与

a 的取值

有关

(4) 已知 f ( x )

在

x 0

的某个邻域内连续

,

且

f (0)

0,lim

x

0

f ( x)

2,

则在点 x 0

处 f ( x )

(B) 可导 , 且

f (0) 0

1

cos x

(A) 不可导

(C) 取得极大值

(D) 取得极小值

(5) 已知

β1、

β2是非齐次线性方程组

AX

是对应其次线性方程组 AX

组 AX

b

的两个不同的解

,α1、

α2

0

的基础解析 ,k1

、 k2

为任意常数

,

则方程

b

的通解

(

一般解

)

必是

α

1

(A)

k1

k2 (

1

α

β

2

)1

2

(B)

k

α

k

1 1

(α

α )

2

β

1

2

1

2

β

1

β

2

(C)

k1α1

k2 (β1

β2 )

2

β

1

β

2

(D)

k1α1

k2 (β1

β2 )

2

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分, 满分 15 分)

1

ln(1 x)

2 dx.

(1)

求

0

(2 x)

(2)

设 z

f (2 x y , y sin x ), 其中

f ( u , v ) 具有连续的二阶

2偏导数 , 求

z

.

x y

(3) 求微分方程 y

四、(本题满分 6 分)

求幂级数

n

4 y

4 y e

2 x 的通解 ( 一般解 ).

n1) x

的收敛域 , 并求其和函数 .

(2 n

0

五、(本题满分 8 分)

求曲面积分

其中 S

是球面

x2

y2 z2 4

外侧在

z

0

的部分

.

六、（本题满分

7 分）

设不恒为常数的函数

f ( x )

在闭区间 [ a , b ]

上连续

,

在开区间 (a , b)

内

,

使得 f ( ) 0.

可导 , 且

f (a )

f (b ).

证明在 ( a, b)

内至少存在一点

七、（本题满分

6 分）

设四阶矩阵

且矩阵 A

满足关系式

其中 E

为四阶单位矩阵

, C

1

表示

C

的逆矩阵

,C

表示

C

的转置矩阵

.

将

上述关系式化简并求矩阵

A .

八、（本题满分

8 分）

求一个正交变换化二次型

f

x12 4x22 4x32 4x1x2 4 x1 x3 8x2x3

成标准型 .

九、（本题满分

8 分）

质点 P

沿着以 AB

为直径的半

圆周 , 从点

A(1,2)

运动到点 B (3,

4)

的

r

F

的

过程中受变力 F

作用

(

见图

).

大小等于点 P

与原点

O

之间的距

离, 其方向垂直于线段

OP 且与

y

轴正向的夹角小于

r

.求变力

F

对

2

质点 P

所作的功

.

十、填空题 ( 本题共 3 小题 , 每小题 2 分, 满分 6 分. 把答案填在题

中横线上 )

(1) 已知随机变量 X

的概率密度函数则 X

的概率分布函数

F ( x )

=____________.

(2) 设随机事件

A 、

B 及其和事件的概率分别是 0.4 、0.3 和 0.6, 若

B

表示 B

的对立事件

,

那么积事件 AB

的概率

P(AB )

=____________.

(3) 已知离散型随机变量 X

服从参数为

2

的泊松

( Poisson )

分布

,

即

P{ X k}

2k

e

k !

2

, k 0,1, 2,L ,

则随机变量 Z

3 X2

的数学期望

E ( Z )

=____________.

分）

十一、（本题满分

6

设二维随机变量

(X,Y)

在区域

D : 0

x 1, y

x

内服从均匀分布

, 求

关于

X

的边缘概率密度函数及随机变量

Z

2 X

1

的方差

D(Z).

1991 年全国硕士研究生入学统一考试

数学( 一)试卷

一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在

题中横线上 )

(1)

设

d2yx

1 t

, 则 =_____________.

2

y

cost

dx

2

(2)

由方程 xyz

x2

y2

z2

2

所确定的函数

z

z( x, y )

在点 (1, 0, 1)

处的全微分 dz=_____________.

(3)

已知两条直线的方程是

l1

:

x 1

1

y 2

0

z 3 ; l2

: x 2

2

1

y 1

1

z

.

1

则过 l1

且平行于 l2

的平面方程是

_____________.

1

(4)

已知当 x0

时 ,(1

ax2 )3

1与

cos x

1

是等价无穷小

,

则常数

a

=_____________.

(5)

设4阶方阵

A

5

2

0

2

1

0

2

1

,

则

A

的逆阵

A

1

=_____________.

0

1

0

1

二、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 )

(1) 曲线

y1e

x2

1e

(A) 没有渐近线

(B) 仅有水平渐近线

(D) 既有水平渐近

(C) 仅有铅直渐近线

线又有铅直渐近线

(2) 若连续函数

f ( x ) 满足关系式

f ( x)

2

0

t

f ( )dt ln 2,

2

则 f ( x )

等

于

(A)

ex

ln 2

(B) e2 x

ln

2

(D)

e2 x

ln 2

(C)

ex

ln 2

(3) 已知级数

( 1)n 1

n 1 an 2, a2n 1 5,

则级数n 1

an 1

n

等于

(A)3

(C)8

(4) 设

D 是平面

xoy 上以

(1,1) 、

( 1,1) 和

( 1,

, D1

是

D

在第一象限的部分

,

则

(B)7

(D)9

1)

为顶点的三角形区域

等于( xy cos x sin y ) dxdy

D

(A)

2

(C)

4

cos x sin ydxdy

D1

(B)

2

D1

xydxdy

( xy cos x sin y) dxdy

(D)0

D1

(5) 设

n 阶方阵

A 、

B 、

C 满足关系式

ABC E , 其中

E 是

n 阶单位阵 ,

则必有

(A)

ACB

(C)

BAC

E

(B)

CBA

(D)

BCA

分, 满分 15 分)

E

三、(本题共 3 小题,每小题 5

(1) 求 lim (cos x ) .

x 0

2

r

2

(2) 设

n 是曲面

2 x

向量 , 求函数

3 y

2

z

2

6

在点

P (1,1,1)

处的指向外侧的法

r

在点 P

处沿方向

n

的方向导数

.

u

6x

8 yz

2

(3)

( x

2

y

4

z)dv ,

其中是由曲线

y22 z

绕 z

轴旋转一周而成的

x

0

曲面与平面 z

所围城的立体

.

四、(本题满分 6 分)

过点 O (0, 0)

和 A(

, 0)

的曲线族 y a sin x (a 0)

中,

求一条曲线

L,

使沿

该曲线 O

从到

A

的积分

(1 y3 )dx (2 x

y) dy

的值最小

.

L

五、(本题满分 8 分)

将函数 f ( x) 2 x ( 1 x 1)

展开成以

2

为周期的傅里叶级数

, 并由

此求级数

1n 1

n2

的和.

7 分）

六、（本题满分

1

设函数 f ( x)

在 [0,1]

上连续 ,(0,1)

内可导

,

且 3

2 f ( x )dx f (0),

证明在

3

(0,1)

内存在一点 c,

使

f (c )

七、（本题满分

已知 α (1,0,2,3), α

0.

8 分）

(1,1,3,5), α (1, 1, a

2

3

2,1), α (1,2,4, a

4

8)

1

及

β

(1,1, b 3,5).

(1)

(2)

a

、

b

为何值时 ,β不能表示成

α1,α2,

α3,α4

的线性组合

?

a

、为何值时 ,β有

α1,α2,

α3,α4

的唯一的线性表示式

b

写出该表

示式 .

八、（本题满分

6 分）

设 A

是

n

阶正定阵

,E

是

n

阶单位阵

,

证明 A

E

的行列式大于

1.

九、（本题满分

8 分）

在上半平面求一条向上凹的曲线 , 其上任一点

P ( x , y ) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ

长度的倒数

( Q

是法线与 x

轴的交点

),

且曲线在点 (1,1)

处的切线与 x

轴平行

.

十、填空题 ( 本题共 2 小题 , 每小题 3 分, 满分 6 分. 把答案填在题

中横线上 )

(1) 若随机变量 X

服从均值为

2、方差为

的正态分布

,

且

2

P{2

X

4}

0.3,

则 P{ X 0}

=____________.

(2) 随机地向半圆 0 y2ax x

2 ( a

为正常数

)

内掷一点

,

点落在半

圆内任何区域的概率与区域的面积成正比

, 则原点和该点的连线与

x

轴的夹角小于

的概率为 ____________.

4

十一、（本题满分

6 分）

设二维随机变量

( X ,Y )

的密度函数为

求随机变量

Z

X

2 Y

的分布函数

.

1992 年全国硕士研究生入学统一考试

数学( 一)试卷

一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在

题中横线上 )

(1)

设函数 y y( x )

由方程

ex y

cos(xy)

dydx

0确定,

则

=_____________.

(2)

函数 u ln( x2

y2

z2 )

在点

M (1, 2,

2)

处的梯度

gradu

M

=_____________.

(3) 设

f ( x )

1

1 x

2

x 00

x

, 则其以

2

为周期的傅里叶级数在

点 x处收敛于 _____________.

(4)

微分方程

y

y tan x

cos x

的通解为

y

=_____________.

a1b1

a1b2

L

a2b1

L

an b1

an b2

L

(5)

设 A

a2bnL

anbn

a1bn

,

其中 ai

0, bi 0,( i 1,2,L , n).

则矩阵

A

的秩 r ( A )

=_____________.

二、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出

的四个选项中 , 只有一个符合题目要求

, 把所选项前的字母填在题后

的括号内 )

1

x2(1) 当

x 1 时, 函数

x

1

ex1

的极限

(B) 等于 0

(D) 不存在但不为

(A) 等于 2

(C) 为

(2) 级数

n

1

n

(

1) (1

cos )(

常数

a 0)

n

a(A) 发散

(B) 条件收敛

(D) 收敛性与

a 有关

(C) 绝对收敛

(3) 在曲线

x

t, y

的切线

t

2 , z

t

3

的所有切线中

,

与平面

x 2 y z 4

平行

(A) 只有 1条

(B)只有 2条

(D) 不存在

(C) 至少有 3 条

(4) 设

f (x)

3x3

x2 x ,

则使 f

( n ) (0)

存在的最高阶数

n

为

(A)0

(C)2

(B)1

(D)3

1

0

,ξ

2

(5) 要使

ξ

1

0

2

1

都是线性方程组 AX

0

的解

只要系数矩

,

1

阵 A

为

(A)

2

1

2

(B)

2

0

1

(C)

1

0

1

2

1

0

1

2

1

(D)

4

0

1

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分, 满分 15 分)

ex(1) 求

lim

x

0

sin x 1.

1

x2

1

(2) 设

z

f (ex sin y, x2

2

2y2 ),

其中

f

具有二阶连续偏导数

,

求

z

.

x y

(3) 设

f

( x )

1

x

e

x

0

, 求

f (x 2)dx.

1

3

四、(本题满分 6 分)

求微分方程 y

2 y

3y e

3 x

的通解

.

五、(本题满分 8 分)

计算曲面积分

上半球面 z a2

( x3

az ) dydz ( y

23

ax

) dzdx ( z23

ay

2

)dxdy ,

其中为

x2

y2

的上侧

.

六、（本题满分

7 分）

设 f

( x ) 0, f (0)

0,

证明对任何

x1 0, x2 0,

有 f ( x1 x2 ) f ( x1 )

f ( x2 ).

七、（本题满分

8 分）

r

在变力 F

r

yzi

r

面

xzxj

xyk

的作用下 , 质点由原点沿直线运动到椭球

),问当、、

2

a

2

y2

b2

z2

1

上第一卦限的点

M ( , ,

c

2

取何值时 , 力

r

F

所做的功 W

最大

?并求出 W

的最大值

.

八、（本题满分

7 分）

设向量组 α,α ,α

线性相关

,

向量组 α, α,α

线性无关

,

问:

1 2 3 2 3 4

(1)

α1能否由 α2,α3线性表出

?证明你的结论

.

(2)

α4能否由 α1,α2

,α3

线性表出证明你的结论

?

.

九、（本题满分

7 分）

设 3

阶矩阵 A

的特征值为

1

1,

2

2,

3 3,

对应的特征向量依次为

ξ

1

,ξ

2

1

2

4

1 23

,ξ

3

1

3

,

又向量

1

β

2 .

3

9

(1) 将 β用

ξ,

ξ,ξ

线性表出

.

(2) 求 Anβ(n为自然数

).

十、填空题 ( 本题共 2 小题 , 每小题 3 分, 满分 6 分. 把答案填在题

中横线上 )

(1) 已知

P( A) P(B) P(C)

14

,P(AB) 0,P(AC) P(BC)

16

,则事件

A

、 B

、

C

全不发生的概率为

____________.

(2) 设随机变量 X

服从参数为

1

的指数分布

,

则数学期望

E{ X

e

2 X }

=____________.

十一、（本题满分

6 分）

设随机变量 X

与Y

独立

, X

服从正态分布

N( ,

2),Y

服从

[

, ]上的

均匀分布 , 试求

Z

X

Y

的概率分布密度

(

计算结果用标准正态分布

1

( x)

2

t

x

2函数表示,其中

e

2 dt )

.

1993 年全国硕士研究生入学统一考试

数学( 一)试卷

一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在

题中横线上 )

(1) 函数

F ( x)

1

x

(2

1

) dt ( x 0) 的单调减少区间为 _____________.

t

(2) 由曲线

3 x

2 2

2 y12

绕

y

轴旋转一周得到的旋转面在点

z

0

(0, 3, 2)

处的指向外侧的单位法向量为

_____________.

(3)

设函数 f (x)

x

x2 (

x)

的傅里叶级数展开式为

则其中系数 b

a0

3的值为 _____________.

2

n 1

( a

n cos nx bn sin nx ),

(4)

设数量场 u

ln

x2

y2

z2 ,

则

div(grad u )

=_____________.

(5) 设 n

阶矩阵

A

的各行元素之和均为零

,

且

A

的秩为 n 1,

则线性

方程组 AX

0

的通解为

_____________.

二、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出

的四个选项中 , 只有一个符合题目要求

, 把所选项前的字母填在题后

的括号内 )

(1) 设

f (x)sin(t

sin x

0

2

)dt, g( x)

x

3

x ,

则当

x

4

0

时 , f ( x)

是 g ( x )

的

(A) 等价无穷小

(B) 同价但非等价的无

穷小

(C) 高阶无穷小

(2) 双纽线

(x2

y2 )2

(D) 低价无穷小

x2

y2

所围成的区域面积可用定积分表示为

(A)

2

4 cos 2

d

(B)

4

40

cos 2 d

0

(C)

2

4

0

cos 2

d

(D)

1

4 (cos 2

)

2 d

(3) 设有直线

l1

:

x

1 y

1

与 l2 :

5 z

2

1

8

2

x y

2 y

z

6

0

则 l1

与 l2

的夹角为

3

(A)

(C)

(B)

(D)

6

4

3

2

(4) 设曲线积分

[ f (t)

L

ex ]sin

ydx f (x)cos ydy

与路径无关

,

其中

f ( x )

具有一阶连续导数

,

且 f (0)

0,

则 f ( x )

等于

(A)

e

x

e2

x

(B)

ex

e

x

2

(C) ex

e

x

1

2

(D)

1

ex

e

x

2

1

2

3

6

9

(5) 已知

Q

2

4

t , P

为三阶非零矩阵

,

且满足

PQ

0,

则

(A)

t

6时P的秩必为

1

(B)

t

6时P的秩必为

2

(C)

t

6

时

P

的秩必为

1

(D)

t

6

时

P

的秩必为

2

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分, 满分 15 分)

(1)

求 lim(sin

x

2

x

cos )

x .

x

1

(2)

求

x ex

ex

dx.

1

(3)

求微分方程 x2 y xy

四、(本题满分 6 分)

计算

y2 ,

满足初始条件 y

x 1

1的特解

.

22 xzdydz

yzdzdx

z dxdy,

其中是由曲面

z

x2

y2

与

ò

z

2 x2 y2

所围立体的表面外侧

.

五、(本题满分 7 分)

求级数

( 1) (n

n

n2

n 0

n21)

的和.

六、(本题共 2 小题,每小题 5 分, 满分 10 分)

(1) 设在

[0,

f ( x )

在 (0,

)

上函数 f ( x )

有连续导数

,

且 f ( x ) k 0, f (0)

0,

证明

)

内有且仅有一个零点

.

a

e,

证明 ab

b

a .

(2) 设

b

七、（本题满分

8 分）

已知二次型

成标准形 f y12

f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12

3 x22

3 x32

2ax2 x3 ( a 0)

通过正交变换化

2 y22

5 y32 ,

求参数

a

及所用的正交变换矩阵

.

八、（本题满分

6 分）

设 A

是

n m

矩阵

, B

是

m n

矩阵

,

其中

n

ABI ,

证明

B

的列向量组线性无关

.

m , I

是 n

阶单位矩阵

,

若

九、（本题满分

6 分）

设物体 A

从点

(0,1)

出发 , 以速度大小为常数

v 沿

y 轴正向运动 . 物

体 B

从点

( 1,0)

与 A

同时出发

,

其速度大小为

2 v,

方向始终指向

A,

试建立物体 B

的运动轨迹所满足的微分方程

,

并写出初始条件

.

十、填空题 ( 本题共 2 小题 , 每小题 3 分, 满分 6 分. 把答案填在题中横线上 )

(1) 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品 , 任意抽取两次 , 每次抽一个, 抽出后不再放回 , 则第二次抽出的是次品的概率为

____________.

(2) 设随机变量

X 服从

(0, 2) 上的均匀分布 , 则随机变量

Y

(0, 4)

内的概率分布密度

fY

(y)

=____________.

X

2

在

十一、（本题满分 6 分）

设随机变量 X

的概率分布密度为

f ( x)

1 e

x ,x.

2

(1) 求 X

的数学期望 EX

和方差

DX .

(2) 求X与

X

的协方差,并问X与X

是否不相关?

(3) 问 X

与

X

是否相互独立

?为什么

?

1994 年全国硕士研究生入学统一考试

数学( 一)试卷

一、填空题 ( 本题共

5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在

题中横线上 )

(1)

lim cot

x 0

(

1

1x

)

= _____________.

sin x

(2)

曲面 z

ex 2xy

3

在点 (1, 2, 0)

处的切平面方程为

_____________.

设ux2

x

u e

在点

(2,

1

) 处的值为 _____________.

则

sin,(3)

y

x y

(4)

设区域 D

为

x2

y2

2

xR2 ,

则 (

2

y2 )dxdy

=_____________.

a(5)

已知 α [1,2,3],

A

n

β [1,

11D

b

2

,],设A

αβ,

其中

α是 α的转置

,

则

3

=_____________.

二、选择题 ( 本题共 5

小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出

的四个选项中 , 只有一个符合题目要求

, 把所选项前的字母填在题后

的括号内 )

(1) 设

M

2

sin x

2 cos4 xdx,N

2 (sin3 x cos4 x)dx,P

2 (x2 sin3 x cos4 x)dx,

则有

2

2 1 x

2

(A)

(C)

N

P

M

(B)

M

P

N

M

P

(D)

P

M

N

(2) 二元函数 f ( x, y )

在点

( x0

, y0

)

处两个偏导数

fx

(x0, y0

)

、

f

y

( x0

, y0

)

存

在是 f ( x , y )

在该点连续的

(A) 充分条件而非必要条件

(B) 必要条件而

非充分条件

(C) 充分必要条件

(D) 既非充分条件

又非必要条件

(3)

设常数

0,

且级数

n

an2

收敛 , 则级数

1

(

n 1

1)nan

n2

(A) 发散

(B) 条件收敛

(C) 绝对收敛

(4)

lim

2

(D) 收敛性与有关

a tan x

b(1 cosx)

2

2,

其中 a

)

c

0,

则必有

x 0

c ln(1 2x) d(1 e

x

4

(A)

b

(B)

b

(C)

d a 4c

(5) 已知向量组

α,α

,

α,α 线性无关 , 则向量组

1 2 3 4

(D)

a

4 d

4 c

1994 年全国硕士研究生入学统一考试

数学( 一)试卷

一、填空题 ( 本题共

5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在

题中横线上 )

(1)

lim cot

x 0

(

sin x

11

x

)

= _____________.

(2)

曲面 z

ex 2xy

3

在点 (1, 2, 0)

处的切平面方程为

_____________.

(3)

设 u e

x

sin ,

则

y

x y

x2u1 在点

(2,

) 处的值为 _____________.

(4)

设区域 D

为

x2

y2

2

xR2 ,

则 (

2

y2 )dxdy

=_____________.

a(5)

已知 α [1,2,3],

A

n

β [1,

113

D

b

,],设A

αβ,

其中

α是 α的转置

,

则

2

=_____________.

二、选择题 ( 本题共 5

小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出

的四个选项中 , 只有一个符合题目要求

, 把所选项前的字母填在题后

的括号内 )

(1) 设

M

2

sin x

2

cos

xdx,N

42 (sin3 x cos4 x)dx,P

2 (x2 sin3 x cos4 x)dx,

则有

2

2 1 x

2

(A)

(C)

N

P

M

(B)

M

P

N

M

P

(D)

P

M

N

(2) 二元函数 f ( x, y )

在点

( x0

, y0

)

处两个偏导数

fx

(x0, y0

)

、

f

y

( x0

, y0

)

存在是 f ( x , y )

在该点连续的

(A) 充分条件而非必要条件

(B) 必要条件而

非充分条件

(C) 充分必要条件

(D) 既非充分条件

又非必要条件

(3)

设常数

0,

且级数

n

an2

1

收敛 , 则级数

n 1

(

1)nan

n2

(A) 发散

(B) 条件收敛

(C) 绝对收敛

(4)

lim

(D) 收敛性与有关

a tan x

b(1 cosx)

2

2,

其中 a

2

c

2

0,

则必有

)

x 0 c ln(1 2x) d(1 e

x

(A)

b

4

(B)

b

4 d

(C)

d a 4c

(D)

a

4 c

(5)

已知向量组 α1,α2 ,α3, α4

线性无关

,

则向量组

(A)

α1

α2 ,α2

α3 ,α3

α4 ,α4

α1

线性无关

(B)

α1

α2 ,α2

α3 ,α3

α4 ,α4

α1

线性无关

(C)

α1

α2 ,α2

(D)

α1

α2 ,α2

α3, α3

α4 , α4

α1

线性无关

α3, α3

α4, α4

α1

线性无关

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分, 满分 15 分)

x

cos(t

2 )

t cos(t

2 )

(1)

设

2

t

1

y

1

2 u

cosudu

dx

,求dy

、d y

dx 2

2在t

2

的值 .

(2)

将函数 f ( x)

1

ln 1

x

4

1

x

1

arctan x x

展开成

x

的幂级数

.

2

(3)

求

dx

sin(2 x)

2sin x

.

四、(本题满分 6 分)

计算曲面积分

S

xdydz

x2

y2

z2

z2 dxdy,

其中

S

是由曲面

x2

y2

R2

及

z R , zR ( R 0)

两平面所围成立体表面的外侧

.

五、(本题满分 9 分)

设 f ( x )

具有二阶连续函数 , f

[ xy( x y) f (x) y]dx [ f ( x) x2 y]dy

(0)

0, f (0) 1,

且

0

为一全微分方程 , 求

f ( x ) 及此全微

分方程的通解 .

六、(本题满分 8 分)

设 f ( x )

在点

x 0

的某一邻域内具有二阶连续导数 , 且

lim

f ( x)x

0,

x 0

证明级数

f (

1

n

n 1

) 绝对收敛 .

七、（本题满分

6 分）

已知点 A

与 B

的直角坐标分别为

(1,0, 0)

与

(0,1,1).

线段 AB

绕

x

轴旋转

一周所成的旋转曲面为 S.

求由 S

及两平面

z

积.

0, z 1

所围成的立体体

八、（本题满分

8 分）

设四元线性齐次方程组 ( Ⅰ) 为

x1x2

0

,

x2 x4

0

又已知某线性齐次方程组 ( Ⅱ) 的通解为

k1

(0,1,1,0)

k2 ( 1,2,2,1).

(1) 求线性方程组 ( Ⅰ) 的基础解析 .

(2) 问线性方程组 ( Ⅰ) 和( Ⅱ ) 是否有非零公共解 ?若有 , 则求出所有的非零公共解 . 若没有 , 则说明理由 .

九、（本题满分

6 分）

设 A

为

n

阶非零方阵

, A

*

是 A

的伴随矩阵

, A

是 A

的转置矩阵

,

当 A* A

时,证明

A 0.

十、填空题 ( 本题共 2 小题 , 每小题 3 分, 满分 6 分. 把答案填在题

中横线上 )

(1)

已知 A

、 B

两个事件满足条件

P( AB ) P( AB ),

且

P ( A)p,

则

P ( B )

=____________.

(2)

设相互独立的两个随机变量

率为

X , Y

具有同一分布率

,

且

X

的分布

0

1

则随机变量 Z

max{ X , Y }

的分布率为

____________.

十一、（本题满分

6 分）

设随机变量 X

和 Y

分别服从正态分布

N (1,32 )

和 N(0,4

2 ),

且

X

与Y

的

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