2023年12月15日发(作者：中考最后2个星期数学试卷)
第三章 概率的进一步认识
1.了解利用数据可以进行统计推断,发展建立数据分析观念,感受随机现象的特点.
2.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果,以及指定事件发生的所有可能结果,了解事件的概率.
3.知道通过大量的重复试验,可以用频率来估计概率.
4.经历试验、收集与统计试验数据、分析试验结果等活动过程,进一步发展数据分析观念,体会概率与统计的关系.
5.通过试验进一步感受随机事件发生的频率的稳定性,理解随机事件发生的频率与概率的关系,加深对概率意义的理解.
1.能运用列表和画树状图等方法计算一些简单事件发生的概率,能用试验频率估计一些较复杂随机事件发生的概率.
2.能运用概率解决一些简单实际问题,进一步发展应用意识.
在活动过程中积累活动经验,体验与他人合作、交流的意义和作用.
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七年级已经认识了许多随机事件,理论地研究了一些简单的随机事件发生的可能性.本章是上述内容的延伸,进一步认识了频率与概率的关系,进而加深对概率的理解.通过试验,理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,据此估计某一事件发生的概率.本章是围绕概率计算的两种方式——理论计算和试验估算展开的.对于没有理论概率或虽然存在理论概率,但其理论计算已超出了学生的认知水平的,学生借助试验模拟获得其估计值,去估计随机事件发生的概率,让学生理解事件发生的频率与概率之间的关系.本章还介绍了两种计算概率的方法——树状图和列表法,以及利用试验频率和理论概率之间的关系,揭示统计推断的一些理论依据,加强概率与统计的联系.
【重点】
1.感受数据的随机性.
2.了解随机现象的特点.
3.理解概率的意义.
【难点】
1.能用列表法、画树状图法求概率.
2.会用频率估计概率.
1.注重学生的合作和交流活动,在活动中促进知识的学习,并进一步发展学生合作交流的意识和能力.
2.引导学生积极参与试验活动,积累活动经验,体会概率与统计的关系.
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3.在学生进行试验前,学生应懂得为什么要做试验,怎样做试验,小组分工要明确,每个人负责什么样的任务,最后进行统计,然后分析数据,得出结论.
4.教学应充分关注学生的认知冲突和学生的活动过程,要组织好学生进行试验.
5.注重引导学生积极参与试验活动,在试验中体会频率的稳定性,形成对概率的全面理解,发展学生初步的辩证思维能力.
6.务必引导学生积极参与试验,学生通过大量试验还会发现,试验频率并不一定等于概率,虽然多次试验的频率逐渐稳定于其理论概率,但也可能无论做多少次试验,试验频率仍然是理论概率的一个近似值,而不等同于理论概率,两者存在着一定的偏差,应该说,偏差的存在是正常的、经常的.因此学生对概率的理解应是多方面的,应尽量让学生通过具体试验领会这一点,从而形成对某一事件发生的概率有较为全面的理解,初步形成随机观念,发展学生初步的辩证思维能力.
1
用树状图或表格求概率
2
用频率估计概率
3课时
1课时
1
用树状图或表格求概率
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通过试验,理解当试验次数较多时试验频率稳定于理论概率,并据此估计某一事件发生的概率.学习用树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.
经历计算理论概率的过程,在活动中进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯.经历试验、统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
培养学生合作交流的意识和能力,提高学生对所研究问题的反思和拓展能力,逐步形成良好的反思意识.鼓励学生积极参与数学活动,通过试验提高学生学习数学的兴趣.鼓励学生思维的多样性,发展学生的创新意识.
【重点】
会用树状图和列表的方法计算随机事件发生的概率.
【难点】
理解事件出现的等可能性,正确地分析出两步试验中出现的所有情况.
第课时
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1.通过大量试验发现概率的大小.
2.会用树状图或表格求概率.
通过试验活动培养学生发现、总结问题的能力.
培养学生的交流与合作意识.
【重点】
用树状图或表格求概率.
【难点】
通过大量试验发现概率的大小.
【教师准备】
试验用的表格、硬币等.
【学生准备】
复习有关概率的知识.
导入一:
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抛两枚一模一样的质地均匀的正方体骰子可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?向上点数一样的可能性又是多少?这些问题都可以用画树状图法或列表法进行求解.
导入二:
十一黄金周期间,梁先生驾驶汽车从甲地经乙地到丙地游玩.甲地到乙地有三条公路,乙地到丙地也有三条公路,每条公路的长度如图所示,梁先生任选一条从甲地到丙地的路线,这条路正好是最短路线的可能性是多少?说说你是怎么算出来的.
[过渡语]
抛两枚硬币正反面朝上的概率情况是怎样的?
探究活动一:这个游戏公平吗?
小明、小颖和小凡都想周末去看电影,但只有一张电影票,三人决定一起做游戏,谁获胜谁就去看电影.游戏规则如下:
连续掷两枚质地均匀的硬币,若两枚正面朝上,则小明获胜;若两枚反面朝上,则小颖获胜;若一枚正面朝上、一枚反面朝上,则小凡获胜.
师生活动:学生分小组进行试验,然后累计各组的试验数据,分别计算这三个事件发生的频数与频率,并由此估计这三个事件发生的概率.教师参与到学生当中,给有困难的学生个别指导.
[设计意图]
本课问题情境的建立可以立足于自己班级学生的实际情况,也可以采用不同的问题环境进行呈现,不需要局限于电影票.这样可以很好地吸引学生的参与,引发热烈的研究兴趣.
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教师提问:
(1)掷第一枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?
(2)掷第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?
(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下,第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?如果第一枚硬币反面朝上呢?
学生思考并回答问题.
教师活动:我们通常借助树状图或表格列出所有可能出现的结果:
第一枚硬币和第二枚硬币所有可能出现的结果总共有4种,每种结果出现的可能性相同,其中:
小明获胜的结果有1种:(正,正),所以小明获胜的概率是.
小颖获胜的结果有1种:(反,反),所以小颖获胜的概率也是.
小凡获胜的结果有2种:(正,反)(反,正),所以小凡获胜的概率是因此,这个游戏对三人是不公平的.
探究活动二:验证游戏的公平性.
. 精品资料
师发给学生下面表格:
情况 正,正 正,反 反,正 反,反
次数
每个小组做20次试验,汇总后看看结果如何?
总结:在计算复杂事件发生的概率时往往采用画树状图或列表格法(下面统称列表法)进行分析,利用树状图或表格,可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果,从而比较方便地求出某些事件发生的概率.
树状图法适合两步或两步以上完成的事件,列表法适合两步完成的事件.
[知识拓展]
在利用画树状图法或列表法求概率时,各种情况出现的可能性必须相同,把可能性不同的情况当成等可能的情况处理是错误的.
1.从1,2,-3三个数中,随机抽取2个数相乘,积为正数的概率为 (
)
A.0 B. C. D.0
答案:B
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2.小刚掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的6个面分别刻有1到6的点数,则这个骰子向上的一面点数大于3的概率为 (
)
A.答案:A
B. C. D.
3.我们可以用
和
的方法来计算
发生的概率.
答案:列表法
画树状图
随机事件
4.用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫
,用画树状图的方法列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫 .
答案:列表法
树状图法
第1课时
1.探究活动一
树状图法
列表法
2.探究活动二
一、教材作业
【必做题】
教材第62页习题3.1的1,2题.
【选做题】
教材第62页习题3.1的3题.
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二、课后作业
【基础巩固】
1.学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.下图是两个完全相同的转盘,每个转盘被分成面积相等的四个区域,分别用数字“1”“2”“3”“4”表示,固定指针,同时转动两个转盘,任其自由停止,若两指针所指数字的积为奇数,则甲获胜;若两指针所指数字的积为偶数,则乙获胜;若指针指向扇形的分界线,则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是(
)
A. B. C. D.
2.5月19日为中国旅游日,衢州推出“读万卷书,行万里路,游衢州景”的主题系列旅游惠民活动,市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙、烂柯山、龙游石窟中随机选择一个地点;下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩,则王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙,下午选中江郎山这两个地点的概率是 (
)
A.
B. C. D. 精品资料
【能力提升】
3.小明从家到学校沿途需经三个路口,每个路口都设有红、绿两种颜色的信号灯,在信号灯都正常的情况下:
(1)请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况;
(2)小明遇到两次绿色信号灯的概率有多大?
(3)小明红、绿色两种信号灯都遇到的概率有多大?
【拓展探究】
4.准备三张完全相同的纸片,两张纸片上各画一个三角形,另一张纸片上画一个正方形,如果将这三张纸片放在一个盒子里搅匀,那么随机地抽取两张纸片,可能拼成一个菱形(取出的是两张画三角形的纸片),也可能拼成一个房子(取出的是一张画三角形和一张画正方形的纸片),这个游戏的规则是这样的:若拼成一个菱形,甲赢,若拼成一个房子,乙赢.你认为这个游戏是公平的吗?说明你的理由.
【答案与解析】
1.C(解析:所有出现的情况如下表,共有16种情况,
每种情况出现的可能性相同,积为奇数的有4种情况,所以在该游戏中甲获胜的概率是,乙获胜的概率为.故选C.)
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2.A(解析:画出树状图如图所示,∴一共有9种等可
能的结果,王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙,下午选中江郎山有1种情况,∴王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙,下午选中江郎山这两个地点的概率是选A.)
3.解:(1)根据题意画出树状图如图所示.一共有8种
.故
等可能的情况.
(2)遇到两次绿色信号灯的情况有3种,所以遇到两次绿色信号灯的概率是.
(3)遇到红、绿色两种信号灯的情况有6种,所以遇到红、绿色两种信号灯的概率是.
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4.解:不公平.理由如下:这是随机事件,抽到哪两张的概率是相等的.随机地抽取两张,结果有三种:“两张画三角形的纸片”“一张画三角形和一张画正方形的纸片”“一张画三角形和一张画正方形的纸片”,
所以说拼成一个房子的可能要大,对于甲和乙机会是不均等的,所以游戏不公平.画出树状图如图所示,拼成一个菱形的概率是,拼成一个房子的概率是,因为,所以这个游戏不公平.
学生通过游戏活动体验了概率情况的不确定性,通过树状图和表格帮助学生认识分析概率情况的基本方法,这是本课时的最大成功之处.
树状图和表格有着不同的适用对象,虽然在教学的过程中对此作了说明和介绍,但学生还是缺乏实际操作的体验,这一点在课堂上做的不够.
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从课时的教学内容看,本课时是内容比较浅显的概率问题.为深化学生的理解,可以让学生自己尝试设计类似游戏的方式,对游戏的公平性给出自己的评价.不管设计的是公平游戏还是不公平的游戏,教师都要从知识的角度给予鼓励性的评价.
随堂练习(教材第61页)
解:列表格得:
∴小颖共有4种不同的穿法,∴恰好是白色上衣和白色裤子的概率是习题3.1(教材第62页)
.
1.解:画树状图如右图所示,共有4种等可能的结果.(1)两张牌的牌面数字和可能是2或3或4.
(2)两张牌的牌面数字和是3的概率最大.(3)两张牌的牌面数字和是3的概
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率是2.解:列表得:
.
红
白
红
(红,红)
(白,红)
白
(红,白)
(白,白)
∴一共有4种等可能的结果.(1)两次都摸到红球的概率为.
(2)两次摸到不同颜色的球的概率为.
3.解:出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性相同.无论前面两次所掷硬币的结果怎么样,第三次掷硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性都是相同的,概率都是.
本课时主要讲解用列表法或树状图法求随机事件发生的概率.
(1)利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生时所有可能出现的结果,能较方便地求出某些事件发生的概率.
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(2)当涉及求两步完成的随机事件的概率时,既可以用树状图表示,也可以用列表法来表示,当涉及求两步以上的随机事件的概率时,一般用树状图表示.
(3)无论是用列表法求概率,还是用树状图法求概率,其共同的前提是各种结果发生的可能性相同.
小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛,游戏规则:在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球,上面分别标有数字2,3,4,5.一人先从袋中随机摸出一个小球,另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.若摸出的两个小球上的数字和为偶数,则小丽去参赛;否则小华去参赛.
(1)用列表法或画树状图法求小丽参赛的概率;
(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
〔解析〕
(1)列表或树状图得出所有等可能的情况数,找出数字之和为偶数的情况数,即可求出小丽去参赛的概率.(2)由小丽参赛的概率求出小华参赛的概率,比较即可得到游戏公平与否.
解:(1)解法1:根据题意列表得:
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由表可知所有可能结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种,分别是(2,4),(3,5),(4,2),(5,3),所以小丽参赛的概率为.解法2:根据题意画出树状图如图所示,由树状图可知所有可能
结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种,分别是(2,4),(3,5),(4,2),(5,3),所以小丽参赛的概率为.
(2)游戏不公平.理由如下:因为小丽参赛的概率为,所以小华参赛的概率为1-,因为≠第,所以这个游戏不公平.
课时
尝试用树状图分析概率.
通过树状图对概率进行分析,体会概率的随机性.
培养学生的合作、分享的意识.
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【重点】
用树状图分析概率.
【难点】
不漏掉存在的可能性.
【教师准备】
本课时的教学例题投影.
【学生准备】
了解分析复杂概率情况的方法.
导入一:
某一家庭有3个孩子.
(1)求这个家庭有3个男孩的概率;
(2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率;
(3)求这个家庭至少有一个男孩的概率.
导入二:
宝宝和贝贝是一对双胞胎,他们参加市少年志愿者选拔并与甲、乙、丙三人都进入了前5名,现从这5名入选者中确定2名为志愿者,试用画树状图形的方法求出:
(1)宝宝和贝贝同时入选的概率;
(2)宝宝和贝贝至少有一个人入选的概率.
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[过渡语]
“石头、剪刀、布”是中国古代传统的游戏,我们看下这个游戏是否公平.
探索活动:游戏是否公平.
(教材例1)小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏.游戏规则如下:
由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏,如果两人的手势相同,那么小凡获胜;如果两人手势不同,那么按照“石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,你认为这个游戏对三人公平吗?
解:因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果:
总共有9种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人手势相同的结果有3种:(石头,石头),(剪刀,剪刀),(布,布),
所以小凡获胜的概率为;
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小明胜小颖的结果有3种:(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),所以小明获胜的概率为;
小颖胜小明的结果也有3种:(石头,布),(剪刀,石头),(布,剪刀),所以小颖获胜的概率为.
因此,这个游戏对三人是公平的.
做一做
小明和小军两人一起做游戏,游戏规则如下:每人从1,2,…,12中任意选择一个数,然后两人各掷一次质地均匀的骰子,谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜;如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和,就再做一次上述游戏,直至决出胜负.如果你是游戏者,你会选择哪个数?
〔解析〕
这个问题看上去很复杂,实际上它等同于下面的问题:两人各掷一次质地均匀的骰子,将两人掷得的点数相加,点数为几的概率最大?
解:可以用列表的方法得到,掷得的点数之和是7的概率最大,所以一般来说,选择7这个数获胜的可能性最大.
当事件涉及三个或三个以上元素时,用列表法不易列举出所有的可能,用画树状图则可以依次列出所有可能的结果.
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1.掷一枚硬币三次,落地后三次正面都朝上的概率为 (
)
A. B. C. D.
解析:可以用树状图来表示所有可能的情况,画出树状图如图所示,所有等可能出现的结果有8种:
(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),其中三次正面都朝上的结果有1种,所以三次正面都朝上的概率是故选A.
.2.一个家庭有两个小孩,则这两个小孩是一男一女的概率是
(假定小孩是男是女是等可能的).
解析:两个小孩的所有可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),而男女各一个的可能有两种,所以男女各一个的概率为.故填
.
第2课时
探索活动:游戏是否公平
例题
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做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第64页习题3.2的1题.
【选做题】
教材第64页习题3.2的5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某校安排三辆车组织九年级学生去敬老院参加学雷锋活动,其中小王和小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘,则小王和小菲同车的概率为 (
)
A. B. C. D.
2.小颖有红色、黄色、白色的三件运动上衣和白色、灰色两条运动短裤,若任意选取一件上衣和一条短裤进行组合,则恰好是“衣裤同色”的概率是 .
【能力提升】
3.甲、乙、丙三人站成一排合影留念,则甲、乙二人相邻的概率是 .
4.在一个不透明的口袋里,装有红、白、黄三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同),其中有白球2个,黄球1个,若从中任意摸出一个球,这个球是白色的概率为0.5.
(1)求口袋中红球的个数;
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(2)若摸到红球计0分,摸到白球计1分,摸到黄球计2分,甲从口袋中摸出一个球,不放回,再摸出一个,用画树状图的方法求甲摸两个球且得2分的概率.
【拓展探究】
5.甲、乙玩转盘游戏时,把质地相同的两个转盘A,B分别平均分成2份和3份,并在每一份内标有数字,如图所示,游戏规则:甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次,当转盘停止后,指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜,数字之和为奇数时乙获胜,若指针落在分界线上,则需要重新转动转盘.
(1)用画树状图的方法求甲获胜的概率;
(2)这个游戏对甲、乙双方公平吗?请判断并说明理由.
【答案与解析】
1.A(解析:设3辆车分别为甲、乙、丙,画出树状图如图所示,共有9种情况,每种情况出现的可能性相
同,小王和小菲坐同一辆车的情况有3种,所以小王和小菲坐同一辆车的概率为.故选A.)
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2.(解析:画出树状图可知共有6种组合,每种组合出现的可能性相同,恰好是“衣裤同色”的有1种,所以概率是.故填.)
3.(解析:画树状图如图所示,共有6种等可能的情况,甲、乙二人相邻的有4种情况,所以甲、乙二人相邻的概率是.故填.)
4.解:(1)设口袋中红球的个数为x,根据题意得＝0.5,解得x＝1.所以口袋中红球的个数为1.
(2)画树状图如图所示,因为摸到红球计
0分,摸到白球计1分,摸到黄球计2分,所以当摸得的两个球都是白球或一个黄球和一个红球时得2分,所以摸两个球且得2分的概率为.
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5.解:(1)画树状图如图所示,共有6种等可能的结果,两数之和为偶数的有2种情况,所以P(甲获胜)＝.
(2)不公平.理由如下:因为数字之和为奇数的情况有4种,所以P(乙获胜)＝所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
,因为P(甲获胜)≠P(乙获胜),
尝试用树状图准确分析事件发生的概率是本课时的教学重点和难点,为了让学生充分了解分析过程,本课时的教学过程中给学生展现了详细的分析过程.这样做不但让学生看到了对事情结果的分析,也领会到了利用树状图分析概率的要点.
在本课时的“做一做”教学活动过程中,留给学
生课堂交流合作的时间不多,不利于学生深刻领会本课时的学习要点,也没有为学生搭建良好的合作、探究平台.
对于新课导入中提及的问题,在教学活动中可以作为例题或者活动来处理,使得学生的课前兴趣能与本课时教学建立起一个连接点.
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随堂练习(教材第64页)
解:列表格得:
1下 2下 3下
1上 (1上,1下) (1上,2下) (1上,3下)
2上 (2上,1下) (2上,2下) (2上,3下)
3上 (3上,1下) (3上,2下) (3上,3下)
∴共有9种不同的拼法,∴能拼成一幅画的概率是习题3.2(教材第64页)
.
1.解:画出树状图如图所示,共有9种情况.(1)两张牌的牌面数字和等于1的概率是0.
(2)两张牌的牌面数字和等于2的概率是.
(3)两张牌的牌面数字和等于4的概率最大,为.
(4)两张牌的牌面数字和大于3的概率为.
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2.解:画出树状图如图所示.共有9种等可能的结果.(1)两人都左拐的概率为.
(2)恰好有一人直行,另一人左拐的概率为.
(3)至少有一人直行的概率为.
3.解:列表得:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
共有6×6＝36种等可能的情况.(1)至少有一枚骰子的点数为1的概率是.
(2)两枚骰子的点数和为奇数的概率是.
(3)两枚骰子的点数和大于9的概率.
(4)第二枚骰子的点数整除第一枚骰子的点数的概率是.
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4.解:将出现的可能结果列表如下:
由表可知,共有36种等可能的结果.(1)因为P(小军获胜)＝P(小明获胜)＝,所以游戏对双方公平.
(2)因为P(小军获胜)＝,P(小明获胜)＝,所以这个游戏对双方不公平.
5.解:小明不能一次得到“汽车”.∵骰子的最大数为6,而汽车距离小明的棋子还有7格,∴小明掷一次骰子不能得到“汽车”.小红下一次掷骰子可能得到“汽车”.只要小明和小红掷得到点数和为7,小红就能得到“汽车”.由列表得:
1 2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
5 6 7 8
6
7
8
9
1 2
2 3
3 4
4 5
6 7 8 9 10 精品资料
5 6
6 7
7 8 9 10 11
8 9 10 11 12
∴一共有36种等可能的情况,它们的点数和是7共有6种情况,∴小红下一次得到“汽车”的概率是.
6.解:公平,分别用1,2,3表示“石头”“剪刀”“布”三种手势,画出树状如图所示.共有27种等可能的结果,小明、小颖、小凡获胜的概率相同.
某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为升国旗活动主持人,则选出一男一女的概率是 .
〔解析〕
画树状图如图所示,共有20种等可能
的结果,选出一男一女的结果有12种,所以选出一男一女的概率是.故填.
(2013·锦州中考)一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,另有一个可以自由旋转的圆盘,被分成面积相等的3个扇形区域,分别标有数字1,2,3(如图所示).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校 精品资料
参加歌咏比赛,游戏规则:一人从口袋中摸出一个小球,另一个人转动圆盘,如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4(转到边界就重复上述过程),那么小
颖去;否则小亮去.你认为该游戏公平吗?请说明理由;若不公平,请修改该游戏规则,使游戏公平.
解:不公平.画树状图如图所示,
∴共有12种等可能的结果,两个数字之和小于4的结果有3种情况,
∴P(和小于4)＝,
∴小颖参加比赛的概率为.
∴P(和大于等于4)＝,即小亮参加比赛的概率为∵P(和小于4)≠P(和大于等于4),∴游戏不公平.
.
可改为:若两指针所指数字之和为偶数,则小颖获胜;若两指针所指数字之和为奇数,则小亮获胜.P(和为偶数)＝P(和为奇数)＝.
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第课时
能够熟练运用树状图或列表分析概率问题.
通过问题分析领会数据的随机性.
培养学生的合作、分享的意识.
【重点】
灵活运用树状图或图表分析概率.
【难点】
准确对概率情况进行分析.
【教师准备】
教材图3-1、图3-2和例题投影图片.
【学生准备】
领会、比较树状图和表格求概率的各自特点.
导入一:
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如图所示的是两个质地完全相同且可以自由转动的转盘,每个转盘被分成8个相等的扇形,任意转动每个转盘,当转盘停止转动时,哪个转盘的指针指向红色区域的可能性大?试求出其概率.
导入二:
假如一只小猫在如图所示的地板上自由地走来走去,它最终停留在黑砖上的概率是多少?(图中每一块砖除颜色外,完全相同)
黑
黑
黑 黑
[过渡语]
除了用树状图分析概率外,我们还可以用图表的方式进行求解.
问题1
小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.
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(1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果.
(2)游戏者获胜的概率是多少?
解:(1)对于转盘A,转出红色、白色的可能性是一样的;对于转盘B,转出黄色、蓝色、绿色的可能性是一样的,画树状图如图所示.
列表如下:
(2)总共有6种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中能配成紫色的结果只有1种,为(红,蓝),所以游戏者获胜的概率为问题2
如果用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏.
. 精品资料
小颖制作了下表,并据此求出游戏者获胜的概率为;
小亮则先把转盘A的红色区域等分成2份,分别记作“红色1”“红色2”,然后制作了下表,据此求出游戏者获胜的概率也是.
你认为谁做得对?说说你的理由.
解:小颖的做法不正确,小亮的做法正确.因为转盘A中红色部分和蓝色部分的面积不同,所以指针落在两个区域的可能性不同.而用列表法求随机事件发生的 精品资料
概率时,应注意各种情况出现的可能性一定要相同.小亮的做法把转盘B中的红色区域等分成2份,分别记作“红色1”“红色2”,保证了转盘A中指针落在“蓝色”“红色1”“红色2”三个区域的可能性相等,所以是正确的.
(教材例2)一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球,这些球除了颜色外都相同.从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,再从中随机摸出一个球,求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.
解:先将两个红球分别记作“红1”“红2”,两个白球分别记作“白1”“白2”,然后列表如下:
总共有25种结果,每种结果出现的可能性相同,而两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果有4种:(红1,蓝),(红2,蓝),(蓝,红1),(蓝,红2),所以P(能配成紫色)＝.
当等可能的结果较多且杂乱时,用列表的方式能清晰全面地列出各种可能的结果,且所有结果有规律地排列,易找出某个事件中包含的所有可能性.
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1.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或右转.如果这三种可能性大小相同,现有两辆汽车经过这个十字路口.
(1)试用列表法列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果;
(2)至少有一辆汽车向左转的概率.
解:(1)根据题意,列表如下:
左
直
右
左
(左,左)
(直,左)
(右,左)
直
(左,直)
(直,直)
(右,直)
右
(左,右)
(直,右)
(右,右)
这两辆汽车行驶方向共有9种等可能的结果.
(2)由(1)易知至少有一辆汽车向左转的结果有5种,∴P(至少有一辆汽车向左转)＝.
2.一只不透明的袋子中装有2个白球和1个黄球,这些球除了颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个,记下颜色后不放回,搅匀后再从中任意摸出1个球,请用列表的方法求两次都摸出白球的概率.
解:列表如下:
白
白
白
——
(白,白)
白
(白,白)
——
黄
(白,黄)
(白,黄)
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黄 (黄,白) (黄,白) ——
所有等可能的情况有6种,其中两次都是白球的情况有2种,则P(两次都摸出白球)＝.
第3课时
问题1
问题2
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第68页习题3.3的1,2题.
【选做题】
教材第68页习题3.3的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.利用下面的几组转盘做“配紫色”的游戏,用列表法求出获胜的概率.
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2.已知|a|＝2,|b|＝5,求|a＋b|的值为7的概率.
【能力提升】
3.将A,B,C,D四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛,每组两人.
(1)A在甲组的概率是多少?
(2)A,B都在甲组的概率是多少?
4.在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1,2,3,4的红色卡片和三张分别写有数字1,2,3的蓝色卡片,卡片除颜色和数字外完全相同.
(1)从中任意抽取一张卡片,求该卡片上写有数字1的概率;
(2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内,然后分别在两个盒子内任意抽取一张卡片,以红色卡片上的数字为十位数,蓝色卡片上的数字为个位数构成一个两位数,求这个两位数大于22的概率.
【拓展探究】
5.小明和小红利用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏,游戏规则:若其中一个转盘转出红色,另一个转盘转出蓝色,则可以配成紫色,此时小明得1分,否则小红得1分.这个游戏公平吗?若不公平,如何修改游戏规则才能使该游戏对双方公平?
【答案与解析】
1.解:(1)列表如下:
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红
绿
黄
(红,黄)
(绿,黄)
蓝
(红,蓝)
(绿,蓝)
∴P(红,蓝)＝.
(2)列表如下:
绿
红
红
黄
(绿,黄)
(红,黄)
(红,黄)
蓝
(绿,蓝)
(红,蓝)
(红,蓝)
∴P(红,蓝)＝.
2.解:因为|a|＝2,所以a＝±2;因为|b|＝5,所以b＝±5.列表如下:
a＝2
(5,2)
(-5,2)
a＝-2
(5,-2)
(-5,-2)
b＝5
b＝-5
所以|a＋b|＝|2＋5|＝7或|a＋b|＝|5-2|＝3或|a＋b|＝|-5＋2|＝3或|a＋b|＝|-5-2|＝7,所以P(|a＋b|的值为7)＝3.解:所有可能出现的结果如下表:
甲组 乙组
.
结果
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AB
AC
AD
BC
BD
CD
CD
BD
BC
AD
AC
AB
(AB,CD)
(AC,BD)
(AD,BC)
(BC,AD)
(BD,AC)
(CD,AB)
总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同.(1)所有的结果中,满足A在甲组的结果有3种,所以A在甲组的概率是.
(2)所有的结果中,满足A,B都在甲组的结果有1种,所以A,B都在甲组的概率是.
4.解:(1)∵在7张卡片中共有2张卡片写有数字1,∴从中任意抽取一张卡片,卡片上写有数字1的概率是.
(2)组成所有两位数列表如下:
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或画数状图如图所示,总共有12种结果,每种结果出现的可能性相等,满足这个两位数大于22的有7种,∴这个两位数大于22的概率是.
5.解:根据题意列表如下:
由上表可以看出,可能出现的结果共有25种,每种结果出现的可能性相等,其中可以配成紫色的结果有11种,所以P(配成紫色)＝,P(配不成紫色)＝,因为P(配成紫色)≠P(配不成紫色),所以这个游戏不公平,对小明不利.修改方法:若配成紫色,则小明得14分,若配不成紫色,则小红得11分.(答案不唯一)
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本课时的重点是利用表格分析概率的情况.为了帮助学生深刻领会图表的分析过程,从问题1、问题2到例题都给出了详细的解答过程.在用图表分析概率的过程中,让学生认识到图表分析概率的好处和不足的地方,为学生选择灵活的方法分析概率做了提示和指导.
利用图表分析概率同样需要避免重复和遗漏的问题,在教学的过程中对这个方面的指导有所欠缺.
本课时的问题和例题,同样可以利用树状图去分析.在今后的教学中,可以让学生用不同的方法进行分析,然后进行对比.这样可以帮助学生灵活选择分析概率的方法,也可增加课堂活动的氛围.
随堂练习(教材第67页)
解:列表如下:
红
白
蓝
红 黄 蓝
(红,红) (红,黄) (红,蓝)
(白,红) (白,黄) (白,蓝)
(蓝,红) (蓝,黄) (蓝,蓝)
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由表格知共有9种等可能出现的结果,其中能配成紫色的结果有2种,则P(配成紫色)＝.
习题3.3(教材第68页)
1.解:把A盘和B盘的红色和蓝色部分平均分成两份,列表如下:
红
(红,红)
(红,红)
(蓝,红)
蓝
(红,蓝)
(红,蓝)
(蓝,蓝)
蓝
(红,蓝)
(红,蓝)
(蓝,蓝)
红
红
蓝
由表格知共有9种等可能出现的结果,其中能配成紫色的结果有5种,则P(配成紫色)＝.
2.解:列表得:
红
(红,红)
(红,红)
红
(红,红)
(红,红)
红
(红,红)
(红,红)
白
(红,白)
(红,白)
白
(红,白)
(红,白)
红
红
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红
(红,红)
(白,红)
(白,红)
(红,红)
(白,红)
(白,红)
(红,红)
(白,红)
(白,红)
(红,白)
(白,白)
(白,白)
(红,白)
(白,白)
(白,白)
白
白
一共有25种等可能的结果,两次都摸到相同颜色的球的概率为3.解:画树状图略,列表得:
.
A
B
B
C
C
A (A,A) (A,B) (A,B) (A,C) (A,C)
B (B,A) (B,B) (B,B) (B,C) (B,C)
B (B,A) (B,B) (B,B) (B,C) (B,C)
一共有15种情况,每种情况发生的可能性相等,两次都抽到B的概率为.
4.解:如图所示,共有9种等可能的结果,其中能配成紫色的有3种,所以配成紫色的概率为.(答案不唯一)
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为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券,甲和乙设计了如下的摸球游戏:在不透明的口袋中放入编号分别为1,2,3的三个红球及编号为4的一个白球,四个小球除了颜色和编号不同外其他没有任何区别,摸球之前将袋内的小球搅匀,甲先摸两次,每次摸出一个球(第一次摸出后不放回).把甲摸出的两个球放回口袋搅匀后乙再摸,乙只摸一次且摸出一个球,如果甲摸出的两个球都是红色,甲得1分,否则甲得0分,如果乙摸出的球是白色,乙得1分,否则得0分.得分高的获得入场券,如果得分相同,游戏重来.
(1)运用列表或树状图求甲得1分的概率;
(2)请你用所学的知识说明这个游戏是否公平.
解:(1)列表如下:
1
2
1 2 3 4
—— (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) —— (2,3) (2,4)
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3
4
(3,1) (3,2) —— (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) ——
由表可知共有12种等可能出现的结果,甲得1分的
情况:(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),所以甲得1分的概率为.画树状图如图所示,甲得1分的情况:(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),所以甲得1分的概率为.
(2)乙得1分的概率是,甲得1分的概率是,所以这个游戏不公平.
2
用频率估计概率
1.能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.
2.理解当试验次数足够大时,试验频率将接近于理论概率.
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经历试验、统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
积极参与数学活动,通过试验提高学生学习数学的兴趣.鼓励学生思维的多样性,发展学生的创新意识.
【重点】
用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.
【难点】
经历用试验频率估计理论概率的过程,并初步感受到50个同学中有2个同学生日相同的概率较大.
【教师准备】
教材第69页引例情景图片,调查活动用的统计表格.
【学生准备】
事先调查家人、同学等10个人的生日.
导入一:
小刚的叔叔是个养殖能手,年初他往鱼塘里放养鱼苗25000尾,成活率为80%,鱼成熟后,重量在1.5斤以上的鱼为优质鱼.小刚的叔叔为了估计这批鱼的产量和收益,他随机捞出一条鱼,称出其重量,再放回鱼塘中,如此不断重复上述试验,共捞了50次,有32条鱼的重量在1.5斤以上,若优质鱼的利润为2元/斤,则小刚的叔叔所养的这批鱼中在优质鱼上至少可获利多少元?
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你认为小刚的叔叔进行的试验所得到的优质鱼的频率可以做为整个鱼塘优质鱼的概率吗?
导入二:
我们已经会求一些简单事件的概率,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率为多少呢?今天我们将学习一下稍复杂的概率问题,同学们有兴趣吗?
[过渡语]
用什么方法来研究一些不确定的事件的概率呢?
探索活动一
出示教材第69页引例,分解为3个问题:
【问题1】
400个同学中,一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗?
【问题2】
300个同学中,一定有两个同学的生日相同吗?
【问题3】
50个同学中,就很可能有2个同学的生日相同.你同意这种说法吗?
[设计意图]
通过这三个问题的提问,让学生从一个必然事件过渡到一个不确定事件;在最后一个问题的思考中,就很好地引发学生的认识冲突,从而引发学生浓烈的研究兴趣.
对于上述三个问题的讨论,同学们会各执己见,意见会不统一,也各自难以说服对方.
探索活动二
[过渡语]
怎样验证“50个人中有两个人的生日相同”的概率呢?
(1)每个同学课外调查10个人的生日.
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(2)从全班的调查结果中随机选择50个被调查人的生日,记录其中有无2个人的生日相同.每选取50个被调查人的生日为一次试验,重复尽可能多次试验,并将数据记录在表格中:
101520250 0 0 0
试验总次数 50 …
“有2个人的生
日相同”的次数
“有2个人的生
日相同”的概率
(3)根据上表的数据,估计“50个人中有2个人的生日相同”的概率.
活动提示:
①为了节约收集数据时间,可以对生日的表示方式简化并以小组的形式参与收集、整理数据,以保证时间的充分利用.
②鼓励学生大胆地讨论、交流、发言,从大量重复试验过程中初步感受到本问题的概率较大.
③在活动和分析的基础上,激励学生提出更好的活动方案.
在学生交流汇报之后,老师总结:
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