2023年12月30日发(作者：上海商学院数学试卷分析)

考研数学二（解答题）模拟试卷81

(题后含答案及解析)

题型有：1.

1． 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn-1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)=x．

正确答案：xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f’(ξn)(xn-xn-1)，因为f’(x)≥0，所以xn+1-xn，与xn-xn-1同号，故{xn}单调． ｜xn｜=｜f(xn-1)｜=｜f(x1)+∫x1xn-1f’(x)dx｜≤｜f(x1)｜+｜∫x1xn-1f’(x)dx｜≤｜f(x1)｜+∫-∞+∞dx=｜f(x1)｜+πk，即{xn}有界，于是xn存在，根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn+1=f(xn)两边令n→∞，得xn=f(xn)，原命题得证． 涉及知识点：高等数学

2． 计算下列各题：

正确答案： 涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算

3． 求．

正确答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿－莱布尼兹公式得

涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用

4． 讨论方程2x3一9x2+12x—a=0实根的情况．

正确答案：令f(x)=2x3一9x2+12x一a，讨论方程2x3一9x2+12x一a=0实根的情况，即是讨论函数f(x)零点的情况．显然，，所以，应求函数f(x)=2x3一9x2+12x一a的极值，并讨论极值的符号． 由f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)得驻点为x1=1，x2=2，又 f”(x)=12x一18，f”(1)＜0，f“(2)＞0，得x1=1为极大值点，极大值为f(1)=5一a；x2=2为极小值点，极小值为f(2)=4-a． (1)当极大值f(1)=5一a＞0，极小值f(2)=4一a＜0，即4＜a＜5时，f(x)=2x3—9x2+12x—a有三个不同的零点，即方程2x3一9x2+12x一a=0有三个不同的实根； (2)当极大值f(1)=5一a=0或极小值f(2)=4一a=0，即a=5或a=4时，f(x)=2x3—9x2+12x—a有两个不同的零点，即方程2x3一9x2+12x—a=0有两个不同的实根；

(3)当极大值f(1)=5一a＜0或极小值f(2)=4一a＞0，即a＞5或a＜4时，f(x)=2x3一9x2+12x—a有一个零点，即方程2x3—9x2+12x一a=0有一个实根． 涉及知识点：一元函数微分学

5． 设f(x)在[a,b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

正确答案：令φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna，φ(a)=φ(b)=f(b)lna．由罗尔定理，


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