辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析

2024年3月17日发(作者：20l9江苏高考数学试卷)

2012年辽宁省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2012•辽宁）已知向量=（1，﹣1），=（2，x）．若•=1，则x=（ ）

A．﹣1 B．

﹣

C．

1

D．

考点： 数量积的坐标表达式．

专题： 计算题．

分析：

由题意，=（1，﹣1），=（2，x）．•=1，由数量积公式可得到方程2﹣x=1，解

此方程即可得出正确选项

解答：

解：因为向量=（1，﹣1），=（2，x）．•=1

所以2﹣x=1，解得x=1

故选D

点评： 本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，本题是基础题，记忆

型

2．（5分）（2012•辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，

5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁

U

A）∩（∁

U

B）=（ ）

A．{5，8} B． {7，9} C． {0，1，3} D． {2，4，6}

考点： 交、并、补集的混合运算．

专题： 计算题．

分析： 由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集

合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（∁

U

A）

∩（∁

U

B）

解答： 解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，

8}，集合B={2，4，5，6，8}，

所以C

U

A={2，4，6，7，9}，C

U

B={0，1，3，7，9}，

所以（C

U

A）∩（C

U

B）={7，9}

故选B

点评： 本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则

3．（5分）（2012•辽宁）复数

A．

B．

=（ ）

C． 1﹣i

1+i

D．

考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 计算题．

分析： 由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项

解答：

解：

故选A

点评： 本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题

4．（5分）（2012•辽宁）在等差数列{a

n

}中，已知a

4

+a

8

=16，则a

2

+a

10

=（ ）

12 16 20 24

A．B． C． D．

考点： 等差数列的性质．

专题： 计算题．

分析：

利用等差数列的性质可得，a

2

+a

10

=a

4

+a

8

，可求结果

解答：

解：由等差数列的性质可得，则a

2

+a

10

=a

4

+a

8

=16，

故选B

点评： 本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础试题

5．（5分）（2012•辽宁）已知命题p：∀x

1

，x

2

∈R，（f（x

2

）﹣f（x

1

））（x

2

﹣x

1

）≥0，则￢p

是（ ）

A．B．

∀x

1

，x

2

∈R，

∃x

1

，x

2

∈R，（f（x

2

）﹣f（x

1

））（x

2

﹣x

1

）

（f（x

2

）﹣f（x

1

））（x

2

﹣x

1

）

≤0 ≤0

∃x

1

，x

2

∈R，

C．D．

（f（x

2

）﹣f（x

1

））（x

2

﹣x

1

）∀x

1

，x

2

∈R，（f（x

2

）﹣f（x

1

））（x

2

﹣x

1

）

＜0 ＜0

考点： 命题的否定．

专题： 简易逻辑．

分析： 由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作

结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项

解答：

解：命题p：∀x

1

，x

2

∈R，（f（x

2

）﹣f（x

1

））（x

2

﹣x

1

）≥0是一个全称命题，其否定

是一个特称命题，

故¬p：∃x

1

，x

2

∈R，（f（x

2

）﹣f（x

1

））（x

2

﹣x

1

）＜0．

故选：C．

点评： 本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为

没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．

6．（5分）（2012•辽宁）已知

A．﹣1 B．

，α∈（0，π），则sin2α=（ ）

1

C． D．

考点： 二倍角的正弦．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析：

由，两边同时平方，结合同角平方关系可求．

解答：

解：∵，

2

两边同时平方可得，（sinα﹣cosα）=2，

∴1﹣2sinαcosα=2，

∴sin2α=﹣1．

故选A．

点评： 本题主要考查了同角平方关系及二倍角公式的应用，属于基础试题．

7．（5分）（2012•辽宁）将圆x+y﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（ ）

x+y+3=0

A．x+y﹣1=0 B． C． x﹣y+1=0 D． x﹣y+3=0

考点： 直线与圆相交的性质．

专题： 计算题．

分析： 将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过

圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方

程．

22

解答：

解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）+（y﹣2）=4，

可得出圆心坐标为（1，2），

将x=1，y=2代入A选项得：x+y﹣1=1+2﹣1=2≠0，故圆心不在此直线上；

将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；

将x=1，y=2代入C选项得：x﹣y+1=1﹣2+1=0，故圆心在此直线上；

将x=1，y=2代入D选项得：x﹣y+3=1﹣2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，

则直线x﹣y+1=0将圆平分．

故选C

22

点评：

此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆x+y

﹣2x﹣4y+1=0平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．

22

8．（5分）（2012•辽宁）函数y=x﹣lnx的单调递减区间为（ ）

A．（﹣1，1]

B． （0，1] C． [1，+∞） D． （0，+∞）

2

考点： 利用导数研究函数的单调性．

专题： 计算题．

分析：

由y=x﹣lnx得y′=

2

，由y′≤0即可求得函数y=x﹣lnx的单调递减区间．

2

解答：

2

解：∵y=x﹣lnx的定义域为（0，+∞），

y′=，

∴由y′≤0得：0＜x≤1，

∴函数y=x﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．

故选：B．

点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题．

2

9．（5分）（2012•辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（ ）

20 35 45 55

A．B． C． D．

考点： 简单线性规划．

专题： 计算题．

分析： 先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最

大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．

解答：

解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：

令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z

越大

作直线l：2x+3y=0

把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，

由

故选D

可得x=5，y=15，此时z=55

点评： 本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函

数的最优解点的坐标是解答本题的关键．

10．（5分）（2012•辽宁）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（ ）

4

A．B．

C．

D． ﹣1

考点： 循环结构．

专题： 阅读型．

分析： 根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳

出循环体，求出此时的S即可．

解答： 解：第一次运行得：S=﹣1，i=2，满足i＜6，则继续运行

第二次运行得：S=，i=3，满足i＜6，则继续运行

第三次运行得：S=，i=4，满足i＜6，则继续运行

第四次运行得：S=4，i=5，满足i＜6，则继续运行

第五次运行得：S=﹣1，i=6，不满足i＜6，则停止运行

输出S=﹣1，

故选D．

点评： 本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结

构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．

11．（5分）（2012•辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别

等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm的概率为（ ）

D．

A． B． C．

几何概型．

考点：

专题： 概率与统计．

2

分析： 设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何

概率的求解公式可求．

解答： 解：设AC=x，则BC=12﹣x（0＜x＜12）

矩形的面积S=x（12﹣x）＞20

2

∴x﹣12x+20＜0

∴2＜x＜10

由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm的概率P=

故选C．

2

=．

点评： 本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，

属于基础试题．

12．（5分）（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，

﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（ ）

1 3

A．B． C． ﹣4 D． ﹣8

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 首先可求出P（4，8），Q（﹣2，2），然后根据导数的几何意义求出切线方程AP，AQ

的斜率K

AP

，K

AQ

，再根据点斜式写出切线方程，然后联立方程即可求出点A的纵坐

标．

2

解答：

解：∵P，Q为抛物线x=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，

∴P（4，8），Q（﹣2，2），

2

∵x=2y，

2

∴y=，

∴y′=x，

∴切线方程AP，AQ的斜率K

AP

=4，K

AQ

=﹣2，

∴切线方程AP为y﹣8=4（x﹣4），即y=4x﹣8，

切线方程AQ的为y﹣2=﹣2（x+2），即y=﹣2x﹣2，

令，

∴，

∴点A的纵坐标为﹣4．

故选：C．

点评： 本题主要考查了利用导数的几何意义求出切线方程，属常考题，较难．解题的关键是

利用导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率K

AP

，K

AQ

．

二、填空题（共4小题，满分20分）

13．（5分）（2012•辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12+π ．

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题．

分析： 由三视图可知该几何体为上部是一个圆柱，底面直径为2，高为1．下部为长方体，

长、宽、高分别为4，3，1．分别求体积再相加即可．

解答： 解：由三视图可知该几何体为上部是一个圆柱，底面直径为2，高为1，体积为

2

π×1×1=π．

下部为长方体，长、宽、高分别为4，3，1，体积为4×3×1=12．

故所求体积等于12+π

故答案为：12+π

点评： 本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体

是解题的关键

14．（5分）（2012•辽宁）已知等比数列{a

n

}为递增数列．若a

1

＞0，且2（a

n

+a

n+2

）=5a

n+1

，

则数列{a

n

}的公比q= 2 ．

考点： 等比数列的性质．

专题： 计算题．

分析：

由{a

n

}为递增数列且a

1

＞0可知q＞1，由已知可得2（）=5a

n

q，可求q

解答：

解：∵{a

n

}为递增数列且a

1

＞0

∴q＞1

∵2（a

n

+a

n+2

）=5a

n+1

，

∴2（）=5a

n

q

∴2+2q=5q

∴q=2

故答案为：2

点评： 本题主要考查了等比数列的单调性及等比数列通项公式的应用，属于基础试题

15．（5分）（2012•辽宁）已知双曲线x﹣y=1，点F

1

，F

2

为其两个焦点，点P为双曲线上

一点，若PF

1

⊥PF

2

，则|PF

1

|+|PF

2

|的值为 ．

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题；压轴题．

22

分析：

根据双曲线方程为x﹣y=1，可得焦距F

1

F

2

=2，因为PF

1

⊥PF

2

，所以

2

22

|PF

1

|+|PF

2

|=|F

1

F

2

|．再结合双曲线的定义，得到|PF

1

|﹣|PF

2

|=±2，最后联解、配方，

2

可得（|PF

1

|+|PF

2

|）=12，从而得到|PF

1

|+|PF

2

|的值为．

解答：

解：∵PF

1

⊥PF

2

，

222

∴|PF

1

|+|PF

2

|=|F

1

F

2

|．

22

∵双曲线方程为x﹣y=1，

22222

∴a=b=1，c=a+b=2，可得F

1

F

2

=2

222

∴|PF

1

|+|PF

2

|=|F

1

F

2

|=8

22

又∵P为双曲线x﹣y=1上一点，

2

∴|PF

1

|﹣|PF

2

|=±2a=±2，（|PF

1

|﹣|PF

2

|）=4

2222

因此（|PF

1

|+|PF

2

|）=2（|PF

1

|+|PF

2

|）﹣（|PF

1

|﹣|PF

2

|）=12

∴|PF

1

|+|PF

2

|的值为

故答案为：

点评： 本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着

重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．

16．（5分）（2012•辽宁）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，

四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为 ．

考点： 直线与平面垂直的性质；球内接多面体．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 可将P，A，B，C，D补全为长方体ANCD﹣A′B′C′D′，让P与A′重合，则该长方体

的对角线PC即为球O的直径（球O为该长方体的外接球，于是可求得PC的长度，

可判断△OAB为等边三角形，从而而求其面积．

解答： 解：依题意，可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD﹣A′B′C′D′，让P与A′重合，

则球O为该长方体的外接球，长方体的对角线PC即为球O的直径．

∵ABCD是边长为2正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，

222

∴PC=AP+AC=24+24=48，

∴2R=4，R=OP=2，

∴△OAB为边长是2的等边三角形，

222

∴S

△OAB

=×2

=3．

故答案为：3

×2×sin60°

．

点评： 本题考查直线与平面垂直的性质，考查球内接多面体的应用，“补形”是关键，考查分

析、转化与运算能力，属于中档题．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）（2012•辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C

成等差数列．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

考点： 数列与三角函数的综合．

专题： 计算题；综合题．

分析： （Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；

（Ⅱ）（解法一），由b=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；

2

（解法二），由b=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=

可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．

解答： 解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，

∴cosB=；…6分

（Ⅱ）（解法一）

22

由已知b=ac，根据正弦定理得sinB=sinAsinC，

又cosB=，

∴sinAsinC=1﹣cosB=…12分

（解法二）

由已知b=ac及cosB=，

2

2

2

可求得a=c，从而

根据余弦定理cosB=

∴B=A=C=60°，

∴sinAsinC=…12分

解得a=c，

点评： 本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定

理的应用，考查分析转化与运算能力，属于中档题．

18．（12分）（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，

点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；

（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．