2023年12月10日发(作者：安徽2023数学试卷高中)
1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题 (
本题共 5
(1)
lim
x小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 , 把答案填在题中横线上 .)
3x2
5 sin
2
5x 3x
.
(2)
已知 y
f
3x
3x
2 , f
x
arctan x ,
则
2dy
0
.
2
dx
x
(3)
级数
n 0
(ln3)
n
的和为
2n
.
(4)
设 4
阶方阵 A
的秩为 2
, 则其伴随矩阵
A*
的秩为
.
(5)
设总体 X
的方差为
1,
根据来自 X
的容量为
100
的简单随机样本
,
测得样本均值为
5,
则
X
的数学期望的置信度近似等于
0.95
的置信区间为
.
二、选择题 ( 本题共
是符合题目要求的
5 小题 ,每小题
3 分 , 满分 15 分 . 在每小题给出的四个选项中
, 把所选项前的字母填在题后的括号内
.)
, 只有一项
x sin
1
(1)
设 f
x
x2
0,
, x
0,
则 f
x
在点
x
0
处
( )
x
0,
(B)
(D)
ln x
(A)
极限不存在
(C)
连续但不可导
极限存在但不连续
可导
则
(2)
设 f
x
为连续函数
,
且
F x
1
1
x
1
x
f t dt ,
F
x
等于
( )
(A)
f
ln x
2
f1
(B)
1
f
ln x
f
1
x
x
1
x
x
(D)
x
(C)
1
f
ln x
x
12
f
x
f
ln x
f
1
x
(3)
n
阶方阵
A
具有 n
个不同的特征值是
A
与对角阵相似的
(A)
充分必要条件
(C)
必要而非充分条件
(B)
(D)
充分而非必要条件
( )
既非充分也非必要条件
(
)
(4)
假设事件 A和 B满足
P(B A) 1,
则
(B)
(D)
(A)
A
是必然事件
P(B A)
A B
0
.
(C)
A B
(5) 设随机变量
X
的密度函数为
( x)
,
且 ( x)
( x)
.
F ( x)
是 X
的分布函数
,
则对任
( )
意实数 a
,
有
(A)
F ( a)
1( x) dx
.
0
a
(B)
F (
a)
1
2
a
0
(x)dx
(C)
F ( a)
F (a)
(D)
F (
a)
2F( a) 1
三、 ( 本题满分
5 分 )
设 z f
x,y
是由方程
z y x xez y x
0
所确定的二元函数
, 求
dz .
四、 ( 本题满分
7 分)
已知 lim
x
x
a
x
a
x
22x4x e dx
,
求常数 a
的值
.
a
五、 ( 本题满分
9 分 )
设某产品的成本函数为
C
aq
2
bq
c,
需求函数为
q
1
(d
p),
其中 C
为成本
, q
e
为需求量 ( 即产量 ),
p
为单价
,
a, b, c, d ,e
都是正的常数
,
且 d
b
,
求
:
(1)
利润最大时的产量及最大利润
(2)
需求对价格的弹性 ;
;
(3)
需求对价格弹性的绝对值为
六、 ( 本题满分
8 分 )
假设 :(1)
1 时的产量 .
函数 y f ( x)(0 x
)
满足条件 f (0)
0
和
f
( )
x
1
;
x e
(2)
平行于 y
轴的动直线 MN
与曲线 y
(3)
曲线 y
f ( x)
和
y
ex
1分别相交于点
P1和 P2;
f ( x)
,
直线 MN
与
x
轴所围封闭图形的面积
S
恒等于线段
PP
的长度
.
1 2
求函数 y
f ( x)
的表达式
.
七、 ( 本题满分
6 分 )
点 A(0,
f (0))
与 B(1, f (1))
的直
假设函数
f ( x)
在 [0,1]
上连续 , 在
(0,1) 内二阶可导 ,过线与曲线 y
f ( x)
相交于点 C (c, f (c))
,
其中 0 c 1.
, 使
f
( )
证明 : 在
(0,1) 内至少存在一点
0
.
八、 ( 本题满分 10 分)
k
为何值时
,
线性方程组
x1 x2 kx3
4,
2
x1 kx2 x3 k ,
有惟一解 , 无解 , 有无穷多组解 ?在有解情况下 , 求出其全部解 .
x1 x2 2x3
4
九、 ( 本题满分 9 分)
设二次型
f x12
PY
化成
f
x22
x32
2 x1x2
2 x2 x3 2x1 x3
经正交变换 X
向量,
P是 3
y22
2 y32
,
其中 X
( x1 , x2 , x3 )T
和 Y
( y1, y2 , y3 )T
是三维列
,
.
阶正交矩阵 . 试求常数
十、 ( 本题满分 8 分)
设随机变量 X
和 Y
同分布
, X
的概率密度为
f ( x)
3
x2
,
8
0,
0 x 2,
其他.
(1)
已知事件 A X
a
和 B
Y a
独立,且P A B
3 .
求常数
a.
4
(2)
求
1
的数学期望 .
X
2
十一、 ( 本题满分 8 分)
假设一大型设备在任何长为
t
的时间内发生故障的次数
N t
服从参数为
t
的泊松分
布 .
(1) 求相继两次故障之间时间间隔 T
的概率分布；
(2) 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下 , 再无故障运行 8 小时的概率
Q .
1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分 .)
(1) 【答案】
65
【解析】
2
2
lim
x
3x
5
sin
2
sin
2
5x
3
x
sin
lim
x
2x
,
2lim
3x
5
lim
5x2
3x
x
2
x
x
极限
x
lim
t
sin t
0
1
,
而
lim
x
3x
2
5
洛
6x
lim
3
2
x
t
5x2
3x
x,
10x
5
所以
lim
x
3x2
5
5x
3
sin
2
x
2
3
5
1
6
.
5
(2) 【答案】
34
【解析】令 g x
,
则有
g 01, g x
3x
3x
2
2
12
2 , 则
g 0
3x
2
3,
由复合函数求导法则知
dy
dx
x 0
2
2 ln 3
f g
0
g 0
3 f
1
3arctan1
3
.
4
(3) 【答案】
【解析】利用几何级数求和公式
n 0
xn
( x
1),
令 x
ln 3
, 即得
1
x
2
1
n 0
(ln 3)
n
2
1
1
2
2
ln 3
n
ln 3
.
2
(4) 【答案】 0
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.
由于 r A
2
,
说明
A
中
3
阶子式全为
0,
于是 A
的代数余子式 A
ij
0,故
A*
0
.
所以秩
r A*
0.
若熟悉伴随矩阵
A*
秩的关系式
n,
1,
0,
r
A
r
A
r
A
21
n,
r
A*
n 1,
n
1,
易知 r A*
注：按定义
0.
AA
*11
AAAAn1
A12 22
n 2
,
A1n
A2n
Ann
伴随矩阵是 n
阶矩阵
,
它的元素是行列式
A
的代数余子式
,
是
n
1阶子式
.
(5) 【答案】 (4.804,5.196)
【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值
的置信区间 , 可以
用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间
因 X
的方差为
.
, 则
U
1,
设 X
的期望为
X
N (0,1).
/
n
2
当置信度为 1
0.95
,
时
0.05
,
有正态分布表知
u
u0.025
1.96
.
因此用公式：
I
(x
n
u , x
2
u
)
.
n
2
将 x 5, 1, n
100,u
2
1.96
代入上式
,
得到所求的置信区间为
I
(4.804,5.196)
.
二、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题
3分,满分 15
(1) 【答案】 (C)
【解析】利用函数连续定义判定.
分 .)
由于当 x
0
时
, sin
12
为有界变量 ,
x
lim
f
x
x 0
x
为无穷小量
,
则
lim
x 0
x sin
1
2
0
,
且
f
0
0.
x
于是 f x
在
x
0
处连续
.
故
(A)(B)
不正确 .
1
x sin
x2
又因为 lim
x
f
0
0
lim
x
1
x sin
x2
x
lim
x 0
1
x
sin
2
不存在 , 所以
f x
1
0
x
0
x
在 x
0
处不可导
,
所以选
(C).
【相关知识点】 函数连续定义： 如果函数在 x0
处连续 , 则有
lim
f ( x)
lim f (x) f (x0 )
.
x x0
x x0
(2) 【答案】 (A)
【解析】
1
f
f
1
1
f
ln x
1
1
x
F x
d
dx
1
f ln x
x
x
x
x
xx
2
x
x2
x
f.
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
f
t
dt
x
f
x
.
(3) 【答案】 (B)
【解析】 A
A
有
n
个线性无关的特征向量
.
2时,特征向量
1
由于当特征值
,2 线性无关 . 从而知 , 当
A 有
n 个不同特征值时 ,
矩阵 A
有
n
个线性无关的特征向量
, 那么矩阵
A 可以相似对角化 .
因为当 A
的特征值有重根时
, 矩阵
A 仍有可能相似对角化
( 当特征根的代数重数等于其
, 故应选 (B).
几何重数的时候 ), 所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件
(4) 【答案】 (D)
【解析】 P(B A)
1
的充分必要条件是
P( AB)
P( A)
1,
即 P( AB) P( A)
.
显然四个选项中
,
当 A
选(D).
B时, AB
A
,
可得 P( AB)
P(A).因此 A
B是
P(B A)
1
的充分条件 . 因此
(5) 【答案】 (B)
【解析】题目即考查概率论方面的知识
F (
a)
a
, 在计算过程中又用到定积分的一些知识.
由积分的性质 , 换元积分 , 并改变积分上下限有
t a
(x)dx
x
(t )dt
a
( x) dx,
随机变量 X
的密度函数为
( x)
,
则
( x)dx
0
(x)dx
( x)dx
1
,又由于
(
x)
( x)
,
所以
0
1 ,( 偶函数积分的性质 )
2
( x)dx
a
即
a
( x) dx
0
a
(x)dx
a
0
(x)dx
1
2
.
a
0
于是
F ( a)
a
( x)dx
a
( x)dx
(x)dx
(x)dx
1
a
0
0
( x)dx
.
2
故应选 (B).
三、 ( 本题满分
5 分 )
【解析】 方法一： 利用一阶微分形式的不变性
, 将方程两端微分 , 得
dz dy
dx
ez y xdx
xez y x
dz
dy
dx 0.
1 xez y x dy.
整理后得
1 xez y x
dz
1 xez
y x
ez
y x
dx
1
由此 , 得
dz
xez y x
1 xeez
y x
z y xdx
dy
.
方法二 ：应先求出函数对
x, y
的偏导数
,
将
z
zx
y
x
xez y x
1 0,
0
两边分别对
x, y
求偏导
,
1 ez y x
xez y x zx
1
0,
zy
1 xez y x zy
1
x
1 ez
1
xe
y x
解之得
zx
z y,
x
zy
1
.
1
x
1 ez y
1
xez
y x
x
故
dz
zxdx
zydy
dx
dy
.
四、 ( 本题满分
7 分 )
x
x
【解析】
lim
x
x
a
x
a
lim 1
x
2a
x a
lim 1
x
2a
x a
x a
2 a
2 ax
x a
,
令
2a
x
a
t
, 则当
x
时 ,
t
0
,
x a
2 a
1
lim
x
1
2a
x
a
lim
t 0
1 t
e
,
t
所以
lim
x
1
2a
x
a
a
x a
2 a
2ax
x a
ex
lim
2ax
x a
e
.
2a
而
a
4x2 e
2x dx 2 x2 de
2 x
2x2 e
2 x
a
4 xe
2 xdx
a
lim 2b2e
2 b
b
2a2e
2 a
2
a
xde
2x
2a2 e
2a
2xe
2x
a
2
e
2 xdx
a
2a2 e
2a
lim
b
2be
2b
2a
2ae
2 a
lim
b
e 2b
e 2a
2a2 e
2a
2ae
2 a
e
,
由 e
2a
2a2 e
2a 2ae
2 a e
2 a ,
得
a2
a 0
,
所以 a 0或 a
1.
五、 ( 本题满分 9 分)
【解析】 (1)
利润函数为
L
pq
C
( d
eq)q (aq2
bq
c)
( d
b)
(d
b)q
(e
0
,
得 q
a)q2
c
,
对 q
求导
,
并令
dLdq
0
,
得 dL
dq
2(e a)q
d
b
.
2( e
a)
2d L
因为
dq2
2(e
a)
0,
所以
,
当
q
d
b
时为利润函数的极大值点
,
根据题意也是利
2(e
a)
润的最大值点
,所以
Lmax
(d
4(e
b)2
a)
c
.
(2)
因为 q( p)
1 (d
p)
,
所以 q ( p)
e
d
1
, 故需求对价格的弹性为
e
p
q
q
eq d
.
eq
(3)
由
1,
得
q.
2e
六、 ( 本题满分 8
分 )
x
0
【解析】由题设可得示意图如右
. 设
P ( x, f (x)), P (x,ex
1
1),则S
PP
,
1 2
2
即
f (t) dt
e
x
1
(
f ( x)
.
两端求导 , 得
(
)
f
x
x
e
)
,
即
x
.
f x
f (x)
f
(x)
e
由一阶线性非齐次微分方程求解公式
p ( x)dx
, 得
p ( x) dx
f ( x) e
dx
(
q( x)e
x
dx
C)
xxe ( ee dx C)
dx
( eedx C )e
x
Ce
x
1
e.2
x
由初始条件
f (0)
0,得C
1
. 因此 , 所求函数为
f ( x)
2
y
p( x) y
1
(ex
e
x )
.
2
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程
q(x)
的通解公式为
:
p ( x) dx
p (x) dx
y
e
(
q( x)e
dx
C),其中
C为常数
.
七、 ( 本题满分 6 分)
【 解 析 】 因 为 f ( x)
分 别 在 [ 0,c ]和 [c,1]
上 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 条 件
,
故 存 在
1
(0, c),
2
( c,1)
,
使得
f (
1 )
f (c)
f (0)
, f (
c
0
2
)f (1)
f (c)
,
1
c
由于点 C
在弦 AB
上
,
故有
1
f (c)f (0)
c
0
2
f (1)
f (c)
1
c
f (1)
f (0)
1
0
f (1)
f (0),
从而
f (
)f (
)f (1)
f (0).
这表明
f ( x)
在区间
[
1
2, ]
上满足罗尔定理的条件
, 于是存在
(
1 ,
2 )
(0,1)
,
使得
f
( )
0
.
八、 ( 本题满分 10
分 )
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换
,
第一行和第三行互换
, 再第一行分别乘以
1
、
1
加到第二行和第三行上
, 再第二行和
第三行互换 , 再第二行乘以
1
2
k
加到第三行上 ,
有
1
1
1
0
1
k
1
4
k
2
4
1
1
1
4
1
2
k 1
1
k
1
0
0 k 1
1
2
4
k
2
4
2
k 2
3
A
1 k
1
2
1
2
2
3
k 2
4
8
k
2
4
0 k 1
k
2
4
8
1
0
0
1
2
0
2
4
8
(1
k 2
k )(4
k)
2
.
k( k
4)
(1)
当 k
1且 k
4
时 ,
r ( A)
r ( A)
3
,
方程组有唯一解
,
即
x1
k
2
2k
, x2
k
2
2k
k
1
4
, x3
2k
k
1
.
k
1
(2)
当 k
1
时
,
r ( A)
3,r ( A)
2
方程组无解
.
1
1
2
2
0
4
1
0
0
0
3
1
1
0
0
0
4
.
0
(3)
当 k
4时,有A
0
2
0
0
8
0
因为 r ( A) r ( A)
2
3
, 方程组有无穷多解 .
取 x3
为自由变量
,
得方程组的特解为
(0,4,0)
T
.
又导出组的基础解系为
( 3, 1,1)T
,
所以方程组的通解为
k
, 其中
k 为任意常数 .
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设 A
是
m
矩阵 A
n
矩阵
,
线性方程组
Ax
b
有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
r ( A)
.(
或者说
,
b
可由
A
的列向量
,
n
, b
是等价向量组
)
A b
的秩
,
即
r ( A)
1,
2
,
1,
2
,
,
n
线表出
,
亦
等同于
,
n
与
1,
2
,
设 A
是
m
n
矩阵
,
线性方程组
Ax
b
,
则
（ 1）
有唯一解
r ( A) r ( A)
n.
（ 2）
有无穷多解
r ( A) r ( A)
n.
（3）
无解
r ( A) 1
r ( A).
b
不能由 A
的列向量
1,
2
,
,
n
线表出
.
九、 ( 本题满分 9 分)
1
1
1
1
, B
1
0
1
【解析】经正交变换二次型
f
的矩阵分别为 A
.
2
由于 P
是正交矩阵
,
有 P
1AP
B
,
即知矩阵 A
的特征值是
0,1,2.
那么有
2
A
2 2
A
E
0.
2
0,
0.
【相关知识点】 二次型的定义： 含有 n
个变量 x1 , x2 ,
次的多项式 )
, xn
的二次齐次多项式
( 即每项都是二
n n
f x1, x2 , , xn
i 1 j 1
T
aij xi xj ,
其中 aij
aji
,
称为 n
元二次型
,
令
x
x1 , x2 ,
, xn
1 2
,
A
aij
,
则二次型可用矩阵乘法表示为
f x , x ,
, x
n
xT Ax,
其中 A
是对称矩阵 AT
A
,称 A为二次型
f x1, x2 , , xn
的矩阵 .
十、 ( 本题满分 8 分)
【解析】 (1) 依题意 , 因为随机变量
X
和 Y
同分布
,
则
P A P X a P Y a P B
,
X a 和 B
Y
又事件 A
a
独立
,
故 P AB P A P B
.
2
估计广义加法公式：
PA B PA PB PAPB 2PA
2
A2P
P A
A
3
.
解以 P( A)
为未知量的方程
P
3
4
0.得 P( A)
2
a
2
x
4
1
,(
因 P(A)
2
3
3
2
不合题
意).
再依题设条件可知
1
2
P(A)
P{ X
a}
a
3
f ( x) dx
3
8
dx
1
8
(8
a
)
.
再解以 a
为未知量的方程
:
8 a3
4
,
得
a
4
.
:
(2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望
E
1
1
x2
f x dx
2
1
3
2
x
dx
2
3
dx
3
2
x
0
3
.
X
2
0
x2
8
0
8
4
8
十一、 ( 本题满分 8 分)
【解析】 本题的关键在于理解随机变量
N t
的意义 , 事件
{ N t
k ( t)
e
t
( k
k}k}
表示设备在任何长为 t
的时间内发生 k
次故障
,
其概率为 P{ N
t
0,1,2
)
.
k !
, 故当
t 0 时 ,
F t
由于 T
表示相继两次故障之间时间间隔
事件 T
P T t 0;
当
t
0
时
,
t
与 T t
是互逆事件 , 并且
T
t
0
.
t
表示在长为 t
的时间内没有发生故障
, 它等
价于事件 N
(1) 易见
T 是只取非负值的连续型随机变量.
当 t
当 t
0时
,
F t
0
P T t
0;
时 , 事件
T t 与
N
t
0
等价.于是有
F t
t
1
0,
P T t 1 P T t 1 P N t 0 1 e
t .
e
t , t 0
t
.
因此 F
计算得知 T
服从参数为
的指数分布 .
(2) 由于指数分布具有“无记忆性”, 因此
Q P T 16| T 8 P T 8 1 P T 8 1 F (8) 1 (1 e
8 )
e
8
.
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