基础数学知识介绍

2024年3月15日发(作者：广东中职历年数学试卷及答案)

数学基础知识介绍

1 线性代数基础

1.1 向量的概念

向量, 原意是有方向的量。，所以在数学标记写法上, 头上会有个箭头。

但我们可以把向量延伸成更简单的意义(更符合程序员理解): 一个n维数组。

比如, 如果我们数据库中有个学生的成绩表单, 他有该学生7科成绩:

语文

90

数学

85

英语

88

物理

72

化学

78

生物

75

计算机

100

来表

我们把它们放在一起, 我们就可以用向量

示该生的各科成绩。

不过, 相比起n维数组, 向量还定义了一些运算, 数乘和加法等(因为负数的原

因, 有加法即会有减法)。

除此之外, 向量的点积是非常重要的概念。

, 它们的点积:

我们将向量的长度定义为.

。

,

那么,空间中两点的距离就可以定义为

这些基础概念与表示, 更丰富的概念可以在不断学习中遇到问题时再详细

理解。一般情况下, 等默认表示为向量, 就不写加上标了。而点乘, 也可

以用矩阵乘法的写法, 写成的形式, 它与与等价。

1.2 矩阵代数

矩阵代数是在求解线性方程组时发展起来的。对于一个线性方程组:

我们用矩阵来表示就是:

, 其中表示转置。

的矩阵。而向量被定义为

这么写,

的矩阵:

我们先做些标记, ,

表示的是,的矩阵 加了就是

矩阵的表达可以理解为:

矩阵乘法:

矩阵代数是大学线性代数的核心内容, 有遗忘的知识点可以查查原来的课

本。矩阵代数是理解各类机器学习算法的基础, 所以最好加强对其的理解。

如形式的问题, 我们一般称为线性系统, 因为它们里面的运算只有线

性组合。上述的问题, 我们可以通过高斯消元法, 解得。但是, 有些

线性方程组, 就未必有解, 比如我们稍微修改一下上述的线性方程组：

这个方程组是无解的。 但我们生活中, 遇到的很多问题, 由于建模或者

误差等原因, 它往往都是这种形式; 而我们还是希望去给它求一个解。

如果一个方程组有解, 那么就成立。但如果一个方程组没有

解,那我们希望尽量要接近零。即我们一般希望的长度越小越

好。那么只要最小即可。 这种形式, 我一般也叫

最小二乘形式。

经过前人的数学推导, 这个问题一般可以转化成求解一个转换的线性

方程组: