2023年12月3日发(作者：2020黄冈模拟数学试卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2 A．{x|2 C．{x|1≤x<4} 2．2−i= 1+2iB．{x|2≤x≤3} D．{x|1 A．1 C．i B．−1 D．−i 3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 A．120种 C．60种 B．90种 D．30种 4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A．20° C．50° B．40° D．90° 5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A．62% C．46% B．56% D．42% 6．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A．1.2天 C．2.5天 B．1.8天 D．3.5天 rt7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是 A．(−2,6) C．(−2,4) B．(−6,2) D．(−4,6) uuuruuur8．若定义在R的奇函数f(x)在(−,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)0的x的取值范围是 A．[−1,1]U[3,+) B．[−3,−1]U[0,1] C．[−1,0]U[1,+) D．[−1,0]U[1,3] 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．已知曲线C:mx+ny=1. A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为n 22C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=−D．若m=0，n>0，则C是两条直线 10．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= mx n πA．sin(x+） 3B．sin(5πππ D．cos(−2x) C．cos(2x+）−2x) 36611．已知a>0，b>0，且a+b=1，则 A．a2+b21 2 B．2a−b1 2C．log2a+log2b−2 D．a+b2 12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,L,n，且P(X=i)=pi0(i=1,2,L,n),pi=1，定义X的信息熵H(X)=−pilog2pi. i=1nni=1A．若n=1，则H(X)=0 B．若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大 1C．若pi=(i=1,2,L,n)，则H(X)随着n的增大而增大 nD．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,L,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1−j(j=1,2,L,m)，则H(X)≤H(Y) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________． 14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，3垂足为C，tan∠ODC=，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，5圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． 16．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分） 在①ac=3，②csinA=3，③c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA=3sinB，C=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分） 已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8． （1）求{an}的通项公式； （2）记bm为{an}在区间(0,m](mN*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100． 19．（12分） 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表： ，________? 6 SO2 [0,50] (50,150] (150,475] PM2.5 [0,35] (35,75] (75,115] 32 6 3 18 8 7 4 12 10 （1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22列联表： SO2 PM2.5 [0,150] (150,475] [0,75] (75,115] （3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？ n(ad−bc)2附：K=， (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P(K2k) k 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 20．（12分） 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 21．（12分） 已知函数f(x)=aex−1−lnx+lna． （1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）≥1，求a的取值范围． 22．（12分） x2y22已知椭圆C：2+2=1(ab0)的离心率为，且过点A（2，1）． ab2（1）求C的方程： （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 参考答案 一、选择题 1．C 5．C 二、选择题 9．ACD 三、填空题 13．16 3 2．D 6．B 3．C 7．A 4．B 8．D 10．BC 11．ABD 12．AC 14．3n2−2n 15．5+4 216．2 2四、解答题 17．解： 方案一：选条件①． a2+b2−c23由C=和余弦定理得． =62ab2由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b． 于是3b2+b2−c223b2=3，由此可得b=c． 2由①ac=3，解得a=3,b=c=1． 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=1． 方案二：选条件②． 由C=a2+b2−c23和余弦定理得． =62ab2由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b． 于是3b2+b2−c223b2=32，由此可得b=c，B=C=，A=． 632 由②csinA=3，所以c=b=23,a=6． 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=23． 方案三：选条件③． a2+b2−c23由C=和余弦定理得． =62ab2由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b． 于是3b2+b2−c223b2=3，由此可得b=c． 2由③c=3b，与b=c矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 18．解： （1）设{an}的公比为q．由题设得a1q+a1q3=20，a1q2=8． 1解得q=−（舍去），q=2．由题设得a1=2． 2所以{an}的通项公式为an=2n． （2）由题设及（1）知b1=0，且当2nm2n+1时，bm=n． 所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+L+(b32+b33+L+b63)+(b64+b65+L+b100) =0+12+222+323+424+525+6(100−63) =480． 19．解： （1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64=0.64． 100（2）根据抽查数据，可得22列联表： SO2 PM2.5 [0,150] (150,475] [0,75] (75,115] 264 10 16 10 100(6410−1610)27.484． （3）根据（2）的列联表得K=80207426由于7.4846.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关． 20．解： （1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD． 又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC，因此AD⊥底面PDC． 因为AD∥BC，AD平面PBC，所以AD∥平面PBC． 由已知得l∥AD．因此l⊥平面PDC． uuur（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz． uuuruuur则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)，DC=(0,1,0)，PB=(1,1,−1)． uuur由（1）可设Q(a,0,1)，则DQ=(a,0,1)． uuurnDQ=0,ax+z=0,n=(x,y,z)QCD 设是平面的法向量，则uuur即y=0.nDC=0,可取n=(−1,0,a)． uuur所以cosn,PB=uuurnPB−1−auuur=． 2|n||PB|31+a设PB与平面QCD所成角为，则sin=3|a+1|32a=1+2． 33a+11+a2因为32a61+2，当且仅当a=1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为3a+136． 321．解： 1f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=aex−1−． x（1）当a=e时，f(x)=ex−lnx+1，f(1)=e−1， 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(e+1)=(e−1)(x−1)，即y=(e−1)x+2． 直线y=(e−1)x+2在x轴，y轴上的截距分别为因此所求三角形的面积为2． e−1−2，2． e−1（2）当0a1时，f(1)=a+lna1． x−1当a=1时，f(x)=ex−1−lnx，f(x)=e−1． x当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,+)时，f(x)0． 所以当x=1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)=1，从而f(x)1． 当a1时，f(x)=aex−1−lnx+lnaex−1−lnx1． 综上，a的取值范围是[1,+)． 22．解： 41a2−b21=，解得a2=6，b2=3． （1）由题设得2+2=1，2aba2x2y2=1． 所以C的方程为+63（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)． 若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+m， x2y2=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6=0． 代入+634km2m2−6,x1x2=于是x1+x2=−．① 1+2k21+2k2uuuuruuurAM⊥AN由知AMAN=0，故(x1−2)(x2−2)+(y1−1)(y2−1)=0， 可得(k2+1)x1x2+(km−k−2)(x1+x2)+(m−1)2+4=0． 2m2−64km−(km−k−2)+(m−1)2+4=0． 将①代入上式可得(k+1)221+2k1+2k2整理得(2k+3m+1)(2k+m−1)=0． 因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k+m−10，故2k+3m+1=0，k1． 21于是MN的方程为y=k(x−)−(k1). 33 21所以直线MN过点P(,−). 33若直线MN与x轴垂直，可得N(x1,−y1). uuuuruuur由AMAN=0得(x1−2)(x1−2)+(y1−1)(−y1−1)=0. x12y122又+，x1=. =1，可得3x12−8x1+4=0.解得x1=2（舍去）63321此时直线MN过点P(,−). 3341令Q为AP的中点，即Q(,). 33若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|=若D与P重合，则|DQ|=1|AP|. 2122|AP|=. 2341综上，存在点Q(,)，使得|DQ|为定值. 33
更多推荐
直线,平面,存在,浓度
发布评论