高二上学期期中考试数学试卷附带答案

2023年12月2日发(作者：稼轩中学2015数学试卷)

高二上学期期中考试数学试卷附带答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.

1. 直线3xy10的倾斜角为（）

A.

30 B.

60

22C.

120 D.

135

2. 已知点A1,2在圆C：xymx2y20外，则实数m的取值范围为（）

A.

3,22, B.

3,23, C.

2, D.

3,

3. 下列条件中一定使空间四点P、A、B、C共面的是（）

A.

OAOBOCOP

C.

OAOBOC2OP

22B.

OAOBOCOP

D.

OAOBOC3OP

4. 直线：3x4y10被圆C：xy2x4y40所截得的弦长为（）

A.

25 B. 4 C.

23 D.

22

x2y21表示双曲线，则m的取值范围是（） 5. 若方程m2m6A.

m2或m6 B.

2m6 C.

m6或m2 D.

6m2

6. 点P2,0关于直线：xy10的对称点Q的坐标为（）

A.

1,3 B.

1,4 C.

4,1 D.

2,3

7. 已知直线l1：xmy10和l2：m2x3y30且l1l2，则（）

A.

m1或m3 B.

m1 C.

m1

2D.

m1

28. 设x、yR向量ax,1,1，b1,y,1和c3,6,3且ac，b∥c则ab（）

A.

22

2B.

23 C. 3 D. 4

9.若抛物线y16x上的点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离是（）

A.4 B.6 C.8 D. 10

x2y21的一个焦点，点P在椭圆上，线段PF的中点为N，且ON2（O为坐标原10.点F是椭圆93点），则线段PF的长为（）

A.2 B.3 C.4 D.23

x2y211.设F1、F2分别为双曲线221a0,b0的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足abPF2F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（）

第 1 页 共 10 页 A.4

5B.

5

4C.

3

5D.

5

312.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数kk0的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知O0,0，A3,0圆C：x2A. 1

2y2r2r0上有且只有一个点P满足PA2PO.则r的取值可以是（）

B.3 C. 1或3 D.4

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.已知A1,3，B3,1两点，若直线：ykx与线段AB恒有交点，则k的取值范围是_________.

2214.直线：xmym10被圆O：xy3截得的弦长最短，则实数m_________.

15.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中AB1，M，N分别是棱AB，CC1的中点，E是BD的中点，则异面直线D1M，EN间的距离为_________.

x2y2F2为椭圆C：1的两个焦点，16.已知F1，且PQFQ为C上关于坐标原点对称的两点，P，1F2，164则四边形PF1QF2的面积为_________.

三、解答题：共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.

17.（10分）菱形ABCD的顶点A、C的坐标分别为A4,7、C6,5（1）求AD边所在直线的方程；

（2）求对角线BD所在直线的方程.

18.（12分）已知圆C过点M4,5，N0,5且圆心在x轴上.

（1）求圆C的方程；

（2）设直线：mxy10与圆C相交于A，B两点，若MAMB，求实数m的值.

19.（12分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中AC3，BC=4，AB=5和AA14

；BC边所在直线过点P4,1.



第 2 页 共 10 页 （1）求证：ACBC1；

（2）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由.

20.（12分）如图，在三棱锥PABC中AC2，BC=4，△PAC为正三角形，D为AB的中点ACPD

PCB90.

（1）求证：BC平面PAC；

（2）求PD与平面PBC所成角的正弦值.

21.（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上任一点到点Fm,0的距离减去它到y轴距离的差都是m，N为该曲线上一点，且NF4OF

S△NFO3.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，AB8求直线的方程.

x2y23222.（12分）已知椭圆E：221ab0的离心率为，且过点P2,.

2ab2（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知定点Q2,0，直线：ykxm满足m2k且与椭圆E相交于不同的两点A，B始终满足QAQB0，证明：直线过一定点T，并求出定点T的坐标.

第 3 页 共 10 页

参考答案

题号

答案

1

B

2

A

3

D

4

A

5

B

6

A

7

D

8

C

9

A

10

A

11

D

12

C

4.由题意圆心C1,2，圆C的半径为3

故C到：3x4y10的距离为故所求弦长为23225.

5.由题意m2m60，解得2m6.

6.设点P2,0关于直线xy10的对称点的坐标为a,b

2238134222

b0(1)1a1a2则，解得.所以点Q的坐标为1,3.

a2bb31022

第 4 页 共 10 页 8.因为ac，则ac3x630，解得x1，则a1,1,1因为b∥c，则

1y，解得y2，即b1,2,1

36所以ab2,1,2，因此ab24143.

9.解：因为抛物线的方程为y16x，所以2p16，解得p8

所以准线方程为xp42

又因为点M到焦点的距离为8，所以点M到准线的距离为8

设点M到y轴的距离为m，则有m48，所以m4.

10.如下图所示，连接PF1，∵N为PF的中点，且ON2，可得PF14，由椭圆方程可知，2a6

根据椭圆定义有PFPF12a6，∴PF2.

11.依题意PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点

1F2，可知三角形PF2F由勾股定理知可知PF124c4a4b22

根据双曲定义可知4b2c2a，整理得c2ba

代入c2a2b2整理得3b24ab0，求得b4；

a3cc2a2b25∴e.

aa2a2312.解：设Px,y，由PA2PO，得(x3)y4x4y

2222整理得x1y24，又圆C：(x2)yr(r0)上有且仅有一点P满足PA2PO2222

所以两圆相切，圆x1y24的圆心坐标为1,0，半径为2，圆C：(x2)yr(r0)的圆2222心坐标为2,0，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时r23，得r1，当两圆内切时r23，

第 5 页 共 10 页 得r5.

13.3,3

3把A1,3，B3,1两点分别代入直线：ykx中

计算kOA3

kOB133

33kkOA，∴k的取值范围是,3.

3由图可知，直线：ykx与线段AB恒有交点时kOB

14. 1

直线MN的方程可化为xmym10

由y11x1，得，所以直线MN过定点A1,1

x10y122因为12123，即点A在圆xy3内.当OAMN时MN取最小值

由kOAkMN1，得111，∴m1.

m15.2

4

第 6 页 共 10 页

16.8

因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且PQF1QF2为矩形

1F2，所以四边形PF22设PF1m，PF2n则mn8，mn48所以64(mn)m2mnn482mn

222mn8，即四边形PF1QF2面积等于8.

17.（1）解：由菱形的性质可知BC∥AD，则kADkBCkCP15246

所以，AD边所在直线的方程为y72x4，即2xy10.

（2）解：线段AC的中点为E1,1，kAC756465

15kAC6

由菱形的几何性质可知，BDAC且E为BD的中点，则kBD因此，对角线BD所在直线的方程为y15(x1)，即5x6y10.

618.（1）设圆C的半径为r，圆心Ca,0，由题意得

第 7 页 共 10 页 222a2r(a4)(5)2，解得，∴圆C的方程为x2y29.

222r3ra(5)（2）∵点M在圆上，且MAMB

∴直线过圆心C2,0，∴2m010，解得m1.

2

（方法二：不建立空间直角坐标系，直接利用判定定理和性质定理进行证明.）

所以CP1,0,3

CB0,4,0

PD0,2,3

第 8 页 共 10 页 mCPx3z0设平面PBC的法向量为mx,y,z，则，取x3

mCB4y0则m3,0,1

343312121，∴PD与平面PBC所成角的正弦值为.

1414设PD与平面PBC所成角为，则

sinmPDmPD

21.（1）设点Px,y是曲线C上任意一点

那么点Px,y满足(xm)2y2xm(x0).

化简得曲线C的方程为y4mx(x0).

设NxN,yN，依题意NF4OF4m由抛物线定义xNm4m，即xN3m所以yN23m，又由S△NFO3得

21m23m3，解得m1（m1舍去）.

22所以曲线C的方程为y4xx0.

（2）由（1）得F1,0

设直线的方程为ykx1

Ax1,y1

Bx2,y2.

由yk(x1)，得k2x22k24xk20.

2y4x22k24因为16k160，故x1x2k2

4k24所以ABAFBFx11x21x1x22.

k2

第 9 页 共 10 页 4k21118由题设知.解得或.

kk2k22因此直线的方程为y1111x或yx.

2222x2y2c3222.（1）椭圆离心率e，故a2b，设椭圆方程为221，过点P2,a24bb2

x222y21. 故221，解得b1，故椭圆方程为44b4bykxm（2）设Ax1,y1，Bx2,y2由x2，得14k2x28mkx4m2102

y1464m2k21614k2m210，即14k2m20.

4m218km

x1x2x1x214k214k2

m24k2y1y2kx1mkx2mkx1x2mkx1x2m

QAQB0

214k22故x12,y1x22,y2x12x22y1y2x1x22x1x24y1y20故

4m2114k216mkm24k222，即5m16mk12k0

402214k14k6k且满足14k2m20.

5解得：m2k（舍去），m当m66k6时ykx，直线过定点,0.

55565综上可知，直线过定点，定点坐标为,0.

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