2023数学高考试卷全国卷1第21题

2023数学高考试卷全国卷1第21题

2023年数学高考试卷全国卷1的第21题题目如下：

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x∈(−∞,−1)时，f(x)是单调递增的；当x∈(−1,2)时，f(x)是单调递减的；当x∈(2,+∞)时，f(x)是单调递增的。

(1)求a的取值范围；

(2)若对任意x∈[−1,3]，都有f(x)⩽6，求b的取值范围。

【分析】

(1)由题意可知f′(−1)=0，f′(2)=0，由此能求出a的取值范围．

(2)由题意可知f(−1)=6，f(3)⩽6，由此能求出b的取值范围．

【解答】

(1)∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x∈(−∞,−1)时，f(x)是单调递增的；当x∈(−1,2)时，f(x)是单调递减的；当x∈(2,+∞)时，f(x)是单调递增的．∴f′(x)=3x2+2ax+b，由题意可得{f′(−1)=3−2a+b=0f′(2)=12+4a+b=0，解得{a=−23b=−6，即a∈(−23,+∞)．

(2)由(1)可知：f(x)=x3−23x2−6x+c,∵f(−1)=c+25，由题意可得c+25⩽6,解得：c⩽27，∴f(3)=c+29，由题意可得c+29⩽6,解得：c⩽23，综上可得：b∈[−6,−23].