全国高中数学联赛

2023年12月10日发(作者：云南成考数学试卷题型分值)

全国高中数学联赛

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

231．正数列满足a11,a210,anan210antn3，则lg(a100)

A、98 B、99 C、100 D、101

2．已知lgx的小数部分为a，则lg1的小数部分为

x2A、2a的小数部分 B、12a的小数部分 C、22a的小数部分 D、以上都不正确

3．过原点O引抛物线yx2ax4a2的切线，当a变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上

A、y12335x,yx2 B、yx2,yx2 C、yx2,y3x2 D、y3x2,y5x2

22224．已知△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，∠DCE = 45°，则以AD、DE、ED为边长构成的三角形的最大角是

A、锐角 B、钝角 C、直角 D、不能确定

5．将正整数从1开始不间断的写成一行，第2006个数码是 （旁注：这是希望杯的培训题）

A、0 B、5 C、7 D、以上都不正确

6．已知圆锥的顶点V和底面圆心O的连线垂直于底面（旁注，这句话实际上是废话），一个过VO中点M的平面与圆O相切，与圆锥的交线是一个椭圆，若圆O半径为1，则椭圆的短轴的长为

42236 B、 C、 D、以上结果都不对

253二、（每小题9分，共54分）

A、7．设等差数列的首项和公差均为正整数，项数为不小于3的素数，且各项之和为2006，则这样的数列共有_____个．

5x1115x1158．已知实数x、y满足，则xy_____． （旁注：联赛原题）

5y415y459．正八边形所有对角线在其内部交点的个数为_____．

10．若x、y为实数，且x2xyy23，则x2xyy2的最大值和最小值分别为_____．

11．一个正方体的8个顶点可以组成_____个非等边三角形．

12．若关于x的方程1x2kx2恰有一个实根，则k的取值范围是_____．

三、论述题（本题满分60分，每小题20分）

13．设有2006个互不相同的复数，其中任何两个数的积（包括自乘）是这2006个数之一，求这2006个数的和．

14．求2kk1n3C3nkCnkn2knk1n2kCk1nkn的值．

15．已知数列ann0满足a00，对于所有nN，有an1230anan111an5，求an的通项公式． 全国高中数学联赛

一、填空题（每题10分，80分）

1、由曲线|x||y||2x3|所围成的几何图形的面积为 。

20112009(x1)(x1)2010x40202、设实数x，y满足，则x＋y＝ 。

20112009(y1)(y1)2010y03、已知a,b,cR,且1111，则存在整数k，使下列等式成立的有 个。

abcabc①(1a112k1111)2k12k12k1

bcabc2k111c2k1②a2k11b1a2k1b2k1c2k1

③(1a112k111)2k2k2k

bcabc④1111

a2kb2kc2ka2kb2kc2k12(x0)上任意一点，过x4、已知平面上两定点A（－3，0），B（0，－4），P为曲线y点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂足分别为C,D，则四边形ABCD面积S的最小值为 。

5、已知a1,a2,a3,,an均为正实数，且满足

a1a2a36、已知k1,k2,k3,an1,111a1a2a314，则a1a2a3anan＝ 。

333,kn是互不相同的n个正整数，且满足k1k2k3kn32024，则正整数n的最大值为 。

x27、已知函数f(x)，若1x2m＝f(1)f(2)f(101)，n＝11f()f()2311f()f()，则m＋n＝ 。

100101°8、已知半径为r的球和半径为R的两个相切的球都相切，且它们都与大小为60的二面角的两个半平面相切，则R＝ 。

r

二、解答题（本大题共4小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）

9、（本题15分）已知三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，AB=BC=CA=S

42，SC＝2，D,E分别为AB，BC的中点，若点P在SE上移动，求△PCD面积的最小值。

gy = 0.25y

10、（本题20分）已知定点M（－3，0），P，Q分别是x轴及y轴上C E

D

A

B

108的动点，且使MP⊥PQ，点N在直线PQ上，PN3NQ

26B4（1）求动点N的轨迹C的方程

（2）过点T(－1，0)作直线l交轨迹C于A,B两点，问在x轴上是否存在一点D使△ABD为等边三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。

M

-5P2ATOQ5D10-2N-4-611、（本题20分）已知数列{an}满足a14an12,an1,n1,2,112an1.

（1）求{an}的通项公式，并证明对任意的x＞0，an333(x),n1,2,2n2x(2x)4.

（2）求证a1a2a33n2an

2n1,An，在每个点12、（本题15分）平面上有n(n3)个不共线的点A1,A2,Ai(i1,2,3,n)旁标注数字ai，如果一条直线通过这些点中的两个或者更多个时，则这些点旁所标注的数字之和为零，证明：所有标注的数字都为零。 全国高中数学联赛

一．填空题（共2题，每题10分，合计80分）

1．设多项式f(x)满足：对于任意xR，都有f(x1)f(x1)2x24x,则f(x)的最小值是＿＿＿＿＿＿.

2．数列{an},{bn}满足：akbk1,k1,2,列{bn}的前n项和Bn＿＿＿＿＿＿.

,已知数列{an}的前n项和为Ann，则数n11x23．函数f(x)的值域是＿＿＿＿＿＿.

x24．过抛物线y28x的焦点F ,作一条斜率为2的直线l，若l交抛物线于A,B两点，则OAB的面积是＿＿＿＿＿＿.

5.若ABC为锐角三角形，满足sinAcos(AB)，则tanA的最大值为＿＿＿＿sinB＿＿.

6.若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.

7.将1,2,,9随机填入右图正方形ABCD的九个格子中，则其

每行三数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率p＿＿＿＿＿＿.

8.将集合M{1,2,12}的元素分成不相交的三个子集：MABC，其中A{a1,a2,a3,a4}B{b1,b2,b3,b4}C{c1,c2,c3,c4}，c1＜c2＜c3＜c4，且akbkck，k1,2,3,4,则集合C为：＿＿＿＿＿＿.

二．解答题（共2题，合计70分）

9.（20分）如图，AB是圆的一条弦，它将圆分成两部分，M、N分别是两段弧AA1的中点，以点B为旋转中心，将弓形AMB顺时针旋转一个角度成弓形A1MB，的中点为P，MN的中点为Q.求证：MN2PQ.

x2y210.（25分）给定椭圆C:221,(a＞b＞0)以及圆O:x2y2b2，自椭圆ab上异于其顶点的任意一点P，做O的两条切线，切点为M,N，若直线MN在a2b2a2x,y轴上的截距分别为m,n；证明：222.

nmb11.（25分）对于2n个素数组成的集合M{p1,p2,成n个乘积，得到一个n元集，如果A{a1a2,a3a4,,,

,p2n}，将其元素两两搭配,a2n1a2n,}与B{b1b2,b3b4b2n1b2n}是由此得到的两个n元集，其中{a1,a2,,a2n}={b1,b2,,b2n}M，且AB，就称集合对{A,B}是由M炮制成的一副“对联”.(例如当n2时，由四元集{a,b,c,d}可炮制成三副“对联”：{ab,cd}{ac,bd}，{ab,cd}{ad,bc}

{ac,bd}{ad,bc}).

(1).当n3时，求6元素集M{a,b,c,d,e,f}所能炮制成的“对联”数；

（2）对于一般的n2，求由2n元素集M所能炮制成的“对联”数T(n).

指导学生补充证明

对金伟华指导学生王慈深参加全国数学联赛的补充说明：

指导方式：一对一进行辅导

指导方法：以做题讲题为主，指导解题方法

指导学时：40学时（一学时

45分钟） 伊春市第二中学

2017年1月5日

指导学生补充证明

对金伟华指导学生丛云鹏参加全国数学联赛的补充说明：

指导方式：集中对多个参加联赛学生进行辅导

指导方法：以做题讲题为主，指导解题方法

指导学时：30学时（一学时

45分钟） 伊春市第二中学

2017年1月5日

指导学生补充证明

对金伟华指导学生初爽参加全国数学联赛的补充说明：

指导方式：集中对多个参加联赛学生进行辅导

指导方法：以做题讲题为主，指导解题方法

指导学时：30学时（一学时

45分钟）

伊春市第二中学

2017年1月5日