2024年3月17日发(作者：大连市一模数学试卷分析)

《第四章3 一次函数的图象》讲解与例题

1．函数的图象

关于一个函数，咱们把它的自变量

x

与对应的变量

y

的值别离作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描

出它的对应点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象．

谈重点 函数图象与点的坐标的关系

(1)函数图象上的任意点

P

(

x

，

y

)必知足该函数关系式．

(2)知足函数关系式的任意一对

x

，

y

的值，所对应的点必然在该函数的图象上．

(3)判定点

P

(

x

，

y

)是不是在函数图象上的方式是：将点

P

(

x

，

y

)的坐标代入函数表达式，若是知足函数表达

式，那个点就在函数的图象上；若是不知足函数的表达式，那个点就不在函数的图象上．

【例1】 判定以下各点是不是在函数

y

＝2

x

－1的图象上．

A

(2,3)，

B

(－2，－3)．

分析：将

x

的值代入函数表达式，若是等于

y

的值，那个点就在函数的图象上；不然，那个点不在函数的图

象上．

解：∵当

x

＝2时，

y

＝2×2－1＝3，

∴

A

(2,3)在函数

y

＝2

x

－1的图象上；

∵当

x

＝－2时，

y

＝－2×2－1＝－5≠－3，

∴

B

(－2，－3)不在函数

y

＝2

x

－1的图象上．

2．函数图象的画法

画函数图象的一样步骤：

(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值，通常把自变量

x

的值放在表的第一行，其对应函数值放在

表的第二行，其中

x

的值从小到大．

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．描点时一样把关键的点准确地描

出，点取得越多，图象越准确．

(3)连线：依照自变量从小到大的顺序，把所描的点用滑腻的曲线连接起来．

释疑点 滑腻曲线的特点

所谓的“滑腻曲线”，现时期可明白得为符合图象的进展趋势、让人感觉过渡自然、比较“平”“滑”的线，

事实上有时是直线．

【例2】 作出一次函数

y

＝－2

x

－1的图象．

分析：取几组对应值，列表，描点，连线即可．

解：列表：

x

y

…

…

－2

3

－1

1

0

－1

1

－3

…

…

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在座标系中描出相应的点．

连线：把这些点连起来．

注：一次函数

y

＝－2

x

－1的图象是直线，连线时，两头要露头．

3.一次函数的图象和性质

(1)一次函数的图象和性质

①一次函数的图象：一次函数

y

＝

kx

＋

b

(

k

≠0)的图象是一条直线．由于两点确信一条直线，因此画一次函

b

通常求出与

x

轴的交点

－，0

和与

y

轴的交点(0，

b

)

数的图象，只要描出图象上的两个点

k

，过这两点作一条



直线就好了．咱们常常把这条直线叫做“直线

y

＝

kx

＋

b

”．

②一次函数中常量

k

，

b

(

k

≠0)：直线

y

＝

kx

＋

b

(

k

≠0)与

y

轴的交点是(0，

b

)，当

b

＞0时，直线与

y

轴的正

半轴相交；当

b

＜0时，直线与

y

轴的负半轴相交；当

b

＝0时，直线通过原点，现在一次函数即为正比例函数．一

次函数

y

＝

kx

＋

b

中的

k

，决定了直线的倾斜程度，

k

的绝对值越大，那么直线越接近

y

轴，反之，越靠近

x

轴．

③一次函数

y

＝

kx

＋

b

(

k

≠0)的性质：当

k

＞0时，直线

y

＝

kx

＋

b

从左向右上升，函数

y

的值随自变量

x

的

增大而增大；当

k

＜0时，直线

y

＝

kx

＋

b

从左向右下降，函数

y

的值随自变量

x

的增大而减小．

(2)正比例函数的图象和性质

①正比例函数的图象：一样地，正比例函数

y

＝

kx

(

k

是常数，

k

≠0)的图象是一条通过原点的直线，咱们称

它为直线

y

＝

kx

.在画正比例函数

y

＝

kx

的图象时，一样是通过点(0,0)和(1，

k

)作一条直线．

②正比例函数

y

＝

kx

的性质：当

k

＞0时，直线

y

＝

kx

通过第一、三象限，从左往右上升，即

y

随

x

的增大

而增大；当

k

＜0时，直线

y

＝

kx

通过第二、四象限，从左往右下降，即

y

随

x

的增大而减小．

【例3－1】 作出一次函数

y

＝－3

x

＋3的图象．

分析：由于一次函数的图象是一条直线，因此只要过其图象的两点画出一条直线即可．

解：列表：

x

0

1

y

＝－3

x

＋3

描点，连线．

3

0

【例3－2】 假设一次函数

y

＝(2

m

－6)

x

＋5中，

y

随

x

增大而减小，那么

m

的取值范围是________．

解析：当咱们明白函数的增减性后，就明白了

k

的取值范围，因为

y

随

x

增大而减小，因此

k

就小于0，即

2

m

－6＜0，

m

＜3.因此

m

的取值范围是

m

＜3.

答案：

m

＜3

析规律

k

与

b

的作用

在一次函数解析式中，

k

确信函数的增减性，

b

确信函数图象与

y

轴的交点．

【例3－3】 以下图表示一次函数

y

＝

kx

＋

b

与正比例函数

y

＝

kx

(

k

，

b

是常数，且

k

≠0)图象的是( )．

解析：关于两个不同的函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，确信

k

，

b

的符号，然后

再依照

k

或

b

的符号判定另一函数图象是不是与

k

，

b

的符号相符合．

观看A中一次函数图象可知

k

＞0，

b

＜0，而正比例函数的图象通过第二、四象限，现在

k

＜0，因此A不

正确，用一样的方式可确信B，C不正确．应选D.

答案：D

点技术 同一坐标系中多函数图象问题

解答这种问题一样第一依照正比例函数和一次函数的图象别离先确信

k

的符号，对照

k

的符号，假设

k

符

号一致，才说明可能正确，再结合题中的其他条件确信最终正确答案．

4．

k

，

b

的符号与直线所过象限的关系

学习了一次函数

y

＝

kx

＋

b

(

k

≠0)，咱们明白一次函数图象通过哪些象限是由

k

，

b

的符号决定的．一样分为

四种情形：

(1)

k

＞0，

b

＞0时，图象过第一、二、三象限；

(2)

k

＞0，

b

＜0时，图象过第一、三、四象限；

(3)

k

＜0，

b

＞0时，图象过第一、二、四象限；

(4)

k

＜0，

b

＜0时，图象过第二、三、四象限．

析规律

k

，

b

的符号与直线的关系

依照一次函数

y

＝

kx

＋

b

中

k

，

b

的符号能够确信图象所通过的象限；依照函数图象所通过的象限，能够确

信

k

，

b

的符号．解决有关问题，应熟练把握

k

，

b

的符号与函数图象所通过象限的几个类型，并能灵活应用．

【例4－1】 一次函数

y

＝

kx

＋

b

的图象通过第二、三、四象限，那么正比例函数

y

＝

kbx

的图象通过哪个

象限？

分析：要确信函数

y

＝

kbx

的图象通过哪些象限，那么需要确信

kb

的符号，而

kb

的符号由

k

的符号和

b

的符号决定，因此只要依照已知条件确信

k

，

b

的符号即可解决问题．

解：因为

y

＝

kx

＋

b

的图象通过第二、三、四象限，因此

k

＜0，

b

＜0，因此

kb

＞0.因此函数

y

＝

kbx

的图

象通过第一、三象限．

【例4－2】 如图是一次函数

y

＝

kx

＋

b

的图象的大致位置，试别离确信

k

，

b

的正负号，并判定一次函数

y

＝(－

k

－1)

x

－

b

的图象所通过的象限．

分析：由函数

y

＝

kx

＋

b

的图象可知，函数的图象通过第一、三、四象限，因此

k

＞0，

b

＜0，由此可得－

k

－1＜0，－

b

＞0，从而确信一次函数

y

＝(－

k

－1)

x

－

b

的图象通过第一、二、四象限．

解：观看图象可得

k

＞0，

b

＜0，因此－

k

－1＜0，－

b

＞0，因此一次函数

y

＝(－

k

－1)

x

－

b

的图象通过第

一、二、四象限．

5.一次函数图象与坐标轴的交点

b

一次函数的图象是直线，这条直线与

x

轴交于点

－，0

，与

y

轴交于点(0，

b

)．考查直线与两坐标轴的交

k

点的问题常见的有三类：

(1)判定直线所过的象限，一样给出函数关系式，判定直线通过哪几个象限或确信不通过哪个象限．

(2)求直线的解析式，一样先设出函数关系式为

y

＝

kx

＋

b

(

k

≠0)，把已知的两点的坐标别离代入，求出

k

，

b

的值即可．

(3)求两交点与坐标轴围成的三角形的面积，由于那个三角形是直角三角形，利用面积公式即可．

【例5】 如图，已知直线

y

＝

kx

－3通过点

M

(－2,1)，求此直线与

x

轴，

y

轴的交点坐标，并求出与坐标轴

所围的三角形的面积．

分析：先将点

M

(－2,1)代入

y

＝

kx

－3，确信一次函数解析式，再别离令

x

＝0和

y

＝0，即可求出此直线与

x

轴，

y

轴的交点坐标．

解：将点

M

(－2,1)代入

y

＝

kx

－3，得1＝－2

k

－3，解得

k

＝－2，因此

y

＝－2

x

－3.又当

x

＝0时，

y

＝－3，

3

3

当

y

＝0时，

x

＝－，因此此直线与

x

轴，

y

轴的交点坐标别离为

－，0

，(0，－3)．

2

2

139

因此所围三角形的面积为××3＝.

224

点评：在平面直角坐标系中求图形的面积时，通常把轴上的边作为底，再利用点的坐标求得底上的高，然后

利用面积公式求解．

6．关于一次函数的最值问题

关于一样的一次函数，由于自变量的取值范围能够是全部实数，因此不存在最大、最小值(简称“最值”)，

但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，因此就有可能显现最大值或最小值．

求解这种问题，先分析问题中两个变量之间的关系是不是适合一次函数模型，再在自变量许诺的取值范围

内成立一次函数模型．运用一次函数解决实际问题的关键是依照一次函数的性质来解答．除正确确信函数表达式

外，利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键．

“在生活中学数学，到生活顶用数学”，是新课标所提倡的一个主旨之一，在考题中，有许多利用数学知

识求解生活中的实际问题的试题，考查同窗们利用所学知识求解实际问题的能力．

【例6】 某报刊销售亭从报社订购晚报的价钱是0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸能够以每份0.2

元的价钱退回报社，假设每一个月按30天计算，有20天天天可卖出100份报纸，其余10天天天只能卖出60

份，但天天报亭从报社订购的份数必需相同，报亭天天从报社订购多少份报纸，才能使每一个月所取得的利润最

大？

分析：假设报亭天天从报社订购

x

份报纸，每一个月取得的利润为

y

，那么

y

是

x

的一次函数，且自变量的

取值范围是60≤

x

≤100，并依照函数的性质来确信订多少份报纸．

解：依照题意，得

y

＝(1－0.7)×(20

x

＋10×60)－(0.7－0.2)(

x

－60)×10，

即

y

＝

x

＋480(60≤

x

≤100)．

∵此函数是一次函数，且一次项的系数大于0，函数

y

随

x

的增大而增大，

∴当

x

＝100时，

y

有最大值，其最大值为100＋480＝580(元)．

订购方案：天天从报社订100份报纸，如此取得利润最大，最大利润为580元．


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