2024年2月1日发(作者：四川理工离散数学试卷)
初二数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
-①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．
-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
-③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．
【问题原型】
．“将军饮马”，“造桥选址” ，“费马点”
【涉及知识】
“两点之间线段最短”，“垂线段最短” ，“三角形三边关系”，“轴对称” ，“平移”．
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
】 【十二个基本问题
】1作法图形【问题原理
A A
两点之间线段最短．P l
．交点即为 P连 AB，与 l l
PA+PB 最小值为 AB． B
B
，使上求一点P在直线 l
值最小．PA+PB
【问题 2】“将军饮马”作法图形原理
A A
B＇ B关于作 B l 的对称点两点之间线段最短． B
l
lPA+PB 最小值为 A B P．＇．连 A B ＇，与 l 交点即为
P
，使P在直线 l 上求一点
B\'
PA+PB 值最小．
3】作法图形原理【问题
P\'l
1l
1
分别作点 P 关于两直线的两点之间线段最短．
MP
PM +MN +PN 的最小值为对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，P l
2． M，P＇＇＇的长． N与两直线交点即为线段 P
l l 、上分别求点在直线l21
2N
M 、 N，使△ PMN的周长P\'\'
最小．
4】作法【问题图形原理
l
1l
1Q\'
Q
关于直线分别作点 Q 、P
Q
两点之间线段最短．MP
l 、 l
P＇Q＇和的对称点21
P
周长的最小四边形 PQMN
l
2
＇，与两直线交点即 Q连＇P
值为线段 P＇P＇＇的长．l
2 、
l l
上分别求点在直线．，N为 M21
N
，使四边形 N 、M PQMN P\'
的周长最小．
【问题 5】“造桥选址”作法图形原理
范文
A
A
M
m
将点 A 向下平移 MN 的长度
两点之间线段最短．nA\'
M
n＇B，交单位得 A＇，连 AN
m
AM +MN
+BN 的最小值为B
于 m N 作 NM ⊥于点 N，过
n
N， n ，在
m 、 n 直线 m ∥
A＇B+MN ．
．MB
MN、N，使上分别求点 M
的，且 AM+ MN+ BN ⊥ m
值最小．
【问题 6】作法图形原理
AA\'
A
将点 A 向右平移 a 个长度单
BB
l两点之间线段最短．
的对 ＇，作 A ＇关于 位得 Al
a
Nl M，交直线称点 A＇，连 A＇B
AM +MN +BN 的最小值为MN
l
MM（上求两点、N在直线 l
点向左平，将于点NNA＇B+ MN．
A\'\'
MNa 移 a 个单位得 M． 在左），使，并使
的值最小．AM + MN+ NB
】【问题 7作法图形原理
l
l
1
P\'
P
Pl点到直线，垂线段最短．＇， 的对称点作点 P 关1于 P
1
A
ll 于 B⊥ ，交 作 P＇B22PA+ AB 的最小值为线段P＇l
2
于
A．
l
B的长．
2 l l
上求A上求点 在，在21B
，使 PA+ AB 值最小．点 B
图形原理】【问题 8作法
l
1 B\'
N
A
l
1l的对称点 关于 A 作点2l
2两点之间线段最短． MB
l的对称 A ＇，作点 B 关于
N1
A
AM +MN +NB 的最小值为
lll，于B＇交 M 为 上点 B＇，连 A＇A 为 上一定点， B
212
线段 A＇B＇的长．l
2BM
l l
，一定点，在上求点交M． N于21
A\'
l
在
使， N 点上 求1
的值最小．AM + MN+ NB
图形原理】【问题 9作法
A
A
垂直平分上的点到线段两
B
端点的距离相等．B
的中垂线与 AB ，作连 AB
l
l
． l 直线的交点即为 P
PA PB ＝0．P
PA 上求一点l P，使在直线
的值最小．PB
【问题 10】作法图形原理
范文
A
三角形任意两边之差小于
A
B
作直线 AB，与直线 l 的交第三边． PA PB ≤AB． l Bl
．点即为 P
P
，使 l 上求一点P在直线
PA PB 的最大值 ＝ AB．
PA PB 的值最大．
【问题 11】作法图形原理
A
三角形任意两边之差小于
A
作 B 关于 l 的对称点 B＇ l
B\'
第三边． PAPB ≤ AB＇．
交l点即 l 作直线 A B＇，与B
P
为 P．B
PA PB 最大值 ＝ AB＇．，使 l 上求一点P在直线
PA PB 的值最大．
【问题 12】“费马点”作法图形原理
A
所求点为“费马点” ，即满
D
APB＝∠ BPC＝∠足∠
A
两点之间线段最短．E
AC°．以 AB、APC＝ 120
CB
、ABD 为边向外作等边△PA+ PB+ PC 最小值 ＝ CD ．
P
△ ABC 中每一内角都小于△ ACE，连 CD 、 BE 相交
CB
于 P ，点 P 即为所求．
，ABC 内求一点P120°，在△
值最小．
PA+PB+PC 使
【精品练习 】
1
的面积为．如图所示，正方形ABCD12，△ ABE 是等边三角形，点E 在正方形 ABCD 内，在对角线AC 上有
一点 P，使 PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）
AD
62 62 3 B．．C．3D A．
P
E
BC
2．如图，在边长为2 的菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝ 60 °，若将 △
ACD 绕点 A 旋转，当AC ′、 AD ′分别与 BC 、 CD
）交于点
E、 F ，则 △ CEF 的周长的最小值为（
A．2B．2 3
C．23D．4
范文
3．四边形 ABCD 中，∠ B＝∠ D ＝ 90°，∠ C＝ 70 °，在
BC 、 CD 上分别找一点M、 N，使 △ AMN 的周长最小时，
∠ AMN + ∠ ANM 的度数为（）
AD
°110°D． 140CA． 120°B． 130°．
N
B
M
C
4．如图，在锐角△ ABC 中， AB ＝ 42 ，∠ BAC＝ 45 °，∠ BAC 的平分线交BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB
C
的最小值是上的动点，则
D M
BM +MN ．
AN B
5．如图， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90 °，∠ B＝ 30 °，AB＝ 6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上重合），、C （不与点 B
．的取值范围是 且 ED ＝ AE，则线段AE
A
E
CDB
6．如图，∠ AOB＝ 30°，点 M、 N 分别在边 OA、 OB 上，且 OM ＝ 1， ON＝ 3，点 P、 Q 分别在边 OB、 OA 上，
则 MP ＋ PQ＋ QN 的最小值是 _________．（注“勾股定理” ：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，
222BC AC
AB°，则有＝ 90 C即 Rt△ABC 中，∠）
7．如图，三角形△ ABC 中，∠ OAB ＝∠ AOB ＝ 15 °，点 B
在 x 轴的正半轴，坐标为B( 63 ， 0)．
OC 平分∠ AOB ，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA ＋ MN 的最小值是 ______．
范文
y 轴上， D 在在 x 轴上，则四边形 4）、 B （4， 2）． C 8．已知 A（ 2，ABCD 的周长最小值为，
两点的坐标分别为 D 此时 C、．
y
A
B
Ox
．已知9
）．， 2 1， 1）、 B（4A（
y
点的坐标；轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P （ 1） P 为 x
B
A
Ox
点的坐标；P
的值最大时 x 轴上一动点，求 PA PB ）（ 2 P 为y
B
A
Ox
（ 3） CD 为 x 轴上一条动线段， D 在 C 点右边且 CD ＝ 1，求当 AC+ CD+ DB 的最小值和此时 C 点的坐标；
y
B
A
OxC D
10 ．点 C 为∠ AOB 内一点．
（ 1）在 OA 求作点 D ， OB
上求作点 E ，使△ CDE 的周长最小，请画出图形；
（ 2）在（ 1）的条件下，若∠ AOB ＝ 30°， OC＝ 10，求△ CDE
周长的最小值和此时∠ DCE 的度数．
A
C
BO
范文
11．（ 1）如图①，△ ABD 和△ ACE 均为等边三角形， BE、交于 F，连 AF，求证： AF +BF +CF ＝ CD ；
CE
（ 2）在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 30°， AB＝ 6， BC＝ 8，∠ A ，∠ C 均小于 120°，求作一点 P，使 PA+PB+PC 的
值最小，试求出最小值并说明理由．
D
A
A
E
CBF
图②
C B
图①
处，需经过两座桥处到达 B A ＇处直角转弯，河宽相等，从 12 ．荆州护城河在CC＇，护城河及两桥 EE ＇、DD
点路径最短？到都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 B A
范文
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