2024年3月31日发(作者：数学试卷家长阅评意见和建议)
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案
一、选择题
1．已知函数
f(x)lnxln(2x)
，则
A
．
f(x)
在（0，2）单调递增
C
．
y=f(x)
的图像关于直线x=1对称
2．已知函数
f(x)log
a
(
A
．
B
．
f(x)
在（0，2）单调递减
D
．
y=f(x)
的图像关于点（1，0）对称
1
)(a0且a1）
的定义域和值域都是
[0
，
1]
，则
a=
（
）
x1
C
．
1
2
B
．
2
2
2
D
．
2
3．函数
y
＝
a
|
x
|
(a>1)
的图像是
(
)
A
．
B
．
C
．
D
．
1
，则
f(x)
的单调递减区间是
( )
9
A
．
(
－
∞
，
2] B
．
[2
，＋
∞)
C
．
[
－
2
，＋
∞) D
．
(
－
∞
，－
2]
5．设函数
f(x)
的定义域为
R
，满足
f(x1)2 f(x)
，且当
x(0,1]
时，
f(x)x(x1)
.
4
．若函数
f(x)
＝
a
|2x
－
4|
(a>0
，
a≠1)
满足
f(1)
＝
若对任意
x(,m]
，都有
f(x)
A
．
,
4
8
，则
m
的取值范围是
9
B
．
,
3
9
7
C
．
,
2
5
D
．
,
3
8
6．把函数
f
x
log
2
x1
的图象向右平移一个单位，所得图象与函数
g
x
的图象关
于直线
yx
对称；已知偶函数
h
x
满足
h
x1
h
x1
，当
x
0,1
时，
h
x
g
x
1
；若函数
ykf
x
h
x
有五个零点，则正数
k
的取值范围是
（ ）
A
．
log
3
2,1
B
．
log
3
2,1
C
．
log
6
2,
1
2
D
．
log
6
2,
2
1
7．
[x]
表示不超过实数
x
的最大整数，
x
0
是方程
lnx3x100
的根，则
[x
0
]
（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
log
2
x1
x0
fx
8．已知函数
，则
yf
f
x
3
的零点个数为（ ）
x0
x4
A
．3
B
．4
C
．5
D
．6
9．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染
物总量的
0.5%
.
已知在过滤过程中的污染物的残留数量
P
（单位：毫克
/
升）与过滤时间
t
kt
（单位：小时）之间的函数关系为
PP
0
e
（
k
为常数，
P
0
为原污染物总量）
.
若前
4
个小时废气中的污染物被过滤掉了
80%
，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤
n
小
时，则正整数
n
的最小值为（
）（参考数据：取
log
5
20.43
）
A
．
8
B
．
9
C
．
10
D
．
14
e
x
e
x
10．已知函数
f
x
，
xR
，若对任意
0,
，都有
2
2
f
sin
f
1m
0
成立，则实数
m
的取值范围是（
）
A
．
0,1
B
．
0,2
C
．
,1
1
D
．
，
11．已知
yf
x
是以
为周期的偶函数，且
x
0,
时，
f
x
1sinx
，则当
2
5
x
,3
时，
f
x
（ ）
2
A
．
1sinx
B
．
1sinx
C
．
1sinx
D
．
1sinx
12．将甲桶中的
a
升水缓慢注入空桶乙中，
tmin
后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线
yae
nt
，假设过
5min
后甲桶和乙桶的水量相等，若再过
mmin
甲桶中的水只有
则
m
的值为（
）
A
．10
B
．9
C
．8
D
．5
a
升，
4
二、填空题
4
1,(x4)
13．已知函数
f(x)
．若关于
x
的方程，
f(x)k
有两个不同的实
x
log
2
x,(0x4)
根，则实数
k
的取值范围是
____________
．
14．已知函数
f
x
axbx
3
2
（
a
，
b
为常数），若
f
3
5
，则
f
3
的值为
______
22m
15．如果函数
ym9m19x
1
5
2
7m9
是幂函数，且图像不经过原点，则实数
m
___________
.
2232
16．已知
a
，
bR
，集合
Dx|x
aa2
x
a2a
0
，且函数
f
x
xaa
1b
是偶函数，
bD
，则
20153ab
2
的取值范围是
_________
.
2
17．已知函数
f
x
满足对任意的
xR
都有
f
1
x
2
1
f
x
2
成立，则
2
1
2
7
f
f
...f
＝
．
8
8
8
，c，d
，若集合
S
a，b，c，d
具有性质“对任意
x，yS
，必有18．对于复数
a，b
a1，
xyS
”，则当
{b
2
1，
时，
bcd
等于
___________
c
2
b
2
fxlogmx
m2
xm2
1
19．已知函数
，若
f
x
有最大值或最小值，则
m
2
的取值范围为
______
．
20
．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有
“
数学王子
”
的称号，他和阿基
米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的
“
高斯函数
”
为：设
xR
，用
x
表示
不超过
x
的最大整数，则
yx
称为高斯函数，例如：
[3,4]4
，
[2,7]2
.
已知函数
2e
x
1
f(x)
，则函数
y[f(x)]
的值域是
_________.
x
1e5
三、解答题
21．已知函数
f
x
log
2
x
（1）解关于
x
的不等式
f
x1
f
x
1
；
（2）设函数
g
x
f21kx
，若
g
x
的图象关于
y
轴对称，求实数
k
的值.
x
22
．计算
(1).log
2
24lg
1
log
3
27lg2log
2
3
2
1
(2).(
3
32)
6
9
3
－
2
(8)
0
xx
23．设函数
f
x
log
2
ab
（
1
）求
a，b
的值；
（
2
）求函数
f
x
的零点；
，且
f
1
1,f
2
log12
.
2
（
3
）设
g
x
ab
，求
g
x
在
0,4
上的值域
.
xx
24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的
管理都有不同的方式
.
最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高
.
某投资理财公司做
了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下：
①投资
A
产品的收益与投资额的算术平方根成正比；
②投资
B
产品的收益与投资额成正比
.
公司提供了投资
1
万元时两种产品的收益，分别是
0.2
万元和
0.4
万元
.
（
1
）分别求出
A
产品的收益
f(x)
、
B
产品的收益
g(x)
与投资额
x
的函数关系式；
（
2
）假如现在你有
10
万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收
益最大？最大收益是多少？
25．某上市公司股票在
30
天内每股的交易价格
P
（元）关于时间
t
（天）的函数关系为
1
t2,0t20,tN
5
P
，该股票在
30
天内的日交易量
Q
（万股）关于时间
t
1
t8,20t30,tN
10
（天）的函数为一次函数，其图象过点
(4,36)
和点
(10,30)
.
（
1
）求出日交易量
Q
（万股）与时间
t
（天）的一次函数关系式；
（
2
）用
y
（万元）表示该股票日交易额，写出
y
关于
t
的函数关系式，并求在这
30
天内第
几天日交易额最大，最大值为多少？
2
x
a
26．若
f
x
x
是奇函数
.
21
（
1
）求
a
的值；
（
2
）若对任意
x
0,
都有
f
x
2mm
，求实数
m
的取值范围
.
2
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：
C
【解析】
由题意知，
f(2x)ln(2x)lnxf(x)
，所以
f(x)
的图象关于直线
x1
对称，故
C
正确，
D
错误；又
f(x)ln[x(2x)]
（
0x2
），由复合函数的单调性可知
f(x)
在
(0,1)
上单调递增，在
(1,2)
上单调递减，所以
A
，
B
错误，故选
C
．
【名师点睛】如果函数
f(x)
，
xD
，满足
xD
，恒有
f(ax)f(bx)
，那么
函数的图象有对称轴
x
ab
；如果函数
f(x)
，
xD
，满足
xD
，恒有
2
f(ax)f(bx)
，那么函数
f(x)
的图象有对称中心
(
ab
,0)
．
2
2．A
解析：
A
【解析】
【分析】
由函数
f
x
log
a
(
函数，但
【详解】
1
)=0,
(a0,a1)
的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增
x1
在[0，1]上为减函数，得0 由函数 f x log a ( 函数， 但 1 )=0, (a0,a1) 的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增 x1 在[0，1]上为减函数，∴0 当x=1时， f(1)log a ( 1 )=-log a 2=1 , 11 1 ， 2 故选A． 解得 a= 本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出 f(0)=0 ，这样避免了讨论．不然的话，需要 讨论函数的单调性 . 3．B 解析： B 【解析】 因为 |x|0 ，所以 a x 1 ，且在 (0,) 上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案 B ． 4．B 解析： B 【解析】 由 f(1)= 得 a 2 =, ∴ a= 或 a=-( 舍 ), 即 f(x)=(. 由于 y=|2x-4| 在 (-∞,2] 上单调递减 , 在 [2,+∞) 上单调递增 , 所以 f(x) 在 (-∞,2] 上单 调递增 , 在 [2,+∞) 上单调递减 , 故选 B. 5 ． B 解析： B 【解析】 【分析】 本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分 析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】 Qx(0,1] 时， f(x)=x(x1) ， f(x+1)=2 f(x) ， f(x)2f(x1) ，即 f(x) 右移 1 个单位，图像变为原来的 2 倍． 如图所示：当 2x3 时， f(x)=4f(x2)=4(x2)(x3) ，令 4(x2)(x3) 整理得： 9x 2 45x560 ， (3x7)(3x8)0,x 1 8 ， 9 78 ,x 2 （舍）， 33 7 7 8 x(,m] 时， f(x) 成立，即 m ， m , ，故选 B ． 3 9 3 【点睛】 易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到 2 倍，导致题 目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学 建模能力． 6．C 解析： C 【解析】 分析：由题意分别确定函数 f(x) 的图象性质和函数 h(x) 图象的性质，然后数形结合得到关于 k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果 . 详解：曲线 f x log 2 x1 右移一个单位，得 yf x1 log 2 x ， 所以 g(x)=2 x ， h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1) ，则函数 h(x) 的周期为 2. 当 x ∈ [0,1] 时， h x 21 ， x y=kf(x)-h(x) 有五个零点，等价于函数 y=kf(x) 与函数 y=h(x) 的图象有五个公共点 . 绘制函数图像如图所示，由图像知 kf （ 3 ） <1 且 kf （ 5 ） >1 ，即： klog 2 41 1 ，求解不等式组可得： log 6 2k . 2 klog 2 61 即 k 的取值范围是 log 6 2, 本题选择 C 选项 . 1 ． 2 点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题 等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 . 7．B 解析： B 【解析】 【分析】 先求出函数 f x lnx3x10 的零点的范围，进而判断 x 0 的范围，即可求出 x 0 . 【详解】 由题意可知 x 0 是 f x lnx3x10 的零点， 易知函数 f x 是（0， ）上的单调递增函数， 而 f 2 ln2610ln240 ， f 3 ln3910ln310 ， 即 f 2 nf 3 0 所以 2x 0 3 ， 结合 x 的性质，可知 x 0 2 . 故选 B. 【点睛】 本题考查了函数的零点问题，属于基础题． 8．C 解析： C 【解析】 【分析】 由题意，函数 yf f x 3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数，设 tf x ，则 f t 3 ，作出 f x 的图象，结合图象可知，方程 f t 3 有三个实根， 进而可得答案. 【详解】 由题意，函数 yf f x 3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数， 设 tf x ，则 f t 3 ，作出 f x 的图象， 如图所示，结合图象可知，方程 f t 3 有三个实根 t 1 1 ， t 2 则 f x 1 有一个解， f x 故方程 f 1 ， t 3 4 ， 4 1 有一个解， f x 4 有三个解， 4 f x 3 有5个解. 【点睛】 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方 程 f t 3 的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问 题的能力，以及数形结合思想的应用 . 9．C 解析： C 【解析】 【分析】 1ln51 kt ，可得出 k ，然后解不等式 e ，解出 t 的取值范 54200 围，即可得出正整数 n 的最小值 . 【详解】 根据已知条件得出 e 4k kt 由题意，前 4 个小时消除了 80% 的污染物，因为 PP 0 e ，所以 4k ，所以 0.2e 4k ，即 4kln0.2ln5 ，所以 k 180% P 0 Pe 0 ln5 ， 4 kt 则由 0.5%P 0 P 0 e ，得 ln0.005 ln5 t ， 4 4ln200 4log 5 2004log 5 5 2 2 3 812log 5 213.16 ， ln5 故正整数 n 的最小值为 14410 . 所以 t 故选： C. 【点睛】 本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题 . 10 ． D 解析： D 【解析】 试题分析：求函数 f （ x ）定义域，及 f （﹣ x ）便得到 f （ x ）为奇函数，并能够通过求 f′ （ x ）判断 f （ x ）在 R 上单调递增，从而得到 sinθ ＞ m ﹣ 1 ，也就是对任意的 0, 有 sinθ ＞ m ﹣ 1 成立，根据 0 ＜ sinθ≤1 ，即可得出 m 的取值范围． 详解： f （ x ）的定义域为 R ， f （﹣ x ） = ﹣ f （ x ）； f′ （ x ） =e x +e ﹣ x ＞ 0 ； ∴ f （ x ）在 R 上单调递增； 由 f （ sinθ ） +f （ 1 ﹣ m ）＞ 0 得， f （ sinθ ）＞ f （ m ﹣ 1 ）； ∴ sinθ ＞ m ﹣ 1 ； 即对任意 θ ∈ 0, ∵ 0 ＜ sinθ≤1 ； ∴ m ﹣ 1≤0 ； ∴实数 m 的取值范围是（﹣ ∞ ， 1] ． 故选： D ． 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性 的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问 题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不 等式的解集 . 2 都 都有 m ﹣ 1 ＜ sinθ 成立； 2 11 ． B 解析： B 【解析】 【分析】 【详解】 因为 yf x 是以 为周期，所以当 x ,3 时， f x f x3π ， 此时 x3 5 2 1 ,0 ,又因为偶函数，所以有 f x3π f 3πx , 2 3πx 0, ,所以 f 3πx 1sin 3πx 1sinx , 2 故 f x 1sinx ，故选B. 12．D 解析： D 【解析】 2ae 5n a 1 5n5n 由题设可得方程组 { m5 n a ，由 2aeae ，代入 2 ae 4
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