圆周率全面版

2024年1月24日发(作者：数学试卷考得不好写分析)

圆周率全面版

§2

圆周率

我国魏晋时期数学家刘徽为了推导圆面积的计算公式并推求圆周率较精美之值，创立了

“割圆术”，为圆周率的研究工作确定了理论基础和供应了科学的算法．在此基础上，南北

朝数学家祖冲之连续计算，最后获取圆周率 π 的值就在 3.141 592 6 与 3. 141 592 7 之间，正确到小数点后 7 位，成为世界上第一位把圆周率值计算正确至七位小数的人．

22

355

其余，祖冲之还给出了圆周率的两个分数值：正确度较低的

7

( 约率 ) ，正确度较高的

113

( 密率 ) ．但是，终归祖冲之是用什么方法把圆周率的值计算正确至七位小数，而他又是怎样找出作为圆周率的近似分数的呢？这些问题到此刻仍是数学史上的谜．据数学史家们解析，他很可能采用了刘徽的“割圆术”，若是这个解析不错的话，那么，祖冲之就需要从圆内接正

六边形切割到圆内接正 12 288 边形和圆内接正 24 576 边形，依次求出各多边形的周长．这个计算量是相当大的，最少要对九位数字屡次进行 130 次以上各样运算，其中乘方和开方就

有近 50 次，任何一点渺小的失误， 都会以致计算失败． 因此可知祖冲之深沉扎实的数学功底，慎重求实的科学态度．祖冲之求得的这个圆周率值直到一千年今后才由阿拉伯数学家卡西于

1427 年打破．

1．圆周率，一般以 π 来表示，是一个在数学及物理学宽泛存在的数学常数．它定义为圆的 ________ 与 ________的比值．圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的

要点值．

2．祖冲之运用刘徽的“割圆术”计算圆周率，

算出了上下限： ________＜ π ＜________，

________，密率为 ________．

并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为

3．最早试图从圆面积去求圆周率的人是古希腊数学家阿基米德，他以为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间．当正多边形之间边数不停增加时，圆的面积与正多边形的面积

便越来越凑近．从他编写的《圆的胸襟》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎

________之间．

________ 与

4．计算圆周率，无论是阿基米德的穷竭法，仍是刘徽的割圆术，都是渐渐逼近的方法，

都是 ________思想的表现，这种思想为微积分的最后创立确定了基础．

答案： 1．周长

直径

2．3.141 592 6

3.141 592 7

22

355

7

113

3．3

1

3

1

3

4．极限

71

一、 π 的计算及历史

【例 1】 查找资料，简述

π 的计算历史，领悟它们所反响的数学思想．

答： π 的计算历史分为以下几个阶段：

(1) 实验时期

中国古籍云：“周三径一”，意即取

π＝ 3.

( 又称“阿梅斯草片文书”；为英国人莱茵

公元前 17 世纪的埃及古籍《阿美斯纸草书》

)

年发现，因此还称“莱茵德纸草书”

德于

1858

是世界上最早给出圆周率的高出十分位的近

256

1 1

1

＝3＋＋

＋

似值，为

或

3. 160.

81

9 27 81

至阿基米德从前，

π 值之测定倚靠实物丈量．

(2) 几何法时期——屡次割圆

最早试图从圆面积去求圆周率的人是阿基米德 (Ar

chimedes ，公元前 287—前 212) ．他以为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间．随正多边形之间边数的不停增加，圆的面积

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与正多 形的面 便越来越凑近．从他 写的《 的胸襟》一 中，他用 竭法得出 周率

1

1

介于 371与 33之 ．

公元 263 年，中国数学家刘徽用“割 ” 算 周率，他先从 内接正六 形，逐次

切割 正 12,24,48,96,192

与 周合体而无所失矣．”

形．他 ：“割之弥 ，所失弥少，割之又割，以致于不能割，

( 切割愈精 ， 差愈小．切割此后再切割，直到不能够再切割

就不会有 差了 ) 其中有求极限的思想． 刘徽 出 π ＝3.141 024

止，它就会与 周完好重叠，

157

50 ＝ 3.14( 徽率 ) 其分数近似 ．

的 周率近似 ，并以

公元 466 年，中国数学家祖冲之将 周率算到小数点后

7 位的精确度， 一 在世界

355

上保持了一千年之久．同 ，祖冲之 出了

( 密率 ) 个很好的分数近似 ，它是分母小于

113

10 000 的 分数中最凑近

π 的． 念祖冲之 周率 展的 献，日本数学家三上 夫

将 一计算 命名 “祖冲之 周率”， 称“祖率”．痛惜祖冲之的著作《 》已 亡失，后辈无从得知祖冲之是怎样估计 周率的 的．

1610 年，荷 数学家 道 夫 算了正

262 形的面 ， 正确地得出了

π 的 35 位小数．后

人 了 念他的 斗精神和他 算

π 的 所作的 献，在他的墓碑上刻上了以下 果：

314159265⋯288

314159265⋯289

100000000⋯000 100000000⋯000

(3) 解析法 期——无 数

无 乘 式、无 分数、无 数等各样

π 表达式 出 ，

π 算精度也迅速

增加 .1706

年英国数学家梅 算

100 位小数大关 .1873 年另一位英国数学家尚可

π 打破

1948 年英国的弗格

斯将 π 算到小数点后

位起是 的．到

707 位，痛惜他的 果从 528

森和美国的 奇共同 表了

π 的 808 位小数 ，成 人工 算 周率 的最高 ．

(4) 算机 代

.1949

子 算机的出 使

π 算有了突 猛 的 展

年美国 里 州阿伯丁的

＜π＜

(ENIAC) 算 π ，一下子就算到

道研究 室首次用 算机

2 037

位小数，打破了千位

数 .1989

年美国哥 比 大学研究人 用克雷

2 型和 IBMVF 型巨型 子 算机 算出

π 小

数点后

位数 .2009 年 8 月 17 日，日本筑波大学宣

位数， 后又 算到小数点后

257 69.803 7 位，

布，筑波大学研究人 借助最新的超 算机，将 周率 算到小数点后

造了新的世界 ．

采集和整理有关

π 的 算方法．

二、 周率与极限思想

【例 2】“ 竭法”是古希腊数学家阿基米德 明的一种求曲 形面 的方法．

竭法” 算由抛物

解： 把底 [0,1]

用“

y＝ x2

与 x

在直

x＝

0

和 x＝

1

之 成的曲 三角形的面 ．

1

2

n－

1

分成 n

等份，分点分 是

， ，⋯，

，尔后在每个分点 作底 的

n

n

n

垂 ， 曲 三角形被分成了

1

i

2

n

个窄条， 每个窄条，近似用矩形条取代．每个矩形的底

n，高

n

(i ＝ 0,1,2

，⋯， n－

1)

，把 些矩形条加起来，获取

S 的近似 ：

1

n

S ＝ 0n＋

1

2 1

＋n n

2

2

n1

·

n＋⋯ ＋

n－

1

2

1

n·

n

1

＝n·[1

＋ 23

22

2

＋

⋯(n

－

1) ]

＝

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1

n( n－

1)(2

n－

1) ( n－

1)(2

n－

1)

6n2

6

＝

每个 n

都能够算出相 的

n

n·

3

一方面，所得的

S 始 都是 S 的近似 ， 了获取

.

Sn 的 ，一方面，随着

S 的精确 ，使

n

的增大，

Sn

的 越来越凑近

S.

但另

n

无量制地增大，从几何

上看，面

S 的那个多 形越来越 近曲 三角形，从数 上看，

S 无量凑近一个确定的

n

n

1

数， 个数就是曲 三角形的面

S， 个数等于

3.

用以下公式 算

π ，领悟极限思想．

π

1

4 ＝1＋

2＋9

2＋25

2＋

49

2＋81

2＋⋯

刘徽是我国第一个 造性地将无 思想运用到数学中的数学家，他 立的“割 ”，通 增加 内接正多 形的 数来逼近 ，体 了极限思想．祖冲之以“割 ” 理 基

， 精心运算，把 周率精确到小数点后

7 位．阿基米德运用 内接正多 形与外切正

多 形逼近 面 的极限思想，曾算到正 96 形，获取 π ≈3.141 6. 刘徽的“割 ”和阿基米德的“ 竭法”，无量凑近的思想就是今后建立极限看法的基 ，是近代微 分理

的萌芽．

答案： 1． 答： (1) 我国《周髀算径》中 有“周三径一”．

(2) 古埃及、古希腊人用谷粒 在 形上，以谷粒数与方形 比的方法获取数 ．

(3) 阿基米德的 算方法在《 的 定》一文中有 ．

(4) 我国古代数学家刘徽的割 ．

(5) 祖冲之的 算方法．

(6) 分数法．

(7) 利用 数或无 乘 算．

(8) 算机 算法．

2．解： 在必然范 内 算上式，采用繁分数形式．

π

1

4 ＝1＋

2＋

9

2＋25

2＋49

81

2＋

2

先 算

81

4＋ 81 85

2＋2

＝

＝

2＋49×22

2 ，

85

＝170＋ 98＝

268

85

85

，

2＋25×85

536＋ 2

125

2 661，

2＋×268

268＝

＝7 734268

9＝

268

，

2 6612 661

2 661

1＋

＝7 734

＋2 661

10 395

＝

.

7 734

7

734

7 734

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种

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π

10 395

再由

4＝

7734

，

可得

π

＝ 4×7 734

＝30 936

＝2.976 0 ⋯

10 395

10 395

因 在张开式中取的 数有限，因此

π 没有超 3.

只要我们坚持了，就没有战胜不了的困难。也许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得特别透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机遇都未曾错过，其目的也只但是是不

让自己随时坠入困境与失去那种面对困难未曾信服的精神。但有时，

“千里之行，始于足下。

”我们更需要用时间长远的专心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破打破自己

那本以为能够高枕无忧十分酣畅的地域，强迫强迫自己一刻不停的马不停蹄的素来向前走，向前看，向前进。所有的将来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不能能；没有去努力，又怎么

知道不能够实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完好全彻完好底的浸透我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的平和，

侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”

，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处

又会是怎样？生命不单，奋斗不息！又也许，对于好多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也可是人家的起点。但是，这不足挂齿的进步，对于我们来说，倒是幸福的，也是知足

的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，朦模糊胧的感觉到自己的人生正掌握在自己手中，并且这所有仍是经过我们自己勤勤劳恳努力，去积极争取的

来。”当我们爽快接受这人生的终局，

也许，这无所皈依的心灵就有了归宿，

这生命中觅寻处那真切的幸福、

!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自寒冷

一世有多少属于我们的岁月？陌上的花，

真切的清香也就今后真切的绚烂了我们的人生。

落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的岁月里静静的流逝。童年的玩伴，从前的天真，只幸亏梦里回味，每回梦醒时分，总是多了好多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，

走过了人人间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐理解，离合悲欢咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。因此，面对生活中经历的所有顺境和困境都学会了爽快承受，面对

突但是至的灾祸多了一份沉稳和沉稳。这世上没有什么不能够承受的，只要你有足够的刚毅！这世上没有什么不能够放下的，只要你有足够的胸襟！

一世有多少属于我们的岁月？当你为今天的斜阳

而感触呜咽的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，冷漠了对将来美好生活的神往。没有十全十美的生活，没有一

帆风顺的旅途。波平浪静的人生太无聊，抑郁伤心的人生少欢欣，风雨过后的彩虹最绚烂，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的扎实；有的喧华，有的落寞；有的

激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之因此烦恼或欢乐，多半是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的困穷，却不能够抵挡住心里的各样纠结。其实幸福和欢

乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，

一花一世界， 一树一菩提， 就是一粒小小的沙子，

也有自己优秀的乾坤。 若是想到我们终有一天会灰飞烟灭，

所有象风同样无影亦无踪，

还去争个什么？

还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼模糊又是谁？一世真的没有多少岁月，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天

都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要连续。岁月不会因你而停留，你却会随着岁月而老去。

有些事情注定会发生，有的结局早已就预示，那么就改变你能够改变的，适应你必定去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思想，也许心空就不再充满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。

一世能有多少属于我们的岁月，好多事情，好多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘记的，必然是触动心灵，甚至是镂心刻骨的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是欢乐仍是失

意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，斜阳的绚烂，暮色中的模糊。经历过好多世态炎凉此后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长

物的走开，你在世上获取的，失去的，最后都会化作尘埃。原来就未曾带来什么，因此也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如

意或是飞来横祸就能爽快接受，知道人有朝夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒对待。花不常开，人不常在。再喧杂华美的舞

台也有谢幕的时候；再豪华的宴席，委婉的乐曲，总有曲终人散的时辰。春去秋来，我们无法让季节停留；同样仿佛季节同样无法挽留的还有我们赶忙的人生。谁会在乎你？生养我们的父亲母亲。纵

使我们有百般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父亲母亲会依旧在乎！为你愁，为你笑，为你挂念，为你知足。这风云变化的世界，除了父亲母亲，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓

山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风欢乐时前呼后应的都来如虎生翼；你落寞孤寂时，曾见几人忧虑赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父亲母亲，只有你

自己。父亲母亲待你再好，总要有走开的时间；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就仿佛你和父亲母亲；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的丹诚相许，从古到此刻有几人？不是把世界想的太

悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得珍爱自己。不敬羡如转瞬即逝的的流星，诚然绚烂，倒是惊鸿一瞥；情愿做一颗小小的黯淡的星子，即便不能够同日月争辉，也有自己无可取代

的地址其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完好同样的树叶。大家生活得都不简单，都有自己方向。认识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为

身边的人做点什么，而不是想着去获取和索取。与人为善，以直报怨，我们就会心里多一份沉寂，生活多一份友善没有谁会在乎你的时候，要学会不时辰刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到

了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。年幼不知的年龄，做出了一件件此刻想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，期望成为一代侠客；

一遍遍地唱着罗大佑的《童年》 ，希望着做那个高年级的师兄；一每天地想象，生活能浩浩荡荡。没有刀光剑影，没有寻死觅活，青春就在稀里糊涂、懵懵懂懂中静静滑过。等到察觉逝去的美好，

年光的难得，已经被力所不及地推到了滔滔红尘。今后，青春就一去不回头。没有了想象和激动，日子就像白开水同样平凡，孤单地走过一每天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许激情。

在碰了壁，折了腰此后，终于理解，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原来是一张白纸似的人生，开始被染上了斑驳陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生计，就要适应身不

由己，言不由衷的生活。人到中年，突然理解了好多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一刹时；世事难猜想，是至理名言，这一辈子，你碰到了谁，

擦肩而过了谁，谁会是你诚意的良朋良朋，谁会和你牵手相伴一世，都是最初估计不到的；没有跨但是去的坎，只有走不出的心。人生天地间，渺小的如蝼蚁、草芥，即即是气壮河山的伟人，安

息之处亦但是是黄土一抔。纠结不清的是感情，放不下手的是名利，放手西归，所有皆是转瞬即逝。为情苦，为名困，为物役，多少参不透生活的人为此劳碌一世，辛苦一世。走过了无数个平凡

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的日子，见惯了生离死其余迷茫，知道了“生亦何欢，死亦何惧”其实就是活着的一种最正确姿态。你无所惧怕了，命运就该向你低头了，活着，就好好活。愁闷恼的时候听听歌，天空不会总充满

阴霾，风雨此后的彩虹更美丽；心情不错的日子走一走，看看每天的日升日落，那是自然给生命的美好馈送。花谢了，有再开的时候；草枯了，还有再荣的时候。青春呢？生命呢？是不是还可

以再重新拥有一回？感谢爹娘，给了我生命，诚然历经了风雨，却依旧能感觉到生命的厚重和可贵；感谢生活，尝尽了离合悲欢咸，依旧还会充满动人和感恩；感谢岁月，让我在红尘里褪尽铅华，

返璞归真。珍爱自己，珍爱生活。对别人多一份理解和博爱，活着，就好好活。一世能有多少属于我们的岁月？在平凡的日子里，在沉寂的生活中，且行且珍惜吧。一个人的幸福感，不是来自丰

衣足食，而是来自心里丰盈。饱食暖衣，获取的是人生的扎实感；心里丰盈，获取的是灵魂的归属感。前者让人沉稳赶路，后者给人在路的前面点灯。人的悲伤，有时不是看不到，而是看到的

太多了。每天挣

100 块钱的，其实其实不敬羡挣

120 的。问题是，当突然看到有人能够每天挣到上千块，便开始方寸大乱。不平衡，才是一个人心里宕动和迷乱的根本。无法布置的，永远不是身体，

而是一颗野了的心大学谈恋爱，对将来的设想，但是是有一间房子，只要能盛得下两个人的欢愉就行。今后发现，我们需要的不能是一间房子，而是好多房产。当我们把这些概括为生活所需的时

候，其实已陷在世俗深重的背影里了。尔后，在虚荣的路上越走越远，被虚荣长距离放逐，再被虚荣一步一个足迹地打这个世界，快乐最多的地方，不在富豪大贾那处，也不在权倾一方的人那处。

恰巧是这些人，阴沉稳脸，个个蹙眉紧锁。他们的幸福。

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