2024年3月6日发(作者：遂川中学高一联考数学试卷)

不等式---------------------作差作商证明方法：利用经典不等式构造函数不等式:基本不等式基本形式柯西不等式分式形式伯努利不等式带函数的不等式带lnx的不等式Part1:柯西不等式的普通形式：(a)(b)(aibi)2;2i2ii1i1i122b32bn(b1b2...bn)2b12b2分式形式：...(分式a1a2a3ana1a2...annnn形式有什么用？竞赛跟自招中的不等式证明大部分都是分式不等式，有一部分分式不等式就可以用构造柯西不不等式的分式形式来解决)Part2:带lnx不等式：ababa2b2一，ab(ab0)11lnalnb22abkkk二，ln(1)(kn,k与nN)(很常用，可以n1nn通过构造来证明大部分包含对数函数的不等式)；2三，x1lnx(用来证明关于lnx的不等式)；1111四，ln(n1)γo()1(其中，γ是欧拉常数n23n11约为0.577，o()代表该数的值远远小于，这个式子常用来nn111说明1...是趋向于无穷大的，而且没有初等的求和23n公式);五，由上式可得：111111...ln(1n)234n2(n1)

可以使用数学归纳法证明。

数列与极限----------------课内方法求数列的通项公式：补充：不动点法，特征方程法等差数列数列常见的数列及性质等比数列补充：其他一些数列等差等比或者等差乘等比数列的求和公式：补充：k次方的和补充：一些特殊数列求和方法Part1:不动点法：最常见的不动点法处理的数列是an1panqpxq形式的，令xransrxs特征方程：线性递推关系即an1panqan1ran2.....(其中p,q,为常数)Part2:12一些特殊数列：2n6n1Part3:

k次方的和：i2i1nn(n1)(2n1)6i3[inn(n1)2](k还可以取更大的值，证明方法：降次求和，2可以找)Part4:sinxsin2xsin3x...sinnx?cosxcos2xcos3x...cosnx?利用De\'Morve公式：eixcosxisinx(其中i为虚数单位)有：ei(kx)coskxisinkx(k1,)对左边求和:由等比数列求和公式：左边

方程------------------判别式二次方程根与系数的关系：韦达定理分类讨论问题求解思路方程补充：三次方程根与系数关系：韦达定理高次方程的韦达定理高次方程补充内容代数基本定理高次方程的重根判别法Part1:求解三次方程，一般形式的三次方程：x3ax2bxc0，通过令x\'xm(m是待定的数),可以化成：x\'3nx\'p0的形式，所以只需求解x3nxp0形式的三次方程即可。思路：继续换元设法令x(y),使得：(y)3n(y)p0并且这是一个关于y的次数较低的方程，构造xyn(观察(y)的值域可以知道这样3y换元不影响原方程的根的个数)，代入：原方程化为n3ypy0,这是一个关于y3的二次方程，用二次27方程求根方法求出y，再求x即可。63Part3:高次方程的代数基本定理：方程anxnan1xn1...a2x2a1xa00(an0)至少有一个根(包括复根的情况)，由此该方程有n个根(包括重根).韦达定理：根据代数基本定理，任何一个n次方程均可以写成an(xxn)(xxn1)(xxn2)...(xx1)0,通过比较与原方程的系数可以得到高次方程韦达定理：

初等数论---------------------数论中最重要的问题是解不定方程：


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