数学史论文《勾股术》

2023年12月11日发(作者：河南数学试卷模拟试题答案)

毕节学院 数学与应用数学专业 10级本科（1）班 数学史论文 罗晟

中 国 古 代 数 学 之 勾 股 术

摘 要

我国是一个具有悠久而光辉的历史的国家，在科学领域里曾经创造了高度文明，对人类作出过极其辉煌的贡献。其中有许多发明，对世界的历史发生了深远的影响（例如：指南针、造纸术、火药及印刷术四大发明就具有重大的世界意义。）。数学作为自然科学的皇后，它是科学技术发展的基础，也是人类理解自然、征服自然的有力武器。数学曾经在历史上对科学起过推动作用。在我国丰富多彩的科学技术历史宝库中，数学是一颗特别璀璨的明珠，几千年来一直在闪闪发光。我国数学对世界人类的贡献和影响，也是极其深远的。

我国古代数学，在世界上一直居于主导领先地位，从记数、分数、小数、正负数及无限逼近任一实数的方法以至解联立方程组与二次、高次数字方程等，老师中国古代数学家的发明创造.。在我国古代的数学思想，与希腊、印度截然不同。我国数学一开始便注重实际，注重数和形的结合，从实践中逐步发展完善起来，数和形的概念是从客观世界中发展得来的，因此，世界上数字发展史最长的国家要算是中国。现在我们来谈谈我国古代数学中的勾股术。

关键词:周髀算经；勾股定理；勾股圆方图；

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1 引言

当年商高提出直角三角形的三边“三四五关系”时，他曾经指出，大禹治水时用过“勾股术”，但他却没有详细叙述禹是在什么情况下，怎样运用勾股术的。后来赵爽在为《周髀算经》作注时具体指出：“禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，释昏势之间（昏势——困于水灾），使东注于海而无浸逆（逆——溺），乃勾股之所由生也。”他认为，勾股术主要用于测量，有了这种方法，便可以“望山川之形，定高下之势”。但是赵爽并不满足于商高答问的内容，因为前人并末对商高定理做出严格证明，这是一个很重要的不足之处。于是赵爽开始对勾股术的研究。

2勾股术的证明及应用

§1 勾股定理的证明

赵爽以过悉心研究，设计出五个图样用以说明勾股弦的关系。如下图：

朱

勾实

股实

朱

黄 黄

股实

朱

勾实

朱

弦图1 弦图2 弦图3

股弦差

股

勾

弦

差

黄

并实图

勾

弦

弦图4

勾

股

图1

勾

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以上就是《弦图》，他作出《弦图》之后并写了一篇解释文《勾股圆方图》一起附进《周髀算经》中。首先他肯定了“勾股弦”关系符合勾股定理。

即

弦勾2股2

之后他用了一种几何与代数巧妙地结合的方法，简洁美妙地证明了勾股定理。他的证明是：

“以勾，股乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差时一亦成弦实。”

A c B

将图1 的弦图一标上数学符号，如图2

朱

将勾（a）、股（b）相乘就得两个朱色的面积，加a

b

一倍是四个朱色的面积。（即我们可以用割补法，朱

C

C

1而一个朱色面积=ab,则四个朱色面积黄

2=2ab,也就是四个ABC的面积），以勾股差朱

ba()自乘就是中间那个黄色正方体的面积。然朱

而四个朱色的面积加上中间黄色的面积就是这个大正方体的面积（即弦2）。

根据以上文字所述我们可以用代数式反它表示出来： 图2

即

2ab+(b-a)2c2

2ab(b22aba2)c2

a2b2c2

所以勾股定理就得到了证明。

《勾股圆方图》除证明勾股定理外，还提供许多有趣的勾股弦互算关系。例如：已知“股弦差”和“勾弦差”，欲求勾、股、弦，那么就要想办法来构造一个公式。如下：

我们用a,b,c分别表示勾，股，弦，那么上面的叙述表示为(cb)和(ca)

如果按赵爽的方法就是：

“两差相乘，倍而开之，所得以股弦差增之为勾，以勾弦差之为股，两差增之为弦。”

把它用代数式表示则为：

a2(ca)(cb)(cb)

b2(ca)(cb)(ca)

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c2(ca)(cb)(ca)(cb)

由这几个式子可以看出当时我国的数学已发展到了更高的地步。如果我们仔细观察图1中的弦图4，并标上数学符号如图3所示。

我们可以看出：

c-b

b

b2(a2s1)2s2c2

因为a2b2c2，

故s12s2；

c-a

s2

b

c

s1的边长是b(ca)abc，a

s1a

然而s2的面积是(ca)(cs2c-a

c

c-b

，b)于是便有abc2(ca)(cb)从而得到赵爽推广的以上三个式子。

图3

§2 勾股定理的应用

我们都知道《九章算术》是我国古代最著名的一部数学著作，它记载着我国古代数学的各种算法。其中勾股术也记在这本书中，勾股术就是《九章算术》中第九章的内容。它叫《勾股》，勾股能解决生活中的一些问题。例如在《九章算术》中的《勾股》中有这样一道题：

“今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺，从（zòng）之不出二尺，邪之适出。问户高、广、衺各几何？”

这一小段的意思是：有一个门，不知道有多宽多高；有一根竿，不知道有多长。将竿横放，差四尺出不去;将竿竖起，差两尺出不去；将竿斜放，正好出得去。问门的高度，宽度和斜长各为多少？

用现代的数学来解它，我们可以用一元二次方程来解：

设竿长为x，则高度为（x2），宽度为(x4)

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x2(x4)2(x2)2

x2x28x16x24x4

12xx220

x212x200

(x2)(x10)0

x12

x210

因为x12不满足题意，故略去。所以x210为所求。

x28

x46

于是门的高度、宽度、斜长分别为：8尺、6尺、10尺。

但是在《九章算术》中解这个题就十分的简单，它是这样说的：

“从（zòng）、横不足相乘，倍而开方之。所得加从（zòng）不出即户广，加横不出即户高，两不出加之，得户衺。”就这么简单的几句话就解决了这个问题。我们把这一小段话用数学语言表达出来就是：

设门的高、广、衺分别为a、b、c，即已知从（zòng）不出cb2，横不出ca4。则先求出2(cb)(ca)2244。加2就是门宽6尺，加4就是门高8尺，加2和4就是门斜长10尺。

经过比较可以看出，我国古代数学是多么的精妙，它不用在纸上慢慢的算，而是用几句歌诀就很快地计算出答案，可见我国古代数学已发展到了很了不起的地步，只是当时我国的数学是叫做“术”，而不是叫做“数学”。

当时赵爽的弦图或其推导公式，是非常巧妙的。

当已知“股弦和”和勾，求股时，典型题为《九章算术》中的《折竹》题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？”我们把这一小段话用现代汉语表述为“有一竹子，高10尺，腰间折断，它的梢着地，离根部3尺。问折断处离地多高”。

如图4所示

如果我们用常规解法就要着解方程。而设折断处离地高为x，则就得到方程为：

图4

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(10x)232x2

100-20x+x2=9+x2

20x910

x91114

2020然而《九章算术》的算法是：“以去本自乘，令如高而一，所得，以减竹高a2而半其余，即竹者之高也。”就是说“以离根部的距离自己乘，除以竹高（），cb用竹高减这个数并取余数的一半，就是折断处离地面的高度（b）”。

事实上这也是用了一个已经推导的公式：

1a2b[(cb)]

2cb用已知数代入得：

13211b(10)4

21020这个公式真是别出心裁啊，如果引用图1中的弦图3就可以导出：

如图5所示：曲尺形的c+b

面积“勾实”就是：cb（即a），如果将矩形ABCD取222c

勾

A

c

b

股实

E

实

D

b

G

c-b

F

下，安到EDFG位置上，便得勾实，也等于(cb)(cb)，所以就可以得到

b

c

图5

B

c-b

C

c2b2(cb)(cb)

即

a2(cb)(cb)，就有a2cb。当已知两数的和、差求较小的数时，可用“和减差之半”，因此

cbb

(cb)(cb)

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就是：

1a21

b[(cb)] ○2cb同样还可以求得

1a22

c[(cb)] ○2cb我国古代关于勾定理的例子很多，我们再来看看下面的两个例子:

例1

今有葭生于池中，出水三尺，去岸一丈。引葭趋岸不及一尺。问葭长及水深几何？

解：如图所示

我们可以用

1a2c[(cb)]又bc(cb)

2cb于是把数据代入得

cb3，a1019，bc3

于是

192c(3)

23计算得

c15尺1丈5尺，b15312尺1丈2尺

所以芦苇长为1丈5尺，水深为1丈2尺。

例2

假令勾股相乘幂七百六、五十分之一，弦多于勾三十六、十分之九。问三事各多少？

解：

这是已知“勾股积”ab和“勾弦差”c-a，求勾a、股b、弦c的问题。可以列方程为：

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1ab706509ca36

1022abc2

解方程组得：

7a14201b49

51c514

于是其勾、股、弦，分别为：a14

711，b49，c51。

2054小结

勾股术是几何学的重要基础之一，我国古代数学家都非常重视对它的研究，许多数学书籍都常常提到它的应用问题。勾股术为我们解三角形提供了非常方便的解法思想，在我国古代并不是用数学符号把它表示出来，而是用非常简洁的语句表述出来。在我国古代数学的研究中，在勾股术方面还有更加繁琐的问题（例如以上的例2就是这类问题），人们原先以为勾股弦关系不过是一般简单定理的应用，当他们看到《缉古算经》的内容。都不禁惊叹数学的奥妙以及古人的心思灵巧。勾股术在我们现在的现实生活中仍然非常适用。

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参考文献

[1] 傅钟鹏 . 中华古数学巡礼 辽宁人民出版社 1984

[2] 朱家生 . 数学史 高等教育出版社 2011.5

[3] 夏树人等 . 中国古代数学的世界冠军 重庆出版社

[4] 沈康身 . 中算导论 上海教育出版社 1986-03

[5] 蒋术亮编著 . 中国在数学上的贡献 山西人民出版社

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